Structure topologique des groupes de Lie généraux

Séminaire "Sophus Lie"
P. C ARTIER
Structure topologique des groupes de Lie généraux
Séminaire "Sophus Lie", tome 1 (1954-1955), exp. no 22, p. 1-20
<http://www.numdam.org/item?id=SSL_1954-1955__1__A24_0>
© Séminaire "Sophus Lie"
(Secrétariat mathématique, Paris), 1954-1955, tous droits réservés.
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22-01
Séminaire" Sophus LIE"
E.N.S.~ 1954/55
Exposé
STRUCTURE
de P.
A.
Théorie
1. -
DES GROUPES DE LIE GÉNÉRAUX.
TOPOLOGIQUE
(Exposé
n° 22
le
CARTIER,
THÉORÈMES
24.5.55)
GLOBAUX
des groupes compacts.
résultats de cette étude concernent essentiellement les
groupes de Lie, les méthodes de démonstration utiliseront le plus souvent
dans ce paragraphe des moyens qui ressortissent à la théorie des groupes
localement compacts généraux.
Bien que les
majuscules, un élément générique d’un groupe par la lettre minuscule correspondante. L’~élément neutre
sera noté ~
quel que soit le groupe en question.
désignés
Les groupes sont
par des lettres
,
Soit
G
un
dimension finie
v
par
f
de
G
dans
V
est
un
un
Lemme: Soit
G
v
l’identité:
on a
f(g) =
g.v -
v
pour
un
v
fixé. Tout cobord
de
G
et
tel que
vérifiant
=
(g.v - v)
v)
+
un groupe localement compact opérant de manière continue
sur un espace vectoriel
H
réels ;9 on notera g.v -te transformé de
évidentes, on dira qu’une fonction, continue
cocycle si
un
cobord si
gg’.v -
sur
de
V
cocycle car :
(2)
fermé
espace vectoriel
f(g) -~ g.t(g’)
.
et que c’est
sur un
le corps des
sur
g . Pour des raisons
(1)
est
topologique opérant
groupe
V
de dimension
finie,
H
K=G/H soit compact. Alors
un
sous-groupe invariant
tout cocycle
i.e. invariant
se
prolonge
f
défini
en un
cocy’
cle défini
G .
sur
On note
la
projection canonique de G sur K ; on va d’abord mono
.o .
trer qu’il existe un compact D c G tel que p(D) = K. ou encore G
H.D .
Or, si U est un voisinage ouvert de e dans G relativement compacta
’
p
=
p(U)
est
il est recouvert par
tel que
g.
la réunion des
et
celui-ci est
comme
translatés
nombre fini de
un
K
dans
de e
p(g.) k.
g.U (Noter que p(g.U)
choisit alors
la
ouvert
voisinage
un
et on
=
=
de
prend
D
pour
compacta
p(U).
On
l’adhérence de
k.p(U) ) qui répond
visiblement à
question.
Soit
sur D;
on
fonction continue à
une
r.
définit
continue parce que
dh
continue. Comme
comme, de
G
plus
donc
=
1
=
support compact
sur
par
r~
r.
G
égale
à
1
étant définie et
r~
support compact donc uniformément
=
est invariante à gauche, on a
r~(g) ~
il
h
avec
tout
existe
da~s
H.D ~ pour
g ,
ce qui prouve tout de suite que
r~(g) > 0 . On peut
est continue à
donc finalement
et
.
D
’
on aura:
-~
~
Partons maintenant d’un
.
défini
f
cocycle
et posons :
H
sur
~
mêmes que plus haut. De plus si
dh invariante à gauche, on aura :
ceci étant défini et continu pour les
prenons la
ceci
en
mesure
vertu de
,
(3),
n’est pas
f
un
questions étant liées d’après (5) ;
f"(g) = f’(g) f"(h) = f(h) puis
Faisant
f"
(6) à (1) Pour cela,
o
plus
m
ne
dépend
g = e
intégrer
un
et
prolonge pas f,
modifier f’ en posant
cocycle
on va
est presque
Nous allons maintenant
De
nous
dans
ne
(5)
on
ces
voit tout de suite que
cocycle :
convenablement
K~ pour
sur
passer de
’
si
.
pose :
que de la classe mod
H
de
x
comme
il résulte du
calcul suivant :1
Il est donc
de
masse
possible d’intégrer
à
égale
totale
n(g) bien
invoquées. Intégrant
m
et
invariante,
on
voit immédiatement que
tion de
à
H
n
et par suite
(on
x.f(h)) .
V
de
et
Posons
une
f(h) ?
conséquence
m(x ; h)
classe selon
=
H
ne
-
1~
rappelant que dk est une mesure
est un cocycle. Enfin la restric-
f
effet1
} r(x)
+
remplaçant
en
dx ~ c’est un vecteur bien défini
n’(g) n(g) - (g.v - v)
dv ,
en
que de
=
f(h) hx-lfll(X) - x-lf"(x)
=
est invariant
=
n -
cobord
un
f"(x))
n’
immédiate
dépend
vaut
n
=
par
n
n’(h)
que
et c’est
comme
v
se
que par
h) x-l(fll(xh)
l’hypothèse que
remplagons
j’affirme
f
=
s’est servi de
par
diffère de
ne
une
déjà
pour les raisons
G
sur
dk
nesure
s
formule (8)
la
pour la
et biinvariante sur K . On trouve ainsi
1
définie et continue
fonction
p(x)
rapport à
par
=
de la formule
p(x)
et que
dx = 1
G
l’intégrale
que
=
et
I~
de
r
h)r(x)
dx
sur
=
toute
n(h) ;
ceci achève la démonstration du lemme.
Le lemme est
N.B.
Serre
sur
la
un
cohomologie
Nous allons tirer de
tout
petit
bout de la suite exacte à 5 ternes de
des extensions de groupes.
ce
lemme deux théorèmes
importants. Rappelons
d’abord la définition du produit semi-direct de deux
rapport à une représentation
des automorphismes de H e Comme ensemble,
la multiplication étant donnée par :
H
et
(12)
K
par
ce
groupe
topologiques
groupes
~continue ’
(h,k)(h’,k’) =~h. (k) (h’ ~ 9 kk’)
la topologie
.
de
K
dans le groupe
s’identifie à
G
H
x
K ,
.
topologie produit des facteurs; on vérifie
immédiatement qu’on a bien défini un groupe topologique. H et K s’identifient à des sous-groupes de G p H étant de plus invariant et on a
khk~~ ~
la projection de G sur H admet donc pour section le
et
de
G
est la
0
~(k)(h) ;
Réciproquement
K .
sous-groupe
G
si
est
sous-groupe invariant f ermé et que la
section continue K qui
H
de
de
et
soit
topologique,
groupe
de
G
s’identifie
au
projection
sous-groupe, G
un
un
G/H
sur
H
un
admet
une
produit semi-direct
K .
Théorème 1 : Soit G un groupe localement compact admettant un sousgroupe fermé invariant V isomorphe à un espace vectoriel de dimension
~tant compact ~ alors il existe un sous-groupe
finie sur les réels. G/V
°
section
K
V
endomorphisme continu de
représentation linéaire de G dans
Tout
est
abélien, l’automorphisme
de
g
,
module
V,
donc
V
( g) ~
définit
on
est
en
linéaire,
posant
v .--.~
un
donc
définit
on
une
V
Comme
dépend
homomorphisme ?
K.
et de
g.v =
ne
g, v
V
de
isomorphe au produit semi-direct
est
G
et
de
que de la classe
K
=
G/V
dans le
groupe des automorphismes de
V , ce qui permet de construire le produit
semi-direct de V et de K . L’application identique de V dans V est
visiblement un cocycle invariante donc d’après le lemme, se prolonge en un
cocycle f défini dans G ~ si p est la projection de G sur K 9 on pose
s(g) (f( g) 9p( g) j E V x K p s est un homomorphisme de G dans le produit
=
semi--direct
car ?
=s(gg’)
ceci parce que
a
le
p(gg’))
Cf(g) ~ ~p(g) ~ .fC~’ ) 9
~?~~ ~
f
est
un
diagramme commutatif
Théorème 2 : Soit
G
.
cocycle.
De
plus
est l’identité
s
qui achève la démonstration
suivant
un groupe
Tout d’abord
ouvert
C
est
mod C
discret
G
est localement compact :
tel que
(e)
donc la restriction à
est
’
,
distincts de
U
et
on
du théorème :
de la
U
en
ce
ne
’
égal à l’adhérence
C
de e dans G
discret; deux éléments.
V
topologiqueconnexe possédant unsous-
tel que G/C soit
de son groupe des commutateurs. Alors C est fini,Et
groupe invariant
sur
G
effet,
est compact.
soit
U
voisinage
qui est possible puisque
peuvent être alors congrus
projection p de
application continue et
G
sur
G/C
=
~i
ouverte et que U
biunivoquco Comme p cst une
est ouverte il en résulte que la restriction à U de p est un homéomordans K 9 donc contient un voisinage
phisme ; p(U) est un voisinage
compact p(V) dee dans K avec V c U et V est bien un voisinage
compact de e dans G
o
.
C
est
cation
abélien de type fini : pour
un groupe
gcg
g 2014~
est
application
une
gcg-1
discret donc est constante et
G . Construisons
tre de
comme
fixe dans
c
G
continue de
=
=
connexe
C
dans
est dans le
C
c , donc
C 9 l’appli
dans la démonstration du lemme
cen-
D
compact
agrandissant au
un
C.D. ; on peut supposer D D en
besoin D. D.D -1 est compact et contenu dans C . D donc recouvert par un
o
nombre fini d’ouverts c..D ; si F est se sous-groupe de C engendré par
les c. , on a donc
D.F donc l’image de D dans G/F est un
tel que
G
de
sous-groupe
G/F
est
G
connexe
=
est
dont e
est compact et
D
=
point intérieur, donc ouvert ; mais
et par suite
C
G/r =
discret donc
et donc
G
D, ~ ~ . D’autre part
fini ; or 0393 est contenu
G =
D.
D n C
est
,
dans
C
donc si
C)
C =
D’après
c ~ d. ô~
ce
qui
on a
prouve que
d ~ c ~ ~~ C
C
a
et par suite
un.nombre fini de
générateurs.
les théorèmes de structure des groupes abéliens de
type fini
isomorphe au produit d’un groupe fini F et d’un groupe Zn
Si C n’est pas fini, n > 0 et C admet un homomorphisme sur Zn qui
est non nul ; faisons agir G trivialement sur Rn et plongeons Zn dans
l’application de C dans Zn définit alors un cocycle invariant de
C dans Rn qui se prolonge donc en un cocycle de G dans
en un
homomorphisme de G dans Rn ; l’image de G dans Rn étant connexe n’est
donc par
pas contenue dans Zn, mais l’image de C est contenue dans
passage au quotient on définit un homomorphisme non constant de G/C dans
le groupe abélien
qui est en contradiction avec l’hypothèse
C
est donc
G/~
est
0
égal, à
l’adhérence de
son
groupe des commutateurs. Il est donc
absurde de supposer C infini 9 que G
l’on veut de la propo 1 p.31 de T.L.G..
soit alors compact résulte alors si
que
Corollaire 1 (H. Weyl) :
son groupe
K
de Poincaré est fini et
est
un rou e
son
revêtement universel est compact.
de
Lie semi-simple compact,
revêtement universel de K, le noyau de la projection de
G sur K étant un sous-groupe invariant discret C isomorphe au groupe de
Poincaré de K (prop.7 p.54 de T.L.G.). K étant cormexe et semi-simple, son
Soit
,
Si
G
le
°
algèbre de Lie est égale à sa dérivée
tateurs,. d’après le paragraphe XII de
le théorème 1 .
de
K
est
égal
à
son
groupe des
T.L.G. po 125. Ceci permet
commu-
d’appliquer
.
Corollaire 2 ::,
revêtement
et
K 9
K
G
est
un groupe
de Lie compact connexe,
est produit direct d’un
groupe
compact
par un
groupe
abélien simplement connexe.
Supposons d’abord G simplement connexe et soit g son algèbre de
Lie qui est aussi l’algèbre de Lie de K f comme K est compacta sa représentation adjointe est semi-simple comme toute représentation linéaire de K
(T.L.G. cor. du th, l p.176), donc est réductive et est produit direct
algèbre
d’une
et d’une
semi-simple
f
bre dérivée de
donc
l’algèbre
groupe fermé dans
algèbre abélienne
de Lie du groupe des commutateurs de
K 9
compact. D’après le corollaire 1, ce groupe
est
admet un revêtement universel compact car
semi-simple et
l’algèbre de Lie d’un groupe P compact et simplement connexe 9 C~ est
l’algèbre de Lie d’un groupe Rn avec n = dim a donc est l’algèbre
donc
K 9
g est
~
algè-
est
P
de Lie de
x
Rn
montre alors que
simplement connexe. Le th.2 p.113 de T.L.G.
x Rn
et G qui sont tous deux simplement connexe
Lie sont isomorphes.
est
qui
P
..
et
’
ont même
algèbre
de
d’un revêtement
quelconque G de K et soit
G le revêtement universel de K ; G est isomorphe au quotient de G~P R
par un sous-groupe discret du centre de G . Le centre de G est le produit
du centre Z de P et de
le centre
étant nul, Z est discret
da
donc fini puisque P est compact. Soit m l’ ordre de Z ; l’ensemble des
Passons maintenant
au cas
.
c’(c
est
un
deuxième facteur de
d’un groupe
et de
en
x
G/C
C/C’
C
d’indice fini de
et contenu dans le
Rn ; Rn/C’ est
G/C’
G/C’ /
=
d’ordre fini donc
et il
P
donc
Mais
C’
sous-groupe
isomorphe au produit d’un tore et
est isomorphe au produit d’un groupe compact
élément de~
est
C/C’ et ;C/C’
composante compacte de G/C’
G est isomorphe au produit de Rp et d’un groupe
résulte que
est contenu dans la
’
compact.
C.Q.F.D.
.
l’importance du corollaire 1~ nous allons en donner une
autre démonstration basée sur des principes tout différents 9 il existe
d’ailleurs encore d’autres démonstrations de ce théorème.
En raison de
.
Soit donc
universel de
K
K 9
tion unitaire de
et d’un
H ,
compact de Lie
tel
le noyau de la
G
est
dans H.
que pour
espace de Hilbert
opérateurs unitaires de
constitué par la donnée d’un
p
x
semi-simple, G le revêtement
projection de G sur K . Une représenta-
connexe et
C
homomorphisme
’
de
fixé
G
dans le groupe des
dans £ ,
g
~
f (g)x
soit continue de
G
démontré que tout groupe localement compact possède un
système complet de représentations unitaires irréductibles (i.e. ne possédant
Raïkov
a
trivial) au sens suivant
représentation dans ce système avec
g /~ ~
il existe
Or
Soit
central de
une
G
G
un
tel
pue
G/C
Appelons opérateur
in
de Hilbert-Schmidt
M 03A3
f ~a~4 I
Par contre
lÉ
que si
opérateur
/ b.)/
un
2
pour tout
tel
M
0
T
convenable,
tel que de
dans tous les
d’après
scalaire les
~ 0 ne peut
d ’ où
din
en
£
continu dans
on
plus
cas :
par
un
ait
(a )
système orthonormal fini
opérateur
est de dimension finie:
n~f À)~ 5 M.n
on a
fermé
toute représentation
alors
inégalités de Parseval
)( bi ~2
un
un sous-groupe
opérateur
un
constante
avec une
peut trouver
0 donné et
a~
un
1 .
est de dimension finie.
On
pour
K soit compact ;4
=
G
espace de Hilbert tel que
(Tai , b.)
localement compact, C
groupe
unitaire irréductible de
1
? pour tout
non
le lemme suivant :
on a
Lemme :
)L
ferme
sous-espace invariant
aucun
(Ta,a) > 0
exemple
et
Gauchy-Schvarz.
Hilbert-Schmidt
être du type de
= b.
effet. prenant ai~
,
et
T
=
,
À,l
°
Dans une
représentation unitaire irréductible d’un groupe G , il n’y
a pas d’autre opérateur commutant aux
que les scalaires. Partons d’un
f.(g)
opérateur T continu et formons
(T ? (g)a, p (g)b) ; si à est
dans le Centre de G ,
?(c) est un scalai.re, et de module 1 puisque p (c)
=
est unitaire donc
est
Comme
en
réalité
elle est
(
.
dOnC
°°=°
>
~
,(h)b)
commute
non
te POUr
sur
le groupe
compact
G/G .
(j
peut l’ intégrer par rapport à dk
dk = 1)
forme sesquilinéaire fa,b
qui de plus est continue
Il 1) aU il b Il les
étant unitaires, et par suite
on
ri)
.
(T~a, b) ,
D’après les propriétés
l’opérateur Th étant
.
de
l’espace
de
Hilbert,
,
continu, Gomme
on a
invariante,
°~ ~
.
(T% p(h)a,
T
~(g) , . donc
=
et
f(h)a,
T%
1(T
fonction définie
~T~ ÎÎ a ~ ÎÎ b )1
$
°n ’
Une
1 s
,
une
continue,
et l’on obtient
car |Na,b(g)
voit tout de suite que
on
aux
=
(Th a, b)
+(h)
nul et positif
un
g
éiu
Ce
et est
un
scalaire. Si l’on est parti d’un
( (Tx,x) à,0) ,
moins si
a
étant unitaire signifie que
qui
on a
cst bien
ôl
0
a,a
choisi,
donc
f
opérateur
avec inégalité stric> 0
et T h / 0 .
a,a
.
03A3
M
dk
transforme
~bi~2
les
positif
ai
nul de
non
type de Hilbert-Schmidt,
est du
T
Enfin si
car
étant unitaire
en un
système orthonormal.
il existe
Hilbert-Schmidt,
~~
’
de Hilbert-Schmidt et
ne
T
on
également,
par les
change
Comme
un
l’est
nul du
non
et
normes
peut trouver
scalaire
car
T
un
type
ost bien de dimension finie.
Ceci achève la démonstration du lemme.
Combinant le lemme et le résultat cité de
hypothèses
du
lemme,
possède
G
dimension finie. Revenons
G
,
système
un
au cas
où
K
est
Raikov,
voit que
on
représentatiôns
fondamental de
de Lie
semi-simple
les
sous
compact
de
et où
revêtement universel; nous supposerons K connexe donc G conG étant connexe et simplement connexe, ses représentations de dimen-
est son
nexe.
sion finie sont
même
est la
en
correspondance
avec
celles de
algèbre
de
Lie g
qui
semi-simple. Si on considère des représenespaces vectoriels complexes, il revient au même de consi-
que celle de
tations dans des
I~ 9
donc
dérer les représentations linéaires de
closo
son
qui est
une
D’après
les
complexifiée
algèbre de Lie semi-simple sur un corps algébriquement
résultats de l’exposé 17 il existe une représentation CJ
(~~
ou
celles de
sa
représentation soit contenue dans une puissance tensorielle de
par suite, la représentation de G qui correspond
à D est une représentation de G fidèle et complètement réductible. Comme
~ est égale à sa dérivée; toute représentation est unimodulaire, et C ~
étant dans le centre de G est représenté par des opérateurs scalaires dans
toute représentation irréductible, mais un scalaire de déterminant 1 est une
racine de l’unité dont l’ordre est égal à la dimension de l’espace de la
représentation ~9 donc si (p 9 V) est irréductible, p(C) est fini ; on
passe de là immédiatement au cas des représentations complètement réductibles.
Donc C est fini et il en résulte comme plus haut que G est compact
telle que toute autre
°
.
C.Q.FoD.
2. - Théorie des
Soit
Lie
G
groupes
un
semi-simples.
groupe de Lie
connexe
dont
semi-simple,
semi-simple. On sait par l’exposé 12 qu’il
algèbre compacte ~’~’r et une sous-algèbre résoluble M/
réelle
de sorte
soit somme directe de ’‘‘~’
on
g
est
~
sait par
le même
exposé
que le groupe
adjoint
G~
l’algèbre
existe
de
une
sous-
l’algèbre
de Lie
et de ~ . De
isomorphe
au
de
plus
quotient
C
centre
décompose
sous
la forme
Go
(i.e.
=
de
G
go
s’écrit d’une manière et d’une seule
N..
étant respectivement les groupes analytiques correspondant
son
par
algèbres 4!.
G
la forme
sous
go
tout
K0
=
Nous allons maintenant étendre
et M de g .
et
aux sous-
résultat à
ce
lui-même.
Théorème 3 s
bre de
G
Soit
un groupe
luble simplement
tion
connexe,
et l’applica-
K
est contenu dans
G
be centre de
est réso-
N
de K’ x A x N dans G est un homéomorphisme
première variété sur la seconde ; de plus les mesures de
de la
convenablement normées, on a :
~f(g)
(14)
Soit
.
(0) )
k’an
~
analytiQue
Haar étant
([R,N] ~
M
et
sont les
analytiques correspondants, Il est produit direct
et d’un groupe abélien simplement connexe il et
sous-groupes
compact K’
son algè-
g
semi-simple,
de Lie connexe
R
g est somme directe de la sous-algèbreKcompacte
N
Lie si
sous-algèbre résoluble
de la
C
se
la
p
dg
G
est
N
de
plement
connexe
dk’ da dn
G
de
projection
est discret et
connexe
?
=
revêtement de
est un revêtement de
donc le revêtement
en
est la
N
Si
un
~
le centre de
comme
sur
mais
N~
ce
est
nul,
composante
dernier est sim-
question est trivial et la restriction
biunivoque j en particulier N C = (~) . Comme G est
revêtement de G.. on peut identifier les algèbres de Lie de ces deux groupes
et N est alors un sous-groupe résoluble fermé de G d’algèbre de Lie 44/.
de
à
p
N
est
K
Posons
°
=
(e)
finalement
p(g)
en
g 6 C
donc
K n N
et
(~) .
=
N ~ C
comme
De
g
=
=
(e) ,
=
plus si
knc
=
il
(kc)n
=
n’n"~
N
~
=
(~)
donc
LP s (k ~ n)
L’application
k
2014~
=
k’
kn
résulte que
on
quelconque dans
est
g
donc tout
6
l’unicité étant presque évidente ? kn
kn
kt -1 k
p(g)
donc
=
et
=
n
k’n’
=
g = jg
G ~
g
N~
se
et
on a
décompose
implique
n’ .
est évidemment
analytique;.
d’autre
point l’application linéaire tangente est biunivoque et K x N
et G ont même dimension donc sont analytiquement isomorphes comme variétés.
Pour démontrer la biunivocité de l’application linéaire tangente, on procède
part,
en
tout
ainsi ~ si
(
>~ X~
image
X
o~ Y)
dans
G
est
générique
est
est le
un
vecteur
vecteur
~
et
Y
tangent à
K
dans
générique dans ~ ~
x N
en
(k,n) générique ; son
+ Y) .
+(B~()~Y==~ ~(adn .X
adn-1X
Or
Y = 0
+
X
implique
+
adn Y = 0
donc
X
=0
Y
=
car
la
somme
et de M est directe.
étant
~p
est
homéomorphisme
C
donc
K0
=
K/C
et
G
étant connexe, il
analytique correspondant à
donc est le groupe
connexe
contient
un
donc
(cor.
2 du
th..2)
K
==
résulte que
en
’’~ ;
K’
de
A
x
K
K
plus
K’
avec
résulte immédiatement de cela
que G est analytiquement isomorphe à la variété Kr x A x N et que les
sous-groupes K’ ? A et N sont fermés.
abélien simplement
A
compact et
connexe.
0
Il
’
o
,
groupe unimodulaire
est
un
puisque semi-simple,
f ( g)
n~~ ~
5f(g) dg N(f’) ~ f" ( positive
est
une
N(f’ ) =
la
f"
dn . Fixant
=
.
donc
dg
est invariante à droite et à gauche. Posons f(g) = f’ (k) f’q (n) si g = kn ;
pour f’ fix~e~ l’intégrale
dg est une forme linéaire positive en
f" invariante à droite, donc proportionnelle à
dn , et par suite
G
Enfin,
forme linéaire
on
volt
invariante à
gauche en f
dk . Enfin comme K est produit direct de
dk’da sur K . est invariante à gauche, donc en
f’ (k)
mesure
N(f’)
tout de suite que
donc
K’
.
et de
vertu de
A,
l’unicité,
peut supposer dk = dk’da et la formule (14) est vraie pour les f considérées. Comme celles-ci sont suffisamment nombreuses, la formule (14) est
démontrée.
on
C.Q.F.D.
Nous allons maintenant
ples complexes.
procéder
De manière
à l’étude des groupes de Lie semi-simon
appelé groupede Lie
G,
points est muni d’une structure de variété
de G x G
analytique complexe telle que l’applicatior. ( g, g’ ) 2014=>
dans G soit holomorphe. L’ospace tangent complexe T(p) en un point p
d’une variété analytique complexe V est l’ensemble des formes linéaires
sur l’espace vectoriel des fonctions holomorphes définies au voisinage de
et qui vérifient X(fg) = X(f)g(p) ~+ f(p)X(g) . Il existe alors une forme
un
groupe dont l’ensemble des
X
p
o
linéaire et
une
seule définie
sur
les fonctions
analytiques(réelles)
à
valeurs
voisinage de p 9 vérifiant la même identité et de plus
x(f ) = X(f) ce qui permet de définir un isomorphisme d’espace vectoriel réel
de T(p) sur l’espace tangent en p défini dans
mais par transport
de structure, ceci permet de transporter la structure d’espace vectoriel
complexe à l’espace tangent usuel en p
complexes
au
o
En
d’une
pa~rticuliEr9 on peut munir l’algèbre de Lie d’un
structure d’espace vectoriel complexe ; la formule
.
groupe
complexe
holomorphe montre aussitôt que
corps complexe y algèbre que nous
sur
gèbre
de Lie
complexe
G
sur
et
groupe complexe
~, .
noterons
algèbre de Lie sur
Réciproquement si on se
on
G
qu’il
laquelle
existe
montrer
de
soit
suffit
est dite holomorphe si pour tout
vertu
en
d
G
de
linéaire
v’ é
v 6 V et
V y
la
holomorphe. Pour cela, il faut et il
la caractérisation des fonctions holomorphes que l’on ait
pour tout X ;
l’algèbre de Lie complexifiée
de
g
est
soit gC
i
=
faut
holomorphe, il
représentation
~p(g)v ~
fonction
de Lie du
opérateur 0393 dans
un
et il suffit que l’on ait
(p ~ V)
analytique
G.
définit
multiplication par i dans
qu’une fonction f différentiable sur G
et pour
l’algèbre
soit
~
structure
une
’
La
structure d’al-
une
par restriction des
qui
peut
seule pour
une
le
une
Lie- .,’
structure réelle,..
complexe
C à R ,
scalaires de
devient ainsi
de Lie réelle d’un groupe de
l’algèbre
donne
g
iX et
l’ensemble
tels que FX
g,
g"
g’
des X tels que
03932 = -1 et [FX.Y] =
-i X(*). Comme
dans
formules sont
et il
résulte facilevraies dans
(~
ment que
est
directe des sous-espaces
et
correspon(~p
(~
6~
dant
+i et -i
valeurs
Y
et
si X ~
de
l’ensemble des
X
=
on a
ces
en
encore
somme
aux
r[X,Y]
on a
=
de
riels
complexes,
sur
i X
est
un
idéal de
(~
de
G
gC
dans des espaces vectode
car ce
éléments
représentations
de gC
représentations
éléments forment exactement
linéaires de
nulles
"
6~ .
antiholomorphes correspondent
g’ .
sur
étant produit direct
G
en
correspondent
représentations linéaires complexes
sont les représentations nulles sur les
ces
(~ ~
et il
donc à des
~~
et il est bien clair que
même les
aKx
g’
donc
de g
aux
De
[X,Y]
Les
.
alors
rX -
i
=
~
que
représentations holomorphes
(~
représentations linéaires réelles
est de
nulles
de 1 ,
propres
est isomorphe
U(~)
Or toute représentation
et
au
et
produit tensoriel des algèbres
linéaire irréductible du produit tensoriel de deux algèbres associatives est
le produit tensoriel d’une représentation irréductible de l’une et d’une
telle
représentation
de
l’autre,
la
théorème de Burnside. En effet soit
tion
irréductible
minimale
L
de
l’espace
A ;
des
soit
V.
réciproque
A
un
=
B ~ C
étant aussi vraie par le
et
(03C1,
de
V.
une
dans
V
muni de la
’
j"estprolonge
par linéaritéà
représenta-
V invariant par
sous-espace de
B-homomorphismes
V)
.
B
représentation
L
de
0
invariant par
V
dans
est
C
On
en
aux
f
et
v. s f
minimal ; l’application
est
V~
opérations
V~
l’équivalence
sous-espace de
un
de
2014~
B
de
C
et de
V. (&
par
représentation
V~
cons-
de
irréductible et le lemme de Schur achève la démonsV
de
et de
V2 .
déduit alors la proposition suivante :
Proposition : toute représentation
~
~(c) o
2014~
le théorème de Burnside montre que la
dans
tration de
f
nulle et commute
non
truction ; mais
donnée par
C
irréductible d’un groupe de Lie complexe
dans un espace vectoriel complexe est isomorphe au produit tensoriel d’une
représentation irréductible holomorphe et d’une représentation irréductible
antiholomorphe.
Soit maintenant
G
un
groupe de Lie
Lie ; g étant une algèbre de Lie
C
algèbre semi-simple complexe. Or
car si un élément
était dans (~/
bre de
I
mais
C~~-i ï
(0)
complexe semi-simple, g
semi-simple réelle,
gC
ne
ou
rencontre ni
6~
on
son
algè-
est
une
g" ,
ni
aurait FX = i
iX
0 ~ il en résulte que les
sur
et
sont biunivoques et comme
projections de (~
r X = iX dans
on en déduit que ]Es algèbres de Lie complexes
et
sont isomorphes,et de même que les algèbres de Lie complexes
et
sont anti-isomorphes (i.e. il existe une application anti-linéaire
biunivoque et multiplicative de l’une sur l’autre). En particulier
est une algèbre complexe semi-simple ; soit ~
une forme réelle compacte
de
et ~~ les formes réelles compactes de
et
respectivement qui lui correspondent dans les isomorphismes de
avec
et
et
=
donc
X
=
~1
( C~~
Oj~ ~
0~
g’
6~
o
OL.
(/l~.~x~~
est
une
forme réelle
clair que l’intersection de
On
avec
peut appliquer les résultats
qui montrent
que le
~
g0
compacte de ~L = ~ ~
0152~
~x
est
sous-groupe
de
K
l’expose
de
G
11 et le th.3
correspondant à
direct d’un groupe compact et d’un groupe abélien simplement con exe ;
semi-simple
et
son
ment universel de
centre est nul donc
G
et
G
C
le noyau de
K
Cf~
égale à ~~ .
du présent exposé
R
est
mais
compact. Soit
la projection de G"
est
g’
et il est
G~
sur
produit
R
est
le revête-
G ~ si
~K
correspondant à ~ ~ on sait par le th. 3 que K"
contient le centre de G et en particulier C . K étant compact possède
d’après le théorème de Peter-Weyl une’représentation linéaire fidèle
p dans
uh espace vectoriel réel V de dimension finie ; la représentation infinitésimale
correspondante de R est fidèle donc se prolonge en une
est le sous-groupe de
dp
représentation linéaire complexe fidèle de ~~ ç ~L -dans V., . Comme
G est simplement connexe cette représentation de
se prolonge en une
représentation linéaire de G qui est de plus holomorphe ; la représentation
de
~o étant fidèle, le noyau de la représentation de G est un sous-groupe invariant discret donc contenu dans le centre de G (cf. démonstration
du th.2) donc contenu dans K . Mais on sait que K/C
K et il est alors
clair que la représentation de K obtenue par restriction de celle de G
est composée de la projection K ~ K et de la
représentation 03C1 de K ,
donc comme
p est fidèle, que son noyau est C . Le noyau de la représentation de G que nous avons construite, étant contenu dans K est donc égal
à C et par passage au quotient, on en déduit une représentation fidèle de
=
.
=
d’ où le théorème’:
G
..
’
Théorème 4 s Un groupe de Lie semi-simple complexe admet toujours une
représentation linéaire holomorphe fidèle dans un espace vectoriel de dimension finie.
Par
.
un
raisonnement
analogue,
g0
donc toute
représentation
de
sentation
holomorphe
de
celle de
G
aussi
une
.
voit
qu’il y a correspondance biunivoque entre les représentations linéaires holomorphes de dimension finie de
G et les représentations linéaires de dimension finie de K , d’où résulte
facilement que G est le groupe algébrique associé au groupe de Lie compact
K (T.L.G. ch.
paragraphe VIII) (une représentation linéaire de K définit une représentation de K , dont le, noyau contient C , puis une représentation de R qui se prolonge de manière unique en une représentation comde
qui détermine à son tour une représentation holomorphe de G ;
le
sera
représentation
de
K
G ; si
G
=
se
la
C ,
sur
on
prolonge
de manière
représentation
unique
K
de
en une
est triviale
donc définira bien par passage
au
repréC ,
quotient
sur
’
G/C )
3.- Groupes de Lie généraux.
Nous allons maintenant passer à l’étude des groupes de Lie généraux et
montrer que leur topologie se ramène à celle des groupes compacts et donc
même essentiellement à celle des groupes compacts semi-simples.
Théorème ~ : Pour
existe un groupe
près) admettant
K ,
’
N
toute
de Lie
algèbre de
G
simplement connexe et
comme algèbre
(X abélien
simplement
de
un sous-groupe
tel que
G
=
- homéomorphe
K.A.N.
à
un
(tout
espace
g
corps
sur le
Lie. Il existe
connexe
a une
A
seul
un
et
(à
un
isomorphisme
un sous-groupe
un
---°----
compact
sous-groupe résoluble
décomposition unique
euclidien.
réels, il
des
g
=
kan )
~~~
soit
Faisons d’abord la remarque suivante :
admettant
(Y = d
un
J et une sous-algèbre c~
S ~ ~3 ~ la restriction
idéal
~û ° Pour
Dg de J et la structure
"~
+
et
S ---~~
l’homomorphisme
de J
vations
=
D~ de S
dans
est
ad S
de
convaint aisément.
s ’on
comme on
tels que
est définie par celle
de
algèbre
une
Soit
S
(0)
et
dérivation
une
de J ,
l’algèbre
de Lie
celle de
de Lie des
déri-
groupe de Lie
un
simplement connexe ayant S pour algèbre de Lie et de même I pour J ;
puisque S est simplement connexe, la représentation linéaire S .--.~ D~
de
se prolonge en une représentation linéaire deS
S dans
l’espace J ,
J
dans
D(s)
D(s)
soit
et
comme
les
DS
J , les
sont des dérivations de
automorphismes (T.L.Go prop.l p, ~,â~’) . Comme T est simpleet un seul de I qui induise
ment connexe, il existe un automorphisme
considérons alors le produit semi-direct G
l’automorphisme D(s)
sont des
en
de J ;
de
I
et de
groupes de
plement
relativement
S
G . G
connexes
est
est
un
et identifions
I
et, S
à des
sous-
de deux espaces simsous-groupe invariant de G tel que
simplement
I
et
à 03C6
connexe comme
produit
homomorphisme de S dans le groupe de Lie des
automorphismes de I donc est analytique d’ où résulte que G est bien un
r
contient un idéal isomorphe à J et
groupe de Lie. Son algèbre de Lie
une sous-algèbre isomorphe à
on fera les identifications en question,
= sis
alors
est somme directe de S et J ; de plus comme
=
on a
ce qui prouve
(ad s)(I) = D(s)l et donc [ S , I ]
1
sont isomorphes.
~
a
t
=
est
un
(~
~(s)i
°
que
r
et .
Pour prouver alors la
première assertion du th. 5 , on remarque que si
OJ est semi-simple, sa représentation adjointe est fidèle donc que le groupe
Int
(cf. Exp. l6) admet g comme algèbre de Lie ; considérant son revê1)
tement universel, on voit qu’il existe un groupe simplement connexe
ayant
comme
sa
algèbre
de Lie. Si
soit
c’est donc
dimension ;
un
résoluble,
est
raisonnons par récurrence
sous-espace de codimension 1 de
~
sur
contenant
idéale et soit /t/une drcitesupplémentaire de .1’ hyPar hypothèse de récurrence,
h est l’algèbre de Lie d’un
simplement’connexe H homéomorphe à un espace euclidien ; d’autre
[g,g],
perplan h .
groupe
part,
C~
~
connexe
0
obtient
est
un
l’algèbre
Faisant
un
comme
de Lie du groupe additif
plus
groupe résoluble
euclidien, d’algèbre
de
haut le
G
R
qui
est
simplement
H et de R 9
produit semi-direct de
simplement connexe homéomorphe à
Lie ~ .
un
espace
.
,
.
on
général on utilise une décomposition de Lévi
on fait le produit
de
C~ en le radical et une sous-algèbre semi-simple et des
semi-direct des groupes corrospondants. La décomposition
groupes semisimples obtenues au th.3 se transporte au cas général en remarquant que si
N I est le sous-groupe résoluble de la décomposition de la composante semiPour passer de là
de
simple
et
G 9
au
radical
et
qu’il
N
soit
au cas
N
à
de même pour
et
Ni
Le théorème
est
N1N2
=
est résoluble
homéomorphe
résoluble de
le sous-groupe invariant
N2
extension d’un résoluble par
comme
espace euclidien est alors clair
un
est invariant
N2
sous-groupe parce que
un
correspondant
G
résoluble. Que
un
puisqu’il
N2
est
en
C. Q. F. D.
précédent
contient
particulier
en
la
réciproque
du "3e
théorème de Lie" à savoir le théorème d’existence des groupes de Lie. C’est
un théorème d’existence global 9 on verra à la fin de cet exposé comment on
peut obtenir par d’autres procédés un théorème local. Nous allons maintenant
énoncer et démontrer un théorème dû pour une bonne part à Iwasawa comme du
reste
grande partie
une
Théorème 61 Si
.
est
et des
K
groupe compact
G
résultats
des
un
0
groupe de Lie connexe, on
à un paramètre
groupes
dans
la
présent exposé.
~k ~ h 9 ~_ 9 . : a 9 h )
que l’application
sur
du
~
peut trouver
H1 , H2 ,
... 9
khlh2
h
...
Hm
un sous-
tels
de
soit un isomorphisme de la première variété
G
seconde.
Si
G
est
un
groupe abélien
connexe9 c’est
simplement
groupe iso-
un
morphe à un Hn et le théorème est vrai dans ce cas. Si G est résoluble
et simplement connexe, la construction d’un tel groupe par produits semidirects successifs montre que le théorème est aussi vrai dans ce cas. Si
maintenant
pes
un
paramètre
Dans le
de
G
o
tel que
semi-simple,
ses
et
d’après
ce
le théorème 3
qu’on
qu’il admet
vient de voir
sur
les grou-
.il n’est pas difficile de trouver les sous-groupes
nous
raisonnerons par récurrence
sur
la dimension
l’algèbre de Lie et ~-~" son radical; -~d‘’ étant résoluble,
algèbres dérivées se termine par (0) , donc il existe un - k
(0) et
(0) donc J U(k) est une algèbre
comme on
est de même
d’après
question.
générale
cas
sait
on
U (k) ~
abélienne
en
en
Soit ~
la suite de
’
est
décomposition G ==
résolubles ou abéliens,
une
à
G
=
sait que si
=
~’~
est
et
un
~.~’
sont deux idéaux de
idéal abélien
il
Soit I
le
sous-groupe
en
tout
invariant de
adhérence est
cas son
J;
correspondant à
G
un
n’est pas
1
si
fermée
sous-groupe invariant abélien ferme de
G .
produit d’un espace euclidien R et d’un
ce dernier sous-groupe de
1 esty s’il n’est pas réduit à (jg) ~
tore
le plus grand sous-groupe compact de 1 donc invariant par tous les automorphismes de 1 en particulier par les automorphismes induits par les automorphismes intérieurs de G ~ donc c ’ est un sous-groupe invariant de G . En
résumée G possède un sous-groupe invariant fermé J isomorphe à un R ou
On sait que
1
est
isomorphe
au
T~ .
un
’
L’hypothèse de récurrence s’applique à G/J donc G/J K’.m
H’
décomposition unique, les ternes de la décomposition dépendant analyti=
avec
quement du
en
considéré. Les sous-groupes à
g
des sous-groupes à
paramètre.
les sous-algèbrcs de Lie à
l’image réciproque de
remonter
Soit
L
sa
un
de
H.
G
si
est
g
°
...
de
H.
qui
car
projette
un
H!
se
remontent
il suffit pour cela de
paramètre qui
un
classe
l’unique élément
paramètre
un
...
leur
correspondent.
élément quelconque de
~§ ~ k’~
... ~
où
h.
G
est
h! ; tout homomorphisme de
groupe de Lie étant analytique~ les h. dépendent analytiquement de g et
on a
g =
h . Dans cette décomposition les h. sont bien déterminés car ce sont nécessairement les éléments respectifs de
H. qui se projettent sur les éléments hJ de la décomposition de g . De morne ~ est
bien déterminé par g et dépend analytiquement de lui car l =
se
sur
l.h1 ...
g(h....h )" .
Le sous-groupe
tel que
L/J
=
K’
L
soit
de
G
possède
compact ~ si
sous-groupe abélien invariant J
un
J
est
isomorphe
à
T~ ~
donc
compacta
lui-même est compact et l’on pose L == K ; si au contraire J est isomorphe à R ~ le théorème 1 montre que L possède un sous-groupe compact
L
K
tel que
ment
~ =
L
==
analytique.
~1~2
--
J.K
(produit semi-direct)
Comme
on
décomposition étant évidem-
peut écrire
~r+n ~ L =
1~ =
immédiatement le théorème dans l’un
’
cette
K~
...
H~ ,
on en
déduit
°
et l’autre
cas.
C.Q.F.D.
/
v
B. THEOREMES LOCAUX
1.-
Formule de Campbell-Hausdorff.
P n l’algèbre
Soit
des
polynomes
non
commutatifs à
rationnels, L n la sous-algèbre de
crochet [a,b] = ab - ba ) engendrée par les x..
1
à coefficients
exposé
a)
x.
de
~ 1
0394
b)
1
+
est
~ xi
Pn
un
les éléments de
de manière usuelle à
(corps
une
n
des
n
L
sur
premier
résultats a) et b) sont
et
par L .
commutatives
non
rationnels) y
un
série formelle, et soit
que les
qui envoie
n
sur
x.
i
donné par
formelles
composantes homogènes
dont toutes les
L
au
le
sont caractérisés par la condition
L
des séries
l’ensemble
à coefficients dans Q
n
P
projecteur de
P ~ P
dans
P
de
l’homomorphisme
CI
Il existe
Soit
démontré
a
xi
séminaire les résultats suivants:
ce
Si
P n (pour
Lie de
Un
variables
n
L
les
x. 1
polynôme étant identifié
n l’ensemble des sériés
L . On voit immédiatement
sont dans
vrais si l’on
encore
en
remplace
Pn
Pn
par
,
Les séries formelles dont le terme constant est 1 sont inversibles ;
peut distinguer celles qui vérifient ~ (b) = b ~ b
elles forment évidemment un sous-groupe S . Or on définit une correspondance
parmi celles-ci
on
de l’ensemble des séries
biunivoque
le terme constant est 1
posantt
en
sans
terme constant
ex = 03A3 é/n!
sur
les séries dont
log(1+y) =
et
n~O
= ~~ ~ y ) /n . Or e e e
n~0
~ 1
e1 ~
a ~ 1 e1 ~
si
=
e, + a
a
=
nentielle applique
sur
~
SL .
et
commutent d’ou
x’
I
~ 1)(1 ~ ea) =e s,
=
L
x
Par
transport de
posant a o a’
donc l’ expo-
déduit
structure on
une
=
de groupe a o at sur
en
log(eUe ). Nous allons
n
expliciter cette loi de groupes il suffit de le faire évidemment lorsque
t
.a =
xl et a’ = x~ le cas général s’ en déduira par spécialisation xl -~.~ a
loi
Xr)
t.~,.
a’ . Comme
.
x~
~~
est dans
x~
Ln
on ne
change
pas
sa
valeur
en
lui
appliquant le projecteur P ; de plus 1
= 03A xp1 q 2 1x . xpm1 q 2/ !p . m!p1 . qm!
(17) (ex1 ex2 - 1)m
la
somme
étant étendue
aux
systèmes
(p,q)
tels que
p.
+
qi ~
0
pour tout
P
Appliquant
i .
développement
au
"""""_ ~ ~-1 )
log(e e ~ ==
de
(e
e
1~
-
m >0
trouve finalement la formule suivante dite formule de Campbell-Hausdorff
.
on
précise
et dont la forme
où l’on
est due à
Dynkin :
posé
a
de Campbell-Hausdorff s si g est une algèbre de Lie sur le corps des
réels de dimension finie, on va montrer que la
formule précédente où l’on interprète le crochet comme l’opération dans
g
x
de
et
est convergente pour
0
.
Précisément
assez
voisins
x.
x~ y
Convergence de
la formule
=
=
soit
c.. k
g de, (1
i
n)
nodule £
base de
une
e.
1/n
que l’on suppose
de g
par
une
les
z
homothétie ;
on
sont alors des
allons chercher
les constantes de structure
cas
auquel
on se
x
les
pose
séries entières
les
en
et
ramené toujours
z = x.y , x = 03A xie y = 03A yie z = 03A ze.
y
dont
majorante de Cauchy. On sait que les majorantes
s’additionnent et se multiplient entre
et
elles, donc si A =
sont deux systèmes de séries entières. en x et y de majorantes
une
nous
de
(A )
~
et ~ C = [A,B] (C~ =~ ~.k~~ ~
l’on
03B3i 03A3 |cjki|1 03B2k 03A3 03B1j03A3 03B2k/n
posant
Finalement,
03A3|xi|
est majoré
le développement
03A3 (e ~x~
et
admet
a
en
x o
y
-1
La série de
la loi
Campbell-Hausdorff
elle est
voisinage de
paramètre car on
pe
G .
I:
03B3i 03A303B1i03A303B2i .
développement
voit que le
de
e~y~ -1)m/m
couver-
0
convergente. Formellement
élément neutre, il en résulte,
comme
un
germe de groupe de Lie dans
dans
définit des coordonnées canoniques dans le germe de grou-
..
Si
H
est
un
germe de groupe de Lie admettant
Lie et si
f
est
définition
de
l’exponentielle si
X *
respec-
(~ ; les droites de ~ sont des groupes à un
a eaX e =e donc tout système de coordonnées car-
0
g
dans
(B )
est donc bien
convergente, qu’elle définit
un
==
i.e. ~ x~ +~y~(
1
est associative et admet
xoy
tésiennes
(
B
une
donc
de
par
gent dès que |e~x~e~y~
comme
on
=
Cauchy
03B4exp tX.h ,
d f’(t)/dt
une
fonction
f >
==
(Xn* f)
=
(X *
analytique
au
h
voisinage
comme
algèbre
de
on aura
par
f( exp, tX, h) f’(t) ~ df ’ (t) /dt
f) (exp tX.h) d’où par récurrence sur
( exp tX,h) .
=
D’autre part
==
f
est
analytique
en
n
t
développement de Taylor convergent pour t assez petit ; rempar un homothétique assez petit, on peut supposer que ce déve-
donc admet
un
,
X
plaçant
loppement converge
f(exp X)
=
pour
~>
X. exp
=
1 . Faisant alors tout d’abord
f~- /n~ puis
~
f(exp
t
"
’
faisant
h
=
trouve
on
exp Y
’
= 03A3 Xm* Yn,
Y)
en
h = j3
f ) /m! n! .
Ceci montre
en
prenant
suc-
cessivement pour
f
les fonctions coordonnées canoniques que la loi de
groupe est donnée
en
coordonnées canoniques par la formule de Campbell-
Hausdorff.
Théorème
G
est
un
est donnée
la loi
de composition
de Campbell-Hausdorff : par
.
erme de
groupe de Lie
(~
3.- Application
comme
de Lie g ,
coordonnées canoniques par la formule
en
ailleurs, cette
formule est convergente pour
toute algèbre de Lie de dimension finie et définit
Lie ayant
d’algèbre
un germe
de groupe
algèbre de Lie’
aux groupes
nilpotents.
Rappelons qu’une algèbre de Lie est dite nilpotente si ad X est nilpatent pour tout élément X de cette algèbre. En conséquence du théorème de
il existe
.
une
suite d’idéaux
=~~
~2 ~ ’ ~ -~ ~!n ~
°
~~
l’on déduit que les crochets itérés
tels que
. . ] sont tous nuls
pour p
grand et il n’y
[x1,[x2,[.....[xp-1,
xp]
donc dans la formule de Campbell-Hausdorff qu’un nombre fini de termes
assez
a
non
autrement
nuls; elle définit donc une loi de groupe polynomiale dans
dit, si G est un groupe de Lie dont l’algèbre est nilpotente (on dira que
G est nilpotent) et s’il est simplement connexe, l’exponentielle définit un
G et en coordonnées canoniques, la loi de groupe
sur
homéomorphisme de
est polynomiale.
6? ;
’
C~
plus: si (~ ~ V) est une représentation linéaire de G et
soit nilpotent pour tout X
que d
6 ~ ~ en vertu de la formule
03C1(exp X) exp de (X) il en résulte que cette série n’a qu’un nombre fini
de termes non nuls~ ce nombre étant uniformément borné pour tous les X en
Il y
a
=
vertu du théorème
X
et
en
d’Engel,
donc
coordonnées canoniques~ la
Réciproquement~
X) est une fonction polynomiale de
représentation de G est polynomiale.
représentation linéaire rationnelle de G définit une
en effet, toute sous-représentation
représentation nilpotente dp de
toute
22-20
représentation quotient d’une représentation rationnelle étant de
la même espèce en voit facilement qu’il suffit de démontrer qu’une telle
Or
représentation possède toujours un vecteur annulé par tous les d
est résoluble donc possède au moins un poids A ; soit v E
v 9 donc,
et toute
0
Y
À(X)v
d
représentation
03C1(exp X)v
et
tous
a
ses
.
~~
fonction rationnelle de X
0
=
donc si
v
est
sur
ce
vecteur
un
peut préciser
ce
les translatées à droite de
P
Enfin
f(X)v e 03BB(X)v ;
=
coefficients par rapport à
sont des fonctions rationnelles
une
exp d
=
une
la
mais
comme
base
quelconque qui
G 9 on en déduit que e doit être
qui n’est manifestement possible que si
annulé par d
dernier résultat
p(X)
X.
pour tout
montrant que
toute fonction polynôme sur G est coefficient d’une représentation linéaire polynomiales en effet comme la loi de composition de G est polynomiale, P(gh)
est pour tout polynôme P sur G 9 une fonction polynomiale sur G x G ,
donc P(gh) =
P.(g)Q.(h) ce qui prouve que le sous-espace engendré par
les
ce
Pi
donc de dimension
sous-espace par la
linéaire
’
on
d’uhe
bien
Q --~
en
est contenu dans le
finie. Soit R(h)
la
sous
représentation
représentation régulière droite
alors P(h)
c~ > est
=
représentation linéaire qui
polynomiale
p
comme
les
Qi
espace
sont
des
engendré
par
induite dans
la forme
bien
un
coefficient
polynomes,
est