Profil de vitesse d`une couche limite laminaire

Turbulence - 3A
À rendre pour le 8 novembre 2015
http://acoustique.ec-lyon.fr
Exercice no 3
Profil de vitesse d’une couche limite laminaire
On se propose de déterminer le profil de vitesse d’une couche limite laminaire bidimensionnelle se développant
sur une plaque plane placée dans un écoulement extérieur à la vitesse Ue1 . On se place dans le cas d’un
écoulement de couche limite stationnaire, incompressible et sans gradient de pression longitudinal.
x2
✻
Ue1
✲
✲
✲
δ
✻
✲
✲
O
✛
laminaire
U1 (x2 )
✲
✲✛transition✲✛
turbulent
x1
Développement d’une couche limite sur une plaque plane sans gradient extérieur de pression. La transition
se produit pour Rex1 = x1 Ue1 /ν ≃ 3.2 × 105 , soit encore pour Reδ = δUe1 /ν ≃ 2800.
1. Rappeler les équations de la couche limite laminaire, et les hypothèses associées.
2. En introduisant la fonction de courant ψ définie par U1 = ∂ψ/∂x2 et U2 = −∂ψ/∂x1 , montrer que le
problème se réduit à résoudre l’équation :
∂3 ψ
∂ψ ∂2 ψ
∂ψ ∂2 ψ
=
ν
−
∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x22
∂x23
associée aux conditions aux limites suivantes :
∂ψ ∂ψ =0
=0
∂x2 x2 =0
∂x1 x2 =0
1
et
∂ψ = Ue1
∂x2 x2 →∞
√
3. Rappeler brièvement le raisonnement permettant d’aboutir à δ ∼ νx1 /Ue1 . On pose alors comme variables de similitude :
s
p
Ue1
η = x2
et
ψ (x1 , x2 ) = Ue1 νx1 f (η)
νx1
Montrer que l’équation vérifiée par f, appelée équation de Blasius (1908), s’écrit :
2f ′′′ + ff ′′ = 0
et préciser les conditions aux limites.
4. Résoudre numériquement cette équation. On pourra pour cela prendre comme intervalle de résolution
0 ≤ η ≤ 10 et intégrer le système du premier ordre (sous Matlab avec ode45.m par exemple) :

′

f =g
(1)
g′ = h

 ′
1
h = − 2 fh
avec comme conditions initiales en η = 0 : f (0) = 0, g (0) = 0 et h (0) = α. On cherche alors à déterminer
la valeur de α pour satisfaire la condition aux limites en η = 10, à savoir N(α) ≡ g − 1 = 0. Une des
méthodes les plus simples consiste pour cela à utiliser un algorithme de Newton :
∂N n+1
n
n
α
= α − N (α ) /
∂α α n
Un moyen astucieux pour évaluer la dérivée ∂N/∂α est de résoudre en parallèle du système (1), le
système variationnel suivant :


′


 F = ∂f/∂α
F =G
′
avec
G = ∂g/∂α
G =H



 ′
1
H = ∂h/∂α
H = − 2 (F h + fH)
auquel on associe les conditions aux limites : F (0) = 0, G(0) = 0 et H(0) = 1.
5. A partir du calcul de la fonction f, en déduire alors que pour une couche laminaire se développant sur
une plaque plane sans gradient de pression, on a :
r
r
r
νx1
νx1
νx1
τw
0.664
⋆
δ ≃ 4.92
δ ≃ 1.72
δθ ≃ 0.664
cf = 1 2 =
Ue1
Ue1
Ue1
Re1/2
x
2 ρUe1
1
On rappelle la définition de l’épaisseur de déplacement δ ⋆ et de l’épaisseur de quantité de mouvement
δθ de la couche limite :
Z ∞
Z ∞
U1
U1
U1
⋆
δ =
dx2
δθ =
1−
dx2
1−
Ue1
Ue1
Ue1
0
0
6. Reconstruire l’expression de la composante transversale U2 de la vitesse. Que dire de sa limite lorsque
η → ∞?
7. Tracer les deux profils suivants permettent d’approcher la solution de Blasius, et commenter.
U
(η̃) = 2η̃ − η̃2
Ue1
et
U
(η̃) = 2η̃ − 2η̃3 + η̃4
Ue1
2
avec
0 ≤ η̃ =
x2
≤1
δ
8. On s’intéresse à l’écoulement se développant par exemple sur une plaque plane embarquée par un TGV,
et plus particulièrement à l’état de la couche limite à une distance de 1 mètre à partir du point d’arrêt.
Estimer la vitesse maximale à partir de laquelle la couche limite devient turbulente et son épaisseur ?
Estimer ensuite le point de transition lorsque le TGV atteint sa vitesse de croisière et estimer de nouveau
l’épaisseur de la couche limite en ce point.
9. Reprendre l’application avec un avion de transport, par exemple un moyen courrier de type Airbus A320,
dont les caractéristiques du vol de croisière économique sont :
M = 0.76
altitude de 10000 m
o
T = −50 C
P = 26500 Pa
L’évolution de la viscosité dynamique µ est uniquement une fonction de la température :
µ(T )
=
µ(T0 )
T
T0
3/2
T0 + S
T +S
loi de Sutherland
avec µ(T0 ) = 1.716 kg.m−1 s−1 , T0 = 273.15 K et S = 111 K.
10. On a utilisé l’approximation suivante dans l’étude de la couche limite turbulente :
Z x2 ∂U 1
x2
∂U 1
U1
dx2 ≃ − u2τ
+ U2
∂x1
∂x2
δ
0
Vérifier cette estimation avec la solution laminaire de Blasius.
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