Électrocinétique et mécanique quantique

Colles semaine 11
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Électrocinétique et mécanique quantique
Exercice 1 : Questions de cours
[♦♦]
1 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uC dans un circuit RLC soumis à un échelon de tension
0 → E. Pulsation propre et facteur de qualité.
2 - Déterminer la configuration électronique du nickel (Z = 28) et tracer le diagramme énergétique (électrons de
valence seulement) en expliquant les règles permettant de l’obtenir.
3 - Énoncer l’inégalité d’Heisenberg et en déduire la vitesse minimale d’un électron dans un atome.
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Exercice 2 : Circuit RL à deux mailles
E
R1
L
R2
i
[♦]
Considérons le circuit représenté ci-contre, dans lequel l’interrupteur, ouvert depuis très
longtemps, est fermé à t = 0. Le générateur est un générateur de tension continue. On
s’intéresse au courant traversant la bobine.
Établir et résoudre l’équation différentielle vérifiée par le courant i.
Solution de l’exercice 2 :
. Loi des nœuds : i1 = i + i2 ;
uL
u1
=i+
;
. Loi d’Ohm :
R1
R2
E − uL
uL
. Loi des mailles :
=i+
;
R1
R2
. Développement et loi de comportement :
di R1 + R2
E
+
i=
dt
L R1 R2
R1
E
−t/τ
+ Ae
.
Solution de la forme i(t) =
R1
L di
L di
E
−
=i+
;
R1
R1 dt
R2 dt
. Forme canonique :
Condition initiale : i(0+ ) = i(0− ) = E/R1 d’où A = 0.
Ainsi, fermer l’interrupteur ne modifie pas le courant dans le circuit.
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Exercice 3 : Couleur de la carotène
[♦]
Certaines molécules ayant une longue chaîne linéaire, comme le β-carotène, contiennent des électrons qui ne sont
pas attachés à un noyau particulier mais peuvent au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule.
On modélise l’un de ces électrons, de masse m, comme une particule quantique libre de se déplacer le long d’un
segment de droite de longueur L = 1,8 nm dont elle ne peut pas sortir. Sa fonction d’onde ψ(x) est alors liée à son
énergie E par l’équation de Schrödinger, qui prend ici la forme
−
~2 d2 ψ
= Eψ ,
2m dx2
où ~ est la constante de Planck réduite.
1 - Commençons par déterminer les formes permises pour la fonction d’onde ψ.
1.a - Donner la forme générale des fonctions d’onde solution de l’équation de Schrödinger écrite ci-dessus.
1.b - Justifier que ψ est nulle en dehors de l’intervalle [0, L].
1.c - La fonction d’onde devant être continue, elle est également nulle aux deux extrémités de la molécule. En déduire
qu’elle est de la forme
nπx ψ(x) = A sin
L
où n est un entier et A une constante d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer.
2 - En déduire l’expression des niveaux d’énergie En en fonction de m, L, ~ et n.
3 - Dans le β-carotène, ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui se comportent comme des particules libres
confinées.
3.a - Rappeler les règles permettant de donner la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
3.b - Par analogie, en déduire la configuration électronique du β-carotène dans son état fondamental. Les niveaux
ne portant pas de noms comme en physique atomique, on pourra la donner sous forme d’un diagramme énergétique.
3.c - Donner la configuration électronique du β-carotène dans son premier état excité, c’est-à-dire dans l’état excité
de plus basse énergie.
4 - On s’intéresse maintenant à la transition de la β-carotène entre son premier état excité et son état fondamental.
4.a - Calculer la longueur d’onde de la transition associée.
4.b - Expliquer la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte, citrouille,
etc.).
Solution de l’exercice 3 :
1.a
Équation différentielle de type oscillateur harmonique,
d2 ψ 2mE
+ 2 ψ=0
dx2
~
de pulsation propre k0 =
√
2mE/~. Les solutions sont donc
ψ(x) = A sin(k0 x) + B cos(k0 x) .
2
1.b
|ψ| est reliée à la probabilité de présence, qui est nulle car l’électron ne peut pas sortir.
1.c
Application des conditions aux limites.
ψ(0) = 0
donc
B=0
et d’autre part
ψ(L) = 0
donc
k0 L = nπ
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soit
k0 =
nπ
L
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2
Identification des solutions
k0 =
3.a
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nπ
=
L
√
2mEn
~
d’où
En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Cf. cours
3.b Principe de Pauli implique qu’il faut deux électrons par niveau, avec ici 22 électrons en tout. Ce sont donc les
11 premiers niveaux qui sont remplis.
3.c
Un des électrons du 11e niveau passe dans le 12e niveau.
4.a
Énergie du photon : ε = E12 − E11 = 16,2 − 13,6 = 2,6 eV d’où λ = hc/ε = 480 nm.
4.b Analogie avec la loi de Beer-Lambert : lorsque la molécule reçoit de la lumière blanche, elle absorbe les
composantes violettes et renvoie les autres, essentiellement jaune et rouge.
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Exercice 4 : Circuit avec résistances et condensateur
K
[♦]
On s’intéresse à la charge d’un condensateur dans le circuit ci-contre soumis à
un échelon de tension. L’interrupteur est fermé à l’instant t = 0.
R
C
R0
uC
E
1 - Avant d’établir l’équation différentielle, on s’intéresse au régime permanent
atteint une fois que l’interrupteur est fermé depuis suffisamment longtemps.
Déterminer le courant dans chacune des branches du circuit et la tension uC
aux bornes du condensateur.
2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uC .
3 - Donner la forme générale de ses solutions en faisant apparaître une constante A. Quelle est la dimension de A ?
4 - Résoudre cette équation pour trouver la loi horaire uC (t). Tracer son allure.
5 - Calculer à tout instant la puissance fournie par le générateur. Quand est-elle maximale ? Même question pour la
puissance dissipée par la résistance R0 . Expliquer qualitativement.
Solution de l’exercice 4 :
1
Régime permanent donc iC = 0 puis raisonnement par équivalence de circuit donne
iR = i0 =
2
E
R + R0
uC =
et
R0
E.
R + R0
Loi des mailles à t > 0 et loi d’Ohm :
E = uR + uC = R iR + uC
Loi des noeuds et lois de comportement :
iR = iC + i0 = C
uC
duC
+
dt
R0
Finalement,
R
duC
+ 1+
E = RC
uC
dt
R0
Forme canonique :
1
duC
+
dt
RC
1+
R
R0
uC =
E
RC
Comme 1 + RR0 > 1, par identification avec la forme canonique, le temps τ = RC/(1 + R/R0 ) caractéristique du
transitoire est plus court que si le condensateur était idéal.
3
Solution particulière = régime permanent asymptotique.
uC (t) = A e−t/τ +
R0
E
R + R0
A est une tension.
4
Condition initiale : uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 donc
uC (t) =
5
R0
E 1 − e−t/τ .
R + R0
Courant i dans la branche du générateur :
i=
E − uC
R0
1
=
E+
E e−t/τ .
R
R(R + R0 )
R + R0
Puissance fournie par le générateur : Pg = E × i, maximale en t = 0.
Puissance dissipée par R0 :
P0 =
uC2
R0
maximale quand uC est maximale, donc lorsque t → ∞.
Explication qualitative : au début de l’évolution, le condensateur emmagasine de l’énergie fournie par le générateur,
ce qui n’est pas le cas à la fin.
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Exercice 5 : Circuit LC et générateur réel
E
L
C
u
[♦]
Considérons le circuit représenté ci-contre, où l’interrupteur est fermé à l’instant t =
0 et où le condensateur est initialement déchargé. La bobine a une inductance de
10 mH et le condensateur une capacité de 10 nF.
1 - Pour décrire le circuit, il n’est pas possible de considérer le générateur idéal.
Justifier.
2 - Rappeler la modélisation de Thévenin d’un générateur, et faire un schéma du circuit en remplaçant le générateur
par son modèle de Thévenin.
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u.
4 - Déterminer le type de régime et la résoudre complètement, mais sans chercher à exprimer les racines.
Solution de l’exercice 5 :
1 Le condensateur ne peut pas supporter la discontinuité de tension qu’imposerait la fermeture de l’interrupteur
avec un générateur idéal.
2
Association d’une source idéale de tension et d’une résistance R.
3 Dans l’ordre :
. Loi des mailles : E = uR + u ;
. Loi d’Ohm puis loi des nœuds : E = R(iC + iL ) + u ;
diC
diL
du
. Dérivation : 0 = R
+R
+
;
dt
dt
dt
2
du
d u R
;
. Lois de comportement : 0 = RC 2 + u +
dt
L
dt
2
d u
1 du
1
. Forme canonique : 2 +
+
u = 0.
dt
RC dt
LC
d’où par identification
1
ω0 = √
et
LC
r
Q=R
C
.
L
du +
(0 ) est plus compliqué à
dt
+
exprimer, il faut pour cela exprimer iC (0 ). Par continuité du courant dans la bobine, iL (0+ ) = 0 donc iC (0+ ) =
iR (0+ ). On exprime alors iR (0+ ) via la loi d’Ohm sachant que u(0+ ) = 0. Finalement,
4
Conditions initiales : on a immédiatement u(0+ ) = 0 par continuité. La dérivée
iC (0+ ) =
E
R
d’où
u(0+ ) =
E
.
RC
Cf. cours pour la suite.
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Énoncés à distribuer
Exercice 6 : Circuit RL à deux mailles
R1
L
E
[♦]
Considérons le circuit représenté ci-contre, dans lequel l’interrupteur, ouvert depuis très
longtemps, est fermé à t = 0. Le générateur est un générateur de tension continue. On
s’intéresse au courant traversant la bobine.
R2
i
Établir et résoudre l’équation différentielle vérifiée par le courant i.
Exercice 7 : Circuit avec résistances et condensateur
K
[♦]
On s’intéresse à la charge d’un condensateur dans le circuit ci-contre soumis à
un échelon de tension. L’interrupteur est fermé à l’instant t = 0.
R
uC
R0
C
E
1 - Avant d’établir l’équation différentielle, on s’intéresse au régime permanent
atteint une fois que l’interrupteur est fermé depuis suffisamment longtemps.
Déterminer le courant dans chacune des branches du circuit et la tension uC
aux bornes du condensateur.
2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uC .
3 - Donner la forme générale de ses solutions en faisant apparaître une constante A. Quelle est la dimension de A ?
4 - Résoudre cette équation pour trouver la loi horaire uC (t). Tracer son allure.
5 - Calculer à tout instant la puissance fournie par le générateur. Quand est-elle maximale ? Même question pour la
puissance dissipée par la résistance R0 . Expliquer qualitativement.
Exercice 8 : Circuit LC et générateur réel
E
L
C
u
[♦]
Considérons le circuit représenté ci-contre, où l’interrupteur est fermé à l’instant t =
0 et où le condensateur est initialement déchargé. La bobine a une inductance de
10 mH et le condensateur une capacité de 10 nF.
1 - Pour décrire le circuit, il n’est pas possible de considérer le générateur idéal.
Justifier.
2 - Rappeler la modélisation de Thévenin d’un générateur, et faire un schéma du circuit en remplaçant le générateur
par son modèle de Thévenin.
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u.
4 - Déterminer le type de régime et la résoudre complètement, mais sans chercher à exprimer les racines.
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Exercice 9 : Couleur de la carotène
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[♦]
Certaines molécules ayant une longue chaîne linéaire, comme le β-carotène, contiennent des électrons qui ne sont
pas attachés à un noyau particulier mais peuvent au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule.
On modélise l’un de ces électrons, de masse m, comme une particule quantique libre de se déplacer le long d’un
segment de droite de longueur L = 1,8 nm dont elle ne peut pas sortir. Sa fonction d’onde ψ(x) est alors liée à son
énergie E par l’équation de Schrödinger, qui prend ici la forme
−
~2 d2 ψ
= Eψ ,
2m dx2
où ~ est la constante de Planck réduite.
1 - Commençons par déterminer les formes permises pour la fonction d’onde ψ.
1.a - Donner la forme générale des fonctions d’onde solution de l’équation de Schrödinger écrite ci-dessus.
1.b - Justifier que ψ est nulle en dehors de l’intervalle [0, L].
1.c - La fonction d’onde devant être continue, elle est également nulle aux deux extrémités de la molécule. En déduire
qu’elle est de la forme
nπx ψ(x) = A sin
L
où n est un entier et A une constante d’intégration qu’on ne cherchera pas à déterminer.
2 - En déduire l’expression des niveaux d’énergie En en fonction de m, L, ~ et n.
3 - Dans le β-carotène, ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui se comportent comme des particules libres
confinées.
3.a - Rappeler les règles permettant de donner la configuration électronique d’un atome dans son état fondamental.
3.b - Par analogie, en déduire la configuration électronique du β-carotène dans son état fondamental. Les niveaux
ne portant pas de noms comme en physique atomique, on pourra la donner sous forme d’un diagramme énergétique.
3.c - Donner la configuration électronique du β-carotène dans son premier état excité, c’est-à-dire dans l’état excité
de plus basse énergie.
4 - On s’intéresse maintenant à la transition de la β-carotène entre son premier état excité et son état fondamental.
4.a - Calculer la longueur d’onde de la transition associée.
4.b - Expliquer la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte, citrouille,
etc.).
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