DL N 4 – ENTIERS DE GAUSS Pour la rentrée de novembre Ce

DL N◦ 4 – ENTIERS DE GAUSS
Pour la rentrée de novembre
Ce sujet est assez long, mais il recèle beaucoup de questions abordables. Certaines testent votre
connaissance précise des définitions du cours, d’autres votre habileté à mener des calculs simples,
d’autres ne demandent que peu d’efforts ; tout le problème teste votre capacité de compréhension
générale de notions nouvelles en un temps limité, car beaucoup de questions utilisent des résultats
précédemment démontrés.
On définit une partie de C qui s’appelle l’ensemble des entiers de Gauss :
A = {a + ib | a, b, ∈ Z}
et on étudie un certain nombre de ses propriétés, en culminant par le non trivial théorème des deux
carrés.
I. Partie I
1. Montrer que A est un sous-anneau de C, intègre (sans diviseurs de zéro).
On pose pour z = a + ib ∈ C ou A, N (z) = a2 + b2 . Noter que pour z ∈ A, N (z) ∈ N.
2. (a) Montrer si possible sans calculs que pour tous z, z # ∈ A on a N (zz # ) = N (z).N (z # ).
(b) Montrer que (z = a + ib ∈ A est inversible DANS A) ⇐⇒ (N (z) = 1).
Quels sont les éléments inversibles de A ? Quelle structure possède leur ensemble ?
3. (a) Montrer que pour tout z ∈ C il existe un v ∈ A (pas forcément unique, ne cherchez pas la
petite bête) tel que
1
N (z − v) !
2
(b) En déduire que l’anneau A est euclidien, c’est à dire que
∀z, z # ∈ A avec z # non nul
∃q, r ∈ A | z = qz # + r et 0 ! N (r) < N (z # )
****
On rappelle qu’un idéal de A est une partie non vide I telle que :
• I est un sous-groupe additif de (A, +) et
• Pour tout a ∈ A, aI ⊂ I.
Soit alors I un idéal de A, non réduit à 0.
(c) Montrer que tout élément de I est multiple d’un élément fixé u0 (on prendra un élément u0 de
norme minimale dans I \ {0}, en justifiant son existence, et on effectuera la division euclidienne de
z ∈ I par u0 ).
4. (a) En considérant l’idéal I = {ux + vz | u, v ∈ A}, montrer que pour x et z dans A, on a
l’équivalence
tout diviseur commun de x et z est inversible ⇐⇒ ∃u, v ∈ A | ux + vz = 1
(théorème de Bezout dans A).
On utilisera sûrement la remarque suivante : un idéal de A est égal à A si et seulement si il contient
un élement inversible.
(b) Un élément irréductible est l’analogue d’un nombre premier, cette dernière appellation étant
réservée aux entiers usuels :
z est irréductible si, et seulement si, (z = a.b) ⇒ (a ou b inversible).
On pourra observer que z est irréductible ⇐⇒ le seul idéal contenant strictement zA est A tout
entier. On suppose que z est irréductible et qu’il divise le produit x.y. Montrer que
z divise x ou que z divise y. (théorème de Gauss dans A).
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5. (a) On suppose que q = N (z) est un nombre premier (dans N). Montrer que z est irréductible
dans A.
(b) Soit p un nombre premier (p ∈ N).
Montrer que p n’est pas irréductible (dans A !) ⇐⇒ p peut s’écrire p = a2 + b2 = (a + ib)(a − ib).
Exemples : décomposer si possible dans A!les nombres
2, 3, 5.
"
ȧ −̇b
6. On note Ep l’ensemble des matrices
où ȧ, ḃ sont des éléments de Fp , c’est à dire des
ḃ ȧ
entiers modulo p (on note ȧ la classe de a modulo p). Ainsi Ep possède exactement p2 éléments. (Si
on prenait R au lieu de Fp , on obtiendrait une construction de C !)
Montrer rapidement que Ep est un anneau commutatif.
7. (a) On considère f de A dans Ep , avec :
f (z) = f (a + ib) =
!
ȧ −ḃ
ḃ ȧ
"
Montrer que f a bien un sens, qu’elle est surjective, et que c’est un morphisme d’anneaux.
Montrer que son noyau est l’idéal pA, l’ensemble des multiples de p dans A (c’est un idéal de A).
(b) Montrer que si p est irréductible (dans A), on a
p divise a2 + b2 ⇐⇒ p divise a ET p divise b
(c) Montrer qu’une matrice de Ep est inversible (dans M2 (Fp )) si et seulement si son déterminant
+ ḃ2 est différent de 0̇.
(d) Question clef. Montrer que l’anneau Ep = f (A) sera un corps si et seulement si p est irréductible
dans A.
ȧ2
Partie II - Carrés modulo p et irréductibles de A
Un carré dans un anneau A est bien évidemment un élément x qui peut s’écrire x = a2 pour un certain
a ∈ A.
On fixe dans cette partie un nombre premier p " 3.
1. Énumérer les carrés dans F3 , F5 , F7 . Préciser dans chaque cas si -1 (modulo 3,5,7) est un carré.
2. Montrer que p est irréductible (dans A) si et seulement si -1 n’est pas un carré modulo p.
3. Montrer que si p n’est PAS irréductible, alors p est congru à 1 modulo 4.
4. On pourrait utiliser les espaces Ep de la deuxième partie, mais on raisonne par un élégant
dénombrement : soit X = F∗p le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Fp ; X possède p − 1
éléments. On fait travailler dans X le groupe des transformations
G = {x +→ x
x +→ −x
x +→ x−1
x +→ −x−1 }
On appelle orbite de x ∈ X l’ensemble des transformés de x par les éléments de G, ce sont les classes
d’équivalence de la relation x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ G, y = g(x).
Quelle est l’orbite de 1 ? celle de -1 ? Montrer qu’il existe une et une seule orbite à deux éléments, sauf
quand il existe un élément x0 dans Fp tel que x0 = −x−1
0 auquel cas il existe 2 orbites à 2 éléments.
5. En écrivant que X est la réunion de toutes ces orbites, à 2 ou 4 éléments, montrer que
p≡1
(mod 4) ⇐⇒ −1 est un carré modulo p ⇐⇒ ∃ a, b ∈ N | a2 + b2 = p
6. Déduire de ce qui précède que tout élément de A s’écrit comme produit de trois sortes de facteurs :
• des facteurs inversibles
• des nombres p premiers dans N et de la forme p = 4n + 3
• des entiers de Gauss a + ib tels que a2 + b2 soit premier dans N.
Par exemple 1998 = (−6 − i)(6 − i).(−3).32 .(−1 − i)(i − 1), 2000 = (1 + i)4 (1 − i)4 (1 + 2i)3 (1 − 2i)3 et
2001 = 3.23.(2 + 5i)(2 − 5i).
Décomposer 2002 de façon similaire. Et 2003 ?
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Partie III - Le théorème des deux carrés
1. On désigne par C le sous-ensemble de N constitué des entiers naturels qui sont somme de deux
carrés. Donner les 12 plus petits éléments de C (commençant par 0 = 02 + 02 !).
Montrer que C est stable par multiplication interne (il est conseillé, mais pas indispensable, d’utiliser
l’application N du I).
2. Montrer que n ∈ C ⇐⇒ 2n ∈ C.
3. Montrer que si n ∈ C et si n n’a pas de facteurs carrés, alors tous ses facteurs premiers impairs
sont congrus à 1 modulo 4.
On raisonnera sur Ep , où p serait un diviseur de n de la forme 4k + 3.
4. Montrer la caractérisation des éléments de C :
n ∈ C ⇐⇒ ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 sont tous à une puissance paire
Exemple : 27 38 51 9 EST somme de deux carrés. grâce à l’ordinateur on peut trouver :
   =  =  + 
5. Écrire une procédure qui teste si un entier donné est somme de deux carrés ou non, et qui affiche
une telle décomposition si elle existe.
NB : on démontre plus difficilement que tout entier sans exception est somme de quatre carrés.
6. 1729 = 103 + 93 = 123 + 13 . Plus simplement, quel est le plus petit entier qui s’écrit de deux façons
distinctes comme somme de deux carrés ?
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