Bases de numération

Chapitre 1
Arithmétique
Partie 3 : Bases de numération
Propriété 1 : Existence d’une décomposition en base fixée (Admis)
Soit n un entier naturel non nul, et b un entier naturel supérieur ou égal à 2
(Soit n ∈ ℕ , n ≠ 0 et b ∈ ℕ , b ≥ 2 )
Il existe une seule et unique décomposition de n sous la forme
n = a p b p + a p −1b p −1 + ... + a1b1 + a0
avec a p , a p −1 ,..., a0 des entiers naturels strictement inférieur à b et a p ≠ 0 .
On dit alors que l’on a effectué la décomposition de l’entier n en base b et on note n = a p a p −1...a1a0
b
Démonstration
Existence des entiers ( a p , a p −1 ,..., a0
)
On effectue la division de n par b.
On sait alors qu’il existe un couple d’entiers naturels ( q0 , r0 ) tels que n = bq0 + r0 avec 0 ≤ r0 < b (P1)
Si q0 ≠ 0 , on peut alors diviser à nouveau le quotient obtenu q0 par b, il vient :
il existe un couple d’entiers naturels ( q1 , r1 ) tels que q0 = bq1 + r1 avec 0 ≤ r1 < b .
On revient alors à l’expression de n :
n = bq0 + r0 = b(bq1 + r1 ) + r0 = b 2 q1 + br1 + r0
Si q1 ≠ 0 , on réitère l’opération en divisant q1 par b et de même il existe un couple d’entiers
naturels ( q2 , r2 ) tel que q1 = bq2 + r2 avec 0 ≤ r2 < b il vient par suite :
n = b(bq1 + r1 ) + r0 = b [b(bq2 + r2 ) + r1 ] + r0 = b3 q2 + b2 r2 + br1 + r0
On met ainsi en place l’algorithme : si à la ième étape qi ≠ 0 alors on divise qi par b et on obtient
alors l’existence de deux entiers naturels ( qi +1 , ri +1 ) tels que qi = bqi +1 + ri +1 avec 0 ≤ ri +1 < b .
L’algorithme se terminant à l’étape p telle que q p = 0 .
Montrons maintenant que l’algorithme se termine, c'est-à-dire qu’il existe une étape p pour
laquelle q p = 0 . Considérons la suite ( qi ) des quotients générés par le procédé précédent.
Si l’étape p recherchée n’existait pas, alors on aurait pour tout i, qi ≠ 0 et pour tout entier i,
qi +1 − qi = qi +1 − (qi +1b + ri +1 ) = qi +1 − qi +1b − ri +1 = qi +1 × (1
− b) − ri +1 on en conclut que pour tout
Strictement
positif par
hypothèse
strictement
négatif car
b≥2
positif
entier i, qi +1 − qi < 0 et donc la suite ( qi ) serait une suite d’entiers naturels strictement
décroissante, ce qui ne se peut pas. On a montré par l’absurde qu’il existe une étape p pour
laquelle q p = 0 .
On arrête donc notre itération à l’indice p.
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Montrons par récurrence que l’expression de n est alors pour tout entier naturel i :
i
n = qi bi +1 + rb
+ ri −1bi −1 + ... + r1b + r0b 0 avec pour convention qi = 0 dès que i ≥ p.
i
Amorce : Pour i = 0 , on a bien n = q0b 0+1 + r0b 0 = q0b1 + r0 par (P1) donc la propriété est vraie.
Hérédité : Supposons maintenant la propriété vraie pour un certain rang i,
i
+ ri −1bi −1 + ... + r1b + r0b 0 et montrons la au rang i+1:
c'est-à-dire que n = qi bi +1 + rb
i
i
c'est-à-dire que n = qi +1bi + 2 + ri +1bi +1 + rb
+ ... + r1b + r0b 0 .
i
i
Partons de n = qi bi +1 + rb
+ ri −1bi −1 + ... + r1b + r0b 0 , par construction qi = bqi +1 + ri +1 , on a donc en
i
substituant n = ( bqi +1 + ri +1 ) bi +1 + ri bi + ri −1bi −1 + ... + r1b + r0 b0 = qi +1bi + 2 + ri +1bi +1 + ri bi + ... + r1b + r0b0 ce qui est
bien la propriété au rang i+1.
Conclusion : On a montré par récurrence que pour tout entier naturel i :
i
n = qi bi +1 + rb
+ ri −1bi −1 + ... + r1b + r0b 0 et en particulier pour i = p :
i
n = q p b p +1 + rp b p + rp −1b p −1 + ... + r1b + r0b 0 = rp b p + rp −1b p −1 + ... + r1b + r0b 0 et puisque ∀i, 0 ≤ ri < b
=0
notre existence est démontrée en posant pour tout i entre 0 et p, ai = ri .
Unicité de la décomposition
Supposons qu’il existe deux décompositions différentes possibles :
n = a p b p + a p −1b p −1 + ... + a1b1 + a0 et n = cq b q + cq −1b q −1 + ... + c1b1 + c0 avec par exemple q ≥ p .
On prolonge alors la première écriture en posant n = aq b q + aq −1b q −1 + ... + a p b p + a1b1 + a0 en
prenant pour convention ai = 0 si i ≥ p + 1 .
n − n = 0 = (cq − aq )b q + (cq −1 − aq −1 )b q −1 + ... + (c1 − a1 )b1 + (c0 − a0 )
Supposons par l’absurde que les listes des coefficients ( ai )0≤i ≤ q et ( ci )0≤i ≤ q soient différentes et
notons k le premier indice tel que ck ≠ ak , il vient :
(cq − aq )b q + (cq −1 − aq −1 )b q −1 + ... + (ck +1 − ak +1 )b k +1 + (ck − ak )b k = 0
simplifions l’expression ci-dessus par b k , on obtient :
(cq − aq )b q − k + (cq −1 − aq −1 )b q −1− k + ... + (ck +1 − ak +1 )b1 + (ck − ak ) = 0
et par suite :
(cq − aq )b q − k + (cq −1 − aq −1 )b q −1− k + ... + (ck +1 − ak +1 )b1 = −(ck − ak ) = ak − ck (P2)
rappelons que 0 ≤ ck < b et 0 ≤ ak < b donc −b < ak − ck < b
il vient : −b < (cq − aq )b q − k + (cq −1 − aq −1 )b q −1− k + ... + (ck +1 − ak +1 )b1 < b
en simplifiant par b non nul et positif on obtient :
−1 < (cq − aq )b q − k −1 + (cq −1 − aq −1 )b q − 2 − k + ... + (ck +1 − ak +1 ) < 1
= K ∈ℤ
or le seul entier strictement inférieur à 1 et strictement supérieur à -1 est 0 donc
K = 0 ⇒ K ′ = K × b = (cq − aq )b q − k + (cq −1 − aq −1 )b q −1− k + ... + (ck +1 − ak +1 )b1 = 0 et puisque K ′ = ak − ck par (P2),
on en déduit par égalité que ak − ck = 0 et donc ak = ck ce qui contredit l’hypothèse de départ
qui consistait à supposer l’existence d’un indice k tel que ck ≠ ak .
On vient de démontrer par l’absurde que tous les coefficients ( ai )0≤i ≤ q et ( ci )0≤i ≤ q sont égaux, on
en déduit qu’il n’existe qu’une seule décomposition position de n dans la base b.
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Exemple pratique de décomposition :
232
2
5
46
1
5
9
4
123
3
5
1
1
5
0
8
15
7
8
1
1
8
0
Arrêt de l’algorithme
Sens de lecture
5
8
232 s’écrit 1412 en base 5
123 s’écrit 173 en base 8
Remarques :
• L’écriture usuelle des nombres en base 10 est dite écriture décimale.
• L’écriture en base 2 est dite écriture binaire, elle est utilisée en électronique numérique
et informatique, celle en base 8 est l’écriture octale et était utilisée en informatique.
On lui préfère aujourd’hui l’écriture hexadécimale en base 16.
• La base 20 a été utilisée par les Mayas et les Aztèques, ainsi que de manière
alternative en France (dont on garde en héritage le « quatre-vingt »).
• La base 60 (système sexagésimal) dans la mesure du temps, elle a été utilisée par les
Sumériens puis les Babyloniens.
• Pour des bases strictement plus grandes que 10 on a besoin de « chiffres » supérieurs
ou égaux à 10 pour coder les nombres. On utilise A pour coder le « chiffre »10, B pour
16
2
1
0
désigner 11, etc… par exemple N = A3C = 10
× 16 = 2620 .
× 16 + 3 × 16 + 12
A
C
Le programme suivant réalisé avec le logiciel ALGOBOX (disponible gratuitement sur internet)
permet de coder l’écriture décimale d’un entier naturel n dans une base b ≤ 10.
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Exercices sur les bases de numération
Dans les exercices suivants, on pourra admettre si besoin que si p est un nombre premier et si
p divise a × b alors p divise a ou p divise b.
Ce résultat sera démontré à l’occasion du cours sur les nombres premiers.
Exercice 1
1/ Décomposer en base 2 le nombre 145
2/ Décomposer en base 6 le nombre 1234
3/ Décomposer en base 16 le nombre 12121212
Exercice 2
5
Ecrire A = 11111 en base 8.
Exercice 3
Le nombre 29 dans le système décimal s’écrit 27 en base a. Que vaut a ?
Exercice 4
5
5
Réaliser l’opération 34124 + 22222
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