Classe PC Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2015-2016
Physique
Vendredi 26 février - Concours blanc - type CCP
Composition de Modélisation
Données :
● constante de Planck
h = 6; 63:10−34 J:s,
6; 02:1023 atomes:mol−1,
● constante de Boltzmann : k = 1; 38:10−23 J:K −1 ,
● masse molaire du carbone : M = 12 g:mol−1 .
● constante d’Avogadro : Na =
B
C
60
atomes de carbone en forme
Les fullerènes, de formule brute C60 , sont des molécules constituées de
de ballon de football (fig. 3a).
En 2003, des chercheurs ont publié les résultats d’une expérience d’interférences avec des molécules de
fullerène. Le dispositif expérimental est décrit sur la figure 1. Il est constitué d’une source qui contient
un gaz constitué de molécules de fullerène à une température de l’ordre de
K.
900
Figure 1 – Expérience d’interférences avec des molécules de fullerènes
100
Le flux de fullerène est envoyé sur un réseau (grating en anglais) de pas d =
nm, la largeur a d’une
fente est de l’ordre de
nm, chaque fente du réseau diffractant les molécules de fullerène. L’observation
m du réseau. Ce plan est suffisamment éloigné
est réalisée dans un plan situé à une distance L = ;
du réseau pour pouvoir considérer les interférences à l’infini.
Le détecteur utilise un laser à argon qui ionise les molécules. L’expérience est réalisée molécule de
fullerène par molécule de fullerène. Les impacts semblent d’abord distribués aléatoirement mais l’accumulation des points d’impact reconstitue progressivement la figure d’interférences.
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1 25
Dualité onde-corpuscule
Q1 - √
Calculer la masse m, en kg, d’une molécule de fullerène. En déduire la valeur de la vitesse moyenne
v
m
=
3:k
:T
m
B
des molécules.
Q2 - La relation de de Broglie associe à un corpuscule une longueur d’onde DB caractérisant ainsi
la dualité onde-corpuscule en mécanique quantique. Exprimer et calculer la longueur d’onde DB pour
une molécule de fullerène.
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Physique
→
Ð
p2
Ð
p→
1
Q3 - Rappeler l’inégalité d’Heisenberg reliant l’incertitude sur la position
mouvement px .
Q4 - Pour une molécule juste après la fente, exprimer
Diffraction par une fente
Le faisceau parallèle de molécules de fullerène arrive sur l’une
des fentes du réseau largeur a, en incidence normale. On note
Ð
p→1 = pz;1 :Ð
e→z la quantité de mouvement de la molécule incidente.
La molécule aura en sortie de la fente une quantité de mouvep→2 = pz;2 :Ð
e→z + px;2 :Ð
e→x dont la norme n’a pas été modifiée.
ment Ð
x et sur la quantité de
x, en déduire p .
x
Q5 - On note la demi-ouverture du faisceau transmis. En déduire la valeur minimum de sin que l’on
peut déduire de l’inégalité d’Heisenberg.
Interférences par un réseau de fentes
On considère un point d’abscisse X sur le détecteur où interfèrent les ondes associées aux molécules de
fullerène ayant une direction par rapport à la normale au réseau.
Q6 - Relier
àX
et
L.
Q7 - Déterminer la condition sur
fonction de DB et d
sin
afin que les interférences soient constructives sur l’écran, en
Q8 - En déduire l’expression et la valeur de l’interfrange de la figure d’interférence en fonction de
et d et L. Discuter de l’échantillonnage spatial ÆX .
DB
Traitement des mesures
La mesure par le détecteur est effectuée pendant une durée t permettant d’obtenir un grand nombre
de détections.
Un fichier au format csv comporte les résultats de la mesure sous forme de deux champs : l’instant de
détection (en ms) et la position de l’impact détecté (en mm).
On utilisera la fonction suivante permettant de récupérer sous forme de listes les instants de détection
et les positions associées.
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def extraction () :
temps = [ ]
mesure = [ ]
f i c h i e r = open ( " d i f f r a c t i o n _ e l e c t r o n s _ d o n n e s . c s v " , " r " )
c r = c s v . r e a d e r ( f i c h i e r , d e l i m i t e r=" ; " )
f o r row i n c r :
temps . append ( f l o a t ( row [ 0 ] ) )
mesure . append ( f l o a t ( row [ 1 ] ) )
f i ch i er . close ()
r e t u r n [ temps , mesure ]
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Physique
Q9 - Construire les listes temps dont les éléments sont les instants
successifs de détections et position_brute dont les éléments sont
les valeurs des positions de ces détections.
L’objectif est de représenter la densité de probabilité de présence
en fonction de X . Pour cela, on va échantillonner l’axe OX avec
X un pas ÆX =
, X = XM ax − Xmin correspondant au domaine
N
des mesures observées et N le nombre d’échantillons sur l’axe. On
Xmin
choisit ÆX = m.
On rappelle que la densité de probabilité de présence en Xi a pour
nombre de détections dans l’échantillon
expression p(Xi ) =
nombre total de détections sur le domaine
Q10 - Exprimer Xi la position médiane de l’échantillon i en fonction de Xmin ,
position du premier échantillon sera notée X0 .
ÆX
b
b
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Q11 - Proposer une fonction mini(A) qui renvoie une position dans la liste
des éléments numériques de la liste A.
X
X
b
max
i
i et ÆX
sachant que la
A de la valeur minimum
Q12 - Proposer une fonction tri(B ) qui renvoie une liste dont les éléments sont ceux de la liste B , mais
triés par ordre croissant des valeurs numériques.
Proposer un script permettant d’obtenir la liste position_triee des valeurs des positions des détections
triées par valeurs de position croissantes.
Q13 -objectif est de connaitre le nombre de détections pour chaque échantillon. A partir de la liste
position_triee, proposer un script permettant d’obtenir la liste densite_prob de taille N dont l’élément
i correspond a la densité de probabilité de présence en Xi .
Q14 - Créer une liste
X
des positions médianes des différents échantillons.
Q15 - Proposer un script permettant de tracer la densité de probabilité de présence en fonction de la
position sur le détecteur.
Q16 - Les résultats proposés sur le graphique (figure 2) en page suivante sont-ils en accord avec l’étude
théorique menée ?
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Physique
Figure 2 – Distribution des impacts des molécules de fullerène (Source : Wave-particle duality of C60
Markus Arndt , Olaf Nairz, Julian Voss-Andreae, Claudia Keller,Gerbrand van der Zouw, and Anton
Zeilinger, Nature 401, 680-682, 14.October 1999 )
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