Mécanique des corps rigides - statique

Table des matières
AVANT-PROPOS
III
1
1
INTRODUCTION
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
CALCUL VECTORIEL
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
Définitions
Applications
Systèmes international d'unités (SI)
Scalaires et vecteurs
Lois de Newton (1642-1727)
Trigonométrie et cosinus directeurs
Étapes de la résolution d'un problème d'ingénierie
Exercices
Cosinus directeurs et projections cartésiennes
Addition algébrique de vecteurs
Produit scalaire
Produit vectoriel
Exercices
OPÉRATIONS SUR LES FORCES
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Introduction
Addition de forces : calcul de la résultante par la méthode du parallélogramme
Relation entre deux forces et leur résultante : règle des sinus
Décomposition d'une force
Moment d'une force et couple
Déplacement de la ligne d'action d'une force
Méthode des composantes : calcul de la résultante de plusieurs forces et du
moment de la résultante par rapport à un point
Moment d'une force par rapport à une droite
Exercices
1
2
3
5
5
6
7
9
11
11
12
15
18
23
28
28
28
33
34
38
43
45
51
54
viii
4
Mécanique des corps rigides — Statique
DEGRÉS DE LIBERTÉ, CONDITIONS D'APPUI ET DIAGRAMMES
60
DE CORPS LIBRES (DCL)
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5
ÉQUILIBRE D'UN POINT OU ÉQUILIBRE DE TRANSLATION
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6
Introduction
Équilibre de translation : approche vectorielle
Équilibre de translation : approche simplifiée
Exemples sur l'équilibre d'un point
Exercices
ÉQUILIBRE D'UN CORPS
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7
Définitions
Degrés de liberté et conditions d'appui
Diagrammes de corps libres
Diagrammes de corps libres partiels
Exercices
Introduction
Équilibre d'un corps : approche vectorielle
Équilibre d'un corps : approche simplifiée
Réactions aux appuis
Exemples sur l'équilibre d'un corps
Exercices
76
76
76
77
78
86
92
92
93
95
96
97
120
STABILITÉ ET ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES ET
EFFORTS INTERNES
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
8
60
61
63
66
70
Introduction
Sollicitations
Stabilité des systèmes mécaniques
Combinaison de poutres, poteaux, bielles et tirants dans un système plan
Efforts internes
Exemples de calcul des efforts internes
Exemples complémentaires
Exercices
STATIQUE DES TREILLIS ET DES CÂBLES
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Définition et généralités sur les treillis
Calcul des réactions dans les treillis
Calcul des efforts axiaux dans les barres d'un treillis : méthode des nœuds
Calcul des efforts axiaux dans les barres d'un treillis : méthode des coupes
Câbles : définition
126
126
126
135
140
151
157
184
203
210
210
213
218
226
233
Table des matières
8.6
8.7
8.8
8.9
9
Charges réparties et charges concentrées
Quelques notions théoriques
Exemples sur les câbles
Exercices
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Introduction
Théorie fondamentale du frottement sec : lois de Coulomb
Frottement de roulement
Frottement sur les surfaces planes : glissement sans renversement
Glissement ou renversement ?
Frottement dans les enroulements
Frottement dans les pièces mécaniques
Exercices
PROPRIÉTÉS DES SURFACES PLANES
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
12
Introduction
Travail virtuel
Définition du travail dû à une force ou à un couple
Principe du travail virtuel
Exemples d'utilisation de la méthode du travail virtuel : poutres et treillis
Exemples d'utilisation de la méthode du travail virtuel : autres systèmes mécaniques
Exercices
LE FROTTEMENT : UNE ÉTUDE PARTIELLE
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
11
233
235
239
251
MÉTHODE DU TRAVAIL VIRTUEL APPLIQUÉE À DES SYSTÈMES
EN ÉQUILIBRE
10
ix
Introduction
Définition des contraintes
Moments statiques et centre de gravité
Moment d'inertie ou second moment de la surface d'une section plane
Théorème des axes parallèles
Axes centraux principaux et rotation d'axes
Exercices
PROPRIÉTÉS DES SURFACES SPATIALES ET DES VOLUMES
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
Introduction
Masse d'un corps
Centre de gravité d'une courbe dans l'espace
Surface enveloppante et volume : comparaison
Centre de gravité d'une surface spatiale
260
260
260
261
262
264
275
282
290
290
291
293
295
306
316
328
342
353
353
353
359
369
372
384
393
403
403
403
405
412
414
x
Mécanique des corps rigides — Statique
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
Centre de gravité d'un volume
Centre de masse
Surfaces et volumes de révolution
Moment d'inertie massique
Exercices
ANNEXE A RAPPELS : MATHÉMATIQUES ET GÉOMÉTRIE
A.1
A.2
A.3
A.4
Notions fondamentales
Intégrales
Aire, centre de gravité et moments d'inertie des surfaces planes
Géométrie dans l'espace
424
434
441
449
456
468
468
471
473
478
ANNEXE B QUESTIONNAIRE RÉCAPITULATIF
475
ANNEXE C LISTE DES EXEMPLES
482
ANNEXE D RÉPONSES AUX EXERCICES
486
BIBLIOGRAPHIE
509
INDEX
511
1
Introduction
1.1
DÉFINITIONS
La mécanique des corps rigides est cette branche des sciences physiques qui étudie l'état des
corps soumis à l'action de forces. La statique s'intéresse à l'état de repos des corps alors que
la dynamique s'intéresse à l'état de mouvement. En statique, le corps au repos est en
équilibre sous l'action des forces. En dynamique, le corps en mouvement est en équilibre
sous l'action des forces si sa vitesse est constante (accélération nulle). Si l'accélération n'est
pas nulle, le corps en mouvement n'est pas en équilibre, car l'accélération résulte du
déséquilibre des forces.
Comme le montre la figure 1.1, la mécanique classique comprend aussi l'étude des solides
déformables qui ont un comportement élastique, plastique, ou élastoplastique. En fait, il
s'agit de l'étude de la résistance des matériaux. On distingue également la mécanique des
fluides parfaits, visqueux ou compressibles.
Au début du XXe siècle (1900), les physiciens se posaient beaucoup de questions sur certains
phénomènes inexplicables dans le cadre de la mécanique classique, particulièrement dans le
monde de l'infiniment petit (atome) et de l'extrêmement grand (étoiles et galaxies). Max
Planck, physicien allemand (1858-1947), émit alors l'hypothèse selon laquelle les échanges
d'énergie s'effectuent de façon discontinue, hypothèse fondamentale de la « mécanique
quantique », aussi appelée théorie des quanta d'énergie. Un autre physicien allemand, Albert
Einstein (1879-1955), appliqua la théorie des quanta à l'énergie rayonnante et aboutit au
concept de photon. Les photons sont des quanta de lumière.
Einstein est surtout connu pour sa théorie de la relativité, qui a remis en question les
principes de la mécanique classique, en particulier les notions d'espace et de temps. Selon
cette théorie, il est possible d'exprimer les lois physiques par des équations valables dans
tous les systèmes de coordonnées, ce qui signifie l'invariance des lois naturelles par rapport
aux changements de référentiels spatiotemporels. Einstein a démontré que le temps ne
s'écoule pas de la même manière, selon que l'on reste au repos ou que l'on se déplace avec
des vitesses assez proches de celle de la lumière. La mécanique relativiste s'applique aux
particules ayant de telles vitesses. Enfin, Einstein aboutit à la fameuse équation E = mc2, qui
établit l'équivalence entre la masse et l'énergie (c = vitesse de la lumière dans le vide, soit
environ 300 000 km par seconde ; année-lumière = distance parcourue par la lumière dans le
vide pendant une année, soit environ 9,46 u 1012 km).
2
Mécanique des corps rigides — Statique
Statique
(équilibre des corps au repos)
des corps rigides
Dynamique
(corps en mouvement)
Élasticité
des solides déformables
Plasticité
parfaits
Mécanique
des fluides
(liquides et gaz)
quantique
(Planck)
visqueux
compressibles
relativiste
(Einstein)
Figure 1.1 Branches de la mécanique
1.2
APPLICATIONS
Les principes fondamentaux de la mécanique des corps rigides sont relativement peu
nombreux, mais ils ont d'innombrables applications. En effet, les méthodes élaborées à partir
de ces principes ont été transposées à de nombreux domaines de l'ingénierie. Ils se situent
donc à la base des connaissances, entre autres, du génie civil et du génie mécanique
(incluant la robotique et l'aéronautique).
Considérons comme exemple trois domaines du génie civil, soit l'ingénierie des structures,
l'hydraulique et la géotechnique. Les principes de base de la statique sont exploités dans ces
trois domaines pour le calcul de toutes sortes d'ouvrages : bâtiments, ponts, pylônes de
lignes électriques, etc. ; ouvrages hydrauliques (tels les barrages, les stations de pompage et
les usines d'épuration des eaux, etc.) ; ouvrages relevant de la géotechnique (tels les murs de
soutènement, les fondations et les routes).
Quant aux principes de base de la dynamique, ils sont moins utilisés que ceux de la statique,
mais ils trouvent néanmoins de nombreuses applications en génie. Par exemple, en génie
civil, les principales applications sont les suivantes : pour les ponts, on retrouve l'étude des
vibrations dues aux camions, aux séismes et au vent (ponts à câbles, haubanés ou
suspendus), et la détermination des forces centrifuges dans les ponts courbes ; pour les
bâtiments, on retrouve l'étude des vibrations dues aux séismes et au vent (bâtiments élevés et
élancés, tours), l'étude des vibrations de planchers dues aux activités humaines rythmiques
ou au fonctionnement de machines, et l'étude des vibrations dues aux ponts roulants dans
les bâtiments industriels.
1 Introduction
1.3
3
SYSTÈME INTERNATIONAL D'UNITÉS (SI)
Le système international d'unités (SI) est le seul utilisé dans ce texte. En mécanique des
corps rigides, on utilise principalement trois unités de base et quatre unités dérivées, définies
dans le tableau 1.1.
Tableau 1.1 Unités couramment utilisées en statique et en dynamique
Quantités
Unités
Symboles
longueur
masse
temps
force
moment d'une force ou couple
pression ou contrainte
fréquence
mètre
kilogramme
seconde
newton
newton-mètre
pascal
hertz
m
kg
s
N = kg•m / s2
N•m
Pa = N /m2
Hz = cycle / s
Les trois unités de base sont le mètre (m), unité de longueur ; le kilogramme (kg), unité de
masse ; et la seconde (s), unité de temps. L'unité de force est le newton (N), définie de la façon
suivante : le newton est la force qui communique à un corps ayant une masse d'un
kilogramme une accélération d'un mètre par seconde carrée (1N = 1 kg•m/s2). L'accélération
due à la gravité terrestre, dénotée g, étant de 9,81 m/s2, une masse d'un kilogramme exerce
donc, sur la terre, une force de 9,81 newtons. En conséquence, si la masse d'un corps est
connue et donnée en kilogrammes (kg), il faut multiplier cette masse par 9,81 pour obtenir la
force verticale que ce corps exerce en newtons. Sur la terre, le poids, ou la force exercée, est
donc égal à la masse (m) multipliée par 9,81 (W = mg).
Dans le système SI, l'unité de contrainte ou de pression est le pascal (Pa), qui est égal à un
newton par mètre carré (1 Pa = 1 N/m2). Toutefois, comme il s'agit d'une contrainte ou d'une
pression très petite, on utilise généralement le mégapascal (MPa), égal à un newton par
millimètre carré : 1 MPa = 1 MN/m2 = 106 N/m2 = 106 N/106 mm2 = 1 N/mm2.
Les préfixes les plus courants sont présentés dans le tableau 1.2. Les lettres minuscules k et
m, pour kilo (103) et milli (10ï3), et la lettre majuscule M, pour méga (106), représentent les
préfixes les plus utilisés. Par exemple, un millimètre (mm) est égal à 10ï3 mètre, et un
méganewton (MN) est égal à 106 newtons. Afin de travailler avec des données et des résultats
numériques ne contenant que les chiffres significatifs, il est souvent nécessaire d'utiliser le
facteur 10. Dans ce cas, il a été convenu, en ingénierie, que ce facteur doit être élevé à une
puissance qui est un multiple de 3 (103, 106, 109, ..., 10ï3, 10ï6, etc.).
Tableau 1.2 Préfixes couramment utilisés
Préfixes
Symboles
Exemples
1 giganewton = 1 GN = 109 N
1 mégapascal = MPa = 106 Pa
1 kilonewton-mètre = 1 kN•m = 103 N•m
1 centimètre = 1 cm = 10í2 m
1 millimètre = 1 mm = 10í3 m
1 micromètre = 1 Pm = = 10í6 m
giga
méga
kilo
centi
milli
(109)
(103)
(10í2)
(10í3)
G
M
k
c
m
micro
(10í6)
P
(106)
4
Mécanique des corps rigides — Statique
Le système international d'unités est implanté au Canada depuis une vingtaine d'années,
mais les anciennes unités anglo-saxonnes doivent être connues. En effet, lorsque l'on rénove
un vieux pont ou que l'on utilise une machine ou un équipement datant de plusieurs années,
il est très probable que les anciennes unités soient utilisées dans les documents existants,
tels les plans ou manuels d'opération. De plus, malgré les pressions des milieux scientifiques,
les unités anglo-saxonnes sont encore les seules légales aux États-Unis. Compte tenu de
l'importance du marché américain pour le Canada, il faut que ceux qui commercent avec les
Américains soient familiers avec ces unités. Le tableau 1.3 donne quelques équivalences
utiles dans divers domaines de l'ingénierie. À noter qu'avec les trois équivalences marquées
d'un astérisque, on peut obtenir toutes les autres.
Tableau 1.3 Quelques équivalences entre les unités anglo-saxonnes et les unités SI
Longueur
(*) 1 po = 25,4 mm = 0,0254 m
(*) 1 pi = 12 po = 304,8 mm = 0,3048 m
1 m = 3,281 pi = 39,37 po
1 po2 = 645,2 mm2
Surface
1 pi2 = 144 po2 = 0,0929 m2
1 m2 = 10,76 pi2 = 1550 po2
Force
(*) 1 lb = 4,448 N (1000 lb = 1 kip = 4,448 kN)
1 k/pi = 14,59 kN/m = 14, 59 N/mm (symbole k pour kip)
1 N = 0,2248 lb
1 kN = 224,8 lb = 0,2248 k
1 kN/m = 0,0685 k/pi = 5,71 lb/po
Moment, travail
1 k•pi = 1,356 kN•m = 1,356 u 106 N•mm
1 lb•pi = 1,356 N•m = 1,356 J (symbole J pour joule)
1 J = 1 N•m = 0,7376 lb•pi
Contrainte, pression
1 k/po2 = 1 ksi = 6,895 N/mm2 = 6,895 MPa
1 lb/po2 = 1 psi = 6,895 u 10í3 MPa
1 k/pi2 = 1000 lb/pi2 = 47,88 kN/m2 = 47,88 kPa
1 slug = 14,59 kg = 14,59 N•s2/m = 1 lb•s2/pi
Masse
1 kg = 0,0685 slug = 0,0685 lb•s2/pi (1 kg = 1 N•s2/m)
Accélération
1 pi/s2 = 0,3048 m/s2
1 m/s2 = 3,281 pi/s2
1 g = 9,81 m/s2 = 32,2 pi/s2
Notes : • ksi = kips per square inch ; psi = pounds per square inch
• po = pouce(s) = in. (en anglais) = inch(es)
• pi = pied(s) = ft (en anglais) = foot (feet)
• slug = unité de masse dans le système d'unités anglo-saxon
1 Introduction
1.4
5
SCALAIRES ET VECTEURS
En mécanique, deux types de quantités interviennent dans les calculs : les scalaires et les
vecteurs.
Une quantité scalaire est définie complètement par sa grandeur (aussi appelée intensité). Un
scalaire est donc entièrement défini par un nombre qui quantifie son intensité. En voici
quelques exemples : le volume et la masse d'un corps, respectivement en m3 et en kg ; le
temps, en secondes ; le travail en joules.
Comme l'indique la figure 1.2, qui montre un vecteur force, une quantité vectorielle est
définie par trois paramètres, soit son intensité, sa ligne d'action et sa direction (aussi appelée
sens d'action). Un vecteur est représenté par une flèche, et la longueur de la flèche représente
son intensité relativement à d'autres vecteurs. À noter que, dans ce texte, la grandeur ou
l'intensité d'un vecteur est dénotée par le symbole du vecteur sans la flèche. Il est souvent
suffisant de travailler avec l'intensité, c'est-à-dire d'utiliser le symbole sans la flèche, en
tenant compte de la ligne et du sens d'action.
La ligne d'action et le sens d'action sont définis sur la figure 1.2. Si le point d'application ou
origine du vecteur est indéterminé sur sa ligne d'action, on a un vecteur glissant ; s'il est
déterminé, on a un vecteur lié. Voici quelques exemples de quantités vectorielles : le vecteur
force dont l'intensité est en N ou kN ; le vecteur moment (ou couple) dont l'intensité est en
N•mm ou kN•m ; les vecteurs vitesse et accélération dont l'intensité est respectivement en
m/s et en m/s2.
G
sens d'action défini par
la pointe de la flèche
(extrémité du vecteur)
vecteur force F
G
F
intensité représentée par
la longueur de la flèche
(origine du vecteur)
D
ligne d'action définie par l'angle D
par rapport à un axe de référence
Figure 1.2 Définition d'un vecteur
1.5
LOIS DE NEWTON (1642-1727)
Les lois fondamentales de la mécanique classique sont les suivantes : première loi de Newton,
loi de l'équilibre (base de la statique) ; deuxième loi de Newton, loi de l'accélération (base de la
dynamique) ; troisième loi de Newton, loi de l'action et de la réaction ; quatrième loi de
Newton, loi de la gravitation universelle.
6
Mécanique des corps rigides — Statique
On peut énoncer la première loi de la façon suivante : Si la résultante des forces agissant sur
un corps est nulle, le corps demeure au repos s'il était au repos, ou il continue de se déplacer
à vitesse constante s'il était en mouvement. À noter que, même si des corps peuvent se
déplacer à vitesse constante pendant des temps assez longs, ils finissent par ralentir à cause
des forces de résistance, tel le frottement. La deuxième partie de la première loi de Newton
n'est donc possible que si le mouvement se fait dans le vide absolu.
La deuxième loi peut s'énoncer comme suit : Si la résultante des forces agissant sur un corps
n'est pas nulle, le corps subit une accélération dont l'intensité est directement proportionnelle
à l'intensité de la force résultante et dans la direction de cette force (équation vectorielle bien
G
G
connue : F ma ).
La loi d'action et de réaction, ou troisième loi de Newton, peut s'écrire : dans le monde
physique, à toute action correspond une réaction égale en grandeur et de sens opposé. En
statique, cela signifie qu'une force ne peut pas exister toute seule. Il faut qu'elle soit
équilibrée par une autre force de même grandeur et de sens contraire.
La loi de la gravitation universelle peut être formulée de la façon suivante : entre deux corps, il
existe toujours une force d'attraction proportionnelle au produit des masses des corps,
inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare et dirigée suivant une droite
qui les joint. Sur la surface de la terre, la seule force gravitationnelle importante est celle
causée par l'attraction terrestre sur un corps. Cette force est appelée le poids du corps (W) et
elle est égale à :
W = mg
(1.1)
Dans cette équation, le poids du corps (W) est en newtons (N), la masse du corps (m) est en
kilogrammes (kg), et l'accélération gravitationnelle terrestre (g) est en mètres par seconde
carrée (g = 9,81 m/s2).
1.6
TRIGONOMÉTRIE ET COSINUS DIRECTEURS
Pour la résolution de problèmes en mécanique, on utilise fréquemment des relations
géométriques, telle la loi des triangles semblables, et des formules algébriques et
trigonométriques, qui sont rappelées dans le texte lorsqu'elles sont appliquées. Dans le
tableau 1.4, on présente les relations trigonométriques les plus utilisées. À noter que l'on
peut obtenir d'autres relations à partir de celles présentées.
Dans un système d'axes cartésiens, la ligne d'action d'une force est définie par les angles que
fait cette ligne d'action avec les trois axes. Les cosinus de ces angles, appelés cosinus
directeurs, servent à calculer les projections de la force sur chacun des axes.
Considérons une force qui agit dans le plan xy, comme l'illustre la figure 1.3. Les angles Tx et
Ty, qui définissent l'orientation de la ligne d'action de la force, sont considérés positifs s'ils
sont comptés de façon antihoraire à partir des axes. De cette façon, quel que soit le quadrant
dans lequel agit la force, le signe des projections apparaît directement dans le cosinus
directeur. Ainsi, sur la figure 1.3, la projection sur l'axe x, F cos Tx , est négative, c'est-à-dire
dans le sens contraire de l'axe x, puisque le cosinus d'un angle entre Ǒ / 2 et 3Ǒ/ 2 est
négatif. Par contre, la projection sur l'axe y, F cos Ty , est positive puisque l'angle Ty est
inférieur à Ǒ / 2.