D M 5 .1 – Pour le 22/03/2012 – 1/2 Problème : Chute Libre de la Lune On souhaite décrire dans ce problème le mouvement de la Lune autour de la Terre. Il s’agit d’une chute libre, la Lune étant lancée à une vitesse suffisante lui permettant de ne jamais tomber !!! Le phénomène de chute libre a été modélisé en premier par Galilée (pour la chute simple au voisinage de la Terre) et Képler (pour la chute céleste), le tout synthétisé par Newton en 1687. Données numériques : 1. - Masse de la Terre : MT = 5,98.1024 kg - Rayon moyen de la Terre : RT = 6380 km - Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2 - Distance Terre Lune (de centre à centre) d = 384 000 km Donner l’expression de la force gravitationnelle FGRAV ( M ) exercée par une masse ponctuelle m placée en un point O (l’origine du repère utilisé dans le référentiel) sur un système de masse mS placé en un point M de l’espace. On notera : - r la distance OM - ur le vecteur directeur unitaire de la droite (OM) dirigé de O vers M. - G la constante de gravitation universelle. 2. On définit également le champ gravitationnel crée par cette masse m en tout point M de l’espace, tel que FG RAV ( M ) = m S G ( M ) . Ce champ a ainsi l’avantage de ne pas dépendre du système placé en M (définition similaire au poids P = m S g ). Donner l’expression du champ G ( M ) , et le représenter. 3. On assimile la Terre à une répartition de masse à symétrie sphérique, de centre O, de masse MT et de rayon RT. Cela implique que vu de l’extérieur (r > RT), le champ qu’elle créé est le même que celui d’une masse MT ponctuelle placé au point O. 3.a) 3 .b ) Définir le référentiel géocentrique. Est-ce que ce référentiel est solidaire de la Terre dans son mouvement de rotation autour des pôles ? Indiquer pourquoi ce référentiel n’est pas en toute rigueur galiléen. Citer le nom d’un référentiel galiléen. A quelle condition qualitative peut-on considérer que le référentiel géocentrique est galiléen lorsqu’on réalise une expérience ? Donner l’expression du champ gravitationnel G ( M ) terrestre créé en un point M situé à la distance r de son centre (r > RT). 3 . c) Calculer la valeur de : - la norme g0 de G ( M ) lorsque le point M est situé à la surface de la Terre. - la norme gL du champ gravitationnel terrestre G ( M ) lorsque le point M se trouve à l’altitude de l’orbite de la Lune autour de la Terre (à ne pas confondre avec le champ gravitationnel lunaire don’t il n’est pas question ici). 4. On considère maintenant un objet de masse m, supposé ponctuel, placé au point M situé à la distance r du centre de la Terre O. 4.a) Donner l’expression de la force f OM exercée par la Terre sur cet objet. Préciser si cette force est attractive ou répulsive. 4.b) La Terre subit-elle une force de la part de l’objet ? Justifier votre réponse (citer la loi physique utilisée) et dans l’affirmative, expliciter cette force. DM5.1 – Pour le 22/03/2012 – 2/2 5. 6. On étudie le mouvement de l’objet au point M soumis à l’influence de la Terre et dont la vitesse initiale n’est pas verticale. 5.a) Montrer, en utilisant le théorème du moment cinétique au point O, que ce mouvement se fait dans un plan que l’on précisera (on supposera que la force gravitationnelle terrestre est la seule force agissant sur cet objet, et on utilisera le référentiel géocentrique considéré comme galiléen. 5.b) Considérons le cas particulier d’une trajectoire circulaire de centre O. Montrer avec l’aide du moment cinétique que le mouvement est alors uniforme 5 . c) Appliquer maintenant un PFD sur le point M et calculer la vitesse v ainsi que la période T du mouvement en fonction de G, MT et r. 5 .d) Calculer v et T pour la Lune, satellite naturel de la Terre dont on assimilera l’orbite à un cercle. (exprimer T en secondes puis en jours, et commenter la cohérence du résultat) On étudie maintenant la situation suivante : on lâche sans vitesse initiale à l’instant t = 0 un objet supposé ponctuel, de masse m, placée au point G0 situé à une altitude h. L’intensité du champ gravitationnel terrestre, qui dépend de h, sera toutefois supposée localement uniforme et notée g. Soit G0z l’axe vertical descendant passant par G0, G0 étant pris comme origine de cet axe (figure ci-contre). L’étude du mouvement pourra se faire dans le référentiel terrestre assimilé à un référentiel galiléen. 6.a) 7. Calculer l’expression de z(t) donnant l’évolution au cours de la chute libre de l’abscisse z du point G en fonction du temps t. 6.b) Exprimer la hauteur de chute h1 au cours de la première seconde de chute. La grandeur h1 dépendelle de l’altitude initiale h ? 6.c) Calculer la valeur de h1 pour : - un objet lâché au voisinage du sol terrestre (g = g0) - un objet lâché à l’altitude de la Lune (avec la valeur g = gL) G0 (à t = 0) Niveau du sol terrestre z D’après la question précédente, la lune tombe elle aussi en permanence sur la Terre. Mais d’après la question 5.c), elle décrit une orbite circulaire à la vitesse v. Soit A un point de cette orbite. En l’absence de la Terre, la Lune poursuivrait sa trajectoire suivant la direction du vecteur v et arriverait en B au bout d’un intervalle de temps ∆t. Choisissons pour simplifier ∆t = 1s. g h A B C d h Orbite de la Lune O Terre En fait, à cause de l’attraction terrestre, elle chute jusqu’au point C avec BC = h1, la quantité h1 ayant été définie à la question 6.b). 7 .a) Exprimer la vitesse v en fonction de h1 et de la distance Terre-Lune d. Simplifier cette expression sachant que h1 << d, puis calculer la valeur de v. 7.b) Cette valeur de la vitesse est-elle en accord avec celle trouvée à la question 5.c ? Que peut-on en conclure alors sur le mouvement de chute libre de la Lune, quelle conséquence sur la trajectoire de la Lune a-t-il ?