TD n°3 : Aspects énergétiques de la dynamique du point

Mécanique. TD n°3 PCSI TD n°3 : Aspects énergétiques de la dynamique du point Exercice n°1 : Bille sur une sphère Un solide P de petites dimensions, assimilable à un point matériel de masse m est placé au sommet A d’une sphère de rayon R = 1 m. On déplace légèrement le point matériel de sorte qu’il quitte la position A avec une vitesse que l’on considérera comme nulle, puis glisse sans frottement le long de la sphère. y A P θ R x 1. Exprimer la norme de la vitesse de P en fonction de θ . 2. Exprimer en fonction de θ la réaction N(θ ) exercée par la sphère sur le mobile. 3. En déduire l’angle θ quand le mobile quitte la sphère. Quelle est la vitesse en ce point? On prendra g = 10 ms-­‐2 Exercice n°2 : Mouvement d’une perle sur une hélice On enfile une perle sur un fil métallique matérialisant une hélice circulaire d’axe vertical. Les coordonnées de la perle sont : x = R cos(θ ) ; y = R sin(θ ) ; z = p θ ( p>0 ) On abandonne la perle sans vitesse initiale en un point M0 de cote z0 = p θ0. Le mouvement a lieu sans frottement. 1. Exprimer la vitesse en un point M. 2. Écrire le théorème de l’énergie cinétique entre M0 et M, en z zo R z M0 M y O !" !
m déduire l’expression de !" . θ0 x 3. L’équation est à variables séparables. Intégrer l’expression obtenue pour obtenir une relation entre θ, θ0, t et les constantes. 4. En déduire la durée de la chute. H Exercice n°3 : Mouvement d’un point matériel sur un cercle Une particule M, de masse m, placée dans le champ de pesanteur, peut se déplacer sans frottement sur la face intérieure d’un cercle vertical matériel (C) de rayon R. O On lance cette particule, avec une vitesse 𝑣! horizontale, au point le plus bas du cercle A. R 1. Lorsque, au cours de son mouvement, la particule est en contact !
θ M avec (C), elle est soumise à une force de réaction N de la part de celui-­‐ci. Montrer que la valeur de cette réaction peut être A exprimée sous la forme algébrique : !
!
N = m(𝑣! ² /R +g (3 cosθ -­‐2)), où θ = ( OA , O M ). 2. Montrer que la particule reste en contact avec (C) pendant tout son mouvement, lorsque la vitesse initiale est supérieure à une valeur v1 que l’on déterminera. A.N : R = 2,00 m, g = 9,80 m/s², m = 5,00 g . 1 Mécanique. TD n°3 PCSI 3. Montrer que, pour d’autres valeurs de v 0 , la particule peut au cours de son mouvement, quitter ( C ). Caractériser l’angle θ1 au point Q où la particule quitte ( C ). Décrire qualitativement la suite du mouvement. A.N: v 0 = 9,00 m/s 4. On suppose que 𝑣! =
On donne !
!"
! !!!"#$
6𝑅𝑔. Déterminer la durée d’un tour. = 2,343 Un dispositif approprié empêche tout décollement de la particule. 5. Quelle est la valeur minimale v1 qu’il faut donner à v 0 pour que la particule atteigne le point H le plus haut du cercle ?
La particule est maintenant soumise à une force de frottement de norme constante T lors de sa montée. 6. Exprimer la vitesse de la particule lorsqu’elle atteint un point repéré par θ en fonction de
v 0 , g, r, T et θ. 7. Donner l’équation vérifiée par θ0 définissant le point le plus haut atteint par la particule. Proposer une expression approchée pour θ0<< 1 rad.s-­‐1. Exercice n°4 : Point sur un cerceau avec ressort Un point matériel de masse m glisse sans frottement sur un cerceau vertical de rayon R. Le point M est fixé à un ressort dont l’autre extrémité glisse sans frottement sur une tige verticale tangente au cerceau de sorte que le ressort reste horizontal. La longueur à vide du ressort est R, sa raideur est k. 1. Montrer que le système est conservatif et calculer l’énergie O potentielle correspondante. 2. Montrer que le système possède soit 2 soit 4 positions θ R !"
d’équilibre. Déterminer leur stabilité. On posera α= !" . M 3. Déterminer la période des petites oscillations autour de la H seule position d’équilibre stable pour toute valeur de α. Exercice n°5 : Oscillations dans un puits de potentiel Une particule de masse m se déplace sans frottement sur un axe Ox galiléen dans le champ de m
a4
force dérivant de l’énergie potentielle : E p ( x) = ω 2 ( x 2 + 2 ) , ω et a étant des constantes 2
x
positives. On admet qu’une telle énergie potentielle peut décrire de manière approchée, le mouvement d’une particule dans certains édifices atomiques. On négligera l’existence de toute autre force. On se limite au domaine x>0. 1. Quelle est la dimension de a ? 2. Exprimer la force subie par la particule m. 3. Montrer qu’il existe une position d’équilibre stable xe. Cas des petites oscillations Montrons que le système se comporte comme un oscillateur harmonique au voisinage de sa position d’équilibre stable. 4. Faire un développement limité au deuxième ordre pour l’énergie potentielle au voisinage de la position d’équilibre. 2 Mécanique. TD n°3 PCSI 5. En déduire l’équation différentielle du mouvement en utilisant une méthode énergétique. Commenter l’expression obtenue. 6. Calculer la période des petites oscillations. On ne se limite plus au cas des petites oscillations 7. La particule occupant la position d’équilibre avec une vitesse initiale v0 quelconque, montrer qu’elle décrit ultérieurement un mouvement périodique. Donner le principe du 1
du
calcul de la période T associée. On donne ∫
= π u (1 − u )
0
Exercice n°6 : Le pendule simple Un pendule est constitué d’une tige métallique de masse négligeable de longueur ℓ𝓁, fixée en A et auquel est suspendu un objet ponctuel M de masse m. Il oscille dans le plan (Oxy) sans frottement, et sa position est repérée par l’angle θ. 1. Établir l’expression de l’énergie potentielle du point M en choisissant son origine à la position d’équilibre stable du système. 2. Tracer la courbe Ep(θ). Portrait de phase Le pendule est lancé avec les conditions initiales : θ (0) = 0 et θ!0 = α ω0 avec ω0 = !
!
. 3. En fonction des valeurs de α, distinguer trois types de mouvements sur le graphe Ep(θ) : o Le point M est oscillateur harmonique de pulsation propre ω0
o Le point M effectue des oscillations non sinusoïdales.
o Le mouvement du point M est révolutif : il effectue des tours complets, sa vitesse
gardant un signe constant.
4. Établir l’équation différentielle du mouvement en θ(t). 5. Le portrait de phase de l’oscillateur, obtenu pour différentes valeurs de α, est représenté !
dans le plan de phase (0 ; θ ; !!), justifier l’allure
du portrait de phase en distinguant 4 cas :
o 0< α<<2 o 0< α<2 o α>2 o α=2 Que devient le portrait de phase lorsque α>>2 ? 6. Le système est soumis à de faibles frottements et α>2. Commenter l’allure du portrait de phase ci-­‐
contre. Période des oscillations On change les conditions initiales θ (0) = θ0 et θ!0 =0. 7. Lorsque l’on ne fait pas l’approximation des petits mouvements, montrer que la période T θ0
des oscillations peut s’écrire : T = c ∫ f (θ )dθ où c est une constante que l’on déterminera. 0
Approximation des petits mouvements 5 8. Dans le cas des petites amplitudes d’oscillation, on peut, à l’ordre 1, assimiler sinθ avec θ. Quelle est la nouvelle équation différentielle vérifiée par θ? T/T0 en foncQon de θ0 0 0 50 100 150 200 3 Mécanique. TD n°3 PCSI Déterminer la période des petites oscillations (oscillations isochrones). Commentaires. 9. Calculer en fonction de θ la tension du fil. Exercice n°7 : Oscillations freinées Un solide (S) assimilé à une masse m ponctuelle G peut se déplacer sans frottement sur une tige horizontale x’x. Un ressort, de raideur k, de longueur à vide l0, de masse négligeable, a une de ses extrémités fixée à un bâti fixe (B), l’autre extrémité est fixée au solide (S). On repère la position de (S) par son abscisse x sur l’axe x’Ox. L’origine O du repère Ox correspond à la position d’équilibre de (S). Un amortisseur fluide situé entre le bâti et le solide S l est équivalent à une force de frottements de !
l0 !
coefficient h de la forme f = -­‐h v , v étant la vitesse G x de (S) ; le coefficient h peut être réglé par la variation O du débit d’huile à travers un trou percé dans le piston B mobile de l’amortisseur 1. Soit ω0 la pulsation des oscillations propres de (S) en l’absence d’amortissements. Calculer ω0 en fonction de k et m. 2. On tient compte désormais des frottements. On écarte (S) de sa position d’équilibre d’une longueur 𝑎 et on l’abandonne sans vitesse initiale. Écrire l’équation différentielle concernant x(t) en faisant apparaître ω0 et Q le facteur de
qualité.
3. Si h est un coefficient petit devant 2 km , dans quel régime (S) se trouve-t-il ?
On suppose que Q = 4,0.
4. Montrer que l’on peut assimiler la pseudo-­‐période T à la période propre T0. Donner dans ce cas la forme des solutions de l’équation différentielle. 5. On peut observer des oscillations tant que l’amplitude de x(t) est supérieure à 5% de x(t=0). Quel est le nombre d’oscillations observables ? En déduire une propriété de l’oscillateur peu amorti. 4