Contribution à la théorie additive des nombres. I

Mathematics. - Contribution à la théorie additive des nombres. Par
J. G. VAN DER CORPUT. (Première communication).
(Communicated at the meeting of February 26, 1938.)
Presque tout nombre naturel est un nombre premier augmenté d'un
carré, c'est-à-dire, E étant positif et N suffisamment grand, Ie nombre
des exceptions -= Nest inférieur à EN. Si g est un nombre naturel
donné, presque tout nombre naturel est un nombre premier augmenté
de la gièmc puissance d'un nombre naturel; presque tout nombre naturel
est un nombre premier diminué de la gième puissance d'un nombre naturel
et presque tout nombre naturel est en outre égal à la gièmc puissance
d'un nombre naturel diminuée d'un nombre premier.
On obtient un résultat encore plus général en considérant un polynöme
quelconque non-constant V' (x) à coefficients entiers. Soit G Ie plus grand
nombre naturel qui est un diviseur de tous les nombres lp (x) -lP (0), ou
x est entier. Presque tout nombre naturel t tel que t-v' (0) soit premier
avec G, est un nombre premier augmenté de lp (x), ou x désigne un
nombre naturel convenablement choisi. Si Ie terme du degré Ie plus
élevé de lp (x) possède un coefficient positif. presque tout nombre naturel
t tel que t - lp (0) soit premier avec G, peut être mis sous la forme
V' (x) - p, ou x désigne un nombre naturel. p un nombre premier.
Quels nombres sont égaux à un nombre premier p > 3 augmenté du
carré d'un nombre premier p' > 3? Le nombre p étant un multiple de
6 augmenté de ± 1 et Ie carré p'2 étant un multiple de 6 augmenté de
I, seuls les multiples de 6 et les multiples de 6 augmentés de 2 entrent
en considération. · Inversement, presque tout multiple positif de 6, et
également presque tout multiple positif de 6 augmenté de 2 peut être écrit
sous la forme p
p'2, ou p et p' désignent des nombres premiers> 3.
D'une manière analogue on obtient que presque tout multiple positif de
6, et également presque tout multiple positif de 6 augmenté de 2 est
égal au carré d'un nombre premier> 3, diminué d'un nombre premier
> 3. Presque tout multiple positif de 6, et également presque tout
multiple positif de 6 augmenté de '4 est égal à un nombre premier > 3
diminué du carré d'un nombre premier> 3.
Chaque nombre t qui est égal à un nombre premier> 1001. augmenté
de la 1000 ième puissance d'un nombre premier> 1001 a la propriété que
t-l n'est divisible par aucun des nombres 2, 3, 5, 11, 41. 101 et 251;
en effet, tV désignant un de ces sept nombres premiers, la 1000 ièrr.c
puissance d'un nombre premier > 1001 est congru à 1 modulo w,
Inversement, presque tout nombre naturel t tel que t-l ne soit divisible
15*
+
228
par aucun des sept nombres nommés est égal à un nombre premier
> 1001 augmenté de la 1000ième puissance d'un nombre premier> 1001.
Je me demande maintenant quels nombres t possèdent la forme
t P p,9, ou g désigne un nombre naturel donné, p et p' des nombres
premiers > g + 1. Désignons par G Ie produit des nombres premiers
w tels que w - 1 soit un diviseur de g (Iorsque g
lOOD, G est donc
Ie produit des sept nombres premiers nommés). Pour tout facteur premier
w de G on a
= +
=
9
p,9 = (p,W-1t- 1 -
1. donc p
+ p,9 ~ 1 (mod. w),
de sorte que seuls les nombres tentrent en considération tels que t-l
soit premier avec G. Comme je démontrerai, presque tout nombre naturel
t tel que t- 1 soit premier avec G est égal à un nombre premier
g
1. augmenté de la gième puissance d'un nombre premier> g
1.
Presque tout nombre naturel t tel que t- 1 soit premier avec G est
égal à la gièmc puissance d'un nombre premier> g
1. diminué d'un
nombre premier > g
1. Presque tout nombre naturel t tel que t
1
soit premier avec G est égal à un nombre premier > g
I, diminué
de la giérne puissance d'un nombre premier> g
1.
Considérons encore un polynöme non~constant ljJ (x) à coefficients
entiers. Désignons par E l'ensemble des nombres naturels t tels qu'à
tout nombre premier w corresponde au moins un nombre entier y non
divisible par w satisfaisant à la condition que t -ljJ (y) ne soit pas
divisible par w. Presque tout nombre de Eest égal à un nombre premier
augmenté de ljJ (p'), ou p' désigne un nombre premier. Si Ie terme du
degré Ie plus élevé de ljJ (x) possède un coefficient positif, presque tout
nombre de Eest égal à ljJ (p/)_p, ou p et p' sont des nombres premiers.
Finalement je mentionne un résultat d'un caractère un peu différent:
presque tout multiple positif de 24 augmenté de 3 est la somme des
carrés de trois nombres premiers.
Tous ces résultats et en co re beaucoup d'autres résultent du théorème
suivant. Il est vrai que Ie texte de cette proposition ressemble beaucoup
à celui d'un autre théorème que j'ai publié autre part I), mais les
applications sont tout autres.
Je considère une suite dénombrable de nombres positifs
> +
+
+
+
+
+
+
(I')
et une suite de nombre nature Is
Désignons par V, V' et T trois inter valIes, dont chacun contient au
1) Sur l"hypothèse de GOLDBACH pour presque tous les nombres pairs, Acta Arithmetica, 2, 266-290 (1937), voir p. 268 et 269.
Sur deux, trois ou quatre nombres premiers, Première communication, Proc. Royal
Netherlands Acad. Amsterdam, 40,846-850 (1937), voir p. 849 et 850.
229
moins un entier. Les sommes 2', I
et
.'
V, V'
appartenant respectivement à
2,'
sont étendues à tous les entiers,
en T, tandis que
I
est étendu
V+II'==t
toutes les paires d'entiers v et v', telles que v appartienne à V, que
v' appartienne à V' et que v
v' soit égal à un nombre donné t.
Proposition 1: Conditions. 1. Le nombre Nest ::>- 3 et nous désig~
nons log N par n. Chacun des intervalles V et V' contient N entiers
tout au plus. r et r ' désignant des nombres positifs. Pour tout entier
v de V et tout entier v' de V I je dé{inis les fonctions r (v). e (v), r' (v')
et e' (v'). telles que e' (v') soit en valeur absolue -=: ]".
à
+
(I)
2' I r' (v') 1-==r'N et
2.
Le nombre I est
::>-
(2)
lel(vl+l)-el(v/) l -=:r'.
I
,,' et v'
v'
+ 1 da ns V'
O. A toute fraction irréductible ~ =- 0 et
q
correspondent deux nombres ).
(-~)
et ).' ( : ) tels que les inégalités
.
2
I
I .<y
r (v) e
, :a. -). (~)
q
<1
~
e (v)
I-=: 'Ym r
N
ql
n-m
(3)
(4)
.<y
et
I
I .'<y
r' (v')
e~2;n;~a.'. -
).'
(~)
q
I
e' (v') I-=: 'Ym 1" N ql n- m
.'<y
(5)
,
soient véri{iées pour tout nombre naturel m et pour toute valeur réelle
de y.
3. Pour tout nombre naturel m et pour tout nombre réel a tels que
l'intervalle fermé (a-N-I n'lm, a
N-I n'/m) ne contienne aucune fraction
à dénominateur positif -== n'lm, on a
+
I I r' (v') e 2 "irx.' i -== 'Ym
.'
Sous
naturel
nombre
(1]), tels
r'N
n- m
(6)
ces conditions à tout nombre naturel m correspondent un nombre
o::=:: m, ne dépendant que de m et de la suite (1]), et aussi un
positif Cl' dépendant uniquement de m, de I et des suites (I') et
que
[n' 1
I IL(t)-A(t) I
H(q,t)12-==CI
r 2 r'2N3 n - m,
(7)
q=1
ou
L (t)
= v+v'==t
I
r (v) r' (v'),
A (t)
= .+v'I ==t g (v) e' (v')
(8)
230
et
H (q. t)
=
~
q_1
()
a=O
q
2' l
l'
~
()
q
2"iat
e - -q-; ,
(9)
(a,q)=1
(a, q) désigne Ie plus grand commun diviseur de a et q,
Pour la démonstration de ce théorème fai besoin de trois propositions
auxiliaires I).
Lemme 1: I et I étant étendus à un nombre fini de termes. on a
h
k
I
2 iha
[ I I ah e :r;
h
o
l.1 I
bk e 2 :r;ika I d a """"
k
o
VI
h
2.
I ah 12 • I I bk 1
k
Lemme 2: Désignons par N un nombre ===- 3. par V un intervalIe
contenant N entiers tout au plus. Si I g (v). étendu à tous les entiers
v<y
v"""" y de .Vest. pour toute valeur réelle de y. en valeur absolue
oû eest indépendant de y. on a pour tout nombre réel a
I 2'g(v)e 2"'iav I """"3e (1 +N l sin.na l).
-=:
e,
v
Lemme 3: Si e' (v') est déterminé pour tout entier v' d' un intervalIe
V', de telle façon que
Ie' (v') I"""" T'
et
I
v' et u'
+ 1 dans V'
Ie' (v' + 1) -
e' (v')
I"""" r'.
on a pour tout nombre réel non-entier a
II
e' (v') e 2 :tiav'
I"""" t r' I sin.na I-I.
v'
Démonstration:
Le produit
(l-e- 2 "'ia)Ie'(v')e 2 :ti a.'=
I
u' dans V'
,/
2.~
(J'(v')e 2 :"ia.'Vi
+ 1 dans V'
e'(v'+1)e 2n1a .'
est en valeur absolue
"""" [" + [" +
I
v'et,,'
+ 1 dans V'
I e' (v' + 1) - e' (v') I"""" 3 [".
Après ces remarques préliminaires je donnerai la démonstration du
théorème. Je diviserai cette démonstration en trois parties.
Première partie de la démonstration. Désignons par m un
nombre naturel arbitraire mais fixe, par C2. C3' ••• , CIS des nombres positifs,
convenablement choisis dépendant uniquement de m. I et des suites (y)
et (17); désignons par 0 Ie plus grand des deux nombres m et 17[1 + i m] et
posons enfin T = m
1 (21
2) o.
+ +
+
1) Pour les démollstrations des lemmes 1 et 2 on peut consulter per exemple les
démonstrations des lemmes 1 et 2 de mon article: Sur l'hypothèse de GOLDI~ACH pour
presque tous les nombres pairs. Acta Arithmetica, 2, 266-290 {1937).
231
Puisque chacun des intervalles V et V' contient N entiers tout au
plus. il y a moins de 2 N entiers t de la forme t
v
v'. ou v désigne
un entier de V et v' un entier de V', L (t) et A (t) étant égaux à zéro
pour les autres nombres t. on peut admettre sans troubler la généralité
que T contient moins de 2 N entiers,
Les inégalités (1) entrainent
= +
étant en valeur absolue ~ r'. nous abtenons en utilisant la première
des inégalités (2). pour les fonctions L (t) et /1 (t). déterminées par (8).
e' (v')
I L (t) I ~ ~ I r(v) I ' 2' I r' (v') I ~ I' [" N2
p'
et
I A (t) i ~
1" 2' I g(v) I ~ I' [" N
< fT' N2.
"
tandis que (9) et (3) nous apprennent
I
[nOl
~
[n']
H(q.t)l-== 2' r~q21+1-==1'~n(21 + 2),.
q= 1
q=1
de sorte que Ie membre de gauche de (7) est tout au plus égal à
['21"2
Ni (1
+I'~
n(21+2),)2.J: 1
< 2 ['2 ["2 N5 (1 + 1': n(21+2),)2,
t
On peut donc admettre
(11 )
en effet. sinon Nest inférieur à un nombre dépendant uniquement de
m et de lJ[1 + ~ mi et Ie théorème est al ars évident,
Dans l'intervalle 0 ~ a ~ 1 je considère les fractions irréductibles ~
q
a dénominateur positif
~
n', Ces fractions ordonnées selon la grandeur
forment la suite de FAREY correspondant à n 7 , Entre deux fractions
consécutives
~
et a: de cette suite. j'intercale la médiante a
q
q
q
++_qa:,
Pour
a
toute fraction - appartenant à la suite et située entre 0 et 1 je désignerai
q
par j ( : ) Ie plus petit intervalle fermé contenant :
et borné par deux
médiantes intercalées; j (0) soit l'intervalle fermé (",* -1. l*). ou
la plus petite. p.* la plus grande des médiantes intercalées.
).*
désigne
232
Chaeune des fraetions ~ de la suite de FAREY ayant un dénominateur
q
positif ~ n'. ehaque médiante interealée possède un dénominateur positif
~ 2 n°.
Pour toute fraetion ~ de la suite de FAREY et pout toute
q
médiante interealée
~
on a done
I: -~ I~
qlQ
~ 2~i.>N-In~.
.
(12)
en vertu de (11).
a
Considérons une fraetion quelconque q
< 1 appartenant
à la suite de
Posons pour tout nombre a appartenant à j ( : )
FAREY.
Fr.. (~)
q
=I
r(v) e 2 ";«. et
v
F: (~)
=I
q
r' (v') e2 ";«v'
v'
et pour les autres valeurs réelles de a
posons pour tout valeur réelle de a
'P«
q .; e
(qa) = (a)
l
(v) e
2";(<<-~)v
q
et
Désignons par I
et I
a
q
-qa < 1
et
a'
,<
1 de
q
•
des som mes étendues à tous les fraetions
a'
q'
la susdite suite de FAREY.
Nous avons
1
l'
-+-
a
q
a
1
q
2
P. ( ; ) P; ( : ) e-b;"'da =
ft*
=f~
1'*-1
I
.'
r(v) r' (v')e 2 ";«(V+V'-t)da
r (v) r' (v') = L (t)
u+u'=t
233
et
• +!
.J
q
a
q
•
I
q
2
2
~a ( -: - ) ~~ ( { - ) e-2~ia, da
I
= A (t)
. .'
2'
(! ()
V (!
'( ') 2"'i(a-~)(v+v'-t)d
V e
q
a
[nr.]
I H (q. t).
q=1
donc
I
a
J ()
-;;-+2
[nr.]
L(t)-A(t)~IH(q.t)=~
Ga:
q
a
I
q
2
e- 2:tia'da.
ou
Cela étant. nous obtenons
I L (t)-A (t)
I
,
a
1
a
1
2
I
H(q. t)[2
q=1
J
a'
-+ .-
[nr.]
-+-
j Y
G. ( : ) G,
a
q
.'
q'
q
1
2
a'
q'
(:l7
e"'''-'''dadp,
w désignant la valeur complexe conjuguée de w,
moins de 2 N nombres consécutifs. on a
[nr.]
..; IL(t)-A(t)
~
~IH(q.t) 1 2
Parce que t parcourt
I
~+~ :>~,
-: :: f. .f. G.(:) G.{::)
I
q
2
q
I M(p-a) da dP, \
2
ou
M (U) = Min (2N.1 sin nu I-I);
)
,
(13)
231
Min (v, w) désigne Ie plus petit des deux nomhres v et w. Par conséquent
on a
°l
N- l
J M (u) du -===J 2 N du +
-1
J'
I sin .7l uI-I du < .. + log N
<5n .
(14)
N-l< l ul<l
-N-I
Dans la deuxième partie de la démonstration je démontrerai que la
contrihution UI au memhre de droite de (13) des points a, tels que
{J
.
(15)
a tout au plus I'ordre de grandeur de r 2 r '2 N3 n- m : dans la troisième
(et dernière) partie de la démonstration je ferai voir que l' ordre de
grandeur de la contribution U 2 des autres points a, est également tout
au plus égal à celui de r 2 r '2 N3 n- m •
Deuxième partie de la démonstration. Dans cette partie je considère
uniquement les points a, qui satisfont à (15). On a UI -=== U 3 2 U 4 Us:
U 3 désigne la contrihution de ces points a. à rexpression
{J
{J
I
a
-q + -2
I
•
-
q
.' j'
I
-
q'
a
{J
.J' ' IF.(:)
JO; (:
)F,{~;) F'(::) IM(p-a) da dfi:
I
2
U 4 est la contribution de ces points a,
2
q
q'
{J à
2
d'ou il suit, en changeant a et
de ces points a,
{J à
{J, ~q
I
et a I' que U 4 est aussi la contrihution
q
Us enfin est la contrihution de ces points a,
1
a
1
a'
q
q'
a
q
2
1
2
{J à
J 21~a(:)~;(:)~I{::)~;{::)IM({J-a)dad{J.
-+- - +-
.; ~ f
+
I
- +-
a'
q'
I
2
-- "
q
a'
+
a'
q'
1
2
235
Commençons par U 3 ' qui est la eontribution des points nommés
a
a'
q
q'
.r jenJ Fa(:) F~(:) F,.(:~) F,~ (?J
I
I M(fJ-a) da
IX,
fJ à
d~,
{~)
puisque
Fa (~) et FI' (::) sont
Pour tout point
(I
(-~)
appartenant à j
a*
q* à dénominateur positif q*
I
égaux à zéro en dehors de j
-c::
n~
a*
q*
a -
(~)
et
et pour toute fraetion
on a
I::==N - I n,
7
a*
a
eomme on voit en utilisant (15) ou (12), selon que q* est égal à q ou
non. Puisque )' on aT> a ==-1111 + l mi' )' intervalIe fermé
(a-N-I n'lll+lml,
a+N- I n'lil+lml)
ne eontient aueune fraetion à dénominateur positif -co=: n~, done aueune
fraetion à dénominateur positif -co=: n 'lil +: mi. La relation (6), appliquée avee
[1
t m] au lieu de m, nous apprend done
+
De la même manière on obtient pour tout point fJ appartenant à
j (::) et satisfaisant à la deuxième des inégalités (15) la relation
done
.f.r
I
=C2C3
r/
2
N2 n-
1
-
m
o
I
M((-/ - a) . I :: r(lJ) e2 :Tia o l • I ~ r(lJ) e2.-,i,;,,! da d (J
0
J'
!
=
C2 C3 r'2
N2 n - - m M(u) du
I
l
J
1
I ;: r(lJ)
0
ria ol . I -: dIJ) e2 .~ {u"
e 2 .-
2 iCX
. e :'
"1da
236
En utilisant Ie lemme 1 et les relations (14) et (I) nous ohtenons
U 3 -== C2 C3
r'2 N2 n- I -
m •
5 nI r(v)
1
1
2
v
U1 est la eontrihution des points nommés a, fJ à
L'inégalité (3) nous apprend
1cp;~ (::) 1-== 1'1 q'l; e' (v')
-== ;
en vertu du lemme 3.
1'1
q'
r'
I sin n (fJ _ ::)
Pour tout nomhre
I cp;~
/:li(13-~)v'l
fJ
satisfaisant à (15) on a done
(::) 1-== C5 r' n'~ N n-
La relation (2) étant verifiée,
F~ ( :)
I-I
T
•
•
•
•
•
•
(16)
est en valeur absolue -== r ' N, de
sorte que U1 est tout au plus égal à
Ir
1
-=='11 C5 r'2 N2
n2'~-T ;q;
=
1'1 C5 r'2 N2
0
n2'~-T ~
q'
ou
1
M(fJ-a) 1 7' r(v)e2:liIXpl·l7' e(v)/:li(I'-~)V I dadfJ
0
J
i
-
M(u) W (u, ::) du,
i
En utilisant Ie lemme 1 et l'inégalité (1) on trouve
W
(u, a:)
-== V
q
I
1
v
r(v)
2
1
•
I
1
v
e (v)
2
1
-==
r 2 N,
237
par conséquent en vertu de (14)
Ui
~ 1'1 C5 r 2 r'2 N3 n 2 / o --: • n 2" .
=
Sn
C6 r 2 ]"2 N3 n(2/+2) .. - :-+ 1 = C6 ['2 r'2 N3 n -
m•
ABn de déduire une borne supérieure convenabie pour U 5 , j'utilise (16)
et l"inégalité analogue
II -1)'
,tx
;I
(a~ ) I ~ C7
1" n /~ N n-:-,
-
q
,
d'ou il suit
a
-
q'
a
Cf
~)','
C,
a'
-- +
1
2
c'J'
q'
c, r" N' n'''-'~ -: -:: /
q
I
J' j" 1~·(:)~.;(::)IM(p-a)dadfi
U,~c,c, ["'N'n'''-'~:';
q
I
+ ~
q'
M
1
2
(U) W' (u. ;:) dUo
-,
Dans cette formule j'ai posé
par conséquent
et
U 5 ~ )'1 2 C5 C7
/,2 r'2 N3 n~/~ - 2:- n i0 •
Sn
=C8['2I"2N3n(41+41~ -2:-+1
=C81'2
(Ci
1"2
N3 n- 2m -
1
< C8]'2 ["2 N3 n -
m•
Ainsi nous avons démontré que la contribution UI est inférieure à
2 C6
Cg) ]'2 ]"2 N3 n -~ m.
+
+