EPFL Section de Mathématiques Introduction à la théorie des nombres Prof. Eva Bayer-Fluckiger Semestre de Printemps, 2009 - 2010 Semaine du 15.03.2010 Série 4 Exercice 1. Sommes de 2 carrés. 1. Lorsque cela est possible, écrire chaque nombre premier suivant comme somme de deux carrés : 2 13 31 41 47 61 113. 2. (a) Soit p un nombre premier divisant a2 + b2 , où a et b sont deux entiers premiers entre eux. Montrer : p ≡ 1 (mod 4). (b) En déduire l’existence d’une infinité de nombres premiers du type 8k +5, avec k ∈ N. Indication : on pourra considérer l’entier n = 32 52 72 · · · p2 + 22 . 3. Montrer que 21 ≡ 1 (mod 4) mais que 21 ne s’écrit pas comme somme de deux carrés. 4. L’objectif de cette question est de montrer la réciproque du résultat suivant, vu en cours : Soit n ≥ 1 un entier. Si tout diviseur premier de n de la forme 4k + 3 n’apparaı̂t qu’à une puissance paire dans sa décomposition en produit de nombres premiers, alors n est somme de deux carrés. Si n est un entier positif de la forme n = a2 + b2 , avec a, b ≥ 0, nous allons montrer que tout diviseur premier de n congru à 3 modulo 4 est d’exposant pair dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers. Soit donc p un facteur premier de n, tel que p ≡ 3 (mod 4). (a) Montrer que p divise a et b. (b) En déduire que p2 divise n et que le quotient n/p2 est encore somme de deux carrés. (c) Conclure que p est d’exposant pair dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers. (d) Application. Pour chaque entier suivant, déterminer s’il s’écrit comme somme de 2 carrés et donner cette écriture le cas échéant : 35 ; 49 ; 234. Exercice 2. Sommes de 3 carrés. 1. Montrer que tout entier positif n de la forme 8k + 7 ne peut pas s’écrire comme somme de 3 carrés. Indication : on pourra raisonner modulo 8... 2. Montrer que si n est un entier positif tel que 4n est somme de 3 carrés, alors n l’est aussi. Indication : après avoir écrit 4n comme somme de 3 carrés, on pourra étudier la parité de chacun des termes de la somme et raisonner modulo 4. 3. À l’aide des deux questions précédentes, deviner une condition qui empêche un entier positif de s’écrire comme somme de 3 carrés. Exercice 3. Idéaux bilatères maximaux. Soit (A, +, ·) un anneau non commutatif. On rappelle qu’un idéal à gauche (resp. à droite) de A est un sous-groupe a ⊂ A tel que α · a ⊂ a (resp. a · α ⊂ a) pour tout α ∈ A. Un idéal à gauche (resp. à droite) m ⊂ A est dit maximal si m 6= A et s’il n’existe aucun idéal à gauche (resp. à droite), autre que A, contenant strictement m. Un idéal bilatère est à la fois un idéal à gauche et à droite : c’est un sous-groupe a ⊂ A tel que α · a · β ⊂ a, pour tous α, β ∈ A. Un idéal bilatère m ⊂ A est dit maximal si m 6= A et s’il n’existe aucun idéal bilatère, autre que A, contenant strictement m. 1. Soit a un idéal à gauche de A, différent de {0} et de A. Existe-t-il une structure d’anneau sur l’ensemble quotient A/a = {α+a, α ∈ A} telle que la surjection canonique A A/a soit un homomorphisme d’anneaux ? 2. Même question si a est un idéal bilatère de l’anneau A. 3. Soit a un idéal bilatère de l’anneau A. Montrer que l’anneau quotient A/a est un corps si et seulement si a est un idéal bilatère maximal.