ESME – B1C Equations différentielles linéaires du premier ordre 1

ESME – B1C
Equations différentielles linéaires du premier ordre
1 Equations Différentielles du premier ordre à coefficients constants.
Etape 0 : On cherche à résoudre l’équation différentielle (E) : y′(x) + ay(x) = f(x).
On associe à (E) l’équation homogène (E0) : y′(x) + a y(x) = 0.
Etape 1 : On cherche les solutions générales yG(x) de (E0) : y′(x) + a y(x) = 0.
Structure :
Elles sont données par :
S(E0) =
Etape 2 : On cherche une solution particulière yp(x) de (E) : y′(x) + a y(x) = f(x).
1. Solutions évidentes
Exemples :
(E) : y ' + 3y = 12
(E) : y ' + y = 3e
(E) : y ' - y = e
yp(x) =
x
2x
yp(x) =
yp(x) =
2. Principe de superposition.
Si f(x) = f1(x)+f2(x)+···+fn(x), on cherche une solution particulière ypk (x) de l’équation
(Ek) y′(x) + ay(x) = fk(x).
Une solution particulière yp(x) de (E) est alors donnée par
yp(x) = yp1 (x) + yp2 (x) + · · · + ypn (x).
3. Utilisation du tableau (voir plus bas)
On cherche une solution particulière yp(x) sous une certaine forme en utilisant le tableau suivant.
Dans ce tableau, P(x) est un polynôme, ω, α, β et k sont des nombres réels. D’autre part, Q(x) est un
polynôme de même degré que P (x), et A, B, C . . . sont des constantes réelles à déterminer.
4. Méthode de la variation de la constante (voir plus loin)
5. Calcul de yp(x)
Une fois la forme de yp(x) identifiée, on calcule yp′ (x) puis on injecte ces quantités dans l’équation
(E) ce qui permet d’identifier les paramètres définissant yp(x).
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Second membre f(x)
Solution particulière yp(x)
Exemple avec y'-2y = f(x)
f(x) = k = cste
yp(x) = A = cste
f(x) = 3 → yp(x) =
{
f(x) = P(x)
y p (x)=Q (x) si a≠0
y p (x)=xQ(x) si a = 0
{
kx
f(x) =
αe
f(x) =
α cos (ω x)+βsin (ω x)
f(x) =
P( x)e
y p (x)=A e kx
y p (x)=A e kx
kx
f(x) =
kx
(α cos(ω x)+βsin(ω x))e
si k≠−a
si k = -a
3
f(x) = x +x−1
yp(x) =
f(x) = 5 e
yp(x) =
2x
y p (x)=A cos (ω x )+B sin(ω x)
f(x) = 3 cos(2x)
yp(x) =
y p (x)=Q (x)e kx si k≠−a
y p (x)=xQ(x)e kx si k = -a
{
f(x) = ( x −2) e
yp(x) =
y p ( x)
kx
= (A cos(ω x)+Bsin(ω x))e
f(x)= 2 sin(5x) e
yp(x) =
2
3x
2x
Etape 3 : Les solutions de (E) sont données par :
S(E) =
Etape 4 : Si il y a une condition initiale y(x0) = z0, on calcule la constante λ correspondante en injectant
la condition initiale dans la solution trouvée dans l’étape 3. On obtient une unique solution au problème.
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2 Equations Différentielles du premier ordre à coefficients non constants.
Etape 0 : On cherche à résoudre l’équation différentielle (E) : y′(x) + a(x)y(x) = f(x).
On associe à (E) l’équation homogène (E0) : y′(x) + a(x)y(x) = 0.
Etape 1 : On cherche les solutions générales yG(x) de (E0) : y′(x) + a(x)y(x) = 0.
Structure :
Elles sont données par :
S(E0) =
Etape 2 : On cherche une solution particulière yp(x) de (E) : y′(x) + a(x)y(x) = f(x).
1. Solutions évidentes
Exemples
(E) : y ' + xy = (1+x) e
(E) : y ' +
x
yp(x) =
1
y =2
x
yp(x) =
2. Principe de superposition.
Si f(x) = f1(x)+f2(x)+···+fn(x), on cherche une solution particulière ypk (x) de l’équation
(Ek) y′(x) + a(x)y(x) = fk(x).
Une solution particulière yp(x) de (E) est alors donnée par yp(x) = yp1 (x) + yp2 (x) + · · · + ypn (x)
3. Méthode de la Variation de la Constante (MVC)
On cherche une solution particulière yp(x) sous la forme
y p (x)=λ p ( x)e−A (x)
où A(x) est la fonction calculée à l’étape 1 et λp(x) une fonction à déterminer.
La fonction λp(x) vérifie l’équation différentielle :
3
On détermine alors la fonction λp(x) en intégrant cette dernière relation.
Etape 3 : Les solutions de (E) sont données par :
S(E) =
Etape 4 : Si il y a une condition initiale y(x0) = z0, on calcule la constante λ correspondante en injectant
la condition initiale dans la solution trouvée dans l’étape 3. On obtient une unique solution au problème.
Exercices
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