Suites de fonctions. Divers modes de convergence

Suites de fonctions - Divers modes de convergence - Exemples
Dans ce chapitre, E désigne un K espace vectoriel (K = R ou C) de dimension finie, muni d’une
norme k.k, X désigne un ensemble non vide.
1
1.1
Divers modes de convergence
Convergence simple
Définition 1 Soient (fn )n∈N une suite d’applications de X dans E et f une application de X dans
E. On dit que (fn )n∈N converge simplement vers f sur X si pour tout x dans X, (fn (x))n∈N converge
vers f(x) dans E. Autrement dit :
∀x ∈ X,
1.2
∀ε > 0,
∃n0 ∈ N,
∀n ∈ N,
n > n0 ⇒ kfn (x) − f (x)k < ε.
Convergence uniforme
Définition 2 Soient (fn )n∈N une suite d’applications de X dans E et f une application de X dans
E. On dit que (fn )n∈N converge uniformément vers f sur X si :
∀ε > 0,
∃n0 ∈ N,
∀n ∈ N,
∀x ∈ X,
n > n0 ⇒ kfn (x) − f (x)k < ε.
Conséquence : (fn )n∈N converge uniformément vers f si et seulement si kfn − f k∞ −−−−−→ 0 (on
n→+∞
rappelle que kfn − f k∞ = sup kfn (x) − f (x)k).
x∈X
1.3
Convergence en moyenne
Définition 3 Notons C([a, b], K) l’ensemble des fonctions continues sur [a, b] (a, b ∈ R, a < b) à
valeurs dans K. On rappelle qu’on définit une norme k.k1 par :
kf k1 =
Z
b
a
|f (x)|dx.
Soient (fn )n∈N une suite d’applications de C([a, b], K) et f une application de C([a, b], K). on dit que
(fn )n∈N converge en moyenne vers f si kfn − f k1 −−−−−→ 0, c’est-à-dire si :
n→+∞
Z
b
a
|fn (x) − f (x)|dx −−−−−→ 0.
n→+∞
1
Suites de fonctions - Divers modes de convergence - Exemples
1.4
Convergence en moyenne quadratique
Définition 4 En gardant les notations de la définition 3, on rappelle qu’on définit une norme k.k2
par :
kf k2 =
Z
b
2
|f (x)| dx
a
1/2
.
On dit que (fn )n∈N converge en moyenne quadratique vers f si kfn − f k2 −−−−−→ 0, c’est-à-dire si :
n→+∞
Z
b
|fn (x) − f (x)| dx
a
2
2
1/2
−−−−−→ 0.
n→+∞
Comparaison des divers modes de convergence
2.1
Comparaison
Proposition 1 Soit f ∈ C([a, b], K). Alors :
kf k1 6
√
b − a kf k2 ,
kf k2 6
√
b − a kf k∞ ,
kf k1 6 (b − a) kf k∞
où kf k∞ = sup |f x)|2 .
x∈[a,b]
Preuve - Par définition de la norme k.k2 , on a :
kf k21
=
Z
a
b
|f (x)|dx
2
=
Z
a
b
|(1 × f )(x)|dx
2
.
En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient :
Z b
Z b
2
2
2
kf k1 6
1 dx
|f (x)| dx .
a
a
Par conséquent, on a :
kf k21 6 (b − a) kf k22 .
Donc :
kf k1 6
√
b − a kf k2 .
Sachant que pour tout x ∈ [a, b], |f (x)| 6 kf k∞ , on a :
Z b
Z b
2
2
kf k∞ dx.
|f (x)| dx 6
kf k2 =
a
a
On en déduit :
kf k22 6 (b − a) kf k2∞
puis :
kf k2 6
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√
b − a kf k∞ .
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De même :
kf k1 =
Par conséquent :
Z
b
a
|f (x)|dx 6
Z
a
b
kf k∞ dx.
kf k1 6 (b − a) kf k∞ .
2
Conséquences : Soient (fn )n∈N une suite de C([a, b]; K) et f ∈ C([a, b]; R). Si (fn )n∈N converge
uniformément vers f sur [a, b], alors (fn )n∈N converge en moyenne quadratique vers f . Si (fn )n∈N
converge en moyenne quadratique sur [a, b], alors (fn )n∈N converge en moyenne vers f .
Ces propriétés découlent de la proposition précédente car :
kfn − f k∞ −−−−−→ 0 ⇒ kfn − f k2 −−−−−→ 0 ⇒ kfn − f k1 −−−−−→ 0 .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Proposition 2 Soient (fn )n∈N une suite d’applications de X dans E et f une application de X dans
E. Si (fn )n∈N converge uniformément vers f, alors (fn )n∈N converge simplement vers f.
Preuve - découle des définitions 1 et 2.
2.2
2
Exemple
Soit (fn )n∈N la suite de fonctions définie sur R par fn (x) =
nx
.
1+n2 x2
f est impaire.
Si x = 0, fn (x) = 0 donc fn (0) −−−→ 0.
Si x 6= 0, fn (x) ∼
n→+∞
1
nx
n→∞
donc fn (x) −−−−−→ 0.
n→+∞
Donc (fn )n∈N est une suite de fonctions convergeant simplement vers la fonction nulle sur R.
Pour tout n ∈ N, fn est dérivable sur R et on a :
n(1 − n2 x2 )
(1 + n2 x2 )2
1 1
′
fn (x) > 0 ⇔ x ∈ − ;
n n
∀x ∈ R,
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fn′ (x) =
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fn est donc croissante sur − n1 ; n1 , décroissante sur −∞; − n1 et sur n1 ; +∞ .
fn − n1 = − 21 et fn n1 = 21 . On en déduit le tableau de variations :
− n1
−∞
x
0
fn
sup |fn (x)| =
x∈R
1
2
ց
− 12
1
n
1
2
ր
+∞
ց
0
donc (fn )n∈N ne converge pas uniformément sur R vers la fonction nulle.
Soit a>0. Il existe n0 ∈ N tel que pour tout entier n > n0 ,
1
n
< a.
Pour n > n0 et x ∈ R tel que |x| > a, on a donc (d’après le tableau de variations) :
sup |fn (x)| = |fn (a)| =
|x|>a
Comme
na
1+n2 a2
∼
n→+∞
1
na ,
na
.
1 + n2 a2
on en déduit : sup |fn (x)| −−−−−→ 0. Par conséquent, (fn )n∈N converge
|x|>a
n→+∞
uniformément vers la fonction nulle sur tout ] − ∞; −a] ∪ [a; +∞[, avec a > 0.
3
3.1
Applications
Approximation par des fonctions en escalier
Théorème 1 Soient a, b ∈ R, a < b. Soit f une fonction définie sur [a, b] à valeurs dans E, continue
par morceaux. Il existe une suite (fn )n∈N d’applications en escalier définies sur [a, b] à valeurs dans
E, convergeant uniformément vers f sur [a, b].
Preuve - Intéressons-nous dans un premier temps au cas où f est continue sur [a, b]. Soit n ∈ N∗ .
f est continue sur le segment [a, b] donc f est uniformément continue sur [a, b] (théorème de Heine)
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donc :
∃η > 0,
∀x, x′ ∈ [a, b],
1
|x − x′ | < η ⇒ f (x) − f (x′ ) <
n
Il existe N ∈ N∗ tel que b−a
n < η. On définit une suite d’applications en escalier sur la subdivision
b−a
;
a
+
(k
+
1)
par :
régulière a + k b−a
N
N
k∈{0,··· ,N −1}
(
b−a
∀x ∈ a + k b−a
,
N ; a + (k + 1) N
∀k ∈ {0, · · · , N − 1},
fn (b) = f (b)
fn (x) = f a + k b−a
n
Il reste à démontrer que (fn )n∈N converge uniformément vers f sur [a, b]. Soit x ∈ [a, b[. Il existe
b−a
k ∈ {0, · · · , N − 1} tel que x ∈ a + k b−a
n ; a + (k + 1) n . Alors :
1
b
−
a
b
−
a
− x < η
− f (x) < car a + k
|fn (x) − f (x)| = f a + k
n
n
n
Comme |fn (b) − f (b)| = 0 < n1 , on a :
∀x ∈ [a, b],
Donc kfn − f k∞ <
1
n,
[a, b].
|fn (x) − f (x)| <
1
n
donc kfn − f k∞ −−−−−→ 0 donc (fn )n∈N converge uniformément vers f sur
n→+∞
Supposons maintenant que f soit continue par morceaux. Il existe p ∈ N∗ , (a0 , · · · , ap ) ∈ Rn+1
tels que :

 a = a < ... < a = b
0
p
 ∀i ∈ {0, · · · , p − 1}, f|
]a ,a
i
i+1 [
est prolongeable en une fonction fi continue sur [ai , ai+1 ]
D’après la première partie de la démonstration, pour tout i ∈ {0, · · · , p − 1}, il existe une suite
(fi,n )n∈N d’applications en escalier convergeant uniformément sur [ai , ai+1 ] vers fi . On définit alors
une suite (fn )n∈N d’applications en escalier par :
(
∀i ∈ {0, · · · , p − 1},
∀i ∈ {0, · · · , p},
∀x ∈]ai , ai+1 [,
fn (x) = fi,n (x)
fn (ai ) = f (ai )
On a alors, pour tout entier n :
kf − fn k∞ 6 max kfi − fi,n k∞
06i6p−1
Comme pour tout i ∈ {0, · · · , p − 1}, kfi − fi,n k∞ −−−−−→ 0, on en déduit :
n→+∞
kf − fn k∞ −−−−−→ 0
n→+∞
(fn )n∈N converge donc uniformément vers f sur [a, b].
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3.2
Approximation des fonctions 2π périodiques
Théorème 2 Théorème de Weierstrass
Pour toute application f de R dans C continue et 2π périodique, il existe une suite (fn )n∈N de
polynômes trigonométriques complexes convergeant uniformément vers f sur R.
Soit T l’ensemble des polynômes trigonométriques complexes, c’est-à-dire l’ensemble
Preuve -
des applications g de R dans C telle qu’il existe N ∈ N et (cn )−N 6n6N ∈ C2N +1 tels que :
∀t ∈ R,
N
X
g(t) =
ck eikt .
k=−N
Rπ
Soit f une application continue de R dans C et 2π périodique. Pour n ∈ N, notons In = −π cos2n 2t dt
et φn l’application définie sur R, à valeurs dans C, par φn (t) = I1n cos2n 2t . La définition de In ne
pose pas de problème car t 7→ cos2n 2t est une fonction continue sur [−π; π] donc intégrable sur cet
intervalle. t 7→ cos2n 2t est une fonction paire, non identiquement nullée sur [−π; π] donc In > 0 et
φn est bien définie. Pour tout entier naturel n, φn est paire, 2π périodique, continue sur R et on a :
Z π
φn (t)dt = 1.
−π
Soit (fn )n∈N la suite d’applications de R dans C définie par :
Z π
f (u)φn (t − u)du.
∀n ∈ N, ∀t ∈ R, fn (t) =
−π
(fn )n∈N est bien définie car u 7→ f (u)φn (t − u) est continue sur R.
Montrons que pour tout n ∈ N, fn ∈ T . On a en fait :
∀n ∈ N,
En effet :
cos2n x =
1
22n
=
1
22n
=
=
donc
cos2n x
1
22n
1
22n
cos2n x ∈ T.
∀x ∈ R,
2n
e−ix + eix
2n
P
k e−ikx ei(2n−k)x
C2n
k=0
2n
P
k=0
n
P
k e2i(n−k)x
C2n
p=−n
n−p 2ipx
C2n
e
changement d’indice p = n − k
∈ T . Par conséquent, φn ∈ T et donc :
∀n ∈ N,
4n+1
∃(cn,k )−2n6k62n ∈ C
,
φn (t) =
2n
X
cn,k eikt .
k=−2n
Alors :
fn (t) =
Z
π
−π
f (u)φn (t − u)du =
Z
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π
−π
f (u)
2n
X
k=−2n
ik(t−u)
cn,k e
Z
2n X
cn,k
du =
k=−2n
π
−π
−iku
f (u)e
du eikt .
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Donc fn ∈ T , pour tout n ∈ N.
Il reste à montrer que (fn )n∈N converge uniformément vers f sur R. Soient n ∈ N, t ∈ R. Soient
n ∈ N, t ∈ R. En effectuant le changement de variable v = t − u, puis en utilisant le fait que
v 7→ f (t − v)φn (v) est 2π périodique, on obtient successivement :
Z π
Z t+π
Z
fn (t) =
f (u)φn (t − u)du =
f (t − v)φn (v)dv =
−π
t−π
π
−π
f (t − v)φn (v)dv.
Rπ
Pour tout(n, t) ∈ N × R, et sachant que −π f (t)φn (v)dv = f (t) :
Z π
Z π
|fn (t) − f (t)| = (f (t − v) − f (t)) φn (v)dv 6
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv.
−π
−π
Soit ε > 0. f est continue sur R donc sur [0; 2π]. D’après le théorème de Heine, f est uniformément
continue sur [0; 2π]. f étant 2π périodique, on en déduit que f est uniformément continue sur R
donc :
ε
|x − y| < η ⇒ |f (x) − f (y)| < .
2
On peut supposer η < π (sinon, on choisit η ′ < min(η, π) pour la suite). f est continue sur [0; 2π]
∃η > 0,
∀x, y ∈ R,
donc f est bornée sur [0; 2π]. f étant 2π périodique, il en résulte que f est bornée sur R donc :
∃M ∈ R+ ,
∀x ∈ R,
|f (x)| 6 M.
On a alors :
∀n ∈ N,
∀t ∈ R,
η
Z
ε
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv 6
2
−η
c’est-à-dire
∀n ∈ N,
∀t ∈ R,
Z
Z
η
ε
φn (v)dv 6
2
−η
π
Z
φn (v)dv
−π
η
ε
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv 6 .
2
−η
Par ailleurs,
R −η
Rπ
R −η
Rπ
−π |f (t − v) − f (t)|φn (v)dv + η |f (t − v) − f (t)|φn (v)dv 6 2M −π φn (v)dv + 2M η φn (v)dv
6 4M
6
Pour n ∈ N :
In =
Z
π
cos
−π
et
Rπ
−π
cos2n+1 2t dt =
Rπ
−π
2n
Z
π
4M
In
t
cos2n+1 dt
2
−π
t
dt >
2
Rπ
η
φn (v)dv
cos2
η
2 (π
cos2n 2t cos 2t dt
= 2
R1
= 4
R1
(1 − u2 )n du car u 7→ (1 − u2 )n est paire
> 4
R1
(1 − u)n du =
c S. Duchet - www.epsilon2000.fr.st
−1 (1
0
0
− η).
− u2 )n du (changement de variable u = sin 2t )
4
n+1 .
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Donc pour tout n ∈ N, In 6
Z
n+1
4
−η
−π
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv +
Z
η
et donc :
π
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv 6 M (n + 1) cos2n
Par conséquent, il existe n0 ∈ N tel que :
Z −η
Z
∀n > n0 ,
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv +
−π
π
η
η 2
(π − η) −−−−−→ 0.
n→+∞
ε
|f (t − v) − f (t)|φn (v)dv < .
2
Finalement, on a montré :
∀ε > 0,
∃n0 ∈ N,
∀n ∈ N,
∀t ∈ R,
(fn )n∈N converge donc uniformément vers f sur R.
c S. Duchet - www.epsilon2000.fr.st
n > n0 ⇒ |fn (t) − f (t)| < ε.
2
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