Algèbre Linéaire Interpolation polynômiale TP n 3 : Interpolation

Algèbre Linéaire
Interpolation polynômiale
TP n◦ 3 : Interpolation polynômiale
Matrice de Vandermonde On cherche à résoudre le problème d’interpolation polynomiale par résolution du système linéaire obtenu en écrivant le système de n+1
équations à n+1 inconnues. On cherche donc l’unique polynôme de degré n passant par les points (x i ; f i )i =0,...,n d’une fonction f donnée. Les points (x i )i =0,...,n étant
tous distincts.
jX
=n
j
P n (x i ) =
a j x i = f (x i ), i = 0, . . . , n
j =0
Soit matriciellement






1
1
..
.
1
x 01
x 11
..
.
x n1
...
...
..
.
...
x 0n
x 1n
..
.
x nn






a0
a1
..
.
an


 
 
=
 
 
f (x 0 )
f (x 1 )
..
.
f (x n )






1. Ecrire un programme scilab qui détermine le polynôme d’interpolation par
résolution du système linéaire associé, utilsant la matrice de Vandermonde.
• Pour construire la matrice
 devandermonde, on peut remarquer que la
1
 1 



première colonne vaut 
 .. , et qu’il suffit ensuite de la multiplier à
 . 
1


x0
 x 
 1 

chaque fois, terme à terme, par le vecteur 
 .. 
 . 
xn
• Après avoir résolu le système, vous pouvez utiliser la fonction poly qui
permet de construire un polynôme à partir de ses coefficients.
2. Utiliser votre programme avec la fonction sin et des points d’interpolation
réguliérement espacés de l’interalle [−3.5, 3.5]. Que se passe-t-il quand le nombre de points est trop grand ?
3. Faire de même avec la fonction
1
sur l’intervalle [−5, 5].
1 + x2
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Algèbre Linéaire
Interpolation polynômiale
Polynômes d’interpolations de Lagrange On utilise directement les polynômes
de Lagrange (base de Rn [x]) pour écrire le polynôme d’interpolation. Le i -ème
polynôme L i s’écrit
Q
j 6=i (x − x j )
L i (x) = Q
j 6=i (x i − x j )
½
1 pour i = k
de sorte que L i (x k ) =
.
0 pour i 6= k
Le polynôme d’interpolation s’écrit alors
p(x) =
iX
=n
f i L i (x)
i =0
1. Ecrire un programme scilab qui construit le polynôme interpolateur par construction directe à partir des polynômes de Lagrange.
2. Tester avec les deux exemples de la question précédente. Quid ?
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