Suites et séries

Prépa-agreg 2007-2008
Suites et séries
I Questions de cours
1 Soit (un ) une suite de nombres réels telle que limn→∞ (un+1 − un ) = 0. La suite
(un ) est-elle convergente?
√
2 Étudier la suite (un ) définie par u0 ≥ −1 et la récurrence un+1 = 1 + un .
3 Énoncer et démontrer le théorème de Cesàro.
4 Énoncer et démontrer le théorème des séries alternées.
5 Soient (an ) et (bn ) deux suites
réels telles que an ∼ bn quand n → ∞.
P de nombres
P
Que peut-on dire des séries
an et
bn ?
P An
converge dans Md (C).
6 Montrer que la série
n!
P∞ zk
7 L’exponentielle complexe étant définie par ez =
0 k! , démontrer la formule
a+b
a b
e
=e e.
n
X
P
(−1)k
. Montrer que la série
un est conver8 Pour n ∈ N∗ , on pose un = 2−n
k!
k=1
gente et calculer sa somme.
P nn n
9 Quel est le rayon de convergence de la série entière
z ?
n!
10 Donner un exemple d’une suite de fonctions continues qui converge simplement
vers 0 sur [0; 1] mais pas uniformément.
11 Donner un exemple d’une suite de fonctions de classe C 1 sur [0; 1] qui converge
uniformément vers une fonction non dérivable en 0.
12 Montrer que C 1 ([0; 1]) est complet pour la norme k . kC 1 définie par kf kC 1 =
kf k∞ + kf 0 k∞ . Est-il complet pour la norme k . k∞ ?
II Exercices
Exercice 1 Soit (an )n∈N une suite de nombres positifs, et soit (un ) la suite définie
par
r
q
√
u n = a0 + a1 + · · · + an .
1
2
n+1
1 Étudier le cas où la suite (an ) est constante, puis celui où an = λ2
pour une
certaine constante λ.
1/2n
2 Montrer que la suite (un ) est convergente si et seulement si supn an < ∞.
Exercice 2 Soit f : R → C une fonction dérivable en 0, avec f (0) = 0. Déterminer
n
X
k
lim
f
.
2
n→∞
n
k=0
Exercice 3 Soit c > 0 et soit f : [0; c] → [0; c] une fonction continue. On suppose
qu’au voisinage de 0, on a
f (x) = x − axα + o(xα ) ,
où a > 0 et α > 1.
1 Montrer que si x0 est assez petit, alors la suite (xn ) définie par xn+1 = f (xn )
converge vers 0.
2 On se place dans le cas du 1. Déterminer un réel β tel que xβn+1 − xβn ait une limite
non nulle, et en déduire un équivalent simple de xn .
3 Traiter les cas f (x) = sin x et f (x) = Log(1 + x).
Exercice 4 Soit (K, d) un espace métrique compact, et soit (fn ) une suite de fonctions continues, fn : K → R. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.
(1) La suite (fn ) est uniformément convergente.
(2) Pour toute suite convergente (xn ) ⊂ K, la suite (fn (xn )) est convergente.
Exercice 5 Soit (un ) une suite croissante de réels positifs tendant vers +∞ et
vérifiant limn→∞ (un+1 − un ) = 0. Montrer que la suite (eiun ) est dense dans le
cercle unité T.
Exercice 6 Soit J un intervalle de R et soit f : J → J une fonction de classe C 1 .
On suppose que f admet un point fixe α. Soit également u0 ∈ I, et soit (un ) la suite
définie par un+1 = f (un ).
1 On suppose qu’on a |f 0 (α)| < 1. Montrer que si u0 est suffisament proche de α,
alors la suite (un ) converge vers α avec |un − u0 | ≤ C k n , où C est une constante et
k < 1 (convergence géométrique).
2 On suppose qu’on a |f 0 (α)| > 1. Montrer que la suite (un ) ne peut converger vers
α que si elle est stationnaire.
3 On suppose que f est de classe C 2 , qu’on a f 0 (α) = 0, et que u0 est suffisament
n
proche de α au sens de 1. Montrer qu’on a une majoration du type |un − α| ≤ C k 2 ,
où C est une constante et k < 1 (convergence quadratique).
3
Exercice 7 (méthode de Newton)
Soit I un intervalle de R et soit g : I → R une fonction de classe C 2 . On suppose
que g possède un unique zéro α ∈ I, et qu’on a g 0 (α) 6= 0.
1 Montrer qu’il existe un intervalle fermé (non trivial) J ⊂ I contenant α, tel que
g(x)
g 0 (x)
est bien défini sur J, l’intervalle J étant de plus stable par f .
2 Soit u0 ∈ J, et soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un ).
a Interpréter géométriquement la définition de un+1 .
b Montrer que si u0 est suffisament proche de α, alors la suite (un ) converge vers
α, et estimer la vitesse de convergence. √
3 Étudier le cas où g(x) = x2 − 2 et I = [ 2; ∞[.
f (x) = x −
Exercice 8 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions de classe C ∞ sur [0; 1]. On suppose
(k)
que pour tout k ∈ N, on a supn kfn k∞ < ∞. Montrer que (fn ) admet une sous-suite
(gn ) qui converge uniformément vers une fonction f ∈ C ∞ ([0; 1]), et dont toutes les
dérivées convergent uniformément vers les dérivées correspondantes de f .
Exercice 9 Déterminer les rayons de convergence des séries entières
P
2
(1 − n1 )n z n .
Exercice 10 Déterminer la nature des séries
P
(−1)n
(−1)n +nα
(α > 0) et
P
P
en sin n z n et
√
sin 1 + n2 π 2 .
Exercice 11. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on peut écrire
1
1
n! e = pn +
+
+ vn ,
n + 1 (n + 1)(n + 2)
1
où pn est un
Pentier de même parité que n + 1 et vn = O( n2 ). En déduire la nature
de la série
sin(n!πe).
Exercice
P 12 Soit (un ) une suite décroissante de nombres positifs. Montrer que si la
série
un est convergente, alors un = o(1/n).
Exercice 13 Pour x ∈ ] − 1; 1[, calculer
∞
X
0
n
x2
.
1 − x2n+1
Exercice 14 (critères d’Abel)
Soit (un ) une suite de fonctions définies surPun même ensemble X. Dans chacun des
deux cas suivants, montrer que la série de
un (x) converge uniformément sur X.
4
P
a un (x) est de la forme an (x)bn , où les sommes partielles
de la série
an sont
P
uniformément bornées sur X, bn tend vers 0 et la série
|bn+1 − bn | est absolument
convergente.
P
b un (x) est de la forme
a
b
(x),
où
la
série
an converge et il existe une constante
n
n
P∞
C telle que |b0 (x)| + 0 |bn+1 (x) − bn (x)| ≤ C pour tout x ∈ X.
Exercice 15 On note Log la détermination principale du logarithme dans C \ R− :
si z = reiθ avec θ ∈ ] − π; π[, alors Log(z) = ln(r) + iθ. On rappelle que la fonction
Log est holomorphe dans C \ R− , avec Log0 (z) = 1/z.
1 Quel est le développement en série entière de Log(1 − z) dans le disque unité
D := {|z| < 1}?
P zn
2a Montrer que la série
converge uniformément sur tout compact de D\{1}.
n
2b En déduire que pour tout point ζ ∈ T\{1}, on a
∞
X
ζn
n=1
n
= −Log(1 − ζ) .
3 Pour x ∈ ]0 ; 2π[, établir les formules
∞
X
cos (nx)
n
n=1
x = −Log 2 sin
,
2
∞
X
sin (nx)
n=1
n
=
π−x
·
2
Exercice 16 (théorème d’Abel)
P
Soit S = P
cn z n une série entière de rayon de convergence R ∈ ]0 ; +∞[. On suppose
que la série
cn ζ n converge pour un certain point ζ ∈ ∂D(0, R).
1 Montrer que la série S converge uniformément dans tout domaine du type
∆(ζ, C) = {z ∈ D(0, R); |z − ζ| ≤ C (R − |z|)},
où C < ∞.
2 OnP
note f la somme de la série S dans le disque D(0, R). Montrer que f (rζ) tend
n
−
vers ∞
0 cn ζ quand r tend vers 1 .
Exercice 17 La série
X sin n
n
est-elle absolument convergente?
Exercice 18 Dans tout l’exercice, (an ) est une suite décroissante de nombres positifs
tendant vers 0.
5
P
1 Montrer que la série
an sin(nt) converge simplement sur R, et uniformément sur
tout intervalle [α; 2π − α], α > 0. P
2 Pour t ∈ R, on pose Rn (t) = k>n ak sin(kt).
2an+1
a Montrer qu’on a |Rn (t)| ≤
pour tout t ∈ ]0; π] et pour tout n.
sin(t/2)
2πan+p
b Montrer que si t ∈ ]0; π] et n, p ∈ N, alors |Rn (t)| ≤ tp sup kak +
.
t
k≥n
P
3 Montrer que la série
an sin(nt) converge uniformément sur R si et seulement si
an = o( n1 ).
Exercice 19 (convergence d’un produit infini)
P
Soit (an ) une suite de nombres complexes,
a
=
6
−1.
On
supose
que
la
série
an est
n
Q
absolumentQconvergente. Montrer que nk=0 (1 + ak ) admet une limite quand n → ∞,
−
et qu’on a ∞
0 (1 + an ) 6= 0. On pourra commencer par observer que 1 + an ∈ C \ R
pour n assez grand.
Exercice 20 (comparaison série-intégrale 1)
A Soit a ∈ N, etPsoit f : [a;R∞[→ R une fonction positive décroissante.
n
1 Montrer que na f (k) − a f (t) dt admet uneR limite l ∈ R+ . En déduire que la
P
∞
série
f (n) est convergente
P si et seulement si a f (t) dt < ∞.
Pn
2 RMontrer que si la série
f (n) est divergente,
alors
S
:=
n
a f (k) est équivalent
P
n
n → ∞. Montrer que si
f (n) est convergente et
à Ra f (t) dt quand
R ∞si f (X) =
P
∞
o X f (t) dt quand X → ∞, alors Rn := k>n f (k) est équivalent à n f (t) dt.
P
B Déterminer un équivalent des restes ou des sommes partielles des séries n≥1 n1α
P
1
(α > 0) et n≥2 nLog(n)
β (β > 0).
Exercice 21 (comparaison série-intégrale 2)
A Soit a ∈ N, et soit f : [a; ∞[→ C une fonction de classe C 1 .
1 Montrer que pour tout entier n > a, on a
Z n
Z n
n
X
f (k) =
f (t) dt +
{t}f 0 (t) dt ,
k=a+1
a
a
où {t} est la partieR décimale de t, i.e. {t} = t − E(t).
P
∞
2 Montrer Rque si a |f 0 (t)| dt < ∞, alors la série
f (n) est de même nature que
∞
l’intégrale a f (t) dt.
P cos(Logn) P sin √n
P 1
,
et
(θ ∈ R).
B Déterminer la nature des séries
n
n
n1+iθ
6
Exercice 22 Déterminer des équivalents de
quand n → ∞.
Pn
0
k α (α ≥ 0) et
P
k>n
α
e−k (α > 0)
n
X
n2 Logn n2 nLogn
Exercice 23 Montrer qu’on a
kLogk =
− +
+ O(Logn) quand
2
4
2
k=1
n → ∞.
Exercice 24 (série harmonique)
Le but de l’exercice est d’obtenir un développement asymptotique de
n
X
1
Hn =
.
k
k=1
1 Montrer que Hn − Log(n) admet une limite γ ∈ R+ .
2 On pose un = Hn − Log(n) − γ. Déterminer un équivalent simple de un − un−1 , et
en déduire un équivalent de un .
1
1
1
−
+o
3 Montrer qu’on a Hn = Log(n) + γ +
.
2
2n 12n
n2
Exercice 25 Soit (un ) une suite de nombres strictement positifs.
P
0 Rappeler la règle classique portant sur uun+1
permettant
de
décider
si
la
série
un
n
est convergente.
= 1 − naα + o( n1α ), où a > 0 et α > 0, α 6= 1. Déterminer
1 On suppose qu’on a uun+1
P n
la nature de la série
un .
P
a
=
1
−
2 On suppose qu’on a uun+1
+
α
pour
tout
n
∈
N,
où
la
série
αn est
n
n
n
P
absolument convergente et a > 0, a 6= 1. Déterminer la nature de
un .
Exercice 26 Soit (an ) une suite de nombres complexes
une limite l ∈ C.
Padmettant
an n
1 Quel est le rayon de convergence
la série entière
z ?
n!
P an de
n
2 Déterminer limx→+∞ e−x ∞
x
.
0 n!
P −n
Exercice 27 Pour x ∈ R, on pose f (x) = ∞
cos(n2 x). Montrer que f est de
0 e
classe C ∞ et que le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est nul.
Exercice 28 Soit f : R → R une fonction développable en série entière au voisinage
de 0, avec f (0) 6= 0. Montrer à la main que 1/f est développable en série entière au
voisinage de 0.
P n2
p π
Exercice 29 Montrer que f (x) = ∞
est équivalent à 21 1−x
quand x tend
0 x
−
vers 1 . On pourra comparer à une intégrale.
7
Exercice 30 Pour x ∈ ] − 1; 1[, on pose f (x) =
∞
X
n=1
xn
.
1 − xn
1 Montrer que f est bien définie, et qu’elle est de classe C ∞ sur ] − 1; 1[.
quand x → 1− .
2 Montrer que f (x) est équivalent à Log(1−x)
1−x
3 Pour n ∈ N, on note d(n) la somme des diviseurs de n. Montrer qu’on a
∞
X
f (x) =
d(n)xn .
n=1
Exercice 31 Pour x ≥ 0, on pose f (x) =
∞
X
e−
0
√
nx
n3/2
.
1 Montrer que f est continue sur [0; ∞[ et de classe C ∞ sur ]0; ∞[.
2 Étudier la dérivabilité de f en 0.
Exercice 32 (lemme de Kronecker)
Soit (an ) une suite croissante de réels positifs tendant
P xnvers +∞, et soit (xn ) une suite
est convergente. Montrer que
de nombres complexes. On suppose que la série
an
Pn
1
0 xk tend vers 0.
an
Exercice 33 Soit (X, k . k) un espace vectoriel normé. Montrer que les propriétés
suivantes sont équivalentes.
(1) (X, k . k) est complet.
(2) Toute série absolument convergente à termes dans X est convergente.
Exercice 34 (points de discontinuité des fonctions croissantes)
1 Montrer que si f : R → R est une fonction croissante, alors l’ensemble des points
de discontinuité de f est dénombrable.
2a Soit a ∈ R. Quelle est la fonction croissante bornée “la plus simple” ayant a pour
seul point de discontinuité?
2b Soit D ⊂ R un ensemble dénombrable. Montrer qu’il existe une fonction croissante f : R → R dont l’ensemble des points de discontinuité est exactement D.
Mini-problèmes
Problème 1 (nombre de rotation)
Soit f : R → R une fonction continue croissante, telle que f (x + 1) = f (x) + 1 pour
tout x ∈ R. Pour n ∈ N, on pose f n = f ◦ · · · ◦ f . Le but de l’exercice est de
8
n
montrer que f n(x) admet une limite pour tout x ∈ R, et que cette limite est de plus
indépendante de x.
1a Soient m, n ∈ N. En notant a la partie entière de f n (0), montrer qu’on a f m (0) +
a ≤ f m+n (0) ≤ f m (0) + a + 1.
1b Soit (un ) une suite de nombres réels vérifiant
∀n, m ∈ N un + um − 1 ≤ un+m ≤ un + um + 1 .
Montrer que la suite ( unn ) est convergente. On pourra commencer par montrer que
si p, q ∈ N∗ , alors | upqpq − uqq | ≤ 1q .
n
1c Montrer que la suite ( f n(0) ) est convergente.
2 Soient x, y ∈ R, et soit k ∈ N tel que |x − y| ≤ k. Montrer que pour tout n ∈ N,
on a |f n (x) − f n (y)| ≤ k.
3 Conclure.
Problème 2 (3-cycles et n-cycles)
Soit E un segment de R (i.e. un intervalle compact), et soit f : E → E une
application continue. On pose f 0 = id et f n = f ◦ · · · ◦ f pour n ∈ N∗ . On dit qu’un
point x ∈ E est périodique de période n ∈ N∗ pour f si f n (x) = x et f k (x) 6= x pour
tout k ∈ {1; . . . ; n − 1}.
1 On définit une relation ≺ entre segments de I de la façon suivante: I ≺ I 0 si et
seulement si I ⊂ f (I 0 ). On prendra garde au fait que contrairement à ce que suggère
la notation, la relation ≺ n’est pas transitive.
a Montrer que si I ≺ I 0 , alors on peut trouver un segment J ⊂ I 0 tel que f (J) = I.
b Soit n ∈ N∗ , et soient I0 , . . . , In−1 des segments de E tels que I0 ≺ In−1 ≺ · · · ≺
I1 ≺ I0 (si n = 1, il faut simplement lire I0 ≺ I0 ). Montrer que f n admet un point
fixe x0 tel que f k (x0 ) ∈ Ik pour tout k ∈ {0; . . . ; n − 1}.
2 Soient a ∈ E tel que a < f (a) < f 2 (a) et f 3 (a) = a. On pose I0 = [a; f (a)] et
I1 = [f (a); f 2 (a)].
a Vérifier qu’on a I0 ≺ I1 ≺ I0 et I0 ≺ I0 .
b Montrer que f possède un point fixe et un point 2-périodique.
c Soit n ≥ 4. Montrer que f n possède un point fixe x ∈ I0 tel que f k (x) ∈ I1 pour
tout k ∈ {1; . . . n − 1}. Montrer ensuite que x est périodique de période n.
3 Montrer que si f possède un point périodique de période 3, alors f possède un
point périodique de période n pour tout n ∈ N∗ .
Problème 3 (sommabilité au sens d’Abel et de Cesàro)
9
Soit (an ) une suite de nombres complexes. On dit que la série
au sens de Cesàro, avec pour somme l ∈ C, si
P
xn est sommable
n
1 X
lim
Ak = l ,
n→∞ n − 1
k=0
Pk
P
où Ak = i=0 ai . On
la série
xn est sommable au sens d’Abel, avec pour
Pdit que
somme l, si la série
an xn converge pour tout x ∈ [0; 1[ et si
lim
x→1−
∞
X
an x n = l .
0
P
A Que peut-on dire de général concernant la convergence de la série
an et sa
sommabilité au sens d’Abel ou de Cesàro?
P
B On suppose que la série
aP
n est sommable au sens de Cesàro.
n
1
Pour
n
∈
N,
on
pose
T
=
n
0 Ak . Montrer que pour tout x ∈ [0; 1[, les séries
P
P
n
n
Tn x et
an x sont convergentes avec
∞
X
an xn = (1 − x)2
0
2 Montrer que
∞
X
Tn xn .
0
P
an est sommable sens d’Abel, avec la même somme.
P
C On suppose que la série
an est sommable au sens d’Abel.
P
1 Montrer que si les an sont réels positifs,
la série
an est convergente.
P∞ alors
n
2a Pour x ∈ [0, 1[, on pose f (x) = 0 an x . Montrer que pour tout entier n ∈ N,
on a
n
n
X
X
1
|kak | +
ak − f (x) ≤ (1 − x)
sup |ak | .
0
1
−
x
k>n
0
P
2b En déduire que si an = o(1/n), alors la série
an est convergente (théorème de
Tauber).
D Le but de cette partie est de montrer que dans C2b, on peut remplacer la condition
“an =Po(1/n)” par “an = O(1/n)” (théorème de Littlewood ). On suppose donc que la
série
an est
et on cherche à montrer
P sommable au sens d’Abel, avec an = O(1/n),P
n
que la P
série
an converge. Pour x ∈ [0; 1[, on pose f (x) = ∞
0 an x . On pose aussi
n
+
An = 0 ak . Enfin, on note a : R → C la fonction définie par a(t) = an pour
t ∈ [n; n + 1[.
1 Vérifier que pour tout n ∈ N∗ , on a
Z ∞
An−1 = n
a(nt)g(e−t ) dt ,
0
où g est la fonction indicatrice de l’intervalle [1/e; 1].
10
2 Montrer que la fonction x 7→ g(x)−x
est intégrable sur ]0; 1[. En déduire que pour
x(1−x)
tout ε > 0, on peut trouver un polynôme Q = Qε tel que
Z ∞
|g(e−t ) − Q(e−t )|
dt < ε
t
0
avec de plus Q(0) = 0 et Q(1) = 1.
3a Montrer que pour tout s > 0, la fonction u 7→ a(u)e−su est intégrable sur R+ , et
qu’on a
Z ∞
1 − e−s
f (e−s ) .
a(u)e−su du =
s
0
R∞
3b En déduire la limite limn→∞ n 0 a(nt)Q(e−t ) dt, pour tout polynôme Q vérifiant
Q(0) = 0.
4 Démontrer le résultat souhaité.
Problème 4 (convolution discrète; séries produits)
A Si a = (a(n))n∈N et b = (b(n))n∈N sont deux suites de nombres complexes, on
définit une suite a ∗ b par la formule
n
X
a(k)b(n − k) .
a ∗ b(n) =
k=0
P
Autrement
dit, a ∗ b(n) est le terme général de la “série produit” des séries
a(n)
P
et
b(n).
1 Montrer que l’opération ∗ est bilinéaire, commutative
P∞ et associative.
2 Montrer
que si la suite a admet une limite l et si 0 |b(n)| < ∞, alors a ∗ b(n) →
P
b(n).
l× ∞
0
1
3 Montrer que si la suite a tend vers 0 et si la suite b est bornée, alors n+1
a∗b(n) → 0.
1
0
En déduire que si les suites a et b admettent des limites l et l , alors n+1 a∗b(n) → ll0 .
P
P
P
B Soient
an et
bn deux séries numériques, et soit
cn la série produit. En cas
de convergence, on note A, B, C les sommes de ces séries.
0 Dans quels cas peut-on à coup sûr écrire C = AB?
1 Utiliser
P A pour établir les résultats
P suivants.
P
a Si
an est convergente et si
bn est absolument convergente, alors
cn est
convergente
et
C
=
AB
(théorème
de
Mertens).
P
P
P
b Si
an et
bn sont convergentes, alors
cn est sommable au sens de Cesàro,
avec pour somme AB.
P
P
P
C On garde les notations de B. Montrer que si les trois séries
an ,
bn et
cn
sont convergentes, alors C = AB.
Problème 5 (séries de Dirichlet)
11
Dans ce qui suit, S est une série de Dirichlet, c’est à dire une série de fonctions de
la forme
X
S(z) =
an e−λn z ,
où les an sont des nombres complexes, et (λn ) est une suite strictement croissantes
de nombres positifs tendant vers +∞. Si z ∈ C et si la série S(z) converge, on note
f (z) la somme de cette série.
1a Soit z0 ∈ C. Montrer que si la série S(z0 ) est absolument convergente, alors la
série S(z) converge normalement dans le demi-plan {Re(z) ≥ Re(z0 )}.
1b Montrer qu’il existe un unique nombre xa ∈ [−∞ ; +∞] tel que la série S(z)
converge absolument pour Re(z) > xa et ne converge pas absolument pour Re(z) <
xa . On dit que xa est l’abscisse de convergence absolue de la série S.
2a Montrer que pour a, b ∈ R, a < b, et pour w = x + iy ∈ C, avec x ≥ 0, on a
|w| −aw
− e−bw ≤
e−ax − e−bx .
e
x
2b Soit z0 ∈ C. On suppose que la série S(z0 ) converge. Déduire de a que la série
S(z) converge uniformément dans tout secteur angulaire du type
Σα = {z; |arg(z − z0 )| ≤ α} ,
où α < π/2 .
2c Montrer qu’il existe un unique xc ∈ [−∞ ; +∞] tel que la série S(z) converge pour
Re(z) > xc et diverge pour Re(z) < xc . On dit que xc est l’abscisse de convergence
de la série S.
3 Montrer que f est holomorphe dans {Re(z) > xc }.
n
4 Montrer qu’on a xc ≤ xa ≤ xc + µ, où µ = limn→∞ Log
.
λn
5 On prend λn = n pour tout n. Montrer qu’on a xa = xc = lim Logn|an | . Quel
résultat connu retrouve-t-on en appliquant 2b?
6 Déterminer xa et xc dans les cas suivants.
a an = 1, λn = Log n.
b an = (−1)n , λn = Logn
c an = (−1)n , λn = LogLog n.
α
d an = e−n , λn = nβ (α ≥ 0 , β > 0).
Exercice (inégalité de Carleman)
A1 Montrer que si a1 , . . . , an sont des nombres positifs, alors
n
√
1 X
n
a1 . . . an ≤ √
kak .
n n n! k=1
A2 Montrer que ∀n ∈ N∗
n+1
√
≤ e.
n
n!
12
B Déduire de A que pour toute suite de nombres positifs (an )n≥1 , on a
∞
X
√
n
a1 . . . an ≤ e
n=1
∞
X
an .
n=1
N
X
1
√
quand N → ∞.
C1 Trouver un équivalent simple de
n
n!
n=1
C2 En déduire que la constante C = e est la meilleure possible dans l’inégalité
démontrée en B.
Problème 6 (théorème de Borel)
1 Soit ϕ une fonction de classe C ∞ sur R, à support contenu dans [−1; 1]. Soient
également n, i deux entiers positifs tels que n ≥ 2i, et soit ε ∈ ]0 ; 1]. On pose
n
ψ(x) = x ϕ(x/ε). Montrer qu’il existe une constante Ci , dépendant de i mais
n!
indépendante de n et ε, telle que kψ (i) k∞ ≤ Ci εn/2 . Calculer aussi ψ k (0) pour tout
k ∈ N.
2 Soit (an ) une suite de nombres complexes. Montrer qu’il existe une fonction f ∈
C ∞ (R) telle que f (n) (0) = an pour tout n ≥ 0.
Problème 7 (zéros des fonctions C ∞ )
1 Soit (ϕk ) une suite de fonctions de classe C ∞ sur Rn , à supports compacts. Montrer
petits, alors la formule f (x) =
P∞ que si les λk > 0 sont choisis suffisamment
∞
0 λk ϕk (x) définit une fonction de classe C .
2 Montrer que tout ouvert de Rn est réunion dénombrable de boules ouvertes.
3 Montrer que si B ⊂ Rn est une boule ouverte, alors on peut trouver une fonction
positive ϕ ∈ C ∞ (Rn ) telle que ϕ(x) > 0 pour tout x ∈ B et ϕ ≡ 0 en dehors de B.
4 Soit F un fermé de Rn . Montrer qu’il existe une fonction f ∈ C ∞ (Rn ) telle que
F = f −1 (0).
Problème 8 (théorème d’extension de Tietze)
Soit (X, d) un espace métrique, et soit C un fermé de X. Le but du problème est
d’établir le résultat suivant: toute fonction continue f : C → [0; 1] peut se prolonger
en une fonction continue F : X → [0; 1].
1 Soient A, B ⊂ X deux fermés disjoints. Montrer qu’il existe une fonction continue
ϕ : X → [0; 1] telle que ϕ ≡ 0 sur A et ϕ ≡ 1 sur B.
2 Soit f : C → [0; 1] continue.
a Montrer qu’il existe une fonction continue f1 : X → [0; 1/3] telle que f1 (z) = 0
si z ∈ C et f (z) ≤ 1/3, et f1 (z) = 1/3 si z ∈ C et f (z) ≥ 2/3.
b Montrer qu’on a 0 ≤ f (z) − f1 (z) ≤ 2/3 pour tout z ∈ C.
13
3 Soit à nouveau f : C → [0; 1] continue. Montrer qu’on peut construire une suite
de fonctions continues (fn )n≥1 , fn : X → R, vérifiant les propriétés suivantes:
n−1
(i) 0 ≤ fn (x) ≤ 31 32
pour tout
n x ∈ X;
P
(ii) 0 ≤ f (z) − nk=1 fk (z) ≤ 23 pour tout z ∈ C.
4 Démontrer le résultat souhaité.
Problème 9 (formule de Stirling)
√
1 Montrer qu’il existe uneP
constante C telle que n! ∼ C nn ne−n quand n → ∞.
n
On pourra étudier la série (Log(un+1 ) − Log(un )), où un = n!e
1 .
n+ 2
n
Rπ
2 Pour n ∈ N, on pose In = 02 cosn t dt.
a Trouver une relation de récurrence entre In et In−2 .
b En déduire d’une part une formule explicite pour I2k et I2k+1 , et d’autre part
un équivalent simple de In quand n → ∞.
√
3 Démontrer la formule de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn quand n → ∞.
Problème 10 (formule d’Euler, sinus, fonction Gamma)
A Montrer sans
le logarithme complexe que pour tout nombre complexe z,
utiliser
z n
z
on a e = lim 1 +
.
n→∞
n
!
n
Y
x2
1−
B1 Montrer que pour tout x ∈ R, on a sin x = lim x
kπ
2 tan2
n→∞
(2n
+
1)
2n+1
k=1
B2 En déduire le développement du sinus en produit infini :
∞ Y
x2
sin x = x
1− 2 2 .
π n
n=1
Z
∞
tx−1 e−t dt. Justifier la définition.
0
n
Rn
1 Soit x > 0. Pour n ∈ N, calculer l’intégrale 0 1 − nt tx−1 dt. En déduire qu’on
a
nx n!
Γ(x) = lim
.
n→∞ x(x + 1) . . . (x + n)
2 Montrer que Γ(x) 6= 0 pour tout x > 0, et qu’on a
∞ Y
x −x/k
1
γx
e
,
= xe
1+
Γ(x)
k
k=1
P
où γ est la constante d’Euler, γ = limn→∞ ( n1 k1 − Logn).
C Pour x > 0, on pose Γ(x) =
14
3 Montrer que pour tout x ∈ ]0; 1[, on a la formule des compléments:
π
Γ(x)Γ(1 − x) =
.
sin πx
∞
∞
X
X
1
(−1)n
Problème 11 Pour x ∈ R, on pose ζ(x) =
et
α(x)
=
, lorsque ces
x
x
n
n
n=1
n=1
séries convergent.
1a Quels sont les domaines de définition de ζ et α?
1b Montrer que ζ et α sont de classe C ∞ .
2 Montrer que si x > 1, alors α(x) = (1−21−x )ζ(x). En déduire un équivalent simple
de ζ(x) quand x → 1+ .
3 Montrer qu’on a x 2−x−1 ζ(x + 1) ≤ α(x) ≤ x (1 − 2−x−1 )ζ(x + 1) pour tout x > 1.
En déduire la limite de α(x) quand x → 0+ .
Problème 12 (familles sommables)
Si (ai )i∈I est une famille d’élements de [0; ∞] indexée par un ensemble I, on pose
(
)
X
X
ai = sup
ai ; F ⊂ I, F fini .
i∈I
i∈F
0 Que devient cette définition lorsque I = N?
1 Établir les résultats suivants.
X
X
X
a Additivité :
(ai + bi ) =
ai +
bi .
i∈I
i∈I
i∈I X
XX
b Si (Ik )k∈K est une partition de I, alors
ai =
ai .
c Fubini :
XX
i∈I j∈J
ai,j =
X
ai,j =
X
i∈I
k∈K i∈Ik
ai,j .
j∈J i∈I
(i,j)∈I×J
d Changement de variable :
X i∈I
X
ai =
X
aσ(i) pour toute bijection σ : I → I.
i∈I
P
2 On ditPqu’une famille de nombres complexes (ai )i∈I est sommable si i∈I |ai | < ∞.
Définir i∈I ai pour une famille sommable (ai )i∈I , et énoncer les résultats attendus.
∞
X
1
.
Problème 13 Pour x > 1, on pose ζ(x) =
nx
n=1
1 Déterminer limx→1+ ζ(x) et trouver un équivalent simple de ζ(x) quand x → 1+ .
On pourra comparer à une intégrale.
2 On note (pn )n≥1 la suite des nombres premiers (rangés par ordre croissant).
15
−1
∞ Y
1
a Montrer qu’on a ζ(x) =
1−
pour tout x > 1.
p
n
n=1
P
1
b En déduire que la série
est divergente.
pn
Problème 14 (séries entières universelles)
1 Soit P : [0; 1] → R une fonction continue telle que P (0) = 0. Soient également
N ∈ N et ε > 0. Montrer qu’il existe un polynôme R tel que
∀x ∈ [0; 1] |P (x) − xN R(x)| ≤ ε .
2 Soit (Pn )n∈N une suite de polynômes à coefficients réels, avec Pn (0) = 0. Montrer
qu’il existe une suite de polynômes (Qn )n∈N telle que
(i) val(Qn ) > deg(Qn−1 ) si n ≥ 1;P
(ii) ∀n ∈ N ∀x ∈ [0; 1] |Pn (x) − n0 Qk (x)| ≤ 2−n .
P
3 Montrer qu’il existe une série entière n≥1 an xn vérifiant la propriété suivante:
pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, il existe une suite strictement
croissante
Pnk
n
d’entiers (nk ) telle que la suite de sommes partielles Snk (x) = n=1 an x converge
uniformément vers f .
Problème 15 (suites équiréparties)
On dit qu’une suite (un )n≥1 d’éléments de [0; 1] est équirépartie si pour tout intervalle
[a; b] ⊂ [0; 1], on a
lim
n→∞
1
card {i ∈ {1; . . . ; n}; ui ∈ [a; b]} = b − a .
n
A Soit (un )n≥1 une suite dans [0; 1]. On note E l’ensemble des fonctions mesurables
bornées f : [0; 1] → R vérifiant
Z b
n
1X
lim
f (uk ) =
f (t) dt.
n→∞ n
a
k=1
Soit maintenant f : [0; 1] → R une fonction mesurable bornée. Montrer que dans
chacun des cas suivants, on peut conclure que f ∈ E.
a f est limite uniforme d’une suite d’éléments de E.
b f est limite simple d’une suite croissante d’éléments de E et d’une suite décroissante
déléments de E.
B Montrer que pour une suite (un ) ⊂ [0; 1], les propriétés suivantes sont équivalentes.
(i) (un ) est équirépartie.
16
(ii) Pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, on a
Z b
n
1X
lim
f (uk ) =
f (t) dt .
n→∞ n
a
k=1
(iii) Pour tout entier m ∈ Z \ {0}, on a
n
1 X 2iπmuk
= 0.
e
lim
n→∞ n
k=1
C Soit θ ∈ [0; 1]. Montrer que la suite ({nθ})n≥1 est équirépartie si et seulement si
θ 6∈ Q.
Problème 16 (séries de Hardy)
Dans ce problème, on étudie la convergence de la série
paramètre α > 0.
P sin(π√n)
nα
en fonction du
A Que dire si α > 1?
B Traiter le cas
1
2
< α < 1 en comparant avec une intégrale.
√
iπ n+1
C1 Montrer qu’on a e
−e
√
iπ n
√
√
iπeiπ n π 2 eiπ
= √ −
8n
2 n
n
+O
1
n3/2
quand n → ∞.
C2 Traiter le cas α = 21 .
D Traiter enfin le cas α < 21 , en écrivant
√
sin(π n)
√
n
=
√
sin(π n)
1
.
1
nα
n 2 −α
Problème 17 (théorème de Weierstrass)
Le but du problème est de donner une preuve un peu exotique du théorème de
Weierstrass (toute fonction continue f : [0; 1] → R peut s’approcher uniformément
par des fonctions polynomiales).
A1 On définit une suite de polynômes (Pn ) par P0 = 0 et
1
Pn+1 (x) = Pn (x) + (x − Pn2 (x)) .
2
Montrer que pour tout x ∈ [0; 1], on a Pn (x) ≥ 0 et
n
√
√
1√
0 ≤ x − Pn (x) ≤ x 1 −
x
.
2
√
En déduire que Pn (x) tend vers x uniformément sur [0; 1].
A2 Montrer qu’il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers |x|
sur [−1; 1].
17
B Pour a ∈ [0; 1], on note φa : [0; 1] → R la fonction x 7→ |x − a|. Montrer que
toute fonction continue affine par morceaux f : [0; 1] → R est combinaison linéaire
de fonctions φa .
C Démontrer le théorème de Weierstrass en utilisant ce qui précède.
Problème 18 (limites simples de fonctions continues)
Dans tout l’exercice, (E, d) est un espace métrique complet et (fn )n∈N est une suite
de fonctions continues, fn : E → R, convergeant simplement vers une fonction
f : E → R. Le but du problème est de montrer que l’ensemble des points de
continuité de f est dense dans E.
1 Pour ε > 0, on pose
Oε = {x ∈ E; ∃V voisinage de x tel que ∀y, z ∈ V |f (y) − f (z)| ≤ ε} .
T
Montrer que chaque Oε est ouvert, et que si un point x ∈ X appartient à p∈N∗ O1/p ,
alors x est un point de continuité de f .
2 Soient ε > 0 et n ∈ N fixés. On pose F = {x ∈ E; ∀p, q ≥ n |fp (x) − fq (x)| ≤ ε} .
Montrer qu’on a F̊ ⊂ O3ε .
S
S
3 Soit (Fn )n∈N une suite de fermés de E telle que n Fn = E. Montrer que n F̊n
est dense dans E.
4 Démontrer le résultat souhaité.
Problème 19 (une fonction continue nulle-part dérivable)
Soit ϕ : R → R la fonction 2-périodique telle que ϕ(x) = |x| pour tout x ∈ [−1; 1].
On définit f : R → R par
∞
X
f (x) =
2−n ϕ(8n x) .
n=0
1 Montrer que f est continue.
2 Soit x ∈ R, et soit m ∈ N.
a Montrer qu’on peut choisir εm ∈ {−1; 1} de sorte qu’en posant hm = ε2m 8−m , il
n’y ait pas d’entier entre 8m x et 8m (x + hm ).
ϕ(8n x) − ϕ(8n (x + hm ))
b Pour n ∈ N, on pose dm,n =
. Calculer dn,m pour n > m,
hm
montrer qu’on a |dn,m | ≤ 8n pour n < m, et calculer |dm,m |.
3 Montrer que la fonction f n’est dérivable en aucun point.
Problème 20 (unicité du développement trigonométrique)
Le but du problème est d’établir le résultat
si une fonction f : R → C est
P suivant:
la somme d’une série trigonométrique
an eint (i.e. la série converge en tout point
vers f (t)), alors les coefficients an sont déterminés de manière unique.
18
A Soit (cn )n∈Z une suite de nombres complexes telle que limn→+∞ (cn eint +c−n e−int ) =
0 pour tout t ∈ R. Montrer qu’on a lim|n|→∞ cn = 0. (On pourra commencer par
R 2π
montrer, en considérant 0 sin(nk t)2 dt, qu’il n’existe aucune suite d’entiers (nk ) telle
que sin(nk t) → 0 pour tout t ∈ R.)
B Pour une fonction F : R → C et pour t ∈ R, on pose
F [2] (t) = lim+
h→0
F (t + h) + F (t − h) − F (t)
h2
lorsque cette limite existe.
0 Que vaut F [2] (t) lorsque la fonction F est deux fois dérivable au point t?
1 Soit F : R → R continue. On suppose que F [2] (t) existe en tout point et qu’on a
F [2] (t) ≥ 0 pour tout t ∈ R.
a Montrer que si u : R → R est une fonction affine et si ε > 0, alors la fonction
t 7→ F (t) − u(t) + εt2 ne possède pas de maximum local.
b Montrer que F est convexe.
2 Montrer que si F : R → C est une fonction continue telle que F [2] (t) existe en tout
point et F [2] ≡ 0, alors F est une fonction affine.
C Soit ϕ : R → C une fonction dePclasse C 1 , et soit (αn ) une suiteR de nombres
complexes. On suppose que la série Pαn est convergente, et qu’on a R |ϕ0 (t)| dt <
∞. Montrer que la série de fonctions
αn ϕ(nx) converge uniformément sur R.
D
(cn )n∈Z une suite de nombres complexes. On suppose que la série trigonométrique
PSoitint
cn e converge en tout point vers 0, autrement dit que pour tout t ∈ R, on a
lim
N →∞
1 Montrer que la série
P
cn
n6=0 n2
N
X
cn eint = 0 .
n=−N
eint converge uniformément sur R. On pose
X cn
eint .
F (t) = −
2
n
n6=0
2 Montrer que pour t ∈ R et h > 0, on peut écrire
F (t + h) + F (t − h) − 2F (t) X
nh
int
=
cn e ϕ
,
2
h
2
n6=0
où la fonction ϕ est à déterminer.
3 Montrer que la fonction F est constante.
4 Montrer que tous les cn sont nuls.
E Conclure.
Problème 21 (convergence inconditionnelle)
19
A Soit X un espace de Banach, et soit (xn )n∈N une suite de points de X. Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes.
P
(1) Pour toute bijection σ : N → N, la série
xσ(n) est P
convergente.
(2) Pour tout ε > 0, on peut trouver N ∈ N tel que k n∈J xn k < ε pour tout
ensemble fini J ⊂ N vérifiant min(J) > N .
P
(3) Pour toute suite strictement croissante d’entiers (nk ), la série
xnk est convergente.
P
Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit que la série xn est inconditionnellement
convergente.
P
B On suppose que X est de dimension finie. P
Montrer que la série
xn est inconditionnellement convergente si et seulement si ∞
kx
k
<
∞.
n
0
C On suppose que X = H est un espace de Hilbert.
1 Pour tout ensemble fini J ⊂ N, on pose ∆J = {−1; 1}J , et on note |J| le nombre
d’éléments de J. Montrer que si (xn )n∈J est une suite finie d’éléments de H, alors
2
X
1 X
X
ε
x
=
kxn k2 .
n
n
2|J| ε∈∆ n∈J
n∈J
J
P
2 Montrer
Pque si 2 xn est une série inconditionnellement convergente à termes dans
H, alors ∞
0 kxn k < ∞.
3 On suppose que
de dimension infinie. Montrer que pour toute suite (λn )n∈N ⊂
PH∞ est
2
λ
[0; ∞[ telle que P
n < ∞, il existe une suite xn ⊂ H telle que kxn k = λn pour
0
tout n et la série
xn est inconditionnellement convergente.