Modélisation des entraînements à grande plage de vitesse en vue

JOSÉ ROBERTO FIGUEROA BARNIER
Modélisation des entraı̂nements à grande plage de
vitesse en vue de leur conception
Thèse présentée
à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval
dans le cadre du programme de doctorat en génie éléctrique
pour l’obtention du grade de Philosophiae Doctor Ph.D.
Faculté des sciences et de génie
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
2008
c
José
Roberto Figueroa Barnier, 2008
Résumé
Les entraı̂nements électriques à grande plage de vitesse sont des ensembles convertisseur machine qui se caractérisent par un couple à faible vitesse supérieur au couple à
haute vitesse, comme dans le cas des applications de traction. Leur performance dépend
fortement de la puissance apparente du convertisseur, des impédances de la machine et
de la loi de commande utilisée. Les méthodes de conception qui séparent la conception
de la machine de celle de l’onduleur et de celle de la loi de commande ne permettent
pas toujours de trouver une solution adéquate. Il est donc nécessaire de réaliser une
optimisation globale de tout l’ensemble convertisseur - machine - système de contrôle.
Lors de l’optimisation, le nombre d’itérations pour arriver à une solution est important
et le temps de calcul est un facteur à considérer.
Ce travail présente des méthodes analytiques de modélisation adaptées pour l’optimisation des systèmes d’entraı̂nement. Les méthodes se basent sur une modélisation de
la machine sous la forme d’un circuit équivalent et une modélisation du convertisseur
sous la forme de contraintes de fonctionnement. Elles permettent de calculer rapidement
les courants, les tensions, les pertes, le couple, la commande et les performances pour
les diﬀérents points de fonctionnement du cahier des charges.
Ces modèles sont illustrés par des exemples de conception des systèmes de traction et d’un alternateur de voiture. Ce travail présente aussi un analyse des machines
polyphasées en mode dégradé en utilisant les modèles développés.
Abstract
A wide-speed-range electric drive is a system composed of a static converter and
an electric motor that produce high torque at low speed and low torque at high speed,
as in the case of a traction application. The performance is strongly inﬂuenced by the
apparent power of the inverter, the impedances of the machine and the control law.
The design methods that separate the design of the machine, the static converter and
the control law do not always ﬁnd an adequate solution. It is so necessary to carry a
global optimization of the whole system. When optimizing the number of iterations is
very important and the computation time is an important factor.
This work presents analytic modeling methods suited for the optimization of drive
systems. The methods are based in an equivalent circuit machine model and operating
constraint model of the static converter. The methods rapidly calculate the currents,
voltages, losses, torque, control law and performances of the diﬀerent operating points
of the system design speciﬁcation.
Those models are illustrated with traction system design examples and a car alternator design example. This work also presents an analysis of polyphase machines in
fault modes.
Avant-propos
Cette thèse représente pour moi la ﬁn d’une étape de ma vie, soit celle d’étudiant
à l’Université Laval. Dans cette étape, j’ai eu la chance de connaı̂tre mon professeur et
mon directeur, M. Jérôme Cros qui m’a enseigné, guidé, appuyé, autant sur les plans
technique et matériel que dans la vie quotidienne. Au début de mon séjour à Québec en
2001, je ne savais pas vraiment qui il était. Maintenant, je le sais, il est un professeur
que n’importe quel étudiant voudrait avoir comme directeur et que n’importe quelle
personne voudrait compter parmi ses amis. Envers lui, je garde un très grand respect
et une grande gratitude.
J’ai connu aussi le professeur M. Philippe Viarouge, mon codirecteur, qui m’a montré des aspects nouveaux des entraı̂nements à vitesse variable et qui m’a éclairé de
nombreuses fois lorsque j’ai eu des problèmes dans mes travaux. Les discussions avec
lui ont toujours été amusantes et très proﬁtables pour moi, même s’il me faisait peur
avec son aspect très sévère et très sérieux. Envers lui, j’ai une grande admiration pour
ces qualités de pédagogue et comme personne.
M. Cros et M. Viarouge ont fait réalité mon rêve de continuer à étudier. Je me
considère chanceux de les avoir connus.
Je remercie aussi la Fondation de l’Université Laval pour son appui ﬁnancier dans le
cadre de son programme de bourses d’exemption des droits de scolarité supplémentaires.
Sans cette aide, il m’aurait été très diﬃcile de terminer ce travail.
Je remercie les membres du jury, M. Stéphan Astier, M. Richard Gagnon et M.
Maxime Dubois qui ont accepté gentiment de lire et corriger cette thèse et à M. Hoang
Le Huy qui a présidé la soutenance.
Avant-propos
v
J’aimerais remercier l’appui technique et logistique de M. Marco Béland et de Mme
Ghislaine L’Hébreux qui a pris sa retraite avant la ﬁn de mes études.
Je remercie mes amis qui ont enrichi ma vie à Québec : Ahmed, Charles, Lilian,
Soledad, Davide, Marcel et mes amis au Chili : Ricardo, Carlos, Javier, José Miguel et
le professeur Alfredo Muñoz, même si je ne communique pas avec eux assez souvent.
Ce travail est dédié à trois personnes. Mes parents Maria Odette et José Nolberto
qui m’ont toujours appuyé dans tous les moments malgré la distance. Et Sylvie qui
m’a beaucoup aidé, toléré et supporté lors des moments diﬃciles et de doute. Elle est
devenue avec le temps la femme avec laquelle j’espère pouvoir partager le reste de ma
vie.
Gatineau, janvier 2008
Table des matières
Résumé
ii
Abstract
iii
Avant-propos
iv
Table des matières
vi
Liste des tableaux
vii
Table des ﬁgures
viii
Nomenclature
1
Introduction générale
1
8
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des
machines à pôles lisses
1.1 Introduction
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à aimants permanents
à pôles lisses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1
Hypothèses simpliﬁcatrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2
Équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3
Équations diﬀérentielles dans l’espace occupé par des aimants . . 19
1.3 Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à rotor bobiné . . . . 23
1.4 Coeﬃcient de Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Relation entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur . . . . . . . . . 27
1.5.1
Potentiel vecteur dans l’entrefer mécanique
1.5.2
Potentiel vecteur dans l’espace occupé par des aimants . . . . . . 28
1.6 Calcul du ﬂux à vide d’un bobinage
. . . . . . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Table des matières
vii
1.7 Détermination de l’inductance d’entrefer d’un bobinage
. . . . . . . . . 36
1.8 Détermination de l’inductance de fuite dans les encoches . . . . . . . . . 38
1.8.1
Hypothèses simpliﬁcatrices
1.8.2
Calcul du champ magnétique entre les becs d’encoches . . . . . . 39
1.8.3
Calcul du champ magnétique dans l’encoche . . . . . . . . . . . . 39
1.8.4
Calcul de l’inductance d’une encoche . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8.5
Contribution des encoches à l’inductance d’un bobinage quelconque
1.8.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Inductance d’un bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9 Comparaison avec un logiciel de calcul des champs par éléments ﬁnis . . 43
1.9.1
Inﬂuence du nombre d’encoches et du nombre de pôles . . . . . . 47
1.9.2
Eﬀet de la perméabilité du fer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.9.3
Eﬀet de la non linéarité du fer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.4
Comparaison avec d’autres méthodes de calcul analytique
1.9.5
Correction des résultats des formules analytiques . . . . . . . . . 58
1.10 Estimation de la résistance
1.11 Conclusion
2
. . . . 58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Étude du fonctionnement des machines synchrones à vitesse variable
connectées à un onduleur de tension
2.1 Introduction
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Hypothèses et méthode de modélisation de l’ensemble convertisseur machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.1
Modèle de la machine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.2
Modèle de l’onduleur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.3
Inﬂuence du signe du courant d’axe quadratique . . . . . . . . . 77
2.2.4
Fonctionnement du système dans des quadrants opposés . . . . . 84
2.3 Calcul des limites de fonctionnement et des performances du système . . 86
2.3.1
Calcul de la limite de fonctionnement
2.3.2
Calcul de performances pour un point de fonctionnement quelconque
. . . . . . . . . . . . . . . 89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.4 Cas spéciaux avec des paramètres nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.5 Vériﬁcation de la précision numérique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5.1
Méthode pour vériﬁer l’exactitude des formules . . . . . . . . . . 108
2.5.2
Méthode pour vériﬁer l’exactitude des résultats . . . . . . . . . . 109
2.6 Normalisation des équations de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Table des matières
2.7
viii
Commande des diﬀérents types de machines
2.7.1
. . . . . . . . . . . . . . . 116
Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature
inférieure au ﬂux des aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.7.2
2.8
Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature
supérieure au ﬂux des aimants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.7.3
Machines à reluctance variable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.7.4
Commande d’une machine à rotor bobiné
. . . . . . . . . . . . . 136
Paramètres électriques optimaux pour un fonctionnement sur une large
plage de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.8.1
Simpliﬁcations et hypothèses
2.8.2
Analyse avec le plan ﬂux - saillance
2.8.3
Conclusion
2.9 Conclusion
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
. . . . . . . . . . . . . . . . 140
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.1 Introduction
145
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2 Modélisation de l’alternateur de voiture
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.2.1
Machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.2.2
Redresseur et batterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.2.3
Connexion en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3 Étude du fonctionnement séquence par séquence
. . . . . . . . . . . . . 152
3.3.1
Fonctionnement à basse vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.2
Fonctionnement à faible vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.3
Fonctionnement à vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.4
Fonctionnement à haute vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.4 Détermination des performances du système . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.1
Courant de charge à la sortie du redresseur
. . . . . . . . . . . . 168
3.4.2
Courant eﬃcace d’une phase
3.4.3
Courant moyen et eﬃcace des diodes . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.4.4
Amplitude et angle de la composante fondamentale du courant
3.4.5
Distorsion harmonique totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.5 Vériﬁcation avec des résultats expérimentaux
. 170
. . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.1
Paramètres de la machine DELCO . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5.2
Comparaison du courant à la sortie du redresseur . . . . . . . . . 175
3.5.3
Paramètres d’un alternateur modiﬁé avec rotor à aimants permanents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Table des matières
3.5.4
ix
Comparaison du courant à la sortie du redresseur de l’alternateur
à aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.6 Conclusion
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Exemples de conception avec les outils développés
4.1 Introduction
181
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.2 Compromis entre la taille de l’onduleur et la taille de la machine pour
un fonctionnement sur une large plage de vitesse
. . . . . . . . . . . . . 182
4.2.1
Méthode d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.2.2
Analyse simpliﬁée
4.2.3
Analyse en utilisant les outils développés . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2.4
Eﬀet de la plage autour de la vitesse nominale
4.2.5
Exemple de conception d’un entraı̂nement pour un fonctionne-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
. . . . . . . . . . 189
ment à puissance constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2.6
Conclusion sur l’utilisation des outils pour le dimensionnement
d’un entraı̂nement avec fonctionnement à puissance constante . . 200
4.3 Conception d’une machine pour une application de traction
4.3.1
Déﬁnition du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.3.2
Correction du résultat d’optimisation avec le calcul de champ . . 210
4.3.3
Analyse de résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.3.4
Conclusion sur l’utilisation de la procédure de CAO pour des
applications de traction électrique
4.4
. . . . . . . 201
. . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Comparaison de modèles magnétiques pour la conception d’un alternateur de voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.4.1
Cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.4.2
Méthode de conception
4.4.3
Sensibilité de la caractéristique courant - vitesse en fonction des
modèles magnétiques
4.4.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Résultats d’une conception par optimisation avec diﬀérents modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.4.5
Conclusion sur l’inﬂuence des modèles magnétiques . . . . . . . . 224
4.5 Conclusion
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
5.1 Introduction
225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.2 Structure de la machine et de l’onduleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Table des matières
x
5.2.1
Types de défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.2.2
Commande d’une machine en présence d’un défaut . . . . . . . . 228
5.2.3
Contrainte sur le courant de court-circuit d’une machine . . . . . 230
5.3 Hypothèses simpliﬁcatrices du problème d’optimisation . . . . . . . . . . 232
5.4 Mise en place du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.5 Normalisation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6 Comparaison entre entraı̂nements avec diﬀérent nombre de phases . . . . 239
5.6.1
Charges maximales avec tolérance aux défauts
. . . . . . . . . . 244
5.7 Fiabilité des machines polyphasées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.7.1
Fiabilité des transistors de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.7.2
Fiabilité des machines de traction
5.7.3
Fréquence des défauts des diﬀérents composants
5.7.4
Hypothèses simpliﬁcatrices pour un exemple . . . . . . . . . . . . 259
5.7.5
Coût de fabrication d’un système à trois phases sans tolérance
. . . . . . . . . . . . . . . . . 257
. . . . . . . . . 257
aux défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.7.6
Coût de fabrication des systèmes avec tolérance aux défauts et
un pont monophasé par phase
5.7.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Fréquence et coût des défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.8 Exemple de comparaison du coût des diﬀérents systèmes . . . . . . . . . 263
5.9 Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Conclusion Générale
268
Bibliographie
272
A Court-circuit entre les spires d’une phase
277
A.1 Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.2 Circuit équivalent d’une bobine avec un court-circuit entre spires
. . . . 277
A.2.1 Cas d’une phase composée de plusieurs bobines . . . . . . . . . . 282
A.3 Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Liste des tableaux
1.1 Géométrie d’une machine à aimants permanents
. . . . . . . . . . . . . 43
1.2 Géométrie d’une machine à aimants permanents
. . . . . . . . . . . . . 47
1.3 Géométrie d’une machine à rotor bobiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1 Liste de sous problèmes modiﬁés pour la maximisation du couple
. . . . 98
2.2 Liste des sous problèmes d’optimisation modiﬁés pour déterminer la performance du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 Liste de cas spéciaux des paramètres du système
. . . . . . . . . . . . . 107
2.4 Liste de cas spéciaux des conditions de fonctionnement du système
. . . 107
2.5 Paramètres des machines avec réaction d’armature plus petite que le ﬂux
à vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Paramètres des machines avec réaction d’armature plus grande que le
ﬂux à vide
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7 Paramètres de la machine à reluctance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.8 Paramètres de la machine à rotor hybride et pôles saillants . . . . . . . . 137
3.1 Paramètres électriques utilisés pour les exemples
. . . . . . . . . . . . . 153
3.2 Paramètres électriques d’un alternateur DELCO
. . . . . . . . . . . . . 174
3.3 Paramètres électriques d’un alternateur à aimants permanents . . . . . . 178
4.1 Surdimensionnement de l’onduleur nécessaire pour obtenir un couple
maximal égal au couple de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.2 Paramètres de conception d’un entraı̂nement pour une application de
traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.3 Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur
avec le cahier des charges de traction non modiﬁé . . . . . . . . . . . . . 196
4.4 Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur
avec le cahier des charges de traction modiﬁé
. . . . . . . . . . . . . . . 197
4.5 Caractéristiques de l’entraı̂nement du véhicule . . . . . . . . . . . . . . . 201
Liste des tableaux
xii
4.6 Contraintes de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.7 Variables d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.8 Paramètres de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.9 Résultats de l’optimisation avec diﬀérentes structures de machines
4.10 Cahier des charges d’un alternateur de voiture
. . . 211
. . . . . . . . . . . . . . 216
4.11 Résultats obtenus pour la conception d’un alternateur
. . . . . . . . . . 223
5.1 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase
ouverte et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.2 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase
ouverte et une connexion en étoile
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.3 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase
en court-circuit et avec un pont monophasé par phase
. . . . . . . . . . 242
5.4 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase
en court-circuit et une connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.5 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique
5.6 Charges maximales pour maximiser le couple
. . . . . . . 245
. . . . . . . . . . . . . . . 255
5.7 Fréquence des défauts des composantes d’entraı̂nements de traction des
locomotives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.8 Taux de défauts par phase avec 4 transistors par phase . . . . . . . . . . 260
5.9 Taux de défauts par phase avec 2 transistors par phase . . . . . . . . . . 260
5.10 Surdimensionnement de la machine et de l’onduleur par rapport à un
entraı̂nement triphasé sans tolérance aux défauts
5.11 Probabilité que le système soit hors service
. . . . . . . . . . . . . 262
. . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.12 Coût moyen des diﬀérents systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Table des ﬁgures
1.1 Simpliﬁcations de la géométrie pour obtenir le ﬂux à vide
1.2 Variables qui représentent la géométrie simpliﬁée
. . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Aimantation des aimants et son approximation par une série de Fourier . 20
1.4 Représentation graphique des conditions aux limites
. . . . . . . . . . . 22
1.5 Transformation de la structure d’une machine à rotor bobiné
. . . . . . 24
1.6 Champ magnétique tangentiel à la surface du rotor et son approximation
par une série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Représentation du courant des encoches comme un courant superﬁciel
1.8 Géométrie utilisée pour calculer l’inductance d’une dent d’encoche
. 30
. . . 32
1.9 Équivalence d’une bobine à la mise en série de trois bobines autour d’une
dent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 Machine avec deux pôles et six encoches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11 Géométrie simpliﬁée de l’encoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.12 Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 24
encoches.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.13 Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches
fermées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.14 Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches
ouvertes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.15 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches. . . . . . . . . . . . . . 48
1.16 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches.
. . . . . . . . . . . . 49
1.17 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 8 pôles et 6 encoches.
. . . . . . . . . . . . . 49
1.18 Géométrie d’une machine à aimants permanents de 20 pôles et de 21
encoches.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Table des figures
xiv
1.19 Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 6 encoches.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.20 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches.
. . . . . . . . . . . . 52
1.21 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique avec 1 [A] d’excitation dans le rotor. Structure avec 8 pôles
et 24 encoches et rotor bobiné.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.22 Géométrie d’une machine à rotor bobiné de 8 pôles et 24 encoches.
. . . 54
1.23 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches et rotor bobiné. . . . . 55
1.24 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches et rotor à aimants
permanents.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.25 Courbe BH du fer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.26 Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec -20A/mm2 .
. . 57
1.27 Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec +10A/mm2 . . . 58
1.28 Principe du circuit de reluctances pour la correction des formules analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.29 Calcul de la longueur de la tête de bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1 Parcours d’un véhicule comportant la vitesse (rouge) et la pente à surmonter (bleu).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Parcours dans l’espace couple vitesse.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Superﬁcies à couple constant pour une machine à rotor bobiné (Ld =
5Lq = 1pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Courbes à couple constant pour une machine à aimants permanents à
pôles saillants avec (Ld = 5Lq = 1pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Les diﬀérents types de machines modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les machines à rotor bobiné ou hybride
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7 Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les machines à aimants permanents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Contrainte de tension dans le cas de machines à rotor bobiné ou hybride
(Ω = 7pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.9 Contrainte de tension pour des machines à aimants permanents (Ω =
2pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Table des figures
xv
2.10 Limites du courant du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.11 Contraintes d’une machine hybride ou à rotor bobiné . . . . . . . . . . . 76
2.12 Contraintes d’une machine à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 76
2.13 Espace des points optimaux d’une machine à rotor hybride ou bobiné
(zone non couverte par des plans)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.14 Espace des points optimaux d’une machine à aimants permanents (zone
non couverte par des lignes entrecroisées)
. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.15 Limites de couple maximal et de couple minimal qui montrent que le système peut fournir de la puissance mécanique dans des quadrants opposés. 85
2.16 Limites de couple maximal et de couple minimal pouvant être produits
par un système avec une machine à aimants permanents. . . . . . . . . . 86
2.17 Rendement d’une machine à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 87
2.18 Intersection vide entre la contrainte de tension et la contrainte de courant
pour une machine à aimants permanents à vitesse élevée.
. . . . . . . . 88
2.19 Couple lorsqu’il n’est pas possible de contrôler le courant à l’intérieur des
limites du système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.20 Distribution de l’erreur numérique d’une fonction pour résoudre un problème d’optimisation modiﬁé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.21 Deux déﬁnitions de vitesse nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.22 Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (I) et les
courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant - vitesse résultantes 119
2.23 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine
(I) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.24 Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (II) et les
courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . 123
2.25 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine
(II) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.26 Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (III) et
les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.27 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine
(III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Table des figures
xvi
2.28 Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine
(IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.29 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine
(IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.30 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine
(V) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.31 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine
(VI) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.32 Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine
(VII) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.33 Courbes de puissance mécanique versus vitesse des diﬀérentes machines . 141
2.34 Rapport d’utilisation de l’onduleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.35 Plage de vitesse à puissance constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1 Stator et rotor d’un alternateur DELCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2 Schéma électrique équivalent du système étudié . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3 Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des
phases B et C. Les éléments parcourus par un courant sont marqués en
rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4 Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à faible vitesse
(700 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. . 157
3.5 Caractéristique courant - tension d’un bras de redresseur en pont avec
diodes idéales (bleu) et l’approximation utilisée dans le simulateur pas à
pas dans le temps (rouge). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.6 Formes d’onde à faible vitesse 700 [RPM]
. . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.7 Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des
phases A, B et C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.8 Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des
phases B et C après l’extinction du courant de la phase A
. . . . . . . . 160
3.9 Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à vitesse moyenne
(800 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. . 163
Table des figures
xvii
3.10 Formes d’onde à vitesse moyenne 800 [RPM]
. . . . . . . . . . . . . . . 164
3.11 Schéma électrique équivalent au système étudié lors de la conduction des
phases A, B et C à haute vitesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.12 Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à haute vitesse
(1300 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. 166
3.13 Formes d’onde à faible vitesse 1300 [RPM] . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.14 Flux d’une phase d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge) et points
mesurés (bleu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.15 Courant de court-circuit d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge)
et points mesurés (bleu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.16 Comparaison des résultats expérimentaux et du modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 1[A]
. . . . . . . . . . 176
3.17 Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 3[A]
. . . . . . . . . . 176
3.18 Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 6[A]
. . . . . . . . . . 177
3.19 Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur pour l’alternateur à aimants permanents . . . . . . 179
4.1 Cahier des charges à puissance constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2 Prix des transistors en fonction du courant
. . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.3 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal
d’une machine à pôles lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.4 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal
d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal
d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.6 Cahier des charges à puissance constante en ignorant une portion autour
de la vitesse nominale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.7 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal
d’une machine à pôles lisses avec un cahier des charges modiﬁé
. . . . . 192
4.8 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal
d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld avec un cahier des charges
modiﬁé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Table des figures
xviii
4.9 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal
d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld avec un cahier des charges
modiﬁé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.10 Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses.
. . . . . . . . . 197
4.11 Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le cahier des
charges modiﬁé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.12 Masse des résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le
cahier des charges modiﬁé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.13 Réaction d’induit par rapport au ﬂux à vide des résultats de la conception. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.14 Vitesse et pente sur le parcours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.15 Couple de charge du moteur pour le parcours utilisé
. . . . . . . . . . . 202
4.16 Étapes de la conception d’un entraı̂nement de traction . . . . . . . . . . 204
4.17 Rendement de la machine A et points du parcours
. . . . . . . . . . . . 212
4.18 Rendement de la machine B et points du parcours
. . . . . . . . . . . . 212
4.19 Rendement de la machine C et points du parcours
. . . . . . . . . . . . 213
4.20 Rendement de la machine D et points du parcours
. . . . . . . . . . . . 213
4.21 Rendement de la machine E et points du parcours
. . . . . . . . . . . . 214
4.22 Rendement de la machine F et points du parcours
. . . . . . . . . . . . 214
4.23 Diagramme de la conception de l’alternateur
. . . . . . . . . . . . . . . 217
4.24 Dimensionnement analytique utilisant des réseaux de reluctances
. . . . 218
4.25 Dimensionnement analytique utilisant un modèle 2D corrigé avec un réseau de reluctances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.26 Comparaison des caractéristiques de courant vitesse avec diﬀérents modèles magnétiques sur une même machine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.27 Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique avec réseaux de réluctances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.28 Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique avec formules 2D et corrigés avec un réseaux de réluctances.
. . . . . . . . . . . 223
5.1 Structure d’une phase d’un entraı̂nement alimentée avec un pont monophasé par phase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.2 Structure d’une machine à cinq phases connectée en étoile . . . . . . . . 227
5.3 Phase alimentée par un pont monophasé, avec un court-circuit entre les
spires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Table des figures
xix
5.4 Phase avec un court-circuit entre les spires du bobinage et avec connexion
en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.5 Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours ouvert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.6 Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours
fermé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.7 Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur
toujours ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.8 Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur
toujours fermé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.9 Couple de freinage lors d’un court-circuit d’une phase
. . . . . . . . . . 241
5.10 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte et un
pont monophasé par phase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.11 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte et
une connexion en étoile
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.12 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et un pont monophasé par phase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.13 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et une connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.14 Diﬀérents types de charges avec une machine à trois phases et un pont
monophasé par phase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.15 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à cinq phases et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . 247
5.16 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine
à cinq phases et un pont monophasé par phase
. . . . . . . . . . . . . . 248
5.17 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à cinq phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.18 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine
à cinq phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.19 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à sept phases avec un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . 251
5.20 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine
à sept phases avec un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . 252
5.21 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à sept phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Table des figures
xx
5.22 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine
à sept phases connectée en étoile
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.23 Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence
de défauts faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.24 Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence
de défauts haute. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
A.1 Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires . 279
A.2 Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires
et un court-circuit dans la première spire
. . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.3 Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires
avec une spire en court-circuit et un court-circuit entre les bornes . . . . 285
A.4 Schéma équivalent d’une phase composée de deux bobines avec cinq spires 286
Nomenclature
b̃2k+1 , c2k+1
:
coeﬃcients de la série de Fourier
vabc...
:
vecteur des tensions des phases
v̂
:
vecteur des tensions transformées par la
transformation de Park généralisée
λ
:
ﬂux à vide
λ2k+1
:
harmonique 2k + 1 ﬂux à vide d’une dent de
stator
λj2k+1
:
harmonique 2k + 1 du ﬂux à vide de la dent
numéro j du stator
λbase
:
ﬂux de base de l’entraı̂nement
λdent
:
ﬂux à vide d’une dent de stator
μ
:
fréquence des défauts par année
μ0
:
perméabilité du vide
μr
:
perméabilité relative
Ω
:
vitesse mécanique
Ω∗
:
vitesse à laquelle le couple de freinage est le
plus important
Ωnom
:
vitesse nominale
Ωpu
:
vitesse normalisée
φ
:
potentiel scalaire
φ1g
:
solution générale du potentiel scalaire du
champ magnétique
φ1p
:
solution particulière du potentiel scalaire du
champ magnétique
Nomenclature
2
:
φ1
solution du potentiel scalaire du champ magnétique
τ
:
période de temps
θ
:
variable tangentielle
θ1 et θ2
:
angles limitant l’espace entre becs d’encoche
ĩ
:
vecteur des courants transformés par la
transformation de Park généralisée
hpark
:
vecteur qui déﬁnit la transformation de Park
généralisée
A
g
A
:
potentiel vecteur
:
solution générale potentiel vecteur magnétique
p
A
:
solution particulière potentiel vecteur magnétique
B
r
B
:
induction magnétique
:
induction rémanente d’un aimant
H
:
champ magnétique
r̂
:
vecteur unitaire direction radiale
θ̂
:
vecteur unitaire direction tangentielle
ẑ
:
vecteur unitaire direction perpendiculaire au
plan
a2k+1 ,
ã2k+1 , :
amplitude cosinus et sinusoı̈dal du courant de
la composante de Clarke (i = 0) ou homopo-
b2k+1 , ai , bi
laire (i = 0)
Cmax
:
couple maximal qui peut fournir le système
Nomenclature
3
Cmin
:
couple minimal qui peut fournir le système
F IT
:
fréquence de défaut par 109 heures de fonctionnement
G
:
couplage magnétique entre les bobinages du
rotor et du stator
Gbase
:
couplage rotor - stator de base de l’entraı̂nement
gm
:
entrefer magnétique équivalent
h1 , h2 , etc.
:
multiplicateurs de Lagrange
ia , ib et ic
:
courant instantané de phase de l’alternateur
iαai , iαbi , iβai , iβbi
:
amplitude cosinus et sinusoı̈dal des courants
α et β de séquence i de Clarke
idc
:
courant de charge de la batterie
idiodeAV
:
courant moyen d’une diode
idiodeRM S
:
courant eﬃcace d’une diode
iencoche
:
courant dans une encoche
if ondamental
:
amplitude de la composante fondamentale du
courant d’une phase
if ondamental
:
phase de la composante fondamentale du
courant d’une phase
imax
:
courant maximal que peut fournir l’onduleur
et que peut supporter la machine en régime
permanent
inom
:
courant nominal du système
inompu
:
courant nominal normalisé
ipu
:
courant normalisé
Nomenclature
4
irbase
:
courant de base du rotor bobiné
irmax
:
courant maximal d’excitation du rotor
irmin
:
courant minimal d’excitation du rotor
iRM S
:
courant eﬃcace d’une phase
isin , icos
:
composantes
fondamentales
du
courant
d’une phase par rapport à la F.E.M.
itot
:
courant des terminaux d’une bobine
i0 , iα , iβ
:
courants de l’alternateur en composantes de
Clarke
ia
:
valeur crête du courant d’une phase de la machine
id
:
courant d’axe direct
ie
:
courant dans une encoche
ii
:
courant de la spire numéro i
iq
:
courant d’axe quadratique
ir
:
courant d’excitation du rotor
Js
:
correspond à la densité de courant par unité
de longueur équivalente au courant total de
l’encoche
k
:
coeﬃcient de couplage entre spires
k
:
coeﬃcient de couplage entre spires d’une bobine
kc
:
coeﬃcient de Carter
L
:
inductance propre d’une phase de l’alternateur
Nomenclature
5
L
:
inductance propre d’une spire
LΔ
:
inductance d’une phase connectée en triangle
laxial
:
longeur axiale
Lbase
:
inductance de base de l’entraı̂nement
lbobinage
:
longeur moyenne du bobinage
lbobine
:
longeur moyenne d’une bobine
Lpu
:
inductance normalisée
Ld
:
inductance d’axe direct
Lq
:
inductance d’axe quadratique
LY
:
inductance équivalente en connexion étoile
M
:
inductance mutuelle ou couplage entre les
phases de l’alternateur
MΔ
:
inductance mutuelle ou couplage entre des
phases connectées en triangle
Mr (θ)
:
fonction d’aimantation dans la direction radiale
Mr
:
valeur de l’aimantation maximale
MY
:
inductance mutuelle ou couplage entre
phases équivalentes connectées en étoile
nbobine
:
nombre de bobines
nphases
:
nombre de phases
nspire
:
nombre d’espires
Nomenclature
6
ne
:
nombre d’encoches
p
:
nombre de paires de pôles de la machine
R
:
résistance d’une spire d’une bobine
r
:
variable radiale
rΔ
:
résistance d’une phase connectée en triangle
rrotor
:
rayon du rotor ou la résistance du bobinage
d’excitation du rotor
rstator
:
rayon du stator
rs
:
résistance d’une phase
rs
:
résistance d’une phase du stator
rY
:
résistance équivalente en connexion étoile
Sonduleur
:
puissance apparente de l’onduleur
T
:
matrice de transformation de Clarke
t
:
temps
t
:
couple électromagnétique
t∗
:
temps de début de la conduction des diodes
de l’alternateur
Tbase
:
couple de base de l’entraı̂nement
t∗f reinage
:
couple de freinage maximal
Tmax
:
couple maximal
Nomenclature
7
Tnom
:
couple nominal
tpu
:
couple normalisé
t0 , t1
:
temps du début et de la ﬁn de la période
d’étude du fonctionnement de l’alternateur
ta , tb
:
deux instants de temps séparés par 60 degrés électriques de fonctionnement de l’alternateur
T HD
:
taux de distorsion harmonique
u1 , u2 , u3 , u4
:
variables de relaxation des contraintes d’inégalité
van
:
valeur crête de la tension phase neutre dans
la machine
van , vbn et vcn
:
tension instantanée phase neutre de l’alternateur
Vdc
:
tension de la batterie
vdc
:
tension d’alimentation continue
vmax
:
tension phase - neutre maximale que peut
fournir l’onduleur
vnom
:
tension nominale du système
vnompu
:
tension nominale normalisée
vpu
:
tension normalisée
vtot
:
tension entre terminaux d’une bobine
v0 , vα , vβ
:
tensions de la machine en composantes de
Clarke
vd
:
tension d’axe direct
vi
:
tension de la spire numéro i
vq
:
tension d’axe quadratique
Zbase
:
impédance de base de l’entraı̂nement
Zrbase
:
impédance de base du rotor bobiné
Introduction générale
Les progrès de l’électronique de puissance ont permis le développement des entraı̂nements électriques à vitesse variable pour une grande variété d’applications en améliorant
les performances et en oﬀrant un meilleur contrôle. Un entraı̂nement à vitesse variable
est composé d’une source d’énergie électrique, d’un convertisseur d’électronique de puissance, d’une machine et d’un système de commande.
Dans les entraı̂nements de faible puissance, un surdimensionnement de l’onduleur
n’est pas un facteur important qui inﬂuence le coût total du système. Il est donc possible de découpler la conception de la machine et du convertisseur. Cette approche est
largement utilisée. Elle consiste à concevoir la machine pour le couple maximal de la
charge sans vraiment considérer la vitesse de fonctionnement. Une modélisation avec le
système complet et la commande permet d’adapter le nombre de spires de la machine
en fonction des caractéristiques de l’alimentation et de valider le fonctionnement du
système.
Dans le cas d’entraı̂nements de moyenne et grande puissance, le cahier des charges
devient de plus en plus exigeant et un surdimensionnement du convertisseur électronique
ou de la machine est moins tolérable.
Nous entendons par un entraı̂nement à grande plage de vitesse, un entraı̂nement
avec un couple à faible vitesse qui est supérieur au couple à haute vitesse. Par exemple,
les applications de traction et les alternateurs de voiture produisent des caractéristiques en vitesses assimilables à une puissance constante. Ce type d’application ajoute
des contraintes particulières sur les impédances de la machine pour minimiser la taille
du convertisseur ou pour maximiser les performances. La performance dans ce type
d’application dépend fortement de la loi de commande utilisée.
Introduction générale
9
Lors du dimensionnement du système, il est possible d’imposer à l’avance la loi de
commande, comme par exemple utiliser une loi à couple maximum, ou une loi à facteur
de puissance unitaire [1] [2]. Cependant, dans certaines applications avec des cahiers
des charges trop contraignants, cette méthode ne permet pas toujours de trouver une
solution satisfaisante. En conséquence, il est souhaitable d’éviter l’utilisation d’une loi
de commande prédéterminée. Donc, il est préférable de réaliser une optimisation globale
de tout l’entraı̂nement qui dimensionne la machine électrique et le convertisseur et qui
détermine, en même temps, la loi de commande la plus appropriée.
Pour réaliser cette optimisation, nous avons besoin de modèles de dimensionnement
qui évaluent les performances du système dans les diﬀérentes conditions de fonctionnement du cahier des charges. Ces modèles doivent calculer les courants, les tensions, les
pertes, le couple et la commande du système pour vériﬁer les contraintes de conception.
Une première solution consiste à calculer les paramètres du modèle électrique équivalent de la machine avec des logiciels de calcul de champs et à utiliser des outils de
simulation en pas à pas dans le temps, par exemple Simulink, PSim ou Pspice, pour
analyser les performances de l’entraı̂nement [1] [2]. Ces outils de simulation sont très
performants et peuvent tenir compte de la saturation magnétique. Cependant, le temps
pour obtenir les résultats limite leur utilisation dans un processus d’optimisation itératif. La recherche du régime permanent peut aussi constituer un problème pour le temps
de simulation [3].
Lorsqu’on réalise une optimisation globale d’un système, il y a un nombre important
de variables à considérer. Le nombre d’itérations pour arriver à une solution est plus
grand et le temps de calcul est un facteur à considérer. Dans ce contexte, les modèles
analytiques oﬀrent plus d’avantages à condition que leur comportement soit satisfaisant
avec la meilleure précision possible.
Ce travail concerne le développement des outils de modélisation adaptés pour l’optimisation globale d’un entraı̂nement, fonctionnant sur une large plage de vitesse. Dans le
chapitre §1, nous nous intéressons au problème du calcul des paramètres électriques en
fonction de la géométrie d’une machine synchrone à aimants permanents à pôles lisses.
Nous proposons une solution rapide qui peut s’appliquer quelle que soit la conﬁguration de bobinage de l’induit et le nombre de phases utilisées. Elle consiste à estimer le
champ magnétique dans l’entrefer pour déterminer le ﬂux à vide, les inductances ainsi
Introduction générale
10
que les diﬀérents couplages magnétiques entre les bobines. La saturation magnétique
est négligée.
Dans le chapitre §2, nous présentons une méthode de modélisation pour étudier le
fonctionnement d’une machine synchrone connectée à un onduleur de tension avec des
courants sinusoı̈daux. Cette méthode est basée sur un modèle de Park sans considérer
la saturation magnétique. Elle utilise un processus d’optimisation pour déterminer la
loi de commande qui minimise les pertes joule, pour chaque point de fonctionnement
considéré, en respectant les contraintes de tension et de courant de l’onduleur. Cette
méthode est applicable à toutes les structures de machines synchrones comme : les
machines à pôles lisses, à pôles saillants, à aimants permanents, à rotor bobiné et à
rotor hybride.
Dans le chapitre §3, nous traitons le cas particulier d’un alternateur de voiture
connecté à une batterie avec un redresseur à diodes. Dans ce système, le convertisseur
n’est pas commandé et les formes de courants ne sont pas sinusoı̈dales. Nous avons
développé une méthode pour trouver le régime permanent sans passer par une simulation, ce qui rend cet outil très rapide par rapport à une méthode de simulation dans
le temps. Cette méthode utilise une résolution analytique des équations diﬀérentielles
et donne directement des intégrales analytiques de ces solutions pour déterminer des
valeurs caractéristiques comme, par exemple, la valeur eﬃcace des courants de phase.
Le chapitre §4 illustre les possibilités et la ﬂexibilité de ces méthodes de modélisation avec des exemples concrets d’utilisation. Tout d’abord, nous présentons une étude
sur le compromis entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal de
la machine dans des applications à large plage de vitesse. Pour ce faire, nous utilisons la modélisation du fonctionnement des machines synchrones présentée au chapitre
§2. Deux autres exemples montrent l’intégration des outils dans un environnement de
conception aidé par ordinateur (CAO) des entraı̂nements avec optimisation globale.
Une première étude concerne la conception d’une machine à aimants permanents pour
une application de traction électrique d’automobile en tenant compte d’un parcours
typique, comportant plusieurs milliers de points de fonctionnement. Une autre étude
montre l’inﬂuence de la précision du modèle magnétique pour la conception optimale
d’un alternateur de voiture.
Finalement, le chapitre §5 traite des performances des machines polyphasées dans
Introduction générale
11
des conditions particulières de fonctionnements dégradés, par exemple, une phase ouverte ou une phase en court-circuit. Cet outil complète la modélisation présentée au
chapitre §2, en tenant compte des diﬀérentes séquences de machines ﬁctives pour maximiser le couple moyen sans ondulation. Il permet de déﬁnir une loi de commande optimale, en régime dégradé, en considérant les limitations de l’onduleur et les impédances
de la machine. Nous avons utilisé cet outil pour analyser la tolérance aux défauts de ce
type de machine et son inﬂuence sur le dimensionnement de l’entraı̂nement.
Chapitre 1
Estimation des paramètres
électriques et du champ magnétique
des machines à pôles lisses
1.1
Introduction
Pour estimer les performances d’un entraı̂nement à vitesse variable, nous construisons un circuit électrique équivalent qui représente la machine. Dans le cas des machines
synchrones à pôles lisses, ce circuit équivalent se compose des résistances de phase, des
inductances, des couplages mutuels et des forces électromotrices (f.e.m.) dans le bobinage d’induit. En conséquence, il faut calculer la valeur de ces diﬀérents éléments en
fonction des dimensions géométriques pour réaliser la modélisation du système.
Il existe diﬀérentes méthodes de calcul des paramètres basées sur une approche
analytique ou numérique par éléments ﬁnis. Dans le cas des méthodes analytiques,
nous pouvons signaler l’utilisation directe d’équations, de formules et de tables pour
des machines spéciﬁques [4]. On trouve aussi, des méthodes basées sur les réseaux de
réluctances [5], les fonctions de MMF [6] et la résolution analytique des équations de
Maxwell dans l’entrefer [7] [8] [9] [10].
L’utilisation directe d’équations développées pour des cas spéciﬁques est diﬃcilement
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
13
envisageable. Elle demande une étude approfondie de leur sensibilité par comparaison
avec des méthodes de calcul de champs par éléments ﬁnis avant de les utiliser dans un
processus d’optimisation [11]. Nous avons choisi la méthode proposée par Zhu en l’adaptant à nos besoins [7] [8] [9] [10]. Elle utilise une résolution des équations de Maxwell en
deux dimensions dans des milieux homogènes, pour des géométries de machines à pôles
lisses sans encoche. Elle oﬀre un bon compromis entre précision et vitesse de calcul. Elle
néglige la saturation magnétique et elle suppose que la perméabilité des matériaux est
inﬁnie.
Dans ce chapitre, nous décrivons la méthode de calcul du champ magnétique en 2D
dans l’entrefer et ses hypothèses. Nous avons généralisé cette méthode pour calculer les
paramètres avec n’importe quelle conﬁguration de bobinage d’induit. Pour faciliter le
calcul du ﬂux, nous utilisons une relation d’équivalence entre le potentiel scalaire et le
potentiel vecteur. À la ﬁn du chapitre, nous présentons une analyse sur la précision de
cette méthode par rapport aux résultats d’un logiciel de calcul de champ par éléments
ﬁnis. D’autres travaux ont été présentés et peuvent s’avérer une bonne alternative aux
formules que nous présentons, notamment [12].
1.2
Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à aimants permanents à pôles lisses
Une machine à aimants permanents à pôles lisses possède un stator avec encoches
pour loger le bobinage et un rotor cylindrique sur lequel nous trouvons les aimants
permanents (Fig. 1.1, gauche). Le nombre d’encoches et le nombre de pôles de la machine dépendent de la structure de la machine choisie par le concepteur. Si les aimants
possèdent une perméabilité relative proche de l’unité, l’inductance d’une phase est indépendante de la position du rotor.
Les formules analytiques basées sur la loi d’Ampère nécessitent a priori la connaissance du trajet des lignes de ﬂux dans l’entrefer de la machine. Par exemple, si la
distance qui sépare une dent de stator de la culasse du rotor est très petite, nous pouvons supposer, sans commettre une grande erreur, que les lignes de ﬂux sont radiales.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
14
Dans le cas des machines à aimants, l’entrefer magnétique, soit la distance entre
le fer de stator et du rotor, est relativement important. Il correspond à l’épaisseur des
aimants et de l’entrefer mécanique. Ceci entraı̂ne une déformation des lignes de ﬂux qui
rend diﬃcile l’application de la loi d’Ampère. De là découle l’intérêt de développer des
formules plus précises pour les machines à aimants permanents à pôles lisses.
Dans cette section nous allons appliquer la méthode proposée dans [7] pour obtenir
des équations du champ magnétique dans une machine à aimants permanents.
1.2.1
Hypothèses simpliﬁcatrices
Pour obtenir la solution recherchée, nous utilisons les simpliﬁcations suivantes sur
la géométrie réelle de la machine et sur les matériaux qui la constituent.
• Les encoches sont négligées.
• La perméabilité relative du fer est inﬁnie.
• Les caractéristiques des aimants sont linéaires.
• Les aimants sont non conducteurs et leur perméabilité relative est proche de
l’unité.
• L’espace entre les aimants est rempli d’un matériel ayant la même perméabilité
relative (vert, ﬁgure 1.1 droite). Dans [7], il est montré que cette approximation
est convenable pour limiter l’erreur de l’amplitude du ﬂux.
• Les hypothèses de la magnétostatique sont satisfaites.
Ces simpliﬁcations permettent d’obtenir une géométrie complètement lisse qui est
composée d’anneaux de matériaux avec une perméabilité relative homogène (Fig. 1.1).
Cette géométrie composée d’anneaux homogènes nous permet de trouver une solution
analytique aux équations de Maxwell.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
15
Figure 1.1 – Simpliﬁcations de la géométrie pour obtenir le ﬂux à vide
est nul à l’intérieur
Comme la perméabilité du fer est inﬁnie, le champ magnétique H
du fer de stator et du fer de rotor et nous pouvons l’ignorer. En conséquence, dans la
géométrie simpliﬁée, il suﬃt de déﬁnir les variables géométriques suivantes (Fig. 1.2) :
• Le rayon du stator.
• Le rayon du rotor.
• Le rayon de l’interface aimant - entrefer.
• L’angle d’un pôle d’aimant.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
2rpoles
Α
2rrotor
2rstator
Figure 1.2 – Variables qui représentent la géométrie simpliﬁée
16
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.2.2
17
Équations diﬀérentielles
Le problème qui nous intéresse se caractérise par les équations diﬀérentielles sui et l’induction magnétique B
:
vantes qui déterminent le champ magnétique H
=0
∇×H
(1.1)
=0
∇•B
(1.2)
Il est possible de poser le problème sous deux formes : soit avec le potentiel scalaire
Avec le potentiel scalaire, le vecteur H
s’exprime
φ ou soit avec le potentiel vecteur A.
comme suit :
= −∇φ
H
(1.3)
est obtenu à partir d’un potentiel scalaire, le rotationnel est nécesSi le vecteur H
sairement zéro, rendant l’équation (1.1) inutile à la résolution du problème :
= −∇ × (∇φ) ≡ 0
∇×H
(1.4)
est liée au champ magnétique H
par l’équation suivante :
L’induction magnétique B
+B
r
= μr μ0 H
B
(1.5)
r est l’induction rémanente d’un aimant.
Où B
Cette relation dépend des caractéristiques du matériel : la perméabilité relative
μr et la perméabilité du vide μ0 . Nous pouvons utiliser la divergence de l’induction
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
18
magnétique pour obtenir l’équation suivante :
+∇•B
r = 0
= μr μ0 ∇ • H
∇•B
(1.6)
r
μ 0 μ r ∇2 φ = ∇ • B
(1.7)
Nous pouvons aussi obtenir la solution en utilisant le potentiel vecteur :
=∇×A
B
(1.8)
est obtenu à partir d’un potentiel vecteur,
Si le vecteur d’induction magnétique B
sa divergence est nécessairement zéro, rendant l’équation (1.2) inutile à la solution du
problème :
= ∇ • (∇ × A)
≡0
∇•B
(1.9)
En manipulant les équations, nous pouvons obtenir la relation suivante dont l’in :
connue est le potentiel vecteur A
=∇×B
r
2A
∇
(1.10)
Les deux méthodes de résolution des équations diﬀérentielles sont équivalentes, puisqu’il n’y a pas de source de courant dans le domaine d’étude. Dans le cas où il y a des
sources de courant dans le domaine d’étude, c’est seulement la méthode de résolution
avec le potentiel vecteur qui est valable. Bien que la complexité pour trouver la solution
reste exactement la même avec les deux méthodes, c’est la méthode de résolution par le
potentiel scalaire qui est retenue dans [7]. Nous allons appliquer la même méthode pour
obtenir la solution du potentiel scalaire. Ensuite nous allons montrer comment obtenir
le potentiel vecteur à partir du potentiel scalaire pour simpliﬁer les calculs de ﬂux.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.2.3
19
Équations diﬀérentielles dans l’espace occupé par des aimants
L’équation diﬀérentielle qui détermine le potentiel scalaire dans l’espace occupé par
les aimants est la suivante :
∇2 φ 1 =
r
∇•B
μ0 μr
(1.11)
La perméabilité relative est constante dans l’anneau homogène occupé par les aimants mais, l’aimantation varie selon si la portion de l’anneau considérée correspond à
un pôle nord, à un pôle sud ou à une zone non magnétisée. Nous supposons que l’in r suit la direction radiale r̂ et qu’elle varie seulement en fonction
duction rémanente B
de l’angle. Elle s’exprime comme suit :
r = μ0 Mr (θ)r̂
B
(1.12)
Pour trouver la solution de l’équation diﬀérentielle (1.11), il est préférable de décomposer l’aimantation comme une série de Fourier (Fig. 1.3) :
Mr (θ) =
∞
2Mmax α sin
k=0
π
(2k+1)α
2
(2k+1)α
2
cos((2k + 1)pθ)
(1.13)
Où Mmax est la valeur de l’aimantation maximale.
La solution de l’équation diﬀérentielle possède deux parties :
• Une solution particulière φ1p qui assure l’égalité imposée par l’équation (1.11).
• Une solution générale φ1g qui assure que les conditions aux limites sont respectées.
Remanence Mr Θ Am
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
20
M
M
2
M
2
M
180
90
0
90
Angle électrique degrés
180
Figure 1.3 – Aimantation des aimants et son approximation par une série de Fourier
La solution de l’équation est donc l’addition des deux composantes :
φ1 = φ1p + φ1g
(1.14)
Les composantes de la solution respectent les propriétés suivantes :
∇2 φ1p =
r
∇•B
μ0μr
∇2 φ1g = 0
(1.15)
(1.16)
Les deux composantes possèdent des solutions sous la forme de séries de Fourier :
φ1p =
φ1g =
∞
k=0
∞
c2k+1 r cos((2k + 1)pθ)
a2k+1 r (2k+1)p + b2k+1 r −(2k+1)p cos((2k + 1)pθ)
(1.17)
(1.18)
k=0
Où a2k+1 , b2k+1 , c2k+1 sont des coeﬃcients de la série de Fourier, r est la variable
radiale et p est le nombre de paires de pôles de la machine.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
21
À l’aide de l’équation (1.17), il est possible de trouver la valeur des coeﬃcients de
la solution particulière en fonction de l’aimantation des aimants [7].
1.2.3.1
Équations dans l’espace de l’entrefer
Puisqu’il n’y a pas d’aimant dans l’entrefer mécanique, l’équation diﬀérentielle déterminant le potentiel scalaire possède la forme suivante :
∇2 φ 2 = 0
(1.19)
À la diﬀérence du cas précédent, la solution possède une seule composante :
φ2 (r, θ) =
∞ ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p cos((2k + 1)pθ)
(1.20)
k=0
Où ã2k+1 et b̃2k+1 sont des coeﬃcients de la série de Fourier.
1.2.3.2
Équations aux frontières des matériaux
Les conditions aux limites de séparation des milieux permettent de déterminer la
valeur des quatre coeﬃcients que nous n’avons pas encore déﬁnis (a2k+1 , b2k+1 , ã2k+1 ,
b̃2k+1 ). Nous avons supposé que la perméabilité du fer du stator est inﬁnie. Donc, le
champ magnétique est perpendiculaire à la surface du fer du stator (Fig. 1.4.b) et
la composante dans la direction tangentielle (θ̂) est nulle comme l’indique l’équation
suivante :
stator , θ) • θ̂ = 0
H(r
(1.21)
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
22
La même condition est imposée à la périphérie de la culasse du rotor (Fig. 1.4.c) :
rotor , θ) • θ̂ = 0
H(r
a
(1.22)
b
c
H
H
Figure 1.4 – Représentation graphique des conditions aux limites
À la frontière entre les aimants et l’entrefer, nous avons la continuité du champ
magnétique dans la direction tangentielle :
aimants− , θ) • θ̂ − H(r
aimants+ , θ) • θ̂ = 0
H(r
(1.23)
dans la direction radiale :
Il y a aussi la continuité de l’induction magnétique B
aimants− , θ) • r̂ − B(r
aimants+ , θ) • r̂ = 0
B(r
(1.24)
Ces quatre équations nous permettent d’obtenir la valeur des quatre coeﬃcients.
Nous devons répéter ce calcul pour chaque élément de la série qui déﬁnit les solutions
des équations (1.18) et (1.20).
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.3
23
Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à rotor bobiné
La démarche pour les structures à rotor bobiné est similaire au cas précédent et suit
la méthode proposée par [8]. Les hypothèses de cette étude sont les suivantes :
• Les encoches du stator sont négligées (Fig. 1.5.b).
• Les encoches du rotor sont négligées (Fig. 1.5.c).
• La perméabilité relative du fer dans le stator et dans le rotor est inﬁnie.
Le type de rotor bobiné que nous considérons est composé d’un bobinage avec une
seule bobine par pôle (Fig. 1.5.a). Il existe aussi d’autres rotors bobinés avec diﬀérentes
conﬁgurations de bobinage pour minimiser le contenu harmonique du ﬂux à vide, notamment les rotors des turboalternateurs [13], mais nous n’allons pas les traiter. Pour
négliger les encoches du rotor, nous allons supposer que le courant à l’intérieur d’une
encoche du rotor peut-être substitué par un courant superﬁciel uniformément distribué
dans l’espace entre les becs d’encoches (Fig. 1.5.c). Ce courant superﬁciel impose que
la composante tangentielle du champ magnétique à la périphérie du rotor possède une
valeur spéciﬁque. Cette valeur est donnée par l’équation suivante :
⎧
⎨−J
s
H(rrotor , θ) • θ̂ =
⎩J
s
si rotor externe etθ1 +
2kπ
ne
≤ θ ≤ θ2 +
2kπ
,
ne
si rotor interne etθ1 +
2kπ
ne
≤ θ ≤ θ2 +
2kπ
.
ne
(1.25)
Où Js correspond à la densité de courant par unité de longueur équivalente au
courant total de l’encoche iencoche. S’il n’y a pas de courant superﬁciel équivalent, le
champ magnétique est perpendiculaire à la surface du rotor et du stator.
rotor , θ) • θ̂ = 0siθ1 + 2kπ > θ ∧ θ > θ2 + 2kπ
H(r
ne
ne
stator , θ) • θ̂ = 0
H(r
(1.26)
(1.27)
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
a
b
Β
c
Figure 1.5 – Transformation de la structure d’une machine à rotor bobiné
24
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
25
En utilisant une série de Fourier, nous pouvons en déduire une expression du champ
magnétique :
rotor , θ) • θ̂ =
H(r
∞
k=0
(2k+1)π
2
piencoche sin
(2k+1)π
rrotor
sin
2
(2k+1)(π−pβ)
2
(2k+1)(π−pβ)
2
sin((2k + 1)pθ) (1.28)
Par exemple, dans le cas de la machine représentée dans la ﬁgure 1.5, la ﬁgure 1.6
montre la forme d’onde de la série de Fourier et de la distribution de courant superﬁciel
du rotor. Les oscillations sont causées par le nombre limité des harmoniques utilisées et
par la discontinuité de la distribution de courant.
HΘ Am
10
5
0
5
10
180
90
0
90
Angle électrique degrés
180
Figure 1.6 – Champ magnétique tangentiel à la surface du rotor et son approximation par une série de Fourier
Il n’y a pas de courant dans l’espace de l’entrefer. Donc, nous pouvons utiliser un
potentiel scalaire pour déterminer le champ magnétique en utilisant l’équation diﬀérentielle suivante :
∇2 φ = 0
(1.29)
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
26
Il y a deux conditions aux limites. Le champ magnétique est perpendiculaire à la
surface du stator comme suit :
(∇φ(rstator , θ)) • θ̂ = 0
(1.30)
Sur la périphérie du rotor, le champ magnétique dans la direction tangentielle suit
la valeur imposée par les courants superﬁciels (1.28) :
rotor , θ) • θ̂
(−∇φ(rrotor , θ)) • θ̂ = H(r
(1.31)
La solution de cette équation a la forme suivante :
∞ (2k+1)p
−(2k+1)p
+ b̃2k+1 r
φ(r, θ) =
ã2k+1 r
cos((2k + 1)pθ)
(1.32)
k=0
Les coeﬃcients peuvent être obtenus à l’aide des conditions aux limites (1.30) et
(1.31), ce qui nous permet de trouver le champ magnétique à vide produit par un rotor
bobiné.
1.4
Coeﬃcient de Carter
Pour tenir compte des eﬀets des encoches de stator, nous pouvons modiﬁer la valeur
du rayon de stator en appliquant un coeﬃcient de Carter qui augmente l’épaisseur de
l’entrefer [9] :
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
⎧
⎨r
stator + (kc − 1)gm
=
⎩r
stator − (kc − 1)gm
si rotor interne,
gm = rstator − raimants +
raimants − rrotor μr
r̂stator
kc =
⎛
γ=
(1.33)
si rotor externe.
(1.34)
2πrstator
ne
2πrstator
ne
(1.35)
− γgm
4 ⎝ b0
arctan
π 2gm
27
b0
2gm
⎛
− ln ⎝
1+
b0
2gm
2
⎞⎞
⎠⎠
(1.36)
Où kc est le coeﬃcient de Carter et gm l’entrefer magnétique équivalent.
En utilisant ce nouveau rayon de stator, nous tenons compte des encoches, tout en
utilisant les formules développées pour une géométrie sans encoche [9].
1.5
Relation entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur
Pour simpliﬁer les calculs de ﬂux, il est plus intéressant d’obtenir le potentiel vecteur
que le potentiel scalaire. Comme la solution avec le potentiel scalaire est connue [7], nous
allons montrer la manière d’obtenir le potentiel vecteur à partir du potentiel scalaire.
Il y a deux zones à considérer :
• L’entrefer mécanique.
• L’espace occupé par les aimants.
1.5.1
Potentiel vecteur dans l’entrefer mécanique
Dans l’entrefer mécanique, la solution du potentiel scalaire possède la forme indiquée
dans l’équation (1.20). Le potentiel vecteur utilise les mêmes coeﬃcients que ceux du
potentiel scalaire, mais dans la forme indiquée dans l’équation suivante :
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
θ)
A(r,
=
28
∞ −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ) ẑ (1.37)
μ0
k=0
1.5.2
Potentiel vecteur dans l’espace occupé par des aimants
Dans l’espace occupé par les aimants, le potentiel vecteur peut-être divisé en deux
p
composantes. Une première composante qui correspond à une solution particulière A
g.
et une deuxième partie qui correspond à la solution générale A
θ) = A
p (r, θ) + A
g (r, θ)
A(r,
(1.38)
La composante liée à l’équation (1.17) est obtenue comme suit :
p (r, θ) =
A
∞
μ0 μr (2k + 1)pc2k+1 r sin((2k + 1)pθ)ẑ
(1.39)
k=0
La composante liée à l’équation (1.18) est obtenue à l’aide de l’équation suivante :
Ag (r, θ) =
μ0 μr
∞
−a2k+1 r (2k+1)p + b2k+1 r
−(2k+1)p
sin((2k + 1)pθ) ẑ (1.40)
k=0
1.6
Calcul du ﬂux à vide d’un bobinage
Dans les sections précédentes, nous avons montré comment obtenir la solution du
champ magnétique dans l’entrefer pour des machines avec un rotor à aimants permanents et avec un rotor bobiné. En utilisant le potentiel vecteur, nous pouvons calculer
le ﬂux à vide.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
29
Nous avons développé une méthode pour obtenir le ﬂux à vide dans n’importe quel
bobinage. Cette méthode se base sur une représentation du bobinage avec des bobines
autour d’une seule dent de stator. La méthode consiste à calculer d’abord le ﬂux dans
une seule bobine autour d’une seule dent centrée dans l’axe d’un aimant permanent. Ce
résultat est ensuite utilisé pour déduire le ﬂux du bobinage. Comme la géométrie que
nous utilisons ne comporte pas d’encoche, nous allons ajouter l’hypothèse suivante :
• Les conducteurs dans une encoche de stator peuvent être substitués par des
conducteurs superﬁciels localisés dans l’espace entre les becs de l’encoche (Fig. 1.7.a,
1.7.b et 1.7.c).
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
a
b
c
d
30
Figure 1.7 – Représentation du courant des encoches comme un courant superﬁciel
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
31
Avec cette nouvelle hypothèse et en utilisant l’équation (1.37), le ﬂux d’une bobine
comportant une seule spire autour d’une dent de stator λdent est obtenu en intégrant le
potentiel vecteur comme suit :
λdent =
θ2
μ0
laxial
− laxial
θ=θ1
∞ −ã2k+1 r
k=0
∞ 2π
θ2 + n
e
2π
θ=θ1 + n
μ0
(2k+1)p
+ b̃2k+1 r
−(2k+1)p
sin((2k + 1)pθ)dθ
−ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ (1.41)
k=0
e
Les angles θ1 et θ2 limitent l’espace entre les becs d’encoches (Fig. 1.8). Le résultat
de l’équation précédente donne le ﬂux total à travers une dent. Il permet aussi d’obtenir
la contribution de chaque harmonique du ﬂux d’une dent λ2k+1 , comme suit :
λ2k+1 =
θ2
laxial
μ0 −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ
θ=θ1
− laxial
2π
θ2 + n
e
2π
θ=θ1 + n
μ0 −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ (1.42)
e
En séparant la contribution de chaque harmonique, nous obtenons le phaseur lié à
l’harmonique 2k + 1 de la dent j comme suit :
λj2k+1 = λ2k+1 e−
√
2π
−1 n
j(2k+1)p
e
(1.43)
Un bobinage quelconque peut-être décomposé comme une combinaison de plusieurs
bobines autour d’une seule dent. Par exemple, une bobine qui contourne plusieurs encoches (Fig. 1.9.a) est représentée par trois bobines autour d’une dent (Fig. 1.9.b et
1.9.c). Nous notons que les courants totaux des encoches intermédiaires sont nuls, car
les courants des deux conducteurs des bobines mises en série possèdent des courants
opposés.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
2Π
Θ2
ne
32
2Π
Θ1 Θ2 Θ1
ne
Figure 1.8 – Géométrie utilisée pour calculer l’inductance d’une dent d’encoche
Figure 1.9 – Équivalence d’une bobine à la mise en série de trois bobines autour
d’une dent
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
33
Pour représenter la combinaison des bobines autour d’une dent qui est équivalente
à un bobinage donné, nous utilisons une matrice de connexion C. Cette matrice C
comporte autant de colonnes que de phases et autant de lignes que d’encoches. La
valeur de chaque élément est obtenue comme suit :
• Zéro (0), si la bobine n’est pas utilisée par la phase.
• Un (1), si la bobine est utilisée par la phase dans le sens positif.
• Moins un (-1), si la bobine est utilisée par la phase dans le sens négatif.
L’équation suivante montre un exemple de matrice de connexion pour une machine
triphasée avec six encoches et deux pôles (Fig. 1.10) :
⎡
1
⎢
⎢1
⎢
⎢0
⎢
C=⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣
0 0
⎤
⎥
1 0⎥
⎥
1 0⎥
⎥
⎥
1 1⎥
⎥
0 1⎥
⎦
1 0 1
(1.44)
Dans cet exemple, la bobine qui forme la phase A est équivalente à la mise en série
des bobines 1, 2 et 6. La bobine de la phase B est équivalente à la mise en série des
bobines 4, 3 et 2. Finalement, la bobine de la phase C est équivalente à la mise en série
des bobines 6, 5 et 4.
Si nous obtenons la contribution de l’harmonique j au ﬂux de la bobine numéro 1
à l’aide de l’équation (1.42), le phaseur de l’harmonique j du ﬂux de toutes les autres
bobines est obtenu avec l’équation (1.43) comme suit :
λ123456
j
⎡ √ 2π ⎤
e− −1 6 j0
⎢ −√−1 2π j1⎥
⎢e
⎥
6
⎢ √ 2π ⎥
⎢e− −1 6 j2⎥
⎢
⎥
= λj1 ⎢ −√−1 2π j3⎥
⎢e
⎥
6
⎢ √ 2π ⎥
⎢e− −1 6 j4⎥
⎣ √
⎦
− −1 2π
j5
6
e
(1.45)
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
34
L’harmonique j du ﬂux du bobinage de la machine est donnée par le produit de la
matrice de connexion transposée et le vecteur représentant le phaseur de l’harmonique
j du ﬂux des bobines autour d’une dent comme suit :
= C t λ123456
λabc
j
j
(1.46)
Nous obtenons alors l’équation générale suivante :
= C t λ123456
λabc
j
j
(1.47)
Ceci n’est que l’application de la théorie des circuits et l’application des lois de
Kirchhoﬀ. Nous devons répéter ce calcul pour chaque harmonique du ﬂux qui nous
intéresse. De cette manière, nous obtenons l’amplitude et la phase de chaque harmonique
du ﬂux du bobinage en utilisant seulement des multiplications de matrices.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
3
35
2
A
C
B
4
1
B
C
A
5
6
Figure 1.10 – Machine avec deux pôles et six encoches
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.7
36
Détermination de l’inductance d’entrefer d’un
bobinage
Pour déterminer l’inductance d’un bobinage quelconque, nous allons utiliser les hypothèses simpliﬁcatrices suivantes :
• Les encoches sont négligées.
• Le courant dans une encoche (Fig. 1.7.a) peut être substitué par un courant
superﬁciel distribué dans l’espace entre les becs d’encoches (Fig. 1.7.b).
• La perméabilité relative du fer est inﬁnie.
• Les aimants sont substitués par de l’air.
• Seulement la bobine numéro 1 possède un courant égal à 1[A]. Toutes les autres
bobines ne sont pas alimentées.
Ces hypothèses nous permettent d’utiliser une géométrie totalement lisse (Fig. 1.7.d).
Nous constatons qu’un bobinage quelconque peut être représenté par une combinaison
de bobines enroulées autour de chaque dent du stator. Nous utilisons la même approche
pour calculer l’inductance d’un bobinage quelconque, en calculant d’abord les inductances propres et mutuelles de ces bobines équivalentes.
Pour déterminer les inductances propres et mutuelles entre les diﬀérentes bobines,
nous calculons le champ magnétique produit par une seule bobine autour d’une dent
(Fig. 1.8).
Il n’y a pas de courant dans l’espace de l’entrefer. Nous utilisons un potentiel scalaire
pour déterminer le champ magnétique dans l’entrefer. Le potentiel scalaire possède la
forme suivante [8] :
∞ (2k+1)
−(2k+1)
ã2k+1 r
cos((2k + 1)θ)
+ b̃2k+1 r
φ(r, θ) =
(1.48)
k=0
Les coeﬃcients sont déterminés à l’aide des conditions aux limites. Dans l’espace
se trouvant originalement entre les becs d’encoches de stator, nous avons l’équation
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
37
suivante :
stator , θ) • θ̂ =
H(r
⎧
⎨J
s
⎩−J
s
si rotor externe etθ1 +
2kπ
ne
≤ θ ≤ θ2 +
2kπ
,
ne
si rotor interne etθ1 +
2kπ
ne
≤ θ ≤ θ2 +
2kπ
.
ne
(1.49)
Js est le courant superﬁciel équivalent au courant de l’encoche considérée. Compte
tenu que nous supposons que la perméabilité du fer de stator est inﬁnie, le champ
magnétique dans la direction tangentielle est nul dans l’espace se trouvant originalement
occupé par les becs d’encoches :
stator , θ) • θ̂ = 0siθ1 + 2kπ > θ ∧ θ > θ2 + 2kπ .
H(r
ne
ne
(1.50)
Le champ magnétique suit l’équation suivante sur la surface du rotor :
rotor , θ) • θ̂ = 0
H(r
(1.51)
Avec les conditions aux limites, nous obtenons le potentiel scalaire qui détermine
le champ magnétique dans l’entrefer. Nous en déduisons ensuite le potentiel vecteur
(§1.5). En utilisant le potentiel vecteur sous la forme d’une série, nous pouvons obtenir
le ﬂux dans la bobine numéro j, comme suit :
λjdent =
laxial
− laxial
θ2
μ0
θ=θ1
∞ k=0
2π
θ2 + n
e
2π
θ=θ1 + n
e
μ0
2π
(j − 1))dθ
−ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ +
ne
∞ k=0
−ã2k+1 r
(2k+1)p
+ b̃2k+1 r
−(2k+1)p
sin((2k + 1)pθ +
2π
(j − 1))dθ
ne
(1.52)
Nous avons ﬁxé le courant de la bobine numéro 1 arbitrairement à 1[A]. Donc, l’inductance propre correspond à la valeur du ﬂux obtenu à l’aide de l’équation précédente
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
38
avec j = 1. L’inductance mutuelle entre la bobine de la dent numéro k et de la dent
numéro 1 correspond à la valeur du ﬂux obtenue à l’aide de l’équation précédente avec
j = k. Nous construisons la matrice d’inductances des bobines autour d’une dent par
simple rotation comme suit :
Lij =
⎧
⎨λ(j−i+1)
si j ≥ i
⎩λ(j−i+1+ne )
si j < i
dent
dent
(1.53)
Cette matrice carrée possède autant de lignes que d’encoches. Pour déterminer la
matrice d’inductance d’un bobinage, nous utilisons le produit de la matrice de connexion
et de la matrice d’inductance des bobines autour d’une dent comme suit :
Labc = C t LC
1.8
(1.54)
Détermination de l’inductance de fuite dans les
encoches
Dans la section précédente, nous n’avons pas considéré les encoches pour déterminer
la valeur des inductances d’entrefer puisqu’elles ne sont pas présentes dans la géométrie
simpliﬁée. On peut par contre rajouter la contribution des encoches à l’inductance
d’entrefer en utilisant une géométrie rectangulaire simpliﬁée (Fig. 1.11). Cette géométrie
comporte deux zones pour le placement des conducteurs (zones rouge et verte dans la
ﬁgure 1.11).
1.8.1
Hypothèses simpliﬁcatrices
Pour résoudre le champ magnétique dans cette géométrie, nous utilisons les hypothèses simpliﬁcatrices suivantes :
• Le fer possède une perméabilité inﬁnie.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
39
• Le champ magnétique entre les becs d’encoches est perpendiculaire à ceux-ci.
b0
h0
h
d
b
Figure 1.11 – Géométrie simpliﬁée de l’encoche
Notons que la deuxième hypothèse nécessite que les encoches soient relativement
fermées.
1.8.2
Calcul du champ magnétique entre les becs d’encoches
Le champ magnétique entre les becs d’encoches est donné par l’équation suivante :
= − ie x̂
H
bo
1.8.3
(1.55)
Calcul du champ magnétique dans l’encoche
La densité de courant dans l’encoche n’est pas nulle. Donc, nous utilisons le potentiel
vecteur pour résoudre l’induction magnétique à l’intérieur de l’encoche comme suit :
= ∇×A
B
(1.56)
= μ0J
∇×∇×A
(1.57)
La densité de courant dans une encoche est représentée avec une série de Fourier.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
40
Si nous supposons que la région à droite (rouge ﬁg. 1.11) est parcourue par un courant
total ie , la série de Fourier qui la représente est la suivante :
J(x, y) =
∞
jk (x, y) ẑ
(1.58)
⎧k=0
⎨ ie
jk (x, y) =
bh
⎩
2ie
kdhπ
sin
kdπ b
cos
kπ b
x−
b
2
si k = 0
(1.59)
si k > 0
La continuité du champ doit être assurée à la frontière entre les becs d’encoches et
l’encoche. Nous en déduisons le champ magnétique avec une série de Fourier avec les
relations suivantes :
H(x,
y) =
∞
H2k (x, y) x̂
⎧k=0
⎨− ie
si k = 0
b
Hk (x, y) =
⎩− 4ie sin kb0 π cos kπ − x si k > 0
kb0 π
2b
b
(1.60)
(1.61)
La représentation de la densité de courant et du champ magnétique sur la frontière
de l’encoche permet d’obtenir une expression avec le potentiel vecteur [14].
1.8.4
Calcul de l’inductance d’une encoche
Dans la section précédente, la solution avec le potentiel vecteur n’est pas unique. Si
le potentiel vecteur A(x,
y) est une solution de l’équation (1.57), le potentiel vecteur
2 (x, y) = A(x,
y) + χ est aussi une solution si χ est un vecteur constant de n’importe
A
quelle valeur. Les conditions aux limites ne permettent pas d’assurer l’unicité de la
solution. Par contre l’induction magnétique dans l’encoche reste toujours la même.
Nous calculons l’inductance en utilisant l’énergie stockée dans l’encoche qui dépend
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
41
seulement de l’induction magnétique comme suit :
Eencoche
1
=
2
• HdV
B
(1.62)
encoche
L’équation précédente ne possède pas de forme convenable pour obtenir une expression analytique. Si nous considérons l’identité vectorielle suivante :
× B)
=B
• (∇ × A)
−A
• (∇ × B)
∇ • (A
(1.63)
Nous pouvons transformer l’expression de l’énergie dans l’encoche sous la forme
suivante qui permet d’obtenir une expression analytique :
Eencoche
1
=
2
1
• HdV
B
=
2
encoche
• JdV +
A
encoche
×H
• dS
A
(1.64)
Sencoche
L’énergie dans l’espace entre les becs d’encoches s’obtient facilement :
Ebec = μ0 i2e
h0
laxial
b0
(1.65)
L’inductance propre de la région parcourue par un courant (rouge ﬁg. 1.11)) est
calculée avec l’équation suivante :
Lencoche =
2
(Eencoche + Ebec )
i2e
(1.66)
D’une manière similaire, nous pouvons obtenir l’inductance mutuelle entre les deux
régions de l’encoche (rouge et verte ﬁg. 1.11) Mencoche .
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.8.5
42
Contribution des encoches à l’inductance d’un bobinage
quelconque
Dans la section précédente, nous avons calculé l’inductance propre et l’inductance
mutuelle dans une encoche comportant deux régions parcourues par des courants (Fig. 1.11).
Pour calculer la contribution des encoches à l’inductance propre d’un bobinage, nous
devons considérer deux cas :
• L’encoche est occupée par des conducteurs d’une seule phase seulement.
• L’encoche est occupée par des conducteurs de deux phases.
Dans le premier cas, la contribution à l’inductance du bobinage est donnée par :
L = n2
Lencoche + Mencoche
2
(1.67)
Dans le deuxième cas, la contribution à l’inductance du bobinage est donnée par :
L = n2 Lencoche
(1.68)
Où n est le nombre de tours de la phase dans l’encoche.
Dans le deuxième cas, la contribution à l’inductance mutuelle entre les deux phases
partageant l’encoche est :
L = n2 Mencoche
1.8.6
(1.69)
Inductance d’un bobinage
En utilisant les résultats précédents, l’inductance totale d’un bobinage est la somme
de la contribution de l’entrefer et de la contribution des encoches.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.9
43
Comparaison avec un logiciel de calcul des champs
par éléments ﬁnis
Avec les formules présentées, nous pouvons générer une carte du champ magnétique
dans l’entrefer de la machine que nous pouvons comparer avec le résultat d’un logiciel de calcul de champ. Comme exemple, nous considérons la géométrie déﬁnie par le
Tableau 1.1 qui s’approche des hypothèses simpliﬁcatrices.
Nombre de paires de pôles
4
Nombre d’encoches
24
Nombre de phases
3
Spp
1
Rayon de stator
100 [mm]
Rayon du rotor
90 [mm]
Épaisseur de l’aimant
6 [mm]
Épaisseur du bec d’encoches
2 [mm]
Entrefer
5 [mm]
Profondeur des encoches
15 [mm]
Épaisseur de la culasse de stator
2.5 [mm]
Rapport entre la largeur du bec et le pas 14/15
d’encoche
10/15
Largeur de la dent d’encoche
et
5 [mm]
Rapport entre la largeur des aimants et le 44/45
pas polaire
Épaisseur de la culasse du rotor
10 [mm]
Aimantation rémanente
1.3 [T]
Perméabilité relative du fer
14000
Tableau 1.1 – Géométrie d’une machine à aimants permanents
La ﬁgure 1.12 montre la géométrie de la machine. La ﬁgure 1.13 montre la carte de
champ dans l’entrefer, obtenue avec le calcul de champ pour le cas où le bec d’encoche
est de 14 degrés (Fig. 1.12.a). Un seul pôle de la machine est présenté, et nous avons
transformé les coordonnés cylindriques en coordonnés rectangulaires pour mieux aﬃcher
l’entrefer de la machine. La ﬁgure 1.13 montre que le champ magnétique est presque
partout dans la direction radiale pour les deux méthodes de calcul. Le calcul analytique
reproduit correctement l’eﬀet du ﬂux de fuite entre les pôles de la machine. Cependant,
il ne reproduit pas correctement les champs en bordure des becs d’encoches. Comme les
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
44
encoches sont très fermées, les zones où les diﬀérences sont observables sont très petites.
Si les encoches sont de 10 degrés (Fig. 1.12.b), nous obtenons une autre carte de
champ (Fig. 1.14). Dans ce cas, les diﬀérences sont plus évidentes avec le calcul analytique près des becs d’encoches. Le coeﬃcient de Carter ne permet pas de reproduire
précisément l’eﬀet des encoches. Il y a seulement un eﬀet d’atténuation sur la valeur du
ﬂux.
a
b
Figure 1.12 – Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 24
encoches.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
90 92 94 96 98 100
90
90
90
90
60
60
60
60
30
30
30
30
0
0
0
0
pΘ degrés
pΘ degrés
90 92 94 96 98 100
30
30
30
30
60
60
60
60
90
90
90
90
90 92 94 96 98 100
r mm
45
90 92 94 96 98 100
r mm
Figure 1.13 – Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches fermées.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
90 92 94 96 98 100
90
90
90
90
60
60
60
60
30
30
30
30
0
0
0
0
pΘ degrés
pΘ degrés
90 92 94 96 98 100
30
30
30
30
60
60
60
60
90
90
90
90
90 92 94 96 98 100
r mm
46
90 92 94 96 98 100
r mm
Figure 1.14 – Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches ouvertes.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.9.1
47
Inﬂuence du nombre d’encoches et du nombre de pôles
La structure de la machine a une inﬂuence sur la précision des résultats même si
les matériaux ont des caractéristiques qui respectent les hypothèses. Pour illustrer cette
inﬂuence, nous comparons le ﬂux dans une bobine autour d’une seule dent de stator
avec les deux méthodes. Cette comparaison est réalisée à l’aide d’un logiciel d’éléments
ﬁnis en utilisant une perméabilité relative dans le fer de 14000. De cette manière nous
minimisons l’inﬂuence de la reluctance du stator et du rotor.
La ﬁgure 1.15 montre une mesure du ﬂux en fonction du pourcentage de fermeture
des encoches. La structure possède 8 pôles et 24 encoches et les dimensions sont indiquées au Tableau 1.2. Nous avons fait varier la fermeture de l’encoche de 50% à 99%.
Nous constatons que le résultat du logiciel des éléments ﬁnis (bleu) et celui obtenu avec
le calcul analytique (rouge) sont très similaires. L’erreur ne dépasse pas 2%.
Nombre de paires de pôles
4
Nombre d’encoches
24
Nombre de phases
3
Spp
1
Rayon de stator
100 [mm]
Rayon du rotor
84.5 [mm]
Épaisseur de l’aimant
5[mm]
Épaisseur du bec d’encoches
2 [mm]
Entrefer
0.5 [mm]
Profondeur des encoches
15 [mm]
Épaisseur de la culasse de stator
2.5 [mm]
Rapport entre la largeur du bec et le pas d’en- Variable
coche
Largeur de la dent d’encoche
5 [mm]
Rapport entre la largeur des aimants et le pas 44/45
polaire
Épaisseur de la culasse du rotor
10 [mm]
Aimantation rémanente
1.3 [T]
Perméabilité relative du fer
14000
Tableau 1.2 – Géométrie d’une machine à aimants permanents
La ﬁgure 1.16 compare le résultat d’une structure avec 20 pôles et 21 encoches
(Fig. 1.18). Les rayons et la largeur des aimants sont les mêmes que ceux indiqués au
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
48
Tableau 1.2, sauf que l’épaisseur de la culasse de stator est de 10[mm]. Nous constatons que le résultat du logiciel des éléments ﬁnis (bleu) et celui obtenu avec le calcul
analytique (rouge) sont très similaires seulement si la fermeture des becs d’encoches
est plus grande que 80%. Cependant, si les becs d’encoches sont plus ouverts, l’erreur
peut atteindre plus de 15%. Nous remarquons que la tendance à diminuer le ﬂux d’une
encoche si l’encoche est plus ouverte est bien reproduite.
La ﬁgure 1.17 compare le résultat d’une structure avec 8 pôles et 6 encoches (Fig. 1.19).
Les rayons et la largeur des aimants sont encore les mêmes que ceux indiqués au Tableau 1.2, sauf que l’épaisseur de la culasse est de 10[mm]. La diﬀérence dans ce cas est
importante sauf si la fermeture des becs d’encoches est plus grande que 90%. Le logiciel
des éléments ﬁnis montre que, dans la plage de 70% - 100% de fermeture d’encoche,
le ﬂux est décroissant. Par contre le calcul analytique prédit que le ﬂux est croisant.
L’erreur entre les deux dépasse 30% en raison d’une imprécision liée à l’utilisation du
coeﬃcient de Carter dont les hypothèses ne sont plus satisfaites. Un pôle du rotor dans
cette structure possède 45 degrés et une encoche jusqu’à 60 degrés. Donc, si les becs
d’encoches sont trop fermés, le ﬂux diminue car le bec d’encoche se trouve en face d’un
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
2
Erreur %
Flux mWb
pôle nord complet mais aussi d’une partie d’un pôle sud (Fig. 1.19).
40 50 60 70 80 90
Fermeture encoche %
1
0
1
2
30 40 50 60 70 80 90 100
Fermeture encoche %
Figure 1.15 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
49
0
Erreur %
Flux mWb
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
5
10
15
30 40 50 60 70 80 90 100
Fermeture encoche %
30 40 50 60 70 80 90 100
Fermeture encoche %
Figure 1.16 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Erreur %
Flux mWb
analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches.
30 40 50 60 70 80 90 100
Fermeture encoche %
0
10
20
30
40
50
30 40 50 60 70 80 90 100
Fermeture encoche %
Figure 1.17 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 8 pôles et 6 encoches.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
50
Figure 1.18 – Géométrie d’une machine à aimants permanents de 20 pôles et de
21 encoches.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
51
Figure 1.19 – Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 6
encoches.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.9.2
52
Eﬀet de la perméabilité du fer
La ﬁgure 1.20 montre la variation du ﬂux avec la perméabilité du fer. La fermeture des becs d’encoches est constante à 75%. Les dimensions sont encore les mêmes
que celles du Tableau 1.2, sauf que l’épaisseur de la culasse est augmentée à 10[mm].
Comme le calcul analytique ne tient pas compte du fer, le ﬂux analytique reste constant
(Fig. 1.20 rouge à gauche). Le ﬂux obtenu avec le logiciel des éléments ﬁnis augmente si
la perméabilité du fer augmente (Fig. 1.20 bleu à gauche). Dans le cas particulier de la
structure avec 20 pôles et 21 encoches, le ﬂux est sous-estimé si la perméabilité relative
0.825
0.8
0.775
0.75
0.725
0.7
100
Erreur %
Flux mWb
du fer est supérieure à 900 et surestimé si la perméabilité relative est inférieure à 900.
1000
10000
Permeabilité relative
20
15
10
5
0
5
10
100
1000
10000
Permeabilité relative
Figure 1.20 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches.
Dans l’exemple précédent, nous observons qu’un changement de 100 fois de la perméabilité entraı̂ne un changement de 20% du ﬂux. Cette insensibilité du ﬂux à la perméabilité du fer est causée par l’entrefer magnétique qui est composé de l’épaisseur des
aimants et de l’entrefer mécanique qui est de 5.5[mm]. Donc, même si la perméabilité
du fer est faible, sa reluctance reste négligeable par rapport à la reluctance de l’entrefer
magnétique.
Dans une machine à rotor bobiné (Tableau 1.3), l’entrefer magnétique est moins
important (Fig. 1.22). Dans ce cas, la reluctance du fer est non négligeable par rapport
à la reluctance d’entrefer et la sensibilité du ﬂux est plus grande. Par exemple, un
changement de 100 fois de la perméabilité du fer peut entraı̂ner un changement de 5
fois du ﬂux. L’erreur peut facilement atteindre des valeurs au-dessus de 100% (Fig. 1.21).
Une approche pour solutionner ce problème avec la méthode analytique consiste à
utiliser plus d’anneaux pour représenter le fer de stator et de rotor. Par exemple, un tel
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
Nombre de paires de pôles
4
Nombre d’encoches
24
Nombre de phases
3
Spp
1
Rayon de stator
90.9 [mm]
Rayon du rotor
90.4 [mm]
Épaisseur du bec d’encoches de stator
2 [mm]
Épaisseur du bec d’encoches de rotor
3 [mm]
Entrefer
0.5 [mm]
Profondeur des encoches de stator
15 [mm]
Épaisseur de la culasse de stator
2.5 [mm]
53
Rapport entre la largeur du bec et le pas d’en- 3/4
coche
Largeur de la dent d’encoche
5 [mm]
Rapport entre la largeur du bec d’encoche du ro- 30/45
tor et le pas polaire
Épaisseur de la culasse du rotor
10 [mm]
Perméabilité relative du fer
Variable
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
100
Erreur %
Flux mWbA
Tableau 1.3 – Géométrie d’une machine à rotor bobiné
1000
10000
Permeabilité relative
600
500
400
300
200
100
0
100
1000
10000
Permeabilité relative
Figure 1.21 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique avec 1 [A] d’excitation dans le rotor. Structure avec 8
pôles et 24 encoches et rotor bobiné.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
54
Figure 1.22 – Géométrie d’une machine à rotor bobiné de 8 pôles et 24 encoches.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
55
modèle pourrait compter les 5 anneaux suivants :
• Air interne entre la culasse de rotor et le centre de la machine
• Fer de rotor
• Air d’entrefer
• Fer de stator
• Air externe entre la culasse de stator et l’inﬁni
Ce type de modèle peut nous donner des résultats intéressants. La ﬁgure 1.23 montre
la variation du ﬂux d’une machine à rotor bobiné en fonction de la perméabilité du
fer avec un calcul analytique qui utilise un modèle à 5 anneaux. Le résultat semble
intéressant, car l’erreur ne dépasse pas 15%. Cependant, il faut savoir que ce type
d’approche complique le problème de plusieurs manières :
• Le nombre d’inconnues augmente avec le nombre d’anneaux, rendant plus diﬃcile
l’obtention d’une solution analytique.
• Les dimensions des couches de fer ne correspondent pas aux dimensions de la
machine. Par exemple, dans le cas de la ﬁgure 1.23, nous avons utilisé 0.6 [mm]
d’épaisseur dans les couches de fer.
• La perméabilité que nous devons utiliser n’est pas nécessairement connue si nous
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
100
Erreur %
Flux mWbA
voulons considérer un matériau non linéaire.
1000
10000
Permeabilité relative
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
100
1000
10000
Permeabilité relative
Figure 1.23 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches et rotor bobiné.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
1.9.3
56
Eﬀet de la non linéarité du fer
La non linéarité du fer produit aussi des écarts sur les résultats. Pour illustrer ce
point, nous allons calculer le ﬂux d’une bobine autour d’une dent en face d’un aimant
permanent d’une machine avec 20 pôles et 21 encoches. La ﬁgure 1.24 montre le ﬂux
de la bobine en fonction de la densité de courant dans les conducteurs de la bobine en
utilisant la courbe B(H) de la ﬁgure 1.25 pour le fer.
Le calcul du champ tient compte de la non linéarité du fer. On constate que la
variation du ﬂux est quasiment linéaire par rapport aux variations de courant lorsque le
ﬂux de la bobine s’oppose au ﬂux causé par les aimants. Par contre, cette variation est
moins importante lorsque le ﬂux de la bobine s’ajoute au ﬂux produit par les aimants.
Si le courant de la bobine a tendance à faire diminuer le ﬂux total, le fer est moins
saturé (Fig. 1.26). Ceci fait augmenter l’inductance de la bobine et le ﬂux devient plus
sensible aux variations de courant. Au contraire, si le ﬂux causé par la bobine s’ajoute
au ﬂux des aimants, le fer devient plus saturé (Fig. 1.27), l’inductance diminue et le
ﬂux devient moins sensible aux variations de courant.
Les formules que nous avons développées ne tiennent pas compte du fer car elles
supposent que sa perméabilité est inﬁnie. Nous constatons que le résultat obtenu suit
plus correctement la variation du ﬂux avec le courant si le ﬂux de la bobine s’oppose
au ﬂux des aimants (Fig. 1.24), car dans ce cas la perméabilité du fer est plus élevée.
Dans le cas contraire, l’écart est plus important (Fig. 1.24).
Flux mWb
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
15 10 5
0
5
Densité de Courant A
10
Figure 1.24 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments ﬁnis et le calcul
analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches et rotor à aimants
permanents.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
57
2.5
B T
2
1.5
1
0.5
2500
5000
H Am
7500
10000
Figure 1.25 – Courbe BH du fer.
2.375e+000 : >2.500e+000
2.250e+000 : 2.375e+000
2.125e+000 : 2.250e+000
2.000e+000 : 2.125e+000
1.875e+000 : 2.000e+000
1.750e+000 : 1.875e+000
1.625e+000 : 1.750e+000
1.500e+000 : 1.625e+000
1.375e+000 : 1.500e+000
1.250e+000 : 1.375e+000
1.125e+000 : 1.250e+000
1.000e+000 : 1.125e+000
8.750e-001 : 1.000e+000
7.500e-001 : 8.750e-001
6.250e-001 : 7.500e-001
5.000e-001 : 6.250e-001
3.750e-001 : 5.000e-001
2.500e-001 : 3.750e-001
1.250e-001 : 2.500e-001
<0.000e+000 : 1.250e-001
Density Plot: |B|, Tesla
Figure 1.26 – Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec -20A/mm2 .
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
58
2.375e+000 : >2.500e+000
2.250e+000 : 2.375e+000
2.125e+000 : 2.250e+000
2.000e+000 : 2.125e+000
1.875e+000 : 2.000e+000
1.750e+000 : 1.875e+000
1.625e+000 : 1.750e+000
1.500e+000 : 1.625e+000
1.375e+000 : 1.500e+000
1.250e+000 : 1.375e+000
1.125e+000 : 1.250e+000
1.000e+000 : 1.125e+000
8.750e-001 : 1.000e+000
7.500e-001 : 8.750e-001
6.250e-001 : 7.500e-001
5.000e-001 : 6.250e-001
3.750e-001 : 5.000e-001
2.500e-001 : 3.750e-001
1.250e-001 : 2.500e-001
<0.000e+000 : 1.250e-001
Density Plot: |B|, Tesla
Figure 1.27 – Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec
+10A/mm2 .
1.9.4
Comparaison avec d’autres méthodes de calcul analytique
La référence [11] présente une comparaison du comportement des formules analytiques que nous avons retenues et des formules analytiques obtenues avec d’autres
méthodes. Dans ce travail, il est montré que la méthode retenue possède un meilleur
comportement par rapport au calcul de champ que les formules obtenues à partir de la
loi d’Ampère. Les variations des inductances et des ﬂux par rapport aux variations de la
géométrie suivent mieux les variations observées avec un logiciel de calcul de champ que
les formules basées sur des réluctances ou sur la loi d’Ampère. Ceci fait que les formules
retenues sont mieux adaptées à un processus d’optimisation que d’autres formules.
1.9.5
Correction des résultats des formules analytiques
Les résultats montrés indiquent que les formules analytiques ont besoin d’être corrigées pour que leurs résultats soient validés par un logiciel de calcul de champ. La
référence [11] présente deux méthodes pour atteindre cet objectif. Une première mé-
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
59
thode utilise un réseau de réluctances pour tenir compte de l’eﬀet de la non linéarité
du fer. La méthode consiste à calculer d’abord le ﬂux avec un circuit qui comporte
seulement les reluctances d’entrefer (Fig. 1.28.a). Ensuite, la méthode calcule le ﬂux
avec un autre circuit de reluctances qui comporte les reluctances de l’entrefer, du stator
et du rotor (Fig. 1.28.b). Dans la ﬁgure 1.28.b, nous avons représenté le stator et le
rotor avec une seule reluctance mais, dans la référence [11], le circuit de stator et du
rotor comporte plusieurs reluctances. Le facteur de correction des formules analytiques
correspond au rapport entre le ﬂux obtenu du circuit de la ﬁgure 1.28.a et celui de la
ﬁgure 1.28.b.
b
a
e
stator
e
e
Λnl
Λl
NI
NI
e
NI
NI
rotor
Figure 1.28 – Principe du circuit de reluctances pour la correction des formules
analytiques.
Le réseau de reluctances améliore la précision des formules analytiques qui modélisent correctement le champ magnétique dans l’entrefer mais qui négligent l’eﬀet du
fer de stator et du rotor. Comme cette correction utilise des formules analytiques, sa
rapidité permet de l’incorporer dans la boucle d’optimisation lors d’une conception de
machines.
La deuxième correction introduite dans la référence [11] consiste à utiliser un logiciel
d’éléments ﬁnis pour déterminer des facteurs de correction sur le modèle électrique de
la machine. Comme cette correction nécessite un calcul qui est lent par rapport aux
formules analytiques, il s’applique seulement pour corriger des solutions optimales.
Ces deux méthodes ont permis de concevoir des machines tout en assurant que le
résultat ﬁnal est validé par un logiciel d’éléments ﬁnis. La méthode est intéressante parce
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
60
qu’elle diminue de manière importante le nombre d’utilisations du logiciel de calcul de
champ [11].
1.10
Estimation de la résistance
Pour estimer la résistance, nous devons connaı̂tre la longueur moyenne d’une spire
d’un bobinage, la section du ﬁl à utiliser et le nombre de spires. Cette longueur moyenne
comprend notamment les têtes de bobines et les interconnexions entre les bobines. Pour
estimer la longueur moyenne d’une spire, nous devons connaı̂tre comment le bobinage
de stator va être construit. Un bobinage peut être divisé en plusieurs bobines. Si le pas
de bobinage est de nb encoches, nous pouvons estimer la longueur moyenne d’une spire
d’une bobine comme étant égale à (Fig. 1.29) :
ltête = 2π
rbec + rencoche
2
nb
− 2rf il + πrf il
ne
(1.70)
En tenant compte de la longueur de la pièce magnétique lmachine , la longueur moyenne
d’une spire d’une bobine est :
lbobine = 2(ltête + lmachine )
(1.71)
La longueur moyenne d’un bobinage est :
lbobinage = nspiresnbobine lbobine
(1.72)
La section du ﬁl à utiliser peut être obtenue en fonction du facteur de remplissage
d’une encoche, de sa section, du nombre de spires, du nombre de phases et du nombre
de bobines d’une phase comme suit :
sf il =
ne sencochekremplisage
nphases nbobines nspires
(1.73)
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
61
La résistance du bobinage est donnée par la formule suivante, qui tient compte de
la résistivité du matériel ρ :
r=ρ
lbobinage
sf il
(1.74)
rfil
r bec
rencoche
nb r bec rencoche
2Π ne
2
Figure 1.29 – Calcul de la longueur de la tête de bobine
Telle que mentionnée auparavant, la longueur des têtes de bobine est aﬀectée par
la forme spéciﬁque de construction du bobinage. Selon le cas particulier traité, d’autres
formules peuvent être plus précises que celle que nous avons indiquée ci-haut.
1.11
Conclusion
Nous avons présenté une méthode analytique pour estimer les paramètres électriques
de la machine directement à partir de sa géométrie. Cette méthode a été généralisée
pour considérer n’importe quelle conﬁguration de bobinage en utilisant une matrice
de connexion. Elle utilise ensuite les résultats des calculs du ﬂux et des inductances
de bobines enroulées autour d’une dent pour obtenir les valeurs caractéristiques du
bobinage complet.
Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines...
62
Les équations développées sont disponibles sous la forme d’une bibliothèque de fonctions. Cette bibliothèque permet d’utiliser les formules avec diﬀérents logiciels, comme
Excel, Matlab ou Mathematica.
Nous avons montré que la précision des formules dépend de la structure de la machine, même si le fer possède une perméabilité très élevée. Une autre étude sur la
sensibilité par rapport aux dimensions géométriques montre que cette méthode a un
bon comportement et peut être utilisée pour l’optimisation des entraı̂nements [11]. Cependant, pour améliorer la précision, nous devons corriger les résultats des formules
analytiques avec des résultats d’un calcul de champ [15] [16].
Chapitre 2
Étude du fonctionnement des
machines synchrones à vitesse
variable connectées à un onduleur
de tension
2.1
Introduction
L’entraı̂nement considéré est composé d’une machine synchrone, d’un onduleur de
tension, d’une source d’alimentation et d’un système de commande. L’onduleur permet de varier la fréquence et la tension d’alimentation de la machine pour assurer un
fonctionnement à vitesse variable. Ce système est soumis à diﬀérentes contraintes de
fonctionnement. D’abord, la machine doit respecter des contraintes thermiques et de
tenue en tension. L’onduleur a, quant à lui, des contraintes sur les tensions et les courants maximaux qui ne peuvent pas être dépassées sans endommager les composants
électroniques. Ces contraintes limitent le fonctionnement du système dans une partie
du plan couple - vitesse. Le fonctionnement à l’intérieur de cette zone dépend aussi de
la loi de commande utilisée. Lors de la conception d’un entraı̂nement, il faut calculer
les limites de fonctionnement et déterminer la meilleure stratégie de commande possible pour maximiser les performances tout en respectant le cahier des charges. Un des
principaux problèmes à résoudre est lié à la déﬁnition de cette stratégie de commande
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
64
qui dépend étroitement des paramètres de la machine. Il faut calculer une stratégie de
commande adaptée à chaque jeu de paramètres d’une machine tout en évaluant ses
performances.
Dans ce contexte, il faut tout d’abord déterminer si un point quelconque du plan
couple vitesse se situe à l’intérieur de la zone de fonctionnement possible. Ensuite, il faut
calculer les courants et les tensions qui permettent de réaliser ce point de fonctionnement en minimisant les pertes Joule. Cette estimation de performances doit s’eﬀectuer
rapidement. En eﬀet, certains cahiers des charges imposent l’évaluation d’une importante quantité de points de fonctionnement. Par exemple, l’optimisation d’un système
de traction électrique en considérant un parcours typique (Fig. 2.1) peut demander le
calcul de plusieurs milliers de points de fonctionnement (Fig. 2.2) et ce à chaque itération de la procédure. Pour ces raisons, nous avons choisi une approche analytique plutôt
que l’utilisation de méthodes de simulation pas à pas dans le temps.
Dans ce chapitre, nous présentons une méthode de calcul basée sur un modèle de
Park sans considérer la saturation magnétique et les harmoniques. Avec ce modèle, il est
possible de déterminer la zone de fonctionnement du système en utilisant un algorithme
d’optimisation [17]. Tout d’abord, nous présentons les hypothèses simpliﬁcatrices et la
méthode de modélisation du système. Ensuite nous formulons et solutionnons analytiquement le problème d’optimisation pour calculer les limites de fonctionnement du
système ainsi que les courants et les tensions des points à l’intérieur de la zone de fonctionnement. Nous terminons ce chapitre par une étude sur la recherche de paramètres
125
0.5
100
0.4
75
0.3
50
0.2
25
0.1
0
Pente pu
Vitesse kmh
optimaux pour un fonctionnement sur une grande plage de vitesse.
0.
0
5 10 15 20 25 30 35 40
Temps min
Figure 2.1 – Parcours d’un véhicule comportant la vitesse (rouge) et la pente à
surmonter (bleu).
Dans ce chapitre, nous avons choisi une méthode analytique plutôt que l’utilisation
Couple Nm
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
65
125
100
75
50
25
0
25
0
2000
4000
6000
Vitesse rpm
8000
Figure 2.2 – Parcours dans l’espace couple vitesse.
des logiciels de simulation pas à pas dans le temps, car ceux-ci étaient considérés trop
lents pour l’utilisation envisagée. Nous avons développé des méthodes qui permettent de
vériﬁer que les réponses numériques utilisées sont ﬁables pour la majorité des conditions
rencontrées. La section suivante montre les simpliﬁcations et la modélisation utilisées.
2.2
Hypothèses et méthode de modélisation de l’ensemble convertisseur - machine
Des simpliﬁcations sont nécessaires pour atteindre la vitesse de calcul souhaitée. On
peut considérer que le système se compose de trois parties : une source d’alimentation,
un onduleur et une machine. Chaque partie peut être déﬁnie avec un modèle simpliﬁé :
• Le modèle de la source d’alimentation correspond à une source de tension idéale
sans impédance interne.
• Le modèle de l’onduleur de tension néglige les chutes de tension et les pertes dans
les semi-conducteurs. Les eﬀets de la modulation de largeur d’impulsions sont aussi
négligés et on utilise seulement les valeurs moyennes des tensions et des courants
sortant de l’onduleur. Dans ce modèle, il n’y a que deux contraintes : la tension
maximale et le courant maximal que l’onduleur peut fournir. Ces deux limites
sont indépendantes. En conséquence, nous ne tenons pas compte des onduleurs
qui possèdent une troisième contrainte, soit celle de la puissance maximale de
sortie. Une limite de puissance peut apparaı̂tre si la source de tension est limitée
en courant.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
66
• Le modèle de la machine synchrone consiste en un circuit équivalent de Park avec
des paramètres linéaires et constants. Nous prenons en compte uniquement les
pertes liées aux diﬀérents bobinages. La machine fonctionne en régime permanent
sinusoı̈dal et les régimes transitoires ne sont pas considérés.
Nous montrerons, après avoir détaillé l’étude, comment contourner certaines de ces
simpliﬁcations pour s’approcher le plus possible d’un système réel.
2.2.1
Modèle de la machine
Avec les simpliﬁcations proposées, la machine peut être représentée par les équations
de Park. Les variables de Park sont avantageuses puisque les courants et les tensions
sont constants lorsque la machine fonctionne en régime permanent. Les amortisseurs
ne sont pas présents non plus en régime permanent. Nous pouvons donc écrire les
équations d’une machine générale qui possède un rotor à pôles saillants avec des aimants
permanents et un bobinage de rotor comme suit :
vd = rs id − pΩLq iq
(2.1)
vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id )
pnphases
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
t=
2
(2.2)
Où les variables sont déﬁnies comme :
vd tension d’axe direct.
vq tension d’axe quadratique.
id courant d’axe direct.
iq courant d’axe quadratique.
ir courant d’excitation du rotor.
(2.3)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
67
t couple électromagnétique.
nphases nombre de phases.
p nombre de paires de pôles.
Ω vitesse mécanique.
λ ﬂux de stator produit par les aimants du rotor.
Ld inductance d’axe direct.
Lq inductance d’axe quadratique.
G couplage magnétique entre les bobinages du rotor et du stator.
rs résistance d’une phase du stator.
Compte tenu que le modèle est en régime permanent, nous pouvons négliger la
présence des bobinages amortisseurs dans le rotor.
La modélisation du système tient seulement compte des pertes Joule de la machine.
Nous négligeons tous les autres types de pertes telles que les pertes de fer et les pertes
de l’onduleur. En conséquence, nous pouvons déterminer les pertes du système comme
suit :
pertes =
nphases 2
rs id + i2q + rrotor i2r
2
(2.4)
Où :
rrotor résistance du bobinage d’excitation du rotor.
En général, la génération du couple dans la machine dépend des trois courants ;
(id , iq , ir ). Dans l’espace des courants, nous pouvons dessiner des superﬁcies à couple
constant pour avoir une image montrant la façon de générer le couple (Fig. 2.3). Dans le
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
68
cas d’une machine à aimants permanents, à la place des surfaces à couple constant, nous
trouvons des courbes à couple constant (Fig. 2.4). Les deux ﬁgures suivantes montrent
des superﬁcies à couple constant d’une machine avec un rotor hybride à pôles saillants
et les courbes à couple constant d’une machine à aimants permanents à pôles saillants.
Dans les deux cas nous remarquons qu’il y a deux courbes associées pour un couple
donné et il y a une inﬁnité de combinaisons des courants pour générer le même couple.
Il est nécessaire d’utiliser d’autres critères, par exemple les pertes Joule, pour déterminer
quel est le point de fonctionnement le plus avantageux.
2
iq
0
2
2
ir 0
2
2
0
id
2
Figure 2.3 – Superﬁcies à couple constant pour une machine à rotor bobiné (Ld =
5Lq = 1pu)
La modélisation d’une machine à rotor hybride est suﬃsamment générale pour renfermer le fonctionnement de diﬀérents types de machines synchrones. La liste suivante
montre les diﬀérents types de machines qui peuvent être modélisées (Fig. 2.5) :
• Machines à rotor bobiné (λ = 0)
• Machines à aimants permanents (G = 0, ir = 0)
• Machines à rotor hybride (λ = 0, G = 0)
• Machines à reluctance (λ = 0, G = 0, ir = 0, Ld = Lq )
• Machines à pôles lisses (Ld = Lq )
Dans le cas des machines à rotor bobiné, nous pouvons inverser ou non le sens
du courant d’excitation. Il est aussi possible de tenir compte des diﬀérentes limites
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
3
8.04
6.64
5.24
3.85
2.45
2
1.75
iq
1
69
1.05
0.35
0
0.35
1
1.05
2.45
2
3
3
2
1.75
3.15
4.55
5.94
7.34
8.74
1
0
1
2
id
3
Figure 2.4 – Courbes à couple constant pour une machine à aimants permanents
à pôles saillants avec (Ld = 5Lq = 1pu)
supérieures et inférieures pour le courant d’excitation.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
70
Pôles lisses
Ld Lq
Aimants Inserés
Ld Lq
Reluctance
Ld Lq
Pôles Saillants
Ld Lq
Figure 2.5 – Les diﬀérents types de machines modélisés
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.2.2
71
Modèle de l’onduleur
Compte tenu des simpliﬁcations énoncées, l’onduleur se modélise par une série de
contraintes reliées aux courants et aux tensions de la machine. En eﬀet, les simpliﬁcations proposées permettent de négliger la modulation de largeur d’impulsions ainsi que
les régimes transitoires du système.
Avec les hypothèses simpliﬁcatrices que nous avons indiquées précédemment, le courant du stator est limité par l’équation suivante :
i2a = i2d + i2q ≤ i2max
(2.5)
Où :
ia valeur crête du courant d’une phase de la machine.
Nous pouvons facilement dessiner cette contrainte de courant dans l’espace des courants (Fig. 2.6). Il s’agit d’un cylindre orienté dans l’axe de courant du rotor. Seuls les
points de l’espace des courants qui se trouvent à l’intérieur du cylindre respectent la
contrainte du courant du stator. La représentation de la contrainte du courant dans
l’espace du courant reste la même, sans qu’elle soit inﬂuencée par la vitesse de la machine.
Dans le cas d’une machine à aimants permanents, cette contrainte prend la forme
d’un cercle centré à l’origine (Fig. 2.7).
La tension totale d’une phase ne peut pas non plus dépasser une certaine limite.
Ceci se traduit par l’équation suivante :
2
2
= vd2 + vq2 ≤ vmax
van
Où :
(2.6)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
72
2
iq
0
2
2
ir 0
2
2
0
id
2
Figure 2.6 – Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les
machines à rotor bobiné ou hybride
3
2
iq
1
0
1
2
2
1
0
id
1
2
3
Figure 2.7 – Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les
machines à aimants permanents
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
73
van valeur crête de la tension phase neutre dans la machine.
vmax tension phase - neutre maximale que peut fournir l’onduleur.
Tel qu’auparavant, nous pouvons dessiner la contrainte de tension dans l’espace des
courants. Il suﬃt de ﬁxer le courant du rotor et de faire varier l’angle de la tension avec
une amplitude constante. Nous trouvons ainsi une superﬁcie à l’intérieur de laquelle se
trouvent les points de l’espace de courant qui peuvent être atteints par le système. Il faut
toujours garder à l’esprit que la représentation de la contrainte de tension dans l’espace
des courants change avec la vitesse puisque les impédances de la machine changent avec
la vitesse. La ﬁgure 2.8 montre la représentation de cette contrainte. Il s’agit d’une
superﬁcie d’allure cylindrique.
2
iq
0
2
2
ir 0
2
2
0
id
2
Figure 2.8 – Contrainte de tension dans le cas de machines à rotor bobiné ou
hybride (Ω = 7pu)
Dans le cas d’une machine à aimants permanents, cette contrainte prend la forme
d’une ellipse (Fig. 2.9). Il faut noter qu’à cause de la résistance de la machine, l’ellipse
n’est pas centrée par rapport à l’axe de courant direct dans le graphique.
La tension maximale que peut fournir l’onduleur est liée à la tension d’alimentation
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
74
3
2
iq
1
0
1
2
2
1
0
id
1
2
3
Figure 2.9 – Contrainte de tension pour des machines à aimants permanents (Ω =
2pu)
par l’équation suivante :
2cos
2π
nphases
vmax ≤ vdc
(2.7)
La valeur exacte de la tension maximale dépend de la stratégie de modulation utilisée dans l’onduleur et de sa capacité de proﬁter au maximum de la tension du bus
d’alimentation.
Le courant du rotor est limité par une valeur maximale et minimale. L’équation
suivante représente ces contraintes :
irmin ≤ ir ≤ irmax
Où :
irmin courant minimal d’excitation du rotor.
irmax courant maximal d’excitation du rotor.
(2.8)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
75
Dans l’espace des courants, ces contraintes sont déﬁnies par deux plans parallèles
(Fig. 2.10).
2
iq
0
2
2
ir 0
2
2
0
id
2
Figure 2.10 – Limites du courant du rotor
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
76
Le système peut fonctionner seulement pour les points qui respectent toutes les
contraintes en même temps. Dans l’espace des courants, cela revient à former l’intersection entre toutes les contraintes (Fig. 2.11 et 2.12).
iq
0
2
2
2
0
ir
2
2
id
0
2
Figure 2.11 – Contraintes d’une machine hybride ou à rotor bobiné
3
2
iq
1
0
1
2
2
1
0
id
1
2
3
Figure 2.12 – Contraintes d’une machine à aimants permanents
Nous constatons que le volume ou la superﬁcie contenant tous les points qui respectent toutes les contraintes n’a pas une forme simple.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.2.3
77
Inﬂuence du signe du courant d’axe quadratique
Si un point de fonctionnement est optimal, le courant d’axe quadratique possède
toujours le même signe que le couple produit. Si le couple produit est positif, le courant d’axe quadratique est positif. Si le couple produit est négatif, le courant d’axe
quadratique est négatif.
Voyons d’abord un exemple simple : la machine à pôles lisses à aimants permanents.
Pour une telle machine, le couple est donné par l’équation suivante :
t=
pnphases
iq λ
2
(2.9)
≥0
Comme l’axe direct du rotor est toujours orienté pour que le ﬂux des aimants soit
positif, le courant d’axe quadratique possède nécessairement le même signe que le couple.
Nous allons montrer que cette propriété est valable pour toutes les machines autres
que celles à pôles lisses, si l’on considère un point de fonctionnement optimal. Par
point optimal, nous entendons un fonctionnement à couple donné avec des pertes Joule
minimales.
Le couple d’une machine est une fonction de tous les courants de la machine. En
eﬀet, en général, le couple est donné par :
t=
pnphases
iq (λ + Gir + (Ld − Lq ) id )
2
(2.10)
Donc, il est possible d’obtenir des points de fonctionnement tel que :
λ + Gir + (Ld − Lq ) id < 0
(2.11)
Mais, dans ce cas, le signe du courant d’axe quadratique s’oppose au signe du couple
produit. Nous allons montrer qu’un tel point de fonctionnement n’est jamais optimal.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.2.3.1
78
Cas à étudier
Il y a deux cas que nous pouvons étudier. Le premier cas est celui où le courant dans
le rotor est assez négatif pour inverser le sens du ﬂux du rotor. En plus de la condition
précédente, nous obtenons alors :
λ + Gir < 0
(2.12)
Le deuxième cas est celui où le courant du rotor n’inverse pas le sens du ﬂux du
rotor :
λ + Gir > 0
(2.13)
Le premier cas est le plus simple à étudier, nous le traitons donc d’abord.
2.2.3.2
Cas avec inversion du ﬂux du rotor
En récapitulant, nous avons un point de fonctionnement qui respecte toutes les
contraintes du système. Ce point de fonctionnement est déﬁni par :
λ + Gir + (Ld − Lq ) id < 0
(2.14)
λ + Gir < 0
(2.15)
2
(rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id ))2 ≤ vmax
(2.16)
i2d + i2q ≤ i2max
(2.17)
irmin ≤ ir ≤ irmax
(2.18)
Construisons un nouveau point de fonctionnement. Ce point de fonctionnement est
obtenu avec les équations suivantes :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
iˆq = −iq
(2.19)
iˆd = −id
(2.20)
λ + Giˆr = −(λ + Gir )
Analyse du couple
79
(2.21)
Le couple du nouveau point de fonctionnement est exactement
le même que le couple du premier point tel que le montrent les équations suivantes :
pnphases
iq (λ + Gir + (Ld − Lq ) id )
2
pnphases ˆ t=
−iq (λ + Gir + (Ld − Lq ) id )
2
pnphases ˆ iq (− (λ + Gir ) + (Ld − Lq ) (−id ))
t=
2
pnphases ˆ ˆ
ˆ
iq λ + Gir + (Ld − Lq ) id
t=
2
t=
Analyse du courant du rotor
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Le module du courant du rotor du nouveau point
est inférieur à celui du point original :
î2r
=
2λ
− − ir
G
2
= i2r +
4λir 4λ2
4λ
+ 2 = i2r + 2 (Gir + λ) ≤ i2r
G
G
G
(2.26)
Nous allons supposer que, si le système est capable de fonctionner avec un ﬂux de
rotor inversé par rapport au ﬂux des aimants, il est aussi capable de fonctionner avec
le même ﬂux mais non inversé. En eﬀet, il ne semble pas intéressant de concevoir un
système qui ne remplit pas cette condition.
Analyse du courant du stator
Il est facile de constater que le courant du stator
du nouveau point est égal au courant du stator du point original.
iˆ2d + iˆ2q = (−id )2 + (−iq )2 = i2d + i2q
(2.27)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Analyse de la tension du stator
80
La tension du stator reste aussi la même, comme
le montrent les équations suivantes :
rs iˆd − pΩLq iˆq
2
2
+ rs iˆq + pΩ λ + Giˆr + Ld iˆd
=
(rs (−id ) − pΩLq (−iq ))2 + (rs (−iq ) + pΩ (−(λ + Gir ) + Ld (−id )))2 =
(− (rs id − pΩLq iq ))2 + (− (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id )))2 =
(rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id ))2 (2.28)
En conséquence, nous avons trouvé un nouveau point de fonctionnement qui possède
les caractéristiques suivantes :
• Le couple est égal au couple du point de fonctionnement original
• Le courant du stator reste constant
• Le module du courant du rotor est inférieur au point de fonctionnement original
• Le module de la tension du stator reste le même
Les pertes du nouveau point sont inférieures aux pertes du point original. Donc, le
point original ne peut pas être un point optimal en terme de pertes. Cela montre qu’il
ne serait pas intéressant pour le fonctionnement du système d’être capable d’inverser le
sens du ﬂux du rotor de la machine.
Remarquons que le nouveau point de fonctionnement vériﬁe que :
λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd > 0
(2.29)
Donc, le signe du courant d’axe quadratique est le même que le signe du couple
produit.
2.2.3.3
Cas sans inversion du ﬂux du rotor
La deuxième possibilité est que le point de fonctionnement optimal soit tel que :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
81
λ + Gir + (Ld − Lq )id < 0
(2.30)
λ + Gir > 0
(2.31)
2
(rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id ))2 ≤ vmax
irmin ≤ ir ≤ irmax
(2.32)
(2.33)
Construisons un deuxième point de fonctionnement. Ce point de fonctionnement est
obtenu avec les équations suivantes :
iˆq = −iq
(2.34)
λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd = − (λ + Gir + (Ld − Lq )id )
iˆr = ir
Analyse du couple
(2.35)
(2.36)
Nous pouvons montrer que le couple est exactement le même :
pnphases ˆ iq λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd
2
pnphases ˆ t=
−iq − λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd
2
pnphases
iq (λ + Gir + (Ld − Lq )id )
t=
2
t=
Analyse du courant du stator
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Le courant du stator du nouveau point est inférieur
au courant du stator du point original.
2
2 (λ + Gir )
−
− id + (−iq )2
Ld − Lq
4 (λ + Gir )
(λ + Gir + (Ld − Lq ) id )
iˆ2d + iˆ2q = i2d + i2q +
(Ld − Lq )2 <0
>0
iˆ2d + iˆ2q =
(2.40)
(2.41)
<0
iˆ2d + iˆ2q ≤ i2d + i2q
(2.42)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Analyse du courant du rotor
82
Le nouveau point maintient exactement le même
courant du rotor que dans le point original.
Analyse de la tension du stator
Il est possible de montrer que la tension du nou-
veau point de fonctionnement est toujours inférieure à celle du point de fonctionnement
original. En eﬀet, il suﬃt de regarder la diﬀérence entre la tension du point original et
du nouveau point et de constater que cette diﬀérence est positive.
(rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id ))2 −
!
2 "
2 =
rs iˆd − pΩLq iˆq + rs iˆq + pΩ(λ + Giˆr + Ld iˆd )
2
(rs id − pΩLq iq )2 − rs iˆd − pΩLq iˆq +
2
(2.43)
(rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id ))2 − rs iˆq + pΩ(λ + Giˆr + Ld iˆd )
2
ˆ
ˆ
(rs id − pΩLq iq ) − rs id − pΩLq iq +
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
(rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id )) − rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id ) =
!
"
λ + Gir
−4
(r 2 + p2 Ω2 Ld Lq ) (λ + Gir + (Ld − Lq ) id ) > 0 (2.44)
(Ld − Lq )2 s
<0 >0
<0
2
>0
Nous avons trouvé un nouveau point de fonctionnement qui possède les caractéristiques suivantes :
• Le couple est égal au couple du point de fonctionnement original
• Le courant du stator est inférieur au courant du stator du point original
• Le courant du rotor est égal au courant du rotor du point de fonctionnement
original
• Le module de la tension du stator est inférieur au point original
En conséquence, les pertes du nouveau point sont inférieures aux pertes du point
original. Donc, le point original ne peut pas être un point optimal en terme de pertes.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
83
Il n’est pas non plus intéressant pour maximiser le couple. Le même couple peut être
obtenu avec moins de pertes.
2.2.3.4
Conclusion
Nous pouvons aﬃrmer qu’un point de fonctionnement optimal du système remplit
toujours deux conditions :
iq t ≥ 0
(2.45)
λ + Gir + (Ld − Lq ) id > 0
(2.46)
Dans l’espace des courants, nous pouvons représenter ces contraintes comme un plan
qui coupe l’espace en deux pour les machines à rotor hybride ou bobiné (Fig. 2.13). Les
points de fonctionnement optimaux peuvent se retrouver que d’un seul côté du plan.
Dans le cas d’une machine à aimants, ceci correspond à une ligne qui divise le plan
des courants en deux (Fig. 2.14). Les points de fonctionnement optimaux peuvent se
retrouver que d’un seul côté de la ligne.
2
iq
0
2
Zone où
peuvent
se trouver
les points optimaux
2
ir 0
2
2
0
id
2
Figure 2.13 – Espace des points optimaux d’une machine à rotor hybride ou bobiné (zone non couverte par des plans)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
84
3
Zone où
peuvent
se trouver
les points optimaux
2
iq
1
0
1
2
2
1
0
id
1
2
3
Figure 2.14 – Espace des points optimaux d’une machine à aimants permanents
(zone non couverte par des lignes entrecroisées)
2.2.4
Fonctionnement du système dans des quadrants opposés
Si le système peut fonctionner en produisant un certain couple à une certaine vitesse
(t, Ω), il est possible de fonctionner aussi en produisant le même couple à la même
vitesse, mais dans la direction opposée (−t, −Ω). La ﬁgure 2.15 illustre cette propriété
pour une machine à aimants permanents à pôles saillants. En rouge, nous avons dessiné
le couple maximal que peut fournir la machine lorsqu’elle est alimentée par un onduleur.
De la même manière, en bleu, nous avons dessiné le couple minimal que peut fournir
la machine. On constate que la courbe dans le quadrant I est exactement la même que
dans le quadrant III. Nous constatons la même chose pour les quadrants II et IV. C’està-dire que si la machine peut fournir une certaine puissance mécanique à une certaine
vitesse, elle peut aussi fournir la même puissance mécanique à la même vitesse, mais
dans le sens contraire.
Nous pouvons montrer que ceci est valable pour toute machine, indépendamment
de ces paramètres, en manipulant les équations de la machine :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
85
Couple pu
3
2
1
0
-1
-2
-4
-2
0
pu
2
4
Figure 2.15 – Limites de couple maximal et de couple minimal qui montrent que le
système peut fournir de la puissance mécanique dans des quadrants
opposés.
vd = rs id − pΩLq iq
(2.47)
vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id )
pnphases
t=
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
2
vd = rs id − p(−Ω)Lq (−iq )
(2.48)
−vq = rs (−iq ) + p(−Ω)(λ + Gir Ld id )
pnphases
[(−iq ) (λ + Gir + Ld (id )) − id Lq iq ]
−t =
2
vˆd = rs iˆd − pΩ̂Lq iˆq
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
vˆq = rs iˆq + pΩ̂(λ + Giˆr + Ld iˆd )
$
pnphases # ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
t̂ =
iq λ + Gir + Ld id − id Lq iq
2
iˆd = id
(2.56)
iˆq = −iq
(2.57)
iˆr = ir
(2.58)
Ω̂ = −Ω
(2.59)
t̂ = −t
(2.60)
(2.54)
(2.55)
Nous constatons qu’il suﬃt d’inverser le sens de la vitesse et du courant d’axe
quadratique pour produire exactement le même couple dans le sens contraire. Aussi,
nous constatons que le module du courant du stator et le module de la tension du stator
restent exactement les mêmes :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
vˆd2 + vˆq2 = vd2 + (−vq )2
iˆ2d + iˆ2q = i2d + (−iq )2
2.3
86
= vd2 + vq2
(2.61)
= i2d + i2q
(2.62)
Calcul des limites de fonctionnement et des performances du système
Le système modélisé se compose d’une machine et d’un onduleur dont les courants
et la tension sont sujets à des contraintes. En conséquence, le couple maximal qui peut
être fourni est lui aussi sujet à des contraintes qu’il faut déterminer. Plus encore, le
couple maximal qui peut être fourni dans l’arbre de la machine varie avec la vitesse
à cause de la contrainte de tension. Nous déﬁnissons les limites de fonctionnement du
système à deux courbes de couple en fonction de la vitesse qui son déﬁnies comme suit
(Fig. 2.16) :
• Une courbe du couple maximal en fonction de la vitesse Cmax (Ω).
• Une autre courbe du couple minimal en fonction de la vitesse Cmin (Ω).
Couple pu
3
2
1
0
-1
-2
-4
-2
0
pu
2
4
Figure 2.16 – Limites de couple maximal et de couple minimal pouvant être produits par un système avec une machine à aimants permanents.
Comme le système peut fonctionner dans des quadrants opposés, nous pouvons
montrer que les deux courbes sont liées par l’équation suivante :
Cmax (Ω) = −Cmin (−Ω)
(2.63)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
87
Les deux courbes déterminent une zone dans le graphique de couple-vitesse. La zone
correspond à tous les points qu’il est possible d’atteindre tout en respectant les limites
de courant et de tension du système.
Nous déﬁnissons la performance du système au rendement, au facteur de puissance,
à la tension et au courant nécessaires pour atteindre, en minimisant les pertes Joule de
la machine, n’importe quel point de fonctionnement à l’intérieur de la zone délimitée
par les courbes des couples maximal et minimal. Par exemple, la ﬁgure 2.17 montre le
rendement d’une machine à aimants permanents à l’intérieur de ses limites de fonction-
Couplepu
nement, en considérant uniquement les pertes Joule de la machine.
3
2
1
0
1
2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
4
2
0
2
Vitesse pu
4 0.5
Figure 2.17 – Rendement d’une machine à aimants permanents
Il est possible que les contraintes de tension et de courant ne permettent pas au moteur de fonctionner à une vitesse donnée en les respectant. Par exemple, dans plusieurs
cas, la contrainte de tension de l’onduleur limite naturellement la vitesse de la machine
en fonctionnement moteur. Si pour une raison quelconque, la machine tourne plus vite
qu’une certaine vitesse limite, le courant dans la machine ne pourra plus être contrôlé.
Dans l’espace des courants, on constate qu’il n’y a pas d’intersection entre la contrainte
de courant et la contrainte de tension (Fig. 2.18).
Dans ce cas, nous déterminons la tension que l’onduleur doit fournir à la machine
pour réduire le plus possible l’intensité du courant dans la machine. En eﬀet, on cherche
dans la courbe qui représente la contrainte de tension, le point le plus près de l’origine.
Cependant, l’intensité du courant résultant est toujours plus grande que la contrainte
du courant du système car l’intersection est vide ; comme on peut le constater dans la
ﬁgure précédente. Aussi, le couple est près de zéro et toujours de signe contraire à la
vitesse. Donc le système fonctionne en mode générateur (Fig. 2.19).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
88
3
2
1
iq
0
1
2
2
1
0
id
1
2
3
Figure 2.18 – Intersection vide entre la contrainte de tension et la contrainte de
courant pour une machine à aimants permanents à vitesse élevée.
Couple pu
3
2
1
0
-1
-2
-4
-2
0
pu
2
4
Figure 2.19 – Couple lorsqu’il n’est pas possible de contrôler le courant à l’intérieur des limites du système.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
89
Pour que cette condition apparaisse, il est nécessaire que la réaction d’induit de la
machine soit plus petite que le ﬂux à vide, comme le montre l’équation suivante :
Ld imax < λ
(2.64)
Les sections suivantes détaillent la méthode pour obtenir la limite de fonctionnement
du système, la performance du système et le fonctionnement, lorsqu’il y a une perte de
contrôle du courant de la machine.
2.3.1
Calcul de la limite de fonctionnement
La limite de fonctionnement du système correspond au couple maximal et au couple
minimal que peut fournir le système en fonction de la vitesse. Ce problème peut être
posé comme un problème d’optimisation qui s’énonce comme suit :
• Maximiser le couple de la machine tout en respectant les limites de courant et de
tension du système et les équations de la machine.
• Minimiser le couple de la machine tout en respectant les limites de courant et de
tension du système et les équations de la machine.
Notons que dû au fait que les couples maximal et minimal sont liés par une simple
équation, il suﬃt de résoudre seulement un des deux problèmes d’optimisation. Nous
avons choisi de résoudre le premier problème.
L’énoncé du problème de maximisation du couple se traduit dans le problème d’optimisation suivant :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
maxt
id iq ir
vd = rs id − pΩLq iq
vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id )
pnphases
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
t=
2
i2d + i2q ≤ i2max
2
vd2 + vq2 ≤ vmax
irmin ≤ ir ≤ irmax
90
(2.65)
(2.66)
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)
(2.71)
Les équations précédentes indiquent qu’il faut maximiser le couple de la machine en
utilisant comme variables les courants d’axe direct, d’axe quadratique et du rotor. Les
contraintes du problème sont :
• Les équations de la machine, qui établissent la relation entre les courants et le
couple, ainsi qu’entre les courants et les tensions.
• Les limites de courant et de tension du système.
Pour déterminer la limite de fonctionnement de la machine, il faut développer une
méthode permettant de trouver l’optimum global du problème d’optimisation ou déterminer que le problème ne possède pas de solution.
2.3.1.1
Méthode de résolution du problème d’optimisation
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des problèmes d’optimisation comme celui qui nous intéresse. Les plus courantes sont des méthodes itératives. L’avantage de
ces méthodes est qu’elles sont très générales et peuvent s’appliquer à une multitude de
problèmes diﬀérents. Cependant, elles peuvent trouver un optimum local et la convergence n’est pas toujours assurée. Ces deux désavantages rendent les méthodes itératives
indésirables et nous obligent à développer une méthode particulière.
Dans ce travail, nous avons développé une méthode d’optimisation qui est capable
de :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
91
• Déterminer si le problème de maximisation du couple possède une solution.
• Trouver l’optimum global dans le cas où le problème possède une solution.
La méthode développée consiste à résoudre une série de sous problèmes d’optimisation en relation avec le problème qui nous intéresse. Nous appelons ces problèmes :
sous problèmes d’optimisation modiﬁés. Ces sous problèmes sont obtenus en modiﬁant
les contraintes du problème d’optimisation original. Une fois que ces sous problèmes
d’optimisation modiﬁés ont été résolus, il est possible de trouver l’optimum global du
problème qui nous intéresse. Un sous problème d’optimisation modiﬁé est plus facile
à résoudre que le problème original. En eﬀet, nous allons montrer que pour résoudre
chaque sous problème d’optimisation modiﬁé, il est nécessaire de trouver les racines
d’un polynôme caractéristique. Même si les sous problèmes d’optimisations modiﬁées
sont parfois nombreux, la résolution des diﬀérents polynômes reste rapide.
Dans la section suivante nous montrerons à titre d’exemple l’un des sous problèmes
d’optimisation modiﬁés. Il n’est cependant pas possible de détailler la solution de chaque
sous problème d’optimisation modiﬁé car ils sont trop nombreux. Ensuite, nous allons
résumer tous les sous problèmes d’optimisation modiﬁés avec leurs principales caractéristiques. On expliquera par la suite comment on peut trouver l’optimum global qui
maximise le couple du système à partir de la résolution de ces problèmes.
2.3.1.2
Exemple de résolution d’un sous problème d’optimisation modiﬁé
Cette section montre la méthode d’optimisation utilisée pour trouver l’optimum d’un
sous problème d’optimisation modiﬁé en l’illustrant par un exemple.
Le sous problème est le suivant :
• Maximiser le couple, avec le courant d’excitation minimal en utilisant exactement
la tension maximale au stator et en ignorant la contrainte du courant du stator
du système.
• Trouver un maximum local du problème d’optimisation. Ce maximum local est
tel que son couple est le plus grand parmi les optimums locaux qui respectent la
contrainte de courant du stator qui a d’abord été ignorée.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
92
Ce problème se traduit par les équations suivantes :
max t
id iq ir
vd = rs id − pΩLq iq
vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id )
pnphases
t=
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
2
2
vd2 + vq2 = vmax
ir = irmin
(2.72)
(2.73)
(2.74)
(2.75)
(2.76)
(2.77)
Il y a trois modiﬁcations par rapport au problème d’optimisation original :
• Il n’y a pas de contrainte de courant de stator. Elle est prise en compte à la ﬁn.
• La tension de la machine est ﬁxée à sa valeur maximale.
• Le courant du rotor est ﬁxé à sa valeur minimale.
Comme ce sous problème d’optimisation modiﬁé possède seulement des contraintes
d’égalité, il est possible, avec des manipulations algébriques, d’éliminer toutes les variables sauf une. En eﬀet, en utilisant les équations de tension de la machine, il est
possible d’éliminer les tensions des deux axes :
maxt
id iq ir
pnphases
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
2
= (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ))2
t=
2
vmax
ir = irmin
Nous pouvons facilement éliminer le courant du rotor qui est une constante :
(2.78)
(2.79)
(2.80)
(2.81)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
maxt
(2.82)
id iq
pnphases
[iq (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iq ]
2
= (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Girmin Ld id ))2
t=
2
vmax
93
(2.83)
(2.84)
Nous pouvons aussi éliminer le couple :
max
id iq
pnphases
[iq (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iq )
2
2
vmax
= (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Girmin Ld id ))2
(2.85)
(2.86)
La contrainte d’égalité permet quant à elle d’éliminer un courant. Par exemple, le
courant d’axe quadratique est obtenu en fonction du courant d’axe direct :
iqs1 (id ) =
+
%
−2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin ))+
(2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin )))2 −4(rs2 +(pΩLq )2 )((rs id )2 +(pΩ(Ld id +(λ+Girmin )))2 )
2 rs2 + (pΩLq )2
(2.87)
iqs2 (id ) =
−
%
−2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin ))+
(2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin )))2 −4(rs2 +(pΩLq )2 )((rs id )2 +(pΩ(Ld id +(λ+Girmin )))2 )
2 rs2 + (pΩLq )2
(2.88)
Comme, il s’agit d’une équation quadratique, il y a deux solutions (s1 et s2). Finalement, le courant d’axe quadratique est éliminé du problème, mais on obtient un
problème d’optimisation pour chacune des deux valeurs de courant quadratique :
pnphases
(iqs1 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs1 (id ))
id
2
pnphases
max
(iqs2 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs2 (id ))
id
2
max
(2.89)
(2.90)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
94
Chaque solution correspond à un problème d’optimisation d’une fonction avec une
seule variable, soit le courant d’axe direct. Nous pouvons trouver les optimums locaux
en utilisant la dérivée de chaque fonction par rapport au courant d’axe direct comme
suit :
∂
pnphases
∂
pnphases
2
2
(iqs1 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs1 (id ))
=0
∂id
(iqs2 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs2 (id ))
=0
∂id
(2.91)
(2.92)
Ces équations nous permettent de trouver tous les optimums locaux. Un désavantage
de cette formulation est l’apparition des racines carrées dans le numérateur et dans
le dénominateur. Elles sont éliminées du problème en utilisant le produit des deux
équations précédentes :
∂
pnphases
2
(iqs1 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs1 (id ))
∂id
∂
pnphases
2
∗
(iqs2 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs2 (id ))
= 0 (2.93)
∂id
Notons que chaque racine du produit est nécessairement une racine de l’un des deux
facteurs. En simpliﬁant l’équation et en considérant seulement le numérateur, nous
obtenons un polynôme de quatrième dégrée sur le courant d’axe direct.
a0 + a1 id + a2 i2d + a3 i3d + a4 i4d = 0
(2.94)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
95
a0 = 36p2 p2 Ω2 L2q + rs2
2 rs − 4p2 λ2 Ω2 − G2 p2 i2rmin Ω2 − 4Gp2 λirmin Ω2 + vs2 vs2 +
2 L2q 2p3 λ2 Ω3 + Gp3 λirmin Ω3 − pvs2 Ω L2d −
2Lq p2 Ω2 p2 λ2 Ω2 − vs2 2p2 λ2 Ω2 + Gp2 λirmin Ω2 − vs2 L2q +
rs2 vs2 − 3p2 λ2 Ω2 − G2 p2 i2rmin Ω2 − 3Gp2 λirmin Ω2 + vs2 Ld +
L2q p2 λ2 Ω2 − vs2
4 2 4
p λ Ω − p2 Ω2 vs2 L2q +
(2.95)
rs2 p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 2Gp2 λirmin Ω2 − vs2
a1 = 72p2 p2 Ω2 L2q + rs2
2 2 2 2
p Ω p Ω (4λ + Girmin )L2q 2p2 λ2 Ω2 + Gp2 λirmin Ω2 − vs2 −
2(2λ + Girmin )rs2 vs2 L3d +
p2 Ω2 Lq p2 Ω2 − 10p2 Ω2 λ3 + 7vs2 λ + Girmin vs2 − 4p2 λ2 Ω2 L2q +
rs2 4p2 Ω2 λ3 + G2 p2 Ω2 i2rmin λ + 7vs2 λ + 4Girmin p2 λ2 Ω2 + vs2 L2d +
6 3 6
3 p λ Ω − p4 λΩ4 vs2 L4q +
p2 Ω2 rs2 G2 p2 λΩ2 i2rmin + 2G p2 λ2 Ω2 − 2vs2 irmin − λ p2 λ2 Ω2 + 4vs2
L2q − (λ + Girmin )rs4 vs2 Ld +
Lq rs2 (λ + Girmin )rs2 p2 λ2 Ω2 + Gp2 λirmin Ω2 + vs2 −
(2.96)
p2 Ω2 (λ + 2Girmin )L2q p2 λ2 Ω2 − vs2
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
96
a2 = 36p2 p2 Ω2 L2q + rs2
2 6 2 6
Lq 24p λ Ω + G2 p6 i2rmin Ω6 + 12Gp6 λirmin Ω6 − 4p4 vs2 Ω4 − 4p2 Ω2 rs2 vs2
L4d +
2p2 Ω2 Lq − 18p4 λ2 Ω4 − 5Gp4 λirmin Ω4 + 4p2 vs2 Ω2 L2q +
rs2 12p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 8Gp2 λirmin Ω2 + 4vs2 L3d +
6 2 6
13p λ Ω − 4p4 Ω4 vs2 L4q +
p2 Ω2 rs2 − 19p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 − 2Gp2 λirmin Ω2 − 8vs2 L2q +
rs4 4p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 4Gp2 λirmin Ω2 − 4vs2 L2d +
2Lq rs2 − 3p4 λ2 Ω4 − 4Gp4 λirmin Ω4 + 4p2 vs2 Ω2 L2q +
rs2 3p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 5Gp2 λirmin Ω2 + 4vs2 Ld +
rs2 4 p4 λ2 Ω4 − p2 Ω2 vs2 L4q − rs2 7p2 λ2 Ω2 + 8Gp2 λirmin Ω2 + 4vs2 L2q +
(λ + Girmin )2 rs4
(2.97)
a3 = 144p2(Ld − Lq ) p2 Ld Lq Ω2 + rs2 p2 Ω2 L2q + rs2
4
p (4λ + Girmin )L3d Lq Ω4 − 2p2 λL2q rs2 Ω2 + p2 (2λ + Girmin )Ld Lq rs2 Ω2 +
p2 L2d (2λ + Girmin )rs2 − 3p2 λΩ2 L2q Ω2 + (λ + Girmin )rs4 (2.98)
2 a4 = 144p2 (Ld − Lq )2 p2 Ω2 L2d + rs2 p2 Ld Lq Ω2 + rs2 p2 Ω2 L2q + rs2
(2.99)
Chaque racine du polynôme correspond à un optimum local de l’un des deux problèmes d’optimisation. Chaque racine peut être un maximum local ou un minimum
local. L’avantage de cette manipulation du problème est qu’il existe des algorithmes
permettant de trouver toutes les racines d’un polynôme. Comme chaque optimum local
correspond à une racine d’un polynôme, nous pouvons nous assurer de trouver tous les
optimums locaux du problème d’optimisation. Finalement, si nous connaissons tous les
optimums locaux, il est facile de trouver parmi eux celui qui à la fois maximise le couple
et respecte la contrainte manquante, c’est-à-dire la contrainte du courant du stator.
Pour trouver les racines de ce polynôme, nous utilisons des formules et des algorithmes connus. Les algorithmes et les formules sont les suivantes :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
97
• Les formules de Ferrari telles qu’implémentées dans la bibliothèque Matpack [18].
• La variable id est remplacée par
1
id
lorsque nécessaire pour augmenter la stabilité
numérique.
• Si nécessaire, on utilise l’algorithme de Jenkins-Traub pour trouver les solutions
[19].
• Encore, dans certains cas, on utilise l’algorithme de Newton sur plusieurs variables
de sorte à améliorer les solutions.
Nous appliquons ces quatre méthodes car la précision numérique d’une seule méthode ne permet pas toujours d’obtenir les racines du polynôme avec une bonne précision. Nous pouvons ainsi assurer une bonne qualité numérique des solutions et vériﬁer
que toutes les racines sont trouvées. Cependant, il est toujours possible de trouver des
combinaisons de paramètres de machine et de vitesses de fonctionnement qui causent
des problèmes. Ceci s’explique par la précision numérique des nombres en point ﬂottant
des ordinateurs qui est limitée.
Une fois que les racines du polynôme sont obtenues, nous calculons pour chaque
racine, le courant d’axe quadratique (avec l’équation de tension) et le courant du rotor
(imposé à sa valeur minimale) pour obtenir le point de fonctionnement du système.
Pour chaque optimum local, nous pouvons comparer lequel d’entre eux donne le couple
le plus élevé tout en respectant la contrainte du courant du stator.
2.3.1.3
Liste des sous problèmes d’optimisation modiﬁés à résoudre
Dans la section précédente, nous avons montré un exemple de sous problème d’optimisation modiﬁé. Un sous problème d’optimisation modiﬁé est obtenu en transformant quelques contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité et en ignorant les autres
contraintes. Nous pouvons construire un tableau pour énumérer toutes les combinaisons
possibles :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Numéro
problème
modiﬁé
du Contrainte
tension
de Contrainte
du courant
stator
stator
98
de Contrainte mi- Contrainte
du nimale de cou- maximale
rant du rotor
courant
Dégré du
de polynôme
du trouvé
rotor
1
Oui
2
Non
Oui
3
Oui
4
Non
Oui
Oui
Oui
6
Oui
7
Non
8
Non
Non
5
Non
Oui
Oui
4
4
Non
4
Non
4
Non
4
Oui
4
Non
Oui
4
Non
Oui
4
Tableau 2.1 – Liste de sous problèmes modiﬁés pour la maximisation du couple
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
99
Notons que certaines combinaisons sont absentes, par exemple, le problème avec
la contrainte de courant du stator seulement. Ce problème n’apparaı̂t pas puisque le
couple n’est pas limité dans ce cas. En eﬀet, il suﬃt d’incrémenter le courant du rotor
indéﬁniment pour incrémenter le couple, puisque la contrainte du courant du rotor est
ignorée. Donc, on peut incrémenter le couple autant qu’on le souhaite.
Dans le cas d’une machine à aimants permanents qui ne possède pas de bobinage
au rotor, nous avons seulement trois problèmes à résoudre (6, 7 et 8). Dans ce cas, les
limites supérieure et inférieure du courant d’excitation du rotor sont toujours égales à
zéro :
0 = irmin ≤ ir ≤ irmax = 0
2.3.1.4
(2.100)
Relation entre les sous - problèmes d’optimisation modiﬁés et le
problème d’optimisation principal
Le but de la méthode développée est toujours de trouver l’optimum global du problème principal, qui consiste à maximiser le couple. Nous allons montrer la relation
entre les sous problèmes d’optimisation modiﬁés et le problème d’optimisation original.
Nous pouvons modiﬁer le problème d’optimisation original en utilisant des variables
de relaxation des contraintes d’inégalité (u1 , u2, u3 , u4 ). Les variables de relaxation transforment les contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité. La formulation correspond
à :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
max
id iq ir u1 u2 u3 u4
t
100
(2.101)
vd = rs id − pΩLq iq
vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id )
pnphases
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
t=
2
i2d + i2q + u21 = i2max
2
vd2 + vq2 + u22 = vmax
(2.102)
(2.103)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
ir = irmin + u23
(2.107)
ir = irmax + u24
(2.108)
Comme le problème d’optimisation possède maintenant seulement des contraintes
d’égalité, il est possible d’utiliser des multiplicateurs de Lagrange (h1 , h2 , etc). Les
multiplicateurs de Lagrange transforment le problème d’optimisation avec contraintes
d’égalité en un problème d’optimisation sans contrainte. Dans ce cas, la solution au
problème d’optimisation avec contraintes correspond à la solution du problème sans
contraintes :
max
id iq ir u1 u2 u3 u4
2
t + h1 (i2d + i2q + u21 − i2max ) + h2 (vd2 + vq2 + u22 − vmax
)+···
(2.109)
Dans l’équation précédente, on n’a pas continué à écrire les termes correspondant
aux autres contraintes d’égalité car elles n’illustrent pas le point en discussion. Pour
trouver les optimums locaux, il faut trouver les racines de la dérivée de la fonction par
rapport à chacune des variables. En nous intéressant aux variables de relaxation, nous
obtenons des équations qui établissent que le produit entre la variable de relaxation et le
multiplicateur de Lagrange associé à une même contrainte est égal à zéro. Par exemple,
nous avons pour la contrainte de courant du stator :
2u1h1 = 0
(2.110)
Donc, si la variable de relaxation est diﬀérente de zéro, nécessairement le multiplicateur de Lagrange respectif est zéro et vice versa. Dans le cas où le multiplicateur de
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
101
Lagrange est nul, le point de fonctionnement et la valeur du couple maximal ne sont
pas aﬀectés par la valeur de la contrainte associée.
2.3.1.5
Recherche de l’optimum global du problème original
Nous pouvons aﬃrmer que la solution du problème d’optimisation original est nécessairement un optimum local d’au moins l’un des sous problèmes d’optimisation modiﬁés.
Les sous problèmes d’optimisations modiﬁés sont obtenus en transformant certaines des
contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité. Ce qui est équivalant à imposer quelles
sont les variables de relaxation diﬀérentes de zéro et quelles ne le sont pas. Par exemple,
le problème d’optimisation numéro 1, consiste à supposer que :
u2 = 0
(2.111)
u1 = 0
(2.112)
u3 = 0
(2.113)
u4 = 0
(2.114)
L’optimum global du problème possède une combinaison particulière de valeurs des
variables de relaxation. En particulier, en nous intéressant aux variables de relaxation
qui sont égales à zéro, nous pouvons constater que l’optimum global remplit les conditions d’optimum local du sous problème d’optimisation modiﬁé qui assume lui-même
des conditions d’égalité sur les contraintes respectives.
Les huit sous problèmes d’optimisations modiﬁées considèrent toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables de relaxation. Aussi, pour chaque sous problème
d’optimisation modiﬁé, la méthode de solution trouve tous les optimums locaux. En
conséquence, si nous considérons seulement les optimums locaux de chaque sous problème d’optimisation modiﬁé qui respectent toutes les contraintes du problème original,
nous trouverons nécessairement l’optimum global recherché.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.3.1.6
102
Méthode pour trouver l’optimum global du couple
La méthode consiste à :
• Chercher tous les optimums locaux pour chaque sous problème d’optimisation
modiﬁé.
• Pour chaque optimum local trouvé, vériﬁer s’il remplit les contraintes du problème
original. Retenir seulement ces solutions.
• Parmi les solutions retenues, conserver seulement celle qui donne le couple le plus
élevé.
2.3.2
Calcul de performances pour un point de fonctionnement
quelconque
Lorsqu’on veut déterminer le fonctionnement du système dans un point de fonctionnement qui se trouve à l’intérieur de la zone délimitée par les courbes de couple maximal
et de couple minimal, il est nécessaire de résoudre un autre problème d’optimisation :
Minimiser les pertes du système tout en produisant un couple de référence et tout
en respectant les équations de la machine et les limites de fonctionnement du système.
L’énoncé du problème pour la minimisation des pertes se traduit dans le problème
d’optimisation suivant :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
nphases
rs (i2d + i2q ) + rr i2r
id iq ir
2
min
vd = rs id − pΩLq iq
vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id )
pnphases
[iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ]
t=
2
i2d + i2q ≤ i2max
2
vd2 + vq2 ≤ vmax
103
(2.115)
(2.116)
(2.117)
(2.118)
(2.119)
(2.120)
irmin ≤ ir ≤ irmax
(2.121)
(2.122)
t = tref
Si le couple de référence est négatif, nous pouvons utiliser un couple de référence
positif. En eﬀet, il suﬃt d’inverser les signes de la vitesse et du couple en proﬁtant que
le système peut fonctionner dans des quadrants opposés. Ce changement n’aﬀecte pas
la valeur de la tension, ni celle de courant du stator, ni celle de courant du rotor. Nous
pouvons arranger les équations en utilisant de nouvelles variables et supposer que le
couple de référence est toujours plus grand ou égal à zéro :
ˆ = −tref > 0
tref
2.3.2.1
(2.123)
iˆq = −iq
(2.124)
Ω̂ = −Ω
(2.125)
Méthode de résolution et liste des sous problèmes modiﬁés qu’il
faut résoudre
La méthode de solution de ce problème consiste aussi à résoudre une série de sous
problèmes d’optimisation modiﬁés de la même manière qu’il a été montré dans la section précédente. Ces sous problèmes transforment quelques contraintes d’inégalité en
contraintes d’égalité. Les combinaisons sont diﬀérentes dans le cas de maximisation du
couple. Nous présentons un tableau pour énumérer toutes les combinaisons possibles :
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Numéro
problème
modiﬁé
du Contrainte
tension
de Contrainte
du courant
stator
stator
1
104
de Contrainte
Contrainte
Dégrée du
du de
courant de
courant polynôme
minimale
rotor
du maximale
rotor
Non
2
Oui
3
Non
4
Oui
5
Non
6
Oui
7
Non
Non
10
Non
12
Non
4
Non
4
Non
4
Non
4
Oui
4
Oui
4
Oui
4
Non
Oui
Non
Oui
Non
Oui
12
Oui
Oui
8
9
4
Non
Oui
du trouvé
Non
Tableau 2.2 – Liste des sous problèmes d’optimisation modiﬁés pour déterminer
la performance du système
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
105
À chaque sous problème d’optimisation modiﬁé correspond un polynôme caractéristique qui nous permet de trouver tous les optimums locaux de chaque sous problème
d’optimisation modiﬁé. Pour trouver ce polynôme, on utilise la même méthode que l’on
a illustrée précédemment.
2.3.2.2
Méthode pour trouver l’optimum global des pertes de la machine
La méthode que nous suivons est exactement la même que pour le cas de maximisation du couple :
• Chercher tous les optimums locaux de chaque sous problème d’optimisation modiﬁé.
• Pour chaque optimum local trouvé, vériﬁer s’il remplit les contraintes du problème
original. Retenir seulement ces solutions.
• Parmi les solutions retenues, conserver seulement celle qui produit les pertes Joule
les plus faibles.
2.4
Cas spéciaux avec des paramètres nuls
Dans les deux sections précédentes, nous avons montré la méthode pour obtenir
l’optimum global de deux problèmes d’optimisation : le couple maximal du système et
la performance du système. La méthode nécessite d’obtenir tous les optimums locaux
des diﬀérents sous problèmes d’optimisation modiﬁés. Ceci peut être réalisé en trouvant
les racines d’un polynôme qui caractérise chaque sous problème d’optimisation modiﬁé.
Malgré la simplicité apparente, nous avons trouvé certaines diﬃcultés lors de l’implémentation numérique. En eﬀet, le polynôme qui caractérise chaque sous problème
d’optimisation modiﬁé peut changer de structure si les paramètres de la machine ou
les conditions de fonctionnement changent. Les exemples suivants montrent quelques
particularités trouvées.
• Si la résistance du rotor est égale à zéro, le polynôme change.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
106
◦ Les coeﬃcients impairs du polynôme peuvent devenir nuls
◦ Le polynôme peut avoir un degré inférieur à 4
• Si la résistance du stator est égale à zéro, le polynôme change
◦ Dans le cas où la machine possède un rotor lisse
◦ Les coeﬃcients impairs du polynôme peuvent devenir nuls
◦ Le polynôme peut avoir un degré inférieur à 4
• Si la vitesse mécanique est égale à zéro
◦ Le problème numéro 1 ne possède pas de solution
◦ Les polynômes changent
• S’il n’y a pas d’aimant dans le rotor
◦ Les coeﬃcients impairs du polynôme sont nuls
Lorsque le polynôme change de structure, par exemple de degré, il est nécessaire
de programmer un algorithme diﬀérent pour résoudre le sous problème d’optimisation
modiﬁé. Dans le cas contraire il peut apparaı̂tre des problèmes d’imprécision numérique.
Aussi, par exemple, dans le cas de machines à pôles saillants, il est normal de trouver
dans le dénominateur des formules la diﬀérence entre les inductances d’axe direct et
quadratique. Il n’est pas possible d’utiliser une telle formule pour une machine à pôles
lisses, compte tenu de l’impossibilité de diviser par zéro.
En conséquence, chaque sous problème d’optimisation modiﬁé possède diﬀérentes
versions. D’abord, il y a une version diﬀérente pour chaque combinaison spéciale liée
aux paramètres de la machine. Le Tableau 2.3 montre que, pour chaque problème d’optimisation, il y a en principe 16 versions diﬀérentes.
Aussi, pour chaque cas spécial, on doit tenir compte de six conditions de fonctionnement diﬀérentes (Tableau 2.4).
Parfois, il est possible de réduire la quantité de cas spéciaux en observant que certains
problèmes n’ont pas de solution. Aussi, parfois, il n’est pas nécessaire de programmer des
cas spéciaux pour certains problèmes lorsque la vitesse mécanique est nulle. Finalement,
si l’on maximise le couple, on n’a pas besoin de la valeur de la résistance du rotor, ni
de la valeur du couple de référence, ce qui évite d’avoir 32 cas spéciaux à traiter.
Cependant, la quantité de cas spéciaux reste toujours élevée. Il faut tenir compte
que cette multiplication de cas spéciaux est la même pour chaque sous problème d’opti-
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Cas
spé-
rs = 0
rrot = 0
107
λ=0
Ld = Lq = L
cial
1.1
Non
1.2
Oui
1.3
Non
Non
Oui
1.4
Non
1.5
Oui
1.6
Oui
1.7
Non
Non
Oui
Non
Non
Non
Oui
Non
Oui
Non
1.8
Oui
Non
1.9
Non
Oui
1.10
Oui
1.11
Non
Non
Oui
1.12
Non
1.13
Oui
1.14
Oui
1.15
Non
Oui
Non
Oui
Oui
Non
Oui
Non
Oui
Oui
1.16
Oui
Tableau 2.3 – Liste de cas spéciaux des paramètres du système
Fonctionnement spécial
Ω=0
I
Oui
II
Non
III
Oui
V
Non
Ω<0
Tref = 0
Non
Oui
Non
IV
VI
Ω>0
Non
Oui
Non
Oui
Non
Non
Non
Oui
Oui
Oui
Tableau 2.4 – Liste de cas spéciaux des conditions de fonctionnement du système
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
108
misation modiﬁé. Nous pouvons programmer chaque cas diﬀérent. Cependant, le travail
a besoin d’organisation.
2.5
Vériﬁcation de la précision numérique
Lors de la programmation des algorithmes, il est toujours possible de commettre
des erreurs de frappe et des erreurs logiques. Compte tenu de la quantité importante
de sous problèmes d’optimisation modiﬁés, et compte tenu qu’il faut programmer pour
chacun un algorithme de solution, il est fort probable de commettre des erreurs de
programmation pendant le développement du logiciel.
En conséquence, nous avons développé une méthode pour éliminer le plus possible
les erreurs de frappe et les erreurs logiques. La méthode possède deux parties :
• Une partie qui s’applique lors de la programmation pour éviter les erreurs de
frappe.
• Une partie qui s’applique pour vériﬁer la correction des résultats numériques et
la logique.
2.5.1
Méthode pour vériﬁer l’exactitude des formules
Chaque problème d’optimisation compte trois parties principales :
• La première calcule les coeﬃcients du polynôme caractéristique.
• La deuxième calcule les racines du polynôme.
• La troisième calcule, à partir de chaque racine du polynôme, tous les courants et
toutes les tensions du système pour trouver l’optimum à retenir.
La première et la troisième partie nécessitent l’utilisation de formules pour réaliser
les calculs. Nous appliquons la procédure suivante pour programmer ces formules :
• Les équations de la machine sont écrites dans le logiciel Mathematica.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
109
• Les équations sont manipulées en utilisant diﬀérentes commandes dans le logiciel
de sorte à obtenir les formules souhaitées.
• Les formules obtenues sont transformées en langage C par des commandes dans
le logiciel Mathematica.
• Le code obtenu est copié directement, sans manipulation, sur l’algorithme de
solution.
L’avantage de cette méthode est que :
• La correction et l’exactitude des équations de la machine sont faciles à vériﬁer.
• Les manipulations des équations dans le logiciel évitent les erreurs algébriques,
tant que le logiciel utilisé n’a pas lui-même des erreurs. En ce sens, le logiciel
Mathematica possède une très bonne réputation.
• Comme le code en langage C est généré directement dans l’ordinateur, nous évitons toute erreur de frappe des formules.
Aux trois avantages énoncés, il s’ajoute un autre avantage moins évident. Dans certains cas, la complexité des formules empêche absolument la possibilité de les développer
autrement. En eﬀet, le code ﬁnal compte des formules qui dépassent cent mille lignes. Il
n’est pas possible de penser qu’il serait possible de programmer ces formules autrement.
Donc, la méthode non seulement évite des erreurs, mais elle permet aussi d’explorer des
problèmes qui ne peuvent pas être résolus autrement.
2.5.2
Méthode pour vériﬁer l’exactitude des résultats
Même si les formules peuvent être correctes, les résultats numériques obtenus à partir
de celles-ci ne le sont peut-être pas. Ceci est causé par la précision limitée des nombres
en point ﬂottant. En eﬀet, il est possible que des expressions qui sont algébriquement
égales donnent des résultats numériques diﬀérents. La cause est que l’algèbre de points
ﬂottants n’est pas commutative ni distributive, donc l’ordre des opérations aﬀecte le
résultat numérique ﬁnal. En conséquence, nous avons développé une méthode pour
nous assurer que les résultats numériques obtenus sont corrects dans la plupart des cas.
La méthode consiste à programmer une fonction étalon dans le langage du logiciel
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
110
Mathematica pour chaque sous problème d’optimisation modiﬁé. La sortie de cette
fonction est ensuite comparée à la sortie de la fonction programmée en C pour vériﬁer
que les deux soient bien égales.
2.5.2.1
Programmation d’une fonction étalon équivalente
La fonction étalon est programmée dans le langage du logiciel Mathematica. Les
fonctions possèdent une structure simple. Ceci permet toujours de suivre la même procédure pour la programmer, sans égard au sous problème d’optimisation modiﬁé que
l’on traite. La procédure pour programmer la fonction équivalente est la suivante :
• Les équations électriques de la machine sont écrites dans le logiciel Mathematica.
• En utilisant des manipulations algébriques sur l’ordinateur, on obtient le système
d’équations avec multiplicateurs de Lagrange qui donne les optimums locaux du
problème d’optimisation.
• On programme sur Mathematica une fonction. Celle-ci reçoit les paramètres électriques et les limites du système. Elle résout le système d’équations avec 200
chiﬀres de précision.
• On sélectionne l’optimum local qui maximise le couple ou qui minimise les pertes
et qui à la fois respecte toutes les contraintes du système.
Notons qu’il suﬃt de bien vériﬁer que les équations électriques de la machine sont
correctes pour s’assurer que le système d’équations soit correct. Compte tenu que le
langage de programmation est de très haut niveau, la fonction résultante possède une
structure très simple, ce qui facilite la vériﬁcation de la fonction. Aussi, la fonction
résultante possède une logique complètement diﬀérente de celle du langage C. Ceci
évite de générer la même erreur dans la fonction étalon et dans la fonction en langage
C. Le système d’équations est toujours résolu avec 200 chiﬀres de précision. Aussi,
les algorithmes de résolution des systèmes d’équations sont conçus pour atteindre et
maintenir la précision requise. Ces arguments nous poussent à utiliser cette fonction
comme étalon de la fonction en langage C.
Cependant, autant d’avantages ont un prix à payer. La vitesse de résolution d’un
système d’équations est très lente par rapport à la version en langage C. Donc, ces fonctions programmées sur Mathematica peuvent servir à vériﬁer les fonctions en langage
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
111
C, mais ne peuvent pas les remplacer.
2.5.2.2
Méthode de comparaison de la fonction étalon et celle en langage
C
Une fois que nous avons une fonction équivalente en Mathematica, nous devons
comparer sa sortie à la fonction respective en langage C. Il n’est pas possible de réaliser
une quantité inﬁnie d’essais, donc nous avons choisi la méthode suivante :
• Générer des valeurs aléatoires de paramètres du système (inductances, résistances,
contraintes de courant et de tension) et des conditions de fonctionnement (couple
de référence et vitesse)
• Obtenir le résultat de la fonction en langage C
• Obtenir le résultat de la fonction en langage Mathematica
• Comparer les deux résultats
• Répéter l’essai 1000 fois en conservant les paramètres d’entrée qui génèrent la plus
grande diﬀérence
Nous avons réalisé ce même essai avec tous les cas spéciaux et avec toutes les conditions de fonctionnement. Ceci signiﬁe que toutes les fonctions sont essayées au moins
six mille fois. Lorsque la diﬀérence entre les deux fonctions n’est pas acceptable, nous
procédons à la révision du code en langage C et en langage Mathematica. Dans les deux
cas, nous avons cherché des erreurs de programmation ou des problèmes de précision
numérique. Une fois corrigés, nous avons répété l’essai jusqu’à l’obtention de résultats
acceptables. Parfois, pour atteindre la précision requise, on a dû reprogrammer au complet certaines fonctions.
Évidemment, la procédure nous assure seulement que les deux fonctions en Mathematica et en C sont équivalentes. La méthode a le désavantage qu’il faut absolument
que la fonction en Mathematica soit correcte.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.5.2.3
112
Résultats de la comparaison
Une fois que toutes les erreurs de programmation sont corrigées, nous pouvons fournir un graphique qui représente l’erreur entre les deux fonctions. Le sous problème
d’optimisation modiﬁé consistant à minimiser les pertes en produisant le couple désiré
et en respectant exactement la tension d’alimentation s’est montré spécialement diﬃcile
à résoudre avec une bonne précision.
La version déﬁnitive pour une machine à pôles saillants et à aimants permanents
donne une distribution d’erreur toujours inférieure à 10-6 par rapport aux solutions
trouvées avec 200 chiﬀres de précision (Fig. 2.20). Nous considérons que ce résultat est
suﬃsamment précis pour le travail que nous voulons réaliser.
Probabilité
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
Erreur
Figure 2.20 – Distribution de l’erreur numérique d’une fonction pour résoudre un
problème d’optimisation modiﬁé.
2.6
Normalisation des équations de la machine
Pour améliorer la précision des résultats, il est intéressant de normaliser les paramètres électriques de la machine. Le but de la normalisation dans notre cas est d’éviter
qu’à l’intérieur des paramètres du système apparaissent à la fois de trop grandes et de
trop petites quantités. En eﬀet, une telle combinaison n’est pas avantageuse pour atteindre une bonne précision numérique. Les paramètres qui sont grands dans le système
sont en général : la tension maximale, le courant maximal et la vitesse. Les quantités
petites sont la résistance et les inductances de la machine.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
113
Comme le système fonctionne à vitesse variable, il est nécessaire de choisir une
fréquence nominale en plus d’une tension et d’un courant nominal. Ensuite, les équations
de normalisation utilisées dans les systèmes de puissance s’appliquent.
Les valeurs de courant et de tension qui semblent convenir pour normaliser les paramètres de la machine sont : le courant maximal du système et la tension maximale
du système. Pour la fréquence, il y a deux options :
• Utiliser une vitesse nominale déduite à partir du cahier des charges.
• Utiliser comme vitesse nominale la vitesse la plus élevée permettant de fournir le
couple maximal [20].
Par exemple, la ﬁgure 2.21 montre un cahier des charges à puissance constante
(bleue) et la caractéristique de couple-vitesse maximal d’une machine qui remplit le
cahier des charges (rouge). La première déﬁnition utilise la vitesse nominale du cahier
des charges pour normaliser les équations. La deuxième utilise la vitesse où le couple
maximal de la machine commence à diminuer.
Couple pu
2.5
Vitesse nominale
à plus grand couple
0.671
2
1.5
Vitesse nominale
cahier des charges
1
1
0.5
1
2
3
pu
4
5
Figure 2.21 – Deux déﬁnitions de vitesse nominale
La première option est avantageuse si le cahier des charges permet de déﬁnir une
vitesse nominale facilement. Cependant, lors d’un processus d’optimisation, les valeurs
normalisées ne seront pas nécessairement les plus avantageuses pour l’obtention d’une
bonne précision numérique.
L’avantage de la deuxième option consiste en ce qu’elle donne toujours des valeurs
normalisées avantageuses pour l’obtention d’une bonne précision numérique. Cependant,
pour utiliser cette méthode on a d’abord besoin de résoudre une équation avec des
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
114
valeurs non normalisées. En conséquence, il y a toujours la possibilité d’imprécisions.
Dans l’exemple de la ﬁgure précédente, les vitesses nominales obtenues avec les
deux méthodes ne sont pas trop diﬀérentes car le système remplit le cahier des charges.
Cependant, ceci n’est pas toujours le cas. Les deux vitesses nominales peuvent avoir
une diﬀérence importante qui peut aﬀecter la qualité des résultats numériques obtenus.
Sans égard à l’option choisie pour déterminer une fréquence nominale, les équations
pour déterminer les diﬀérentes valeurs de base sont les suivantes :
vmax
imax
Zbase
=
pΩbase
vbase
=
pΩbase
nphases vmax imax
=
2
Ωbase
Zbase =
(2.126)
Lbase
(2.127)
λbase
Tbase
(2.128)
(2.129)
Où les variables sont déﬁnies comme :
Zbase impédance base de l’entraı̂nement.
Lbase inductance base de l’entraı̂nement.
λbase ﬂux base de l’entraı̂nement.
Tbase couple base de l’entraı̂nement.
Dans le cas d’une machine à rotor bobiné, on peut choisir un deuxième courant de
base. Dans ce cas, nous choisissons le courant d’alimentation maximal du rotor.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
λbase
irbase
vmax 2
=
i
imax rbase
115
Gbase =
(2.130)
Zrbase
(2.131)
irbase = irmax
(2.132)
Où :
Gbase couplage rotor - stator base de l’entraı̂nement.
Zrbase impédance base du rotor bobiné.
irbase courant base du rotor bobiné.
En utilisant ces valeurs de base, nous pouvons écrire les équations de la machine en
utilisant des valeurs normalisées indiquées avec un accent circonﬂexe :
vˆd = rˆs iˆd − Ω̂L̂q iˆq
(2.133)
vˆq = rˆs iˆq + Ω̂(λ̂ + Ĝiˆr Lˆd iˆd )
# $
t = iˆq λ̂ + Ĝiˆr + Lˆd iˆd − iˆd L̂q iˆq
(2.134)
(2.135)
Le nombre de phases et le nombre de pôles ne sont plus présents dans les équations de
la machine. Les contraintes du système avec des variables normalisées sont les suivantes :
vˆd2 + vˆq2 ≤ 1
iˆ2d + iˆ2q ≤ 1
ˆ ≤ iˆr ≤ irmax
ˆ =1
irmin
(2.136)
(2.137)
(2.138)
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.7
116
Commande des diﬀérents types de machines
Une application de l’outil développé est l’obtention de la loi de commande qui permet de minimiser les pertes Joule de la machine. Dans cette section nous montrons
l’utilisation de l’outil avec diﬀérents types de machines pour illustrer les informations
que nous pouvons obtenir.
D’abord, nous allons montrer les résultats des machines à aimants permanents et
à reluctance. Ensuite, nous allons montrer les résultats pour les machines avec rotor
bobiné et hybride.
2.7.1
Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature inférieure au ﬂux des aimants
Nous avons trois types de machines à aimants permanents :
• Machines à pôles lisses (Ld = Lq )
• Machines à pôles saillants (Ld > Lq )
• Machines à pôles saillants (Ld < Lq )
Les paramètres électriques utilisés pour les exemples sont indiqués dans le tableau
suivant. Toutes ces machines possèdent une réaction d’armature inférieure au ﬂux des
aimants Ld imax < λ.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Machine
Pôles lisses (I)
117
Pôles saillants (II) Pôles saillants (III)
rs [pu]
0.05
Ld [pu]
1
Lq [pu]
1
λ [pu]
0.2
2
1.3
p
1
Ωnom [pu]
1
vmax [pu]
1
[pu]imax
1
Tableau 2.5 – Paramètres des machines avec réaction d’armature plus petite que
le ﬂux à vide
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
118
Dans le cas de la machine (I), les courbes à couple constant sont des lignes droites
dans le plan des courants id , iq (couleur grise ﬁg. 2.22.a). On peut observer que, lorsque
la machine produit le couple maximal à basse vitesse, la courbe à couple constant est
tangente au cercle de courant maximal (rouge) (points a-c dans la ﬁgure 2.22.a). Ces
points correspondent à la production du couple maximal de la machine (trace a-c dans
la ﬁgure 2.22.b). À mesure que la vitesse augmente, la tension augmente (trace a-c
ﬁg. 2.22.c), jusqu’à atteindre la valeur maximale imposée par la contrainte de tension
du système (point c ﬁg. 2.22.c). Le courant reste constant à sa valeur maximale (points
a-c ﬁg. 2.22.d).
En augmentant la vitesse, le point de fonctionnement est déterminé par l’intersection
entre la contrainte de tension (bleu) et la contrainte de courant (trace c-e ﬁg. 2.22.a).
Le couple diminue en fonction de la vitesse à cause de la réduction de la taille de la
contrainte de tension dans l’espace des courants (point d ﬁg. 2.22.b). La tension et le
courant restent tous les deux à leur valeur maximale (trace c-e dans la ﬁgure 2.22.c et
ﬁg. 2.22.d).
Au dessous d’une certaine vitesse, il n’y a pas d’intersection entre la contrainte
de tension et la contrainte de courant (trace e-f dans la ﬁgure 2.22.a). Le couple est
légèrement négatif (point f dans la ﬁgure 2.22.b). La tension reste à sa valeur maximale
(trace e-f dans la ﬁgure 2.22.c) et le courant dépasse sa contrainte (trace e-f dans la
ﬁgure 2.22.d). La loi de commande minimise l’intensité de courant en utilisant la tension
maximale disponible. Nous observons que le point de fonctionnement correspond à celui
le plus proche de l’origine dans le plan des courants (point f dans la ﬁgure 2.22.a).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
Couple pu
2
d
f e
0.5
0
b
2.5
abc
1
iq pu
119
0.5
abc
1.5
1
d
0.5
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
4
6
pu
Tension pu
d
f
e
0.8
0.6
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
10
d
Courant pu
c
8
2
c
1
f
e
0
1
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f
abc
d
0
2
e
4
6
pu
8
10
Figure 2.22 – Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (I)
et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant - vitesse
résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
120
L’outil développé peut aussi fournir la loi de commande pour obtenir 50% du couple
maximal (Fig. 2.23). À basse vitesse (points a-c), nous constatons que le courant et le
couple restent constants (Fig. 2.23.a .b .d) tandis que la tension augmente (trace a-c
ﬁg. 2.23.c).
Lorsque la vitesse augmente encore, le point de fonctionnement change. Pour maintenir le couple, il est nécessaire que le courant d’axe direct soit négatif tout en gardant
la valeur du courant d’axe quadratique constant (trace c-e ﬁg. 2.23.a). Le fonctionnement est déterminé par l’intersection de la ligne à couple constant (gris) et la contrainte
de tension du système (bleu) (point d ﬁg. 2.23.a). Le couple reste constant (trace c-e
ﬁg. 2.23.b) et la tension reste à sa valeur maximale (trace c-e ﬁg. 2.23.c). L’intensité
du courant augmente parce que le courant d’axe direct n’est plus égal à zéro (trace c-e
ﬁg. 2.23.d).
À une plus grande vitesse, la contrainte de tension empêche la production du couple
souhaité (trace e-g ﬁg. 2.23.b). En eﬀet, il n’est plus possible de maintenir la même
intensité de courant d’axe quadratique comme dans les points précédents. Le point de
fonctionnement est déterminé par l’intersection entre la contrainte de courant et de
tension (point f ﬁg. 2.23.a). La tension et le courant atteignent la valeur maximale
(trace e-g ﬁg. 2.23.c et .d).
Finalement, lorsque la vitesse augmente au dessous d’une certaine limite, le système de contrôle ne peut plus respecter la contrainte de courant du système (trace g-h
ﬁg. 2.23.d). Ce point est exactement le même que celui du cas précédent (Fig. 2.22).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
b
2.5
1
2
abc
Couple pu
e d
0.5
iq pu
121
f
hg
0
0.5
1.5
1
abcde
f
0.5
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
Courant pu
Tension pu
h
0.8
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
8
10
d
cde f g
0.6
4
6
pu
2
c
1
h
g
0
1
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
h
e f g
d
abc
0
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.23 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (I) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
122
Les courbes à couple constant d’une machine à pôles saillants (II), dont l’inductance
d’axe direct est plus grande que l’inductance d’axe quadratique, sont des hyperboles
(Fig. 2.24.a). Pour maximiser le couple, la courbe à couple constant est tangente à la
contrainte de courant (points a-c ﬁg. 2.24.a). Comme cette courbe est une hyperbole,
le courant d’axe direct est plus grand que zéro. La valeur du courant de phase est égale
à la valeur imposée par sa contrainte (trace a-c ﬁg. 2.24.d). C’est diﬀérent du cas de
la machine à pôles lisses, où le courant d’axe direct est toujours zéro dans les mêmes
conditions de fonctionnement. La tension augmente avec la vitesse (trace a-c ﬁg. 2.24.c)
jusqu’à atteindre sa valeur maximale (point c ﬁg. 2.24.c).
L’augmentation de la vitesse impose que le courant d’axe direct devienne plus petit
que zéro (trace c-e ﬁg. 2.24.a) et que le couple diminue lui aussi (trace c-e ﬁg. 2.24.b). Le
point de fonctionnement est déterminé par l’intersection entre les contraintes de courant
et de tension du système (point d ﬁg. 2.24.a). L’intensité de courant et de tension reste
à sa valeur maximale (trace c-e ﬁg. 2.24.c et d).
Tel qu’auparavant, si la vitesse dépasse une certaine limite, il n’est plus possible de
respecter la contrainte de courant du système (trace e-f ﬁg. 2.24.a). Le couple devient
légèrement négatif (trace e-f ﬁg. 2.24.b), la tension reste à sa valeur maximale (trace e-f
ﬁg. 2.24.c), et la valeur du courant dépasse sa contrainte (trace e-f ﬁg. 2.24.d).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
2.5
abc
1
Couple pu
0.5
fe
0
b
abc
2
d
iq pu
123
0.5
1.5
1
d
0.5
1.5
0
2
4
6
pu
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
id pu
c
Tension pu
d
f
e
0.8
0.6
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
8
10
d
Courant pu
c
1
f
e
0
1
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f
abc
d
0
2
e
4
6
pu
8
10
Figure 2.24 – Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (II)
et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse
résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
124
En fournissant que 50% du couple maximal, nous observons que l’évolution des diﬀérents points est plus intéressante (Fig. 2.25). À basse vitesse, le courant d’axe direct est
positif, comme dans le cas précédent (points a-c ﬁg. 2.25.a). En augmentant la vitesse,
pour maintenir le couple constant, il est nécessaire que la valeur du courant d’axe direct
devienne négative et en même temps que la valeur du courant d’axe direct augmente
(trace c-e ﬁg. 2.25.a). Le point de fonctionnement est déterminé par la contrainte de
tension (bleu) et la courbe de couple constant (gris) (point d ﬁg. 2.25.a). La valeur de la
tension et du courant augmentent (trace e-g ﬁg. 2.25.c et d) jusqu’à atteindre sa valeur
maximale. Le couple demeure constant (points a-e ﬁg. 2.25.b).
Si la vitesse augmente encore, le couple diminue (trace e-g ﬁg. 2.25.b). La contrainte
de tension ne permet plus de produire le même couple qu’à basse vitesse. Le point
de fonctionnement est déterminé par la contrainte de courant et de tension (point f
ﬁg. 2.25.a).
Finalement si la vitesse augmente, le système n’est plus capable de respecter la
contrainte de courant (trace g-h ﬁg. 2.25.d).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
b
2.5
f
0.5
d
2
abc
Couple pu
e
1
iq pu
125
hg
0
0.5
1.5
abcde
1
f
0.5
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
4
6
pu
Tension pu
f
h
g
0.8
0.6
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
10
d
Courant pu
cde
8
2
c
1
h
g
0
1
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
h
e
f
g
d
abc
0
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.25 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (II) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
126
Si l’inductance d’axe direct est plus petite que l’inductance d’axe quadratique (machine III), nous pouvons constater que les graphiques sont similaires à ceux montrés
dans le cas précédent. Les diﬀérences plus remarquables sont l’orientation inversée des
hyperboles de couple constant et l’orientation des ellipses à tension constante qui sont
tournées à 90 degrés (Fig. 2.26). Ceci à pour conséquence qu’à basse vitesse le signe du
courant direct est négatif (points a - c ﬁg. 2.26.a). C’est le contraire pour l’autre machine
(II), dont le courant d’axe direct est positif à basse vitesse (points a-c ﬁg. 2.24.a). On
constate aussi une évolution similaire aussi lorsque la machine produit 50% du couple
maximal (Fig. 2.27). Cependant, dans la plage de vitesse où le système maintient la
valeur du couple à 50% et qu’il utilise toute la tension disponible, la valeur du courant
d’axe direct ne devient plus négative et la valeur du courant d’axe quadratique diminue
(trace c-e ﬁg. 2.27.a). Dans le cas de la machine (II), nous avons observé que le courant
d’axe quadratique augmente (trace c-e ﬁg. 2.25.a).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
0.5
Couple pu
abc
1
iq pu
127
f ed
0
0.5
1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1.5
b
abc
d
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
4
6
pu
Tension pu
d
f
e
0.8
0.6
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
10
d
Courant pu
c
8
2
c
1
f
e
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f
abc
d
0
2
e
4
6
pu
8
10
Figure 2.26 – Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine
(III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
1
0
Couple pu
abc
e d
h gf
0.5
iq pu
128
0.5
1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1.5
b
abcde
f
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
4
6
pu
Tension pu
f
h
g
0.8
0.6
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
10
d
Courant pu
cde
8
2
c
1
h
g
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
h
e
f
g
d
abc
0
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.27 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
129
Le contrôle des machines semble plus compliqué si la machine possède des pôles
saillants. Pour changer la valeur du couple produit à très basse vitesse, il est nécessaire de
changer l’amplitude et l’angle du courant. Une machine à pôles lisses nécessite seulement
de changer l’amplitude du courant, car l’angle reste constant à basse vitesse.
Nous remarquons certaines similitudes entre toutes les machines. Lorsque la machine fonctionne en produisant le couple maximal, la loi de commande semble parfois
incrémenter l’angle du courant de stator pour respecter la limite de tension sans égard
à la saillance de la machine, car l’amplitude du courant reste constante jusqu’à la perte
de contrôle. Cependant, l’outil peut montrer facilement que ce n’est pas toujours le cas.
2.7.2
Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature supérieure au ﬂux des aimants
Nous avons, comme dans la section précédente, trois types de machines à aimants
permanents :
• Machines à pôles lisses (Ld = Lq )
• Machines à pôles saillants (Ld > Lq )
• Machines à pôles saillants (Ld < Lq )
Les paramètres électriques utilisés pour les exemples sont indiqués dans le Tableau 2.6. Toutes ces machines possèdent une réaction d’armature supérieure au ﬂux
des aimants (Ld imax > λ).
Si l’on compare la ﬁgure 2.22 avec la ﬁgure 2.28, nous observons plusieurs diﬀérences. D’abord, la plage de vitesse avec production du couple positif est plus grande
(Fig. 2.28.b). En eﬀet, il y a toujours une intersection entre la contrainte de courant et
la contrainte de tension (Fig. 2.28.a). À partir du point e, l’intensité du courant diminue
avec la vitesse (trace e-f ﬁg. 2.28.d). La valeur du courant d’axe direct reste constante
et la valeur du courant d’axe quadratique diminue (trace e-f ﬁg. 2.28.a).
En comparant la ﬁgure 2.23 et la ﬁgure 2.29, nous observons que le couple reste
toujours positif (Fig. 2.29.b). Lorsque la machine produit 50% du couple maximal et
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
130
Machine
Pôles lisses (IV)
Pôles saillants (V)
rs [pu]
0.05
0.5
Ld [pu]
1
Lq [pu]
1
λ [pu]
0.02
0.5
p
1
Ωnom [pu]
1
vmax [pu]
1
[pu]imax
1
Tableau 2.6 – Paramètres des machines avec réaction d’armature plus grande que
le ﬂux à vide
que la contrainte de tension devient signiﬁcative (point d ﬁg. 2.29.a), le courant de stator
augmente (trace c-e ﬁg. 2.29.d), car le courant d’axe quadratique maintient sa valeur
et le courant d’axe direct devient négatif (trace c-e ﬁg. 2.29.a). En augmentant encore
la vitesse, le courant de la machine diminue (trace e-f ﬁg. 2.29.d), car le courant d’axe
quadratique diminue sa valeur tandis que le courant d’axe direct maintient sa valeur
(trace e-f ﬁg. 2.29.a). Donc, l’amplitude du courant en fonction de la vitesse possède un
maximum (point e ﬁg. 2.29.d) qui n’a pas été observé précédemment (Fig. 2.23).
Des observations similaires peuvent se réaliser sur d’autres types de machines. Il est
important de noter que si la réaction d’induit est plus grande que le ﬂux à vide de la
machine, l’intersection entre la contrainte de tension et la contrainte de courant n’est
jamais vide. Donc, il est possible de fonctionner en respectant toutes les contraintes du
système à n’importe quelle vitesse. La caractéristique couple - vitesse est toujours plus
grande que zéro (Fig. 2.28.b).
Nous pouvons obtenir les résultats montrés en utilisant d’autres méthodes, notamment le diagramme de cercle utilisé en [21]. Cependant, ces méthodes ne sont pas assez
générales et sont diﬃciles à utiliser lorsque la résistance de stator devient importante.
Avec l’outil développé, nous pouvons facilement obtenir ces résultats, même si la résistance de stator est importante (Fig. 2.30).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
0.5
b
2.5
d abc
2
Couple pu
e
1
iq pu
131
f
0
0.5
1.5
1
a b cde
0.5
f
0
1
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
Courant pu
Tension pu
f
0.8
b
0.4
0.2
a
0
2
4
6
pu
10
d
cde
0.6
8
2
c
1
4
6
pu
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
a b cde
f
0
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.28 – Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine (IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
b
2.5
1
2
Couple pu
e dabc
f
0.5
iq pu
132
0
0.5
1.5
1
0.5
a b cde
1
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
Courant pu
Tension pu
f
0.8
0.6
b
0.4
a
0
2
4
6
pu
8
10
d
cde
1
4
6
pu
2
c
0.2
f
0
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
e
a b cd
0
2
f
4
6
pu
8
10
Figure 2.29 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
a
2
1.5
Couple pu
0.5
2
d
abc
f
b
2.5
e
1
iq pu
133
0
0.5
1.5
1
a b cde
0.5
f
0
1
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
Courant pu
Tension pu
f
b
0.6
0.4
a
0.2
0
2
4
6
pu
10
d
cde
0.8
8
2
c
1
4
6
pu
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
e
a b cd
0
f
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.30 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (V) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.7.3
134
Machines à reluctance variable
L’outil permet aussi d’obtenir la loi de commande d’une machine à reluctance. Ce
type de machine se caractérise par un rotor à pôles saillants sans aimants permanents.
Comme il n’y a pas d’aimant, ces machines peuvent produire du couple positif dans
toute la plage de vitesse car la réaction d’armature est plus grande que le ﬂux à vide.
Le tableau suivant montre les paramètres de la machine.
Machine
Reluctance (VI)
rs [pu]
0.05
Ld [pu]
1
Lq [pu]
0.2
λ [pu]
0
p
1
Ωnom [pu]
1
vmax [pu]
1
imax
1
Tableau 2.7 – Paramètres de la machine à reluctance
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
135
Les courbes à couple constant sont des hyperboles comme dans le cas des machines
à pôles saillants (Fig. 2.31.a). On constate que lorsque la vitesse augmente la contrainte
de tension (bleu) se centre à l’origine (Fig. 2.31.a). Le couple est positif dans toute la
plage de vitesse (Fig. 2.31.b). La valeur du courant de stator augmente pour ensuite
diminuer (Fig. 2.31.d) tel que dans le cas de la machine (V) (Fig. 2.29.d).
a
2
1.5
efg
d
h abc
iq pu
0.5
2
Couple pu
1
b
2.5
0
0.5
1.5
1
0.5
a b c d ef g
1
1.5
0
1.5 1 0.5 0 0.5
id pu
1
1.5
2
4
6
pu
Courant pu
Tension pu
h
0.8
0.6
b
0.4
a
0
2
4
6
pu
10
d
c d efg
1
8
2
c
0.2
h
0
8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
efg
a b cd
h
0
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.31 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (VI) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant
-vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.7.4
136
Commande d’une machine à rotor bobiné
L’outil développé permet d’étudier les machines à rotor bobiné ou hybride. Une telle
machine permet de contrôler le ﬂux du rotor en utilisant le courant du bobinage du rotor.
Ceci peut permettre par exemple d’augmenter le ﬂux à basse vitesse pour obtenir plus
de couple et de le diminuer à haute vitesse pour fonctionner avec une grande plage de
vitesse.
Les résultats que nous pouvons obtenir sont similaires aux résultats que nous avons
présentés pour les machines à aimants permanents. Les paramètres choisis pour l’exemple
sont présentés dans le Tableau 2.8. Comme le courant de rotor peut être autant positif
que négatif, il est possible d’augmenter et de diminuer le ﬂux des aimants. Sans le courant de rotor, cette machine ne peut pas fonctionner avec une grande plage de vitesse
car :
λ > Ld imax
(2.139)
Cependant, le courant de rotor nous permet de diminuer suﬃsamment le ﬂux pour
permettre le fonctionnement avec une grande plage de vitesse car :
λ + Girotmin < Ld imax
(2.140)
Nous remarquons que le contrôle de ce type de machine pour minimiser les pertes
agit sur les trois courants de la machine (Fig. 2.32.a). Dans les machines à aimants
permanents sans bobinage au rotor, le courant d’axe direct est utilisé pour respecter la
contrainte de tension du système et pour permettre le fonctionnement à haute vitesse.
Il est concevable de penser que le courant du rotor aura éliminé le besoin de varier la
valeur du courant d’axe direct. Nous pouvons constater que ce n’est pas le cas.
Dans le fonctionnement nous trouvons des étapes similaires aux machines à aimants
permanents. Il y a une plage de vitesse dont la valeur des trois courants de la machine
reste constante tandis que la valeur de la tension augmente avec la vitesse (points a-c
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
Machine
Reluctance (VII)
rs [pu]
0.05
rrot [pu]
0.05
Ld [pu]
1
Lq [pu]
0.5
G [pu]
1
λ [pu]
1.3
p [pu]
1
Ωnom [pu]
1
vmax [pu]
1
imax
1
irotmax
1
irotmin
-1
137
Tableau 2.8 – Paramètres de la machine à rotor hybride et pôles saillants
ﬁg. 2.32.a et .c). La valeur du couple reste constante à sa valeur maximale (trace a-c
ﬁg. 2.32.b). Entre les points c et e, le couple diminue légèrement à cause de la contrainte
de tension du système (trace c-e ﬁg. 2.32.b). Le système agit en tenant la valeur du
courant du rotor constante et en avançant l’angle du courant de stator pour respecter
la contrainte de tension. Ensuite, le système agit autant sur la valeur du courant du
rotor que sur l’angle du courant de stator pour respecter la contrainte de tension du
système (trace e-f ﬁg. 2.32.a). Le couple diminue mais reste toujours plus grand que
zéro (trace e-f ﬁg. 2.32.b). La valeur du courant et de la tension reste constante à leur
valeur maximale respective dans presque toute la plage de fonctionnement (trace c-f
ﬁg. 2.32.c et d).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2
a
4
edabc
Couple pu
22
1.5
iq pu 1
0
1
1
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138
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0
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2
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10
1
2
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Courant pu
Tension pu
1
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0.2
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0
2
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6
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8
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
f
ab
cde
0
2
4
6
pu
8
10
Figure 2.32 – Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine (VII) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
2.8
139
Paramètres électriques optimaux pour un fonctionnement sur une large plage de vitesse
Dans cette section nous allons étudier quelques publications apparues dans la littérature. L’objectif est double. Nous voulons donner un autre exemple de l’utilisation de
l’outil développé et aussi comprendre comment ces auteurs sont arrivés à ces conclusions.
Nous nous intéressons à l’aﬃrmation qu’il existe des jeux de paramètres électriques
optimaux qui donnent la meilleure performance pour une caractéristique couple vitesse
à puissance constante. Dans [22], les auteurs aﬃrment que si la réaction d’armature
est égale au ﬂux dû aux aimants du rotor (2.141), la machine peut fonctionner, en
négligeant toutes les pertes, à n’importe quelle vitesse. En plus cette machine fournit
une puissance mécanique égale à la puissance électrique de l’onduleur à haute vitesse.
Cela pousse à nommer une telle machine comme étant optimale, malgré que les auteurs
apportent plusieurs nuances à ce sujet.
λ = imax Ld
(2.141)
Les références [21]- [23], en suivant les idées de [22], arrivent à une ligne de paramètres optimaux. La référence [24] montre des machines expérimentales suivant le
concept de jeux des paramètres optimaux. Dans [25], les auteurs renforcent aussi l’idée
d’un jeu de paramètres optimaux.
2.8.1
Simpliﬁcations et hypothèses
Pour arriver à ces conclusions, il y a des hypothèses simpliﬁcatrices :
• Les pertes de la machine et de l’onduleur sont négligées.
• La saturation, tel que mentionné au début du chapitre, est négligée.
• On étudie seulement des paramètres normalisés.
• La déﬁnition de vitesse nominale est celle présentée en [20].
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
140
Ces hypothèses permettent de paramétrer toutes les machines avec seulement deux
paramètres [21] : le ﬂux à vide et la saillance. Pour obtenir les paramètres manquants
les inductances de la machine, on suit la procédure suivante :
• L’inductance d’axe quadratique est obtenue en fonction de l’inductance d’axe
direct avec le paramètre de saillance.
• Les valeurs de la tension maximale et du courant maximal sont ﬁxées à l’unité.
• On cherche avec une procédure itérative la valeur de l’inductance d’axe direct qui
permet que la vitesse nominale de la machine soit exactement l’unité.
2.8.2
Analyse avec le plan ﬂux - saillance
L’outil développé donne les outils pour implémenter cette procédure. L’avantage
de pouvoir paramétrer toutes les machines avec deux variables est que nous pouvons
représenter dans un plan toutes les machines. Par exemple, la ﬁgure 2.33 montre la
caractéristique puissance - vitesse des diﬀérentes machines. Un graphique similaire est
apparu en [23], mais tenant compte seulement des cas où Lq ≥ Ld .
On constate que si le ﬂux est plus grand que 0.8 [pu], pour n’importe quelle saillance,
le fonctionnement à haute vitesse n’est pas possible. On constate aussi que, si le ﬂux est
plus petit que 0.6 [pu], la puissance de sortie n’atteint pas la valeur maximale théorique
dans le cas des machines à pôles lisses.
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
11
1
0.8
0.6
0.4
0.2
9
1
0.8
0.6
0.4
0.2
7
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
Saillance LqLd
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1
5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
7
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
9
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
11
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
0
1 2 3 4 5
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
0.4
0.6
Flux à vide pu
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
1
3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
141
1 2 3 4 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5
0.8
1 2 3 4 5
1.
Figure 2.33 – Courbes de puissance mécanique versus vitesse des diﬀérentes machines
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
142
Nous pouvons déﬁnir deux quantités pour caractériser les diﬀérentes courbes de
puissance mécanique versus la vitesse et pour pouvoir les comparer. La première est le
rapport entre la puissance mécanique maximale de sortie et la puissance de l’onduleur,
c’est-à-dire la capacité du système de transformer la puissance électrique disponible en
puissance mécanique. Nous l’appelons rapport d’utilisation de l’onduleur et sa valeur
idéale est un. La deuxième est la vitesse à laquelle la puissance mécanique de sortie
diminue au dessous de 90% de la puissance mécanique maximale, qui représente la
capacité de fournir de la puissance à haute vitesse. Nous appelons cette vitesse la plage
à puissance constante. Sa valeur idéale est la plus élevée possible.
Le rapport d’utilisation de l’onduleur divise en deux le plan ﬂux - saillance (Fig. 2.34).
La division est dessinée par une ligne rouge. Cette ligne correspond aux machines qui
ont un ﬂux de réaction d’induit égal au ﬂux des aimants. À gauche de cette ligne,
les machines possèdent un rapport d’utilisation de l’onduleur plus petit que l’unité. À
droite de cette ligne, les machines possèdent un rapport d’utilisation de l’onduleur égal
à un.
9
7
Saillance LqLd
1
5
3
1
1
3
1
5
1
7
1
9
0.7
0.5
0.3
0
0.9
0.2
0.4
0.6
Flux à vide pu
0.8
1
Figure 2.34 – Rapport d’utilisation de l’onduleur.
En s’intéressant à la plage à puissance constante, les machines qui ont un ﬂux de
réaction d’induit égal au ﬂux des aimants indiquent un maximum de la plage à vitesse
constante (Fig. 2.35). On peut constater que les designs qui s’éloignent de la ligne
rouge possèdent une plage de vitesse plus restreinte. En eﬀet, la référence [22] montre
que toutes les machines représentées par la ligne rouge possèdent une plage de vitesse
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
143
inﬁnie.
10
5
Saillance LqLd
7.5
14 14 5
5
2.5
2
1.2
2
1.2
5
0
2
2.5
5
5
14 14
7.5
0
0.2
0.4
0.6
Flux à vide pu
0.8
1
Figure 2.35 – Plage de vitesse à puissance constante.
Il est souhaitable qu’un entraı̂nement pour traction possède la plus grande plage
de vitesse à puissance constante. Il est aussi souhaitable d’obtenir le plus haut rapport
d’utilisation de l’onduleur. Seulement l’entraı̂nement comportant des machines avec
un ﬂux de réaction d’induit égal au ﬂux des aimants remplissent les deux conditions en
même temps. C’est cela qui pousse à nommer tels designs comme des designs optimaux.
2.8.3
Conclusion
On constate, avec l’outil que nous avons développé, que nous reproduisons les résultats des quelques publications. En suivant le même raisonnement suivi dans ces
publications, nous arrivons aussi aux mêmes conclusions, c’est-à-dire que les machines
comportant une réaction d’induit égal au ﬂux des aimants sont apparemment des machines très avantageuses pour les applications de transport.
Cependant, d’autres raisonnements sont possibles. En particulier, nous remarquons
qu’il n’y a pas de cahier des charges. Nous avons de la diﬃculté à trouver une caractéristique puissance - vitesse avec une grande plage de vitesse qui est inférieure à toutes
les caractéristiques montrées dans le plan ﬂux - saillance (Fig. 2.33).
Étude du fonctionnement des machines synchrones...
144
Dans le chapitre §4, nous montrons une comparaison similaire à celle faite dans ces
publications mais avec une méthode diﬀérente.
2.9
Conclusion
Nous avons développé une méthode par optimisation qui permet de calculer une
commande optimale, en régime permanent sinusoı̈dal, adaptée pour chaque point de
fonctionnement du système d’entraı̂nement. La résolution analytique des problèmes
d’optimisation nous a permis de développer des algorithmes rapides et ﬁables. La rapidité de l’outil développé est bien adaptée pour la conception et l’optimisation des
entraı̂nements à vitesse variable.
Nous avons utilisé cet outil pour obtenir la loi de commande de diﬀérents types de
machines. Nous constatons que la trajectoire de courant des machines à pôles saillants
est plus irrégulière que celle des machines à pôles lisses en raison de la forme des limitations de tension dans le plan des courants id iq . En eﬀet, dans le cas d’une machine
à pôles lisses, la limitation de tension prend la forme d’un cercle et dans le cas d’une
machine à pôles saillants, elle prend la forme d’une ellipse.
Nous avons utilisé cet outil pour vériﬁer des résultats dans la littérature, concernant
des valeurs particulières de paramètres électriques pour des applications sur une large
plage de vitesses. En reproduisant ces résultats, nous avons validé notre méthode de calcul. Nous trouvons que la machine à pôles saillants est plus intéressante pour minimiser
le ﬂux à vide.
Chapitre 3
Étude du fonctionnement d’un
générateur de voiture
3.1
Introduction
Dans une voiture, la batterie est rechargée en utilisant un alternateur entraı̂né par
un moteur à combustion. Cet alternateur est composé d’une machine synchrone avec
un rotor à griﬀes et un enroulement d’excitation centralisé. La sortie de la machine est
connectée à un redresseur non contrôlé qui permet de charger la batterie. Le réglage du
courant de charge est réalisé à l’aide du courant d’excitation.
Dans ce système, la sortie du redresseur est connectée directement à la batterie. Les
formes de courant ne sont pas sinusoı̈dales et il est diﬃcile d’appliquer des techniques
d’analyse bien connues pour des redresseurs associés à une source de courant continu.
Pour eﬀectuer la conception d’un alternateur d’automobile, il faut calculer les caractéristiques de régime permanent aﬁn de vériﬁer le cahier des charges. On peut utiliser
une méthode de simulation pas à pas dans le temps. Cependant, la constante de temps
électrique de la machine est élevée, ce qui implique des temps de simulation importants.
Une simulation avec recherche du régime permanent accéléré a l’avantage d’éliminer le
problème posé par les constantes de temps électriques et de conserver la ﬂexibilité d’un
outil de simulation [3]. Cependant, le temps de calcul peut encore constituer un obs-
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
146
tacle dans une procédure itérative de conception d’alternateur. D’autres méthodes de
modélisation ont été proposées, comme par exemple, une approximation des formes de
courant à des sinusoı̈des pour minimiser le temps de calcul [26]. Nous avons jugé que le
compromis entre la précision et la rapidité de calcul n’était pas satisfaisant.
Pour ces raisons, nous avons adopté une méthode de calcul qui repose sur la résolution analytique des équations diﬀérentielles du système avec une analyse séquence par
séquence. Cette méthode nous permet de trouver directement le régime permanent et
de calculer les valeurs caractéristiques des courants.
Dans ce chapitre, nous détaillons le modèle, les hypothèses simpliﬁcatrices utilisées
et la méthode de résolution. Nous montrons ensuite une validation expérimentale en
étudiant un alternateur existant.
3.2
Modélisation de l’alternateur de voiture
Un alternateur de voiture se compose de trois parties principales :
• Une machine synchrone à rotor bobiné.
• Un redresseur en pont Graetz.
• Une batterie d’accumulateurs.
La méthode de résolution analytique des équations diﬀérentielles nécessite des hypothèses simpliﬁcatrices pour chaque partie du modèle. Elles sont décrites dans les sections
suivantes.
3.2.1
Machine synchrone
La machine synchrone utilisée dans l’alternateur de voiture possède un stator avec
bobinage imbriqué et un rotor à griﬀes (Fig. 3.1). Ce rotor a l’avantage d’utiliser une
seule bobine dans le centre du rotor. Le circuit magnétique du rotor est divisé en deux
pièces massives, chacune avec six pôles. Le stator, fabriqué en tôle, possède 36 encoches.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
147
Le bobinage de stator est de type imbriqué à pas diamétral (Fig. 3.1). Compte tenu de
la géométrie du rotor, nous pouvons constater que la machine est une machine à pôles
saillants.
Figure 3.1 – Stator et rotor d’un alternateur DELCO
Le modèle de la machine utilisée que nous avons choisi comporte des simpliﬁcations
importantes par rapport à la machine réelle :
• La machine est supposée équilibrée et symétrique.
• La f.e.m. de la machine est sinusoı̈dale.
• La machine possède un rotor non saillant.
• La machine possède des paramètres électriques constants dans le temps.
• Les paramètres électriques de la machine varient seulement en fonction du courant
d’excitation. Ils ne varient pas en fonction de la charge de la machine.
• La machine possède des paramètres électriques linéaires.
• La machine est connectée en étoile avec le neutre ﬂottant.
Ces simpliﬁcations nous permettent d’aﬃrmer que la machine possède les équations
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
148
diﬀérentielles suivantes :
⎡ ⎤ ⎡
⎡ ⎤
⎤
⎡
⎤ ⎡ ⎤
ia
ia
van
L M M
sin (pΩt)
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎢
⎥ d ⎢ ⎥
⎣ vbn ⎦ = rs ⎣ ib ⎦ + ⎣M L M ⎦ ⎣ ib ⎦ + pΩλ ⎣sin pΩt − 2π
⎦
3
dt
4π
vcn
ic
ic
sin pΩt − 3
M M L
(3.1)
Où les variables sont :
van , vbn et vcn tensions instantanées phase neutre de l’alternateur.
ia , ib et ic courants instantanés phase neutre de l’alternateur.
p nombre de paires de pôles.
Ω vitesse mécanique.
λ ﬂux à vide.
t temps.
rs résistance d’une phase.
L inductance propre d’une phase de l’alternateur.
M inductance mutuelle ou couplage entre les phases de l’alternateur.
Nous pouvons transformer ces équations avec la transformation de Clarke. Cette
matrice de transformation T permet de changer les variables utilisées pour modéliser la
machine.
⎤
⎡
1
1
1
1⎢
⎥
T = ⎣2 −1 −1 ⎦
3
√ √
3
0 − 3
(3.2)
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
149
Les courants et les tensions transformés sont déﬁnis par les équations suivantes :
⎡ ⎤
⎡ ⎤
v0
va
⎢ ⎥
⎢ ⎥
v̂ = ⎣vα ⎦ = T ⎣ vb ⎦
vβ
vc
⎡ ⎤
⎡ ⎤
ia
i0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
î = ⎣iα ⎦ = T ⎣ ib ⎦
iβ
(3.3)
(3.4)
ic
Où les variables sont :
v0 , vα , vβ tensions instantanées de la machine en composantes de Clarke.
i0 , iα , iβ courants instantanés de l’alternateur en composantes de Clarke.
L’équation de la machine avec des variables transformées est la suivante :
⎡ ⎤ ⎡
⎡ ⎤
⎤ ⎡ ⎤
⎡
⎤
i0
i0
v0
L + 2M
0
0
0
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
⎥ d ⎢ ⎥
⎢
⎥
L−M
0 ⎦ ⎣iα ⎦ + pΩλ ⎣sin(pΩt)⎦
⎣vα ⎦ = rs ⎣iα ⎦ + ⎣ 0
dt
vβ
iβ
iβ
0
0
L−M
cos(pΩt)
(3.5)
L’utilisation de cette transformation est seulement due à la commodité de la manipulation des équations que nous allons faire. Nous avons aussi la possibilité d’utiliser
la transformation de Park. Cependant, si le système n’est pas en régime permanent
sinusoı̈dal, les avantages d’une formulation en variables de Park ne sont pas évidents.
Notons que, dans une connexion en étoile de la machine, la somme des trois courants
de la machine est zéro. Donc, compte tenu des hypothèses simpliﬁcatrices, nous obtenons
l’équation suivante :
i0 = 0
(3.6)
v0 = 0
(3.7)
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
150
Aussi, si la machine est connectée en triangle, la somme des trois tensions de la
machine est zéro. Donc, nous obtenons l’équation suivante :
rs i0 + (L + 2M)
v0 = 0
(3.8)
d
i0 = 0
dt
(3.9)
En régime permanent, si la résistance n’est pas égale à zéro, le courant devient zéro
sans égard aux conditions initiales. Donc, nous trouvons aussi que :
i0 = 0
(3.10)
v0 = 0
(3.11)
Compte tenu des hypothèses simpliﬁcatrices, les inductances et le ﬂux peuvent varier
en fonction du courant d’excitation du rotor seulement :
3.2.2
λ = λ(ir )
(3.12)
L = L(ir )
(3.13)
M = M(ir )
(3.14)
Redresseur et batterie
Le redresseur sera considéré dans ce travail comme un redresseur composé de diodes
idéales. C’est-à-dire que ses diodes se comportent comme un circuit ouvert lorsqu’elles
sont bloquées et comme un circuit fermé sans aucune résistance ou chute de tension lorsqu’elles sont en conduction. De plus, elles ne possèdent pas de capacité de recouvrement,
ni d’inductance dans leurs connexions. Il n’y a pas non plus de circuit d’amortissement
en parallèle avec les diodes.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
151
La batterie de la voiture est modélisée comme une source de tension idéale. Nous ne
considérons pas d’autres eﬀets, comme la variation de la résistance interne en fonction
du niveau de charge.
Ces simpliﬁcations peuvent paraı̂tre excessives pour une étude détaillée du fonctionnement du système. Mais elles sont justiﬁées pour la conception de l’alternateur de
voiture.
3.2.3
Connexion en triangle
Nous allons réaliser une analyse séquence par séquence de l’alternateur connecté en
étoile. Cependant, un alternateur de voiture est connecté en triangle pour faciliter le
bobinage. Avec les hypothèses simpliﬁcatrices, une connexion en triangle possède un
équivalent en étoile. Il suﬃt d’appliquer la transformation triangle - étoile. En eﬀet, si
nous connaissons les paramètres électriques de la machine connectée en triangle, nous
devons plutôt utiliser les paramètres suivants :
rΔ
3
LΔ
LY =
3
MΔ
MY =
3
λΔ
λY = √
3
rY =
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Où les variables sont :
rΔ résistance d’une phase connectée en triangle.
LΔ inductance d’une phase connectée en triangle.
MΔ inductance mutuelle ou le couplage mutuel entre des phases connectées en triangle.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
152
rY résistance équivalente en connexion étoile.
LY inductance équivalente en connexion étoile.
MY inductance mutuelle ou le couplage mutuel entre les phases équivalentes connectées en étoile.
iαY (t) +
3.3
√
−1iβY (t) =
√
√
3e
−1 π6
iαΔ (t) +
√
−1iβΔ (t)
(3.19)
Étude du fonctionnement séquence par séquence
Nous allons étudier le fonctionnement du système dans diﬀérentes plages de vitesses
pour diminuer le plus possible le nombre de séquences et pour simpliﬁer l’analyse :
• Basse vitesse
• Vitesse faible
• Vitesse moyenne
• Haute vitesse
Le système peut être représenté par un schéma électrique (Fig. 3.2). Remarquons
que, comme le système est équilibré et symétrique, les courants des trois phases remplissent la condition suivante :
2π
4π
= ic pΩt +
ia (pΩt) = ib pΩt +
3
3
(3.20)
Pour illustrer l’étude de ce système nous allons utiliser les paramètres électriques du
Tableau 3.1. Les paramètres correspondent à un alternateur DELCO connecté en étoile
avec un courant d’excitation du rotor de 6 [A].
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
ea
rs
L
D1
153
D2
eb
D3
vDC
ec
D4
D5
D6
Figure 3.2 – Schéma électrique équivalent du système étudié
rs
0.1 [Ohm]
L−M
0.38 [mH]
λ
27.6 [mWb]
p
6
Vdc
20.6
Tableau 3.1 – Paramètres électriques utilisés pour les exemples
3.3.1
Fonctionnement à basse vitesse
Le fonctionnement à basse vitesse se produit lorsque la tension à vide de la machine
n’est pas suﬃsante pour entraı̂ner la conduction des diodes. Dans ce cas, la tension
entre phases de la machine est toujours inférieure à la tension de la batterie comme
suit :
Vdc >
√
3pΩλ
(3.21)
Où :
Vdc la tension de la batterie.
Le courant dans toutes les phases et le courant de charge de la batterie sont nuls.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.3.2
154
Fonctionnement à faible vitesse
Si la tension de la batterie est inférieure à la tension entre deux bornes de la machine, les diodes peuvent entrer en conduction. À faible vitesse, nous allons faire les
suppositions suivantes :
• Seulement deux diodes entrent en conduction.
• La conduction se termine avant qu’une autre diode entre en conduction. Cela
correspond à un mode de conduction discontinue.
Il est intéressant de choisir correctement la séquence à étudier pour faciliter l’étude.
Supposons que les phases C et B conduisent, et que les diodes numéro 3 et numéro 5
conduisent (Fig. 3.3). C’est à dire, nous avons :
vc − vb = Vdc
Vdc
vβ = √
3
ea
rs
L
D1
(3.22)
(3.23)
D2
eb
D3
vDC
ec
D4
D5
iDC
D6
Figure 3.3 – Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases B et C. Les éléments parcourus par un courant sont
marqués en rouge.
Avant et après que cette condition soit remplie, il y a un instant où les courants de
toutes les phases et le courant à la sortie du redresseur sont nuls (Fig. 3.2).
Comme la phase A n’a pas de diode amorcée, son courant est nul. En conséquence,
la composante α du courant est aussi égale à zéro pendant toute la période d’étude.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
155
ia = 0
(3.24)
iα = 0
(3.25)
Donc, nous pouvons écrire l’équation diﬀérentielle suivante pour le courant β :
di (t)
V
√dc = rs iβ (t) + (L − M) β
+ pΩλcos(pΩt)
dt
3
(3.26)
Notons que l’origine du temps a été prise arbitrairement lorsque la composante β
est maximale. L’instant t∗ où les diodes rentrent en conduction est le suivant :
Vdc
√ = pΩλcos(pΩt∗ )
3
dc
arccos √V3pΩλ
t∗ = −
pΩ
(3.27)
(3.28)
À cet instant le courant initial est nul :
iβ (t∗ ) = 0
(3.29)
Nous avons une équation diﬀérentielle de premier ordre (3.26) avec une condition
initiale (3.29) et il est donc possible de trouver la solution. En utilisant cette solution,
nous pouvons déterminer le temps où le courant s’annule. D’abord, nous eﬀectuons une
recherche initiale avec un incrément d’un degré électrique. Cette recherche initiale est
ensuite raﬃnée avec la méthode de Newton. Si l’angle de conduction est plus petit que
60 degrés, la solution trouvée remplit l’hypothèse d’une conduction discontinue.
Par exemple, un alternateur tournant à 700 [RPM], avec un courant d’excitation de
6 [A], produit un courant qui s’éteint avant 60 degrés de conduction (Fig. 3.6.a). En
eﬀet, la conduction commence à -20 degrés et se termine à 39 degrés (Fig. 3.6.a). Nous
pouvons aussi facilement déterminer les deux composantes de tension (Fig. 3.6.b).
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
156
En utilisant cette période de 60 degrés, il est possible de déterminer la forme des
tensions et des courants pendant le reste de la période électrique. En eﬀet, lors du
régime permanent, nous avons la propriété suivante pour deux instants de temps, ta et
tb , séparés par une période équivalente à 60 degrés électriques :
iα (ta ) +
√
√
−1iβ (ta ) = e
−1 2π
6
√
iα (tb ) + −1iβ (ta )
(3.30)
En utilisant l’équation (3.30), nous déterminons les courants et les tensions de Clarke
pendant le reste de la période (Fig. 3.6.c et 3.6.d). Ceci est intéressant, car nous
déduisons les autres séquences de fonctionnement en ayant étudié une seule période de
60 degrés.
Nous pouvons comparer la forme d’onde des courants avec la forme d’onde obtenue
à partir d’un simulateur pas à pas dans le temps (Fig. 3.4). Nous remarquons que les
deux résultats sont similaires, ce qui valide la méthode analytique. Les résultats ne
sont pas égaux parce que le simulateur possède une diﬀérence par rapport au système
modélisé. Les diﬀérences entre les résultats s’expliquent par le modèle de la diode dans
la simulation pas à pas. L’étude séquence par séquence suppose que les diodes du pont
redresseur sont des diodes idéales. Si le courant d’une phase est positif (entrant dans
l’alternateur), la tension d’un pont redresseur avec des diodes idéales est exactement
égale à zéro (Fig. 3.5). Si le courant d’une phase est négatif (sortant de l’alternateur),
la tension d’un pont redresseur avec diodes idéales est exactement égale à la tension
de la batterie (Fig. 3.5). Pour que la tension possède une valeur entre ces deux limites,
il est nécessaire que le courant de phase soit exactement égal à zéro (Fig. 3.5). Une
simulation pas à pas a de la diﬃculté à utiliser une telle représentation d’un pont de
diodes. Il utilise par contre une approximation qui adoucit la transition. Pendant la
transition entre un courant positif et un courant négatif, le pont se comporte comme
une résistance de très haute valeur (100 [kOhm]). Ceci permet de réaliser la simulation
aisément et avec précision. Cependant, les constantes de temps électriques du système
deviennent très petites. Nous sommes alors obligés de diminuer le pas d’intégration du
simulateur pour assurer la convergence.
En utilisant les formes de tensions et de courants de Clarke (Fig. 3.6.c et 3.6.d),
nous pouvons calculer les tensions et les courants des phases réelles (Fig. 3.6.e et 3.6.f).
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
0.4
157
iΑ
Courant A
0.2
0
0.2
0.4
iΒ
150 120
90
60
30
0
30
Angle degrés
60
90
120
150
Figure 3.4 – Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à faible vitesse (700 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un
simulateur.
Tension V
25
20
15
10
5
0.001 0.0005
0
0.0005
Courant A
0.001
Figure 3.5 – Caractéristique courant - tension d’un bras de redresseur en pont avec
diodes idéales (bleu) et l’approximation utilisée dans le simulateur
pas à pas dans le temps (rouge).
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
158
a
b
Tension V
Courant A
0.4
0.2
iΑ
0
0.2
0.4
iΒ
25 15 5 5
15
Angle degrés
c
iΑ
Tension V
Courant A
0.4
0.2
0
0.2
0.4
iΒ
150 90 30 30 90
Angle degrés
e
ia
ib
150
ic
Tension V
0.4
Courant A
25
0.2
0
0.2
0.4
150 90 30 30 90
Angle degrés
150
15
10
5
0
5
10
15
vΒ
vΑ
25 15 5 5
15
Angle degrés
d
15
vΒ
10
5
0
5
10
vΑ
15
150 90 30 30 90
Angle degrés
f
25
vca
vab
15
25
150
5
5
15
25
vbc
150 90 30 30 90
Angle degrés
Figure 3.6 – Formes d’onde à faible vitesse 700 [RPM]
150
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.3.3
159
Fonctionnement à vitesse moyenne
Si l’on détermine que le temps de conduction du cas précédent est plus grand que 60
degrés, nous déduisons que les hypothèses utilisées au §3.3.2 ne sont pas valables. Si la
période de conduction est plus grande que 60 degrés, il y a une période de commutation
entre les phases où les trois phases conduisent en même temps (Fig. 3.7) et qui est suivi
d’une période de temps où deux phases conduisent (Fig. 3.8). Nous allons supposer que
les phases B et C conduisent, et que la phase A est en conduction au début de la période
d’étude et que son courant s’annule avant la ﬁn de la période d’étude. En conséquence,
nous supposons qu’à la ﬁn de la période d’étude, à l’instant t1 , les conditions suivantes
sont remplies :
ea
rs
L
iα (t1 ) = 0
(3.31)
iβ (t1 ) < 0
(3.32)
D1
D2
eb
D3
vDC
ec
D4
D5
iDC
D6
Figure 3.7 – Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction
des phases A, B et C
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
ea
rs
L
D1
160
D2
eb
D3
vDC
ec
D4
D5
iDC
D6
Figure 3.8 – Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction
des phases B et C après l’extinction du courant de la phase A
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
161
Pour faciliter l’analyse, nous rajoutons un déphasage équivalent à la F.E.M. de
la machine (φ) déterminé par la condition d’amorçage de la diode numéro 5. Nous
arrangeons les équations pour ﬁxer arbitrairement le début de la période d’étude à -30
degrés. Les équations diﬀérentielles qui gouvernent le système sont :
Vdc
diα (t)
+ pΩλsin(pΩt + φ) = −
dt
3
Vdc
diβ (t)
+ pΩλcos(pΩt + φ) = √
rs iβ (t) + (L − M)
dt
3
rs iα (t) + (L − M)
(3.33)
À la place des conditions initiales, on impose la condition de régime permanent sur
un sixième de la période électrique (3.30) :
√
iα (t0 ) = −
3
iβ (t1 )
2
1
iβ (t0 ) = iβ (t1 )
2
π
6pΩ
π
t1 =
6pΩ
(3.34)
t0 = −
(3.35)
Avec la solution de l’équation diﬀérentielle qui montre l’évolution temporelle des
courants, nous devons détecter l’arrêt de conduction de la phase A lorsque iα s’annule.
Lorsque ce courant iα devient égal à zéro, le schéma de conduction est montré dans la
ﬁgure 3.8.
L’évolution du courant iβ s’obtient toujours avec la même équation sachant que iα
reste nul jusqu’à t1 .
Pour que les hypothèses du fonctionnement à vitesse moyenne soient valables, il
faut :
• Trouver le temps du début de la période d’étude, qui assure que la dérivée du
courant de la phase B est de zéro.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
162
• Vériﬁer que, pendant la période d’étude, le courant α devient nulle.
• Vériﬁer que, à la ﬁn de la période d’étude, la phase A entre en conduction.
Par exemple, l’alternateur tournant à 800 [RPM] possède une durée de commutation
de la phase A de 25 degrés (Fig. 3.10.a). Après l’annulation du courant iα , nous ignorons
la solution obtenue à partir de l’équation diﬀérentielle de iα (3.33).
Nous pouvons déterminer facilement les tensions de Clarke. Dans le cas de la composante β, elle est toujours constante à la valeur indiquée par l’équation diﬀérentielle
(3.33). La composante α présente une discontinuité lorsque le courant respectif devient
nul (Fig. 3.10.b). Avant cet instant, sa valeur est imposée par l’équation diﬀérentielle
(3.33). Après cet instant, la tension correspond à la tension à vide :
vα = pΩλsin(pΩt + φ)
(3.36)
Nous pouvons reconstruire les courants et les tensions pour le reste de la période
électrique en utilisant l’équation (3.30). La composante de tension α ne s’annule jamais
pendant une période de temps et la composante de tension β possède une période où
elle est nulle pendant la commutation entre les phases (Fig. 3.10.d). Pour vériﬁer les résultats, nous pouvons comparer les courants avec ceux obtenus à l’aide d’un simulateur.
Nous remarquons que les deux résultats sont similaires (Fig. 3.9).
En utilisant la transformation inverse de Clarke, nous pouvons obtenir les courants
et les tensions des phases (Fig. 3.10.e) (Fig. 3.10.f).
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
163
10
iΑ
Courant A
6
2
2
iΒ
6
10
150 120
90
60
30
0
30
Angle degrés
60
90
120
150
Figure 3.9 – Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à vitesse
moyenne (800 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un
simulateur.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
164
10
6
2
2
6
10
b
Tension V
Courant A
a
iΑ
iΒ
10
6
2
2
6
10
iΑ
iΒ
150 90 30 30 90
Angle degrés
e
ia
ib
150
ic
Tension V
Courant A
8
25
Tension V
Courant A
25 15 5 5
15
Angle degrés
c
4
0
4
8
150 90 30 30 90
Angle degrés
150
15
10
5
0
5
10
15
vΒ
vΑ
25 15 5 5
15
Angle degrés
d
15
vΒ
10
5
0
5
10
vΑ
15
150 90 30 30 90
Angle degrés
f
25
vca
vab
15
25
150
5
5
15
25
vbc
150 90 30 30 90
Angle degrés
Figure 3.10 – Formes d’onde à vitesse moyenne 800 [RPM]
150
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.3.4
165
Fonctionnement à haute vitesse
Si, dans le cas précédent, nous constatons que les hypothèses ne sont pas vériﬁées,
nous concluons qu’il n’existe pas de période de temps où le courant d’une phase est
nul. En conséquence, le courant iα ne devient zéro qu’à la ﬁn de la période d’étude. La
période d’étude comporte une seule séquence. Nous allons supposer que c’est la phase
C qui est connectée à la borne positive de la batterie et que les phases A et B sont
connectées à la borne négative de la batterie (Fig. 3.11).
ea
rs
L
D1
D2
eb
D3
vDC
ec
D4
D5
iDC
D6
Figure 3.11 – Schéma électrique équivalent au système étudié lors de la conduction des phases A, B et C à haute vitesse
Nous déplaçons la période d’étude avec un angle φ qui est déterminé avec le courant
iα . En eﬀet, il suﬃt d’ajuster cet angle pour s’assurer que ce courant soit zéro à la ﬁn de
la période d’étude. La seule condition de validation est que l’angle φ puisse être trouvé.
Les équations diﬀérentielles sont :
Vdc
diα (t)
+ pΩλsin(pΩt + φ) = −
dt
3
Vdc
diβ (t)
+ pΩλcos(pΩt + φ) = √
rs iβ (t) + (L − M)
dt
3
rs iα (t) + (L − M)
(3.37)
Les conditions initiales sont les mêmes que dans le cas précédent (3.34),(3.35).
À 1300 [RPM], la période de commutation où trois phases conduisent au même
temps s’étend pendant toute la période. La composante de courant α devient nulle à la
ﬁn de la période d’étude (Fig. 3.13.a). Dans ce type de fonctionnement, les composantes
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
166
de tension sont constantes pendant toute la période d’étude. Les valeurs correspondent
à celles imposées par l’équation (3.37). Comme il n’y a pas de changement de séquence,
ces valeurs sont toujours valables (Fig. 3.13.b).
En reconstruisant les courants pour toute la période électrique, nous remarquons que
les deux composantes de Clarke du courant sont en conduction continue (Fig. 3.13.c).
La composante β de la tension est nulle pendant 60 degrés parce que les trois phases
sont toujours en conduction (Fig. 3.13.d). Les formes d’onde sont similaires à celles
obtenues à partir d’un simulateur (Fig. 3.12).
50
iΑ
Courant A
30
10
10
30
50
iΒ
150 120
90
60
30
0
30
Angle degrés
60
90
120
150
Figure 3.12 – Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à haute
vitesse (1300 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec
un simulateur.
Nous remarquons que les courants des phases ont une allure sinusoı̈dale (Fig. 3.13.e).
Dans le cas des tensions, les formes sont rectangulaires et s’annulent pendant 60 degrés
puisqu’il y a, en tout moment, deux phases en court-circuit (Fig. 3.13.f).
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
167
50
30
10
10
30
50
b
Tension V
iΑ
iΒ
50
30
10
10
30
50
iΑ
iΒ
Courant A
150 90 30 30 90
Angle degrés
e
50
30
10
10
30
50
25
Tension V
Courant A
25 15 5 5
15
Angle degrés
c
ia
ib
150 90 30 30 90
Angle degrés
150
ic
150
Tension V
Courant A
a
15
10
5
0
5
10
15
vΒ
vΑ
25 15 5 5
15
Angle degrés
d
15
vΒ
10
5
0
5
10
vΑ
15
150 90 30 30 90
Angle degrés
f
25
vca
vab
15
25
150
5
5
15
25
vbc
150 90 30 30 90
Angle degrés
Figure 3.13 – Formes d’onde à faible vitesse 1300 [RPM]
150
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.4
168
Détermination des performances du système
L’analyse séquence par séquence nous permet d’obtenir des formules analytiques des
formes d’onde de courants et de tensions du système en régime permanent à n’importe
quelle vitesse. Il est intéressant d’exploiter ces formules pour obtenir des quantités utiles
pour la conception du système. En particulier, il est intéressant d’obtenir les quantités
suivantes :
• Courant moyen à la sortie du redresseur.
• Courant eﬃcace des phases.
• Courant moyen des diodes.
• Courant eﬃcace des diodes.
• Amplitude et angle par rapport à la f.e.m. de la composante fondamentale du
courant de phase.
• Distorsion harmonique totale du courant.
• Couple électromagnétique.
Ces résultats permettent de valider les performances et d’estimer les pertes du système.
3.4.1
Courant de charge à la sortie du redresseur
Le courant de charge à la sortie du redresseur doit être déterminé en tenant compte
de chaque séquence de fonctionnement. Les hypothèses simpliﬁcatrices de cette étude
nous permettent d’aﬃrmer qu’il suﬃt de connaı̂tre le courant de charge à la sortie du
redresseur pendant 60 degrés seulement. Un avantage de la méthode utilisée est qu’à
n’importe quelle vitesse de fonctionnement, c’est toujours la diode numéro 3 de la phase
C qui est en conduction. En conséquence le courant de charge à la sortie du redresseur
est toujours égal au courant de la phase C. Le courant de charge s’obtient avec l’équation
suivante :
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
6
idc = −
2π
! "
θ
ic
dθ
pΩ
θ=θ1
169
θ2
6
=−
2π
θ2
θ=θ1
&
1
iα
2
θ
pΩ
√
3
−
iβ
2
θ
pΩ
'
dθ (3.38)
Où :
idc courant de charge de la batterie.
La formule analytique de la forme d’onde des courants possède une primitive connue.
Nous pouvons éviter en conséquence l’intégration numérique de la forme d’onde et à la
fois obtenir un résultat rapide et précis.
3.4.2
Courant eﬃcace d’une phase
Comme le système est équilibré, il est suﬃsant d’obtenir le courant eﬃcace d’une
seule phase. Nous calculons le courant eﬃcace de la phase A avec l’équation suivante :
iRM S =
1
2π
! "2
π ! "2
θ
θ
1
ia
iα
dθ =
dθ
pΩ
2π θ=−π
pΩ
θ=−π
π
(3.39)
Où :
iRM S courant eﬃcace d’une phase.
Les limites d’intégration correspondent à une période électrique complète. Cependant, nous avons étudié seulement 60 degrés électriques de la période. Nous utilisons
l’équation (3.30) pour déterminer le courant pendant le reste de la période électrique.
En manipulant les équations, nous obtenons le courant RMS en fonction des formes
d’onde de la période d’étude de 60 degrés comme suit :
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
iRM S
iRM S
! "2
θ
=
dθ
iα
pΩ
θ=−π
( )
θ2 ! "2 ) 3 θ2 ! θ "2
θ
=*
dθ +
dθ
iα
iβ
2π
pΩ
pΩ
θ=θ1
θ=θ1
1
2π
170
π
(3.40)
(3.41)
Les limites d’intégration sont les mêmes que pour le courant de charge à la sortie
du redresseur. Ces intégrales possèdent aussi des primitives analytiques. Nous pouvons
donc éviter, comme dans les cas précédents, d’utiliser l’intégration numérique.
3.4.3
Courant moyen et eﬃcace des diodes
Le courant moyen et le courant eﬃcace des diodes se déduisent des résultats précédents comme suit :
iRM S
idiodeRM S = √
2
iDC
idiodeAV =
3
(3.42)
(3.43)
Où :
idiodeRM S courant eﬃcace d’une diode.
idiodeAV courant moyen d’une diode.
3.4.4
Amplitude et angle de la composante fondamentale du
courant
En suivant une démarche similaire à celle utilisée pour calculer le courant eﬃcace
d’une phase, nous pouvons calculer la composante fondamentale du courant de la phase
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
171
A. Les équations suivantes donnent les composantes sinus et cosinus du courant, tout
tenant compte l’angle de déphasage équivalent de la F.E.M.
icos
1
=
π
icos
π
iα
θ=−π
θ
cos(θ + φ)dθ
pΩ
(3.44)
"
θ2
θ
θ
cos(θ)dθ −
sin(θ)dθ
iα
iβ
pΩ
pΩ
θ=θ1
θ=θ1
! θ2
"
θ2
θ
θ
3
iα
iβ
sin(θ)dθ +
cos(θ)dθ (3.45)
− sin(φ)
π
pΩ
pΩ
θ=θ1
θ=θ1
3
= cos(φ)
π
!
θ2
1
=
π
isin
isin
!
π
iα
θ=−π
θ
pΩ
sin(θ + φ)dθ
(3.46)
"
θ2
θ
θ
iα
iβ
sin(θ)dθ +
cos(θ)dθ
pΩ
pΩ
θ=θ1
θ=θ1
"
! θ2
θ2
θ
θ
3
iα
iβ
cos(θ)dθ +
sin(θ)dθ (3.47)
− sin(φ)
π
pΩ
pΩ
θ=θ1
θ=θ1
3
= cos(φ)
π
θ2
Où :
isin , icos les composantes fondamentales du courant d’une phase par rapport à la
F.E.M.
Ces intégrales possèdent des primitives analytiques que nous pouvons facilement
obtenir. L’amplitude et la phase sont obtenues en fonction des deux composantes comme
suit :
+
i2cos + i2sin
2
icos
= arctan
isin
if ondamental =
(3.48)
if ondamental
(3.49)
Où :
if ondamental amplitude de la composante fondamentale du courant d’une phase.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
172
if ondamental phase de la composante fondamentale du courant d’une phase.
3.4.5
Distorsion harmonique totale
La distorsion harmonique totale peut être déduite des résultats précédents :
%
T HD =
i2RM S − i2f ondamental
if ondamental
(3.50)
Où :
T HD taux de distorsion harmonique.
3.5
Vériﬁcation avec des résultats expérimentaux
Nous avons vériﬁé que les résultats obtenus à l’aide des formules développées sont
similaires aux résultats obtenus avec la simulation. Nous avons aussi réalisé des comparaisons par rapport à des résultats expérimentaux en utilisant un alternateur DELCO
connecté en étoile et aussi en utilisant une machine modiﬁée comportant des aimants
permanents.
3.5.1
Paramètres de la machine DELCO
Pour identiﬁer les paramètres de la machine DELCO, nous avons fait trois essais :
• Mesure de la résistance de stator.
• Mesure du courant de court-circuit.
• Mesure de la tension à vide.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
173
Les paramètres électriques sont mesurés indirectement. Pour déterminer le ﬂux, nous
utilisons la tension à vide entre deux phases comme suit :
+
λ(ir ) =
2 Uac (ir )
3 pΩ
(3.51)
Pour déterminer l’inductance cyclique (Ld ), nous utilisons l’essai en court-circuit et
l’essai à vide comme suit :
Ld (ir ) = √
λ(ir )
2icc (ir )
(3.52)
Lorsque, nous faisons varier le courant du rotor, nous constatons que le ﬂux à vide
n’augmente pas linéairement. En eﬀet, la saturation est facile à remarquer (Fig. 3.14).
Par contre, l’essai en court-circuit ne montre pas de saturation évidente (Fig. 3.15).
0.04
Λ Wb
0.03
0.02
0.01
2
4
6
irotor A
8
10
Figure 3.14 – Flux d’une phase d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge)
et points mesurés (bleu)
Ces essais ont été eﬀectués avec diﬀérents courants d’excitation. Les paramètres que
nous avons trouvés à l’aide des essais sont indiqués au Tableau 3.2.
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
174
60
icc Arms 50
40
30
20
10
2
4
6
irotor A
8
10
Figure 3.15 – Courant de court-circuit d’un alternateur DELCO, interpolation
(rouge) et points mesurés (bleu)
Courant du rotor
1 [A]
rs [Ohm]
3 [A]
6 [A]
0.1
Ld [mH]
1.05
0.65
0.41
λ [mWb]
14.9
26.4
29.1
p
6
Tableau 3.2 – Paramètres électriques d’un alternateur DELCO
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.5.2
175
Comparaison du courant à la sortie du redresseur
En utilisant les paramètres obtenus à l’aide des essais de la section précédente, nous
pouvons obtenir une courbe du courant de charge à la sortie du redresseur en fonction
de la vitesse. Nous avons eﬀectué cet essai avec plusieurs courants d’excitation. Si le
courant d’excitation du rotor est de 1[A], nous trouvons des erreurs variant de 20%
à 40% entre les valeurs mesurées et les résultats du modèle (Fig. 3.16). Si le courant
d’excitation est 3[A], nous trouvons des erreurs entre 3% et 6% (Fig. 3.17). Si le courant
d’excitation est de 6[A], nous trouvons des erreurs de 3% ou moins (Fig. 3.18).
Nous avons constaté que le ﬂux du rotor se sature à mesure que le courant d’excitation augmente. Le modèle que nous avons utilisé est complètement linéaire. Néanmoins,
les résultats deviennent plus précis lorsque le courant d’excitation du rotor augmente.
Les erreurs absolues entre les valeurs mesurées et les valeurs obtenues à l’aide du
modèle sont : 3.1[A] si le courant d’excitation est de 1[A], 2.5[A] si le courant d’excitation
est de 3[A] et de 1.5[A] si le courant d’excitation est de 6[A]. Donc, l’erreur absolue entre
le modèle et l’expérience reste égale dans tous les cas. Mais, comme dans le cas d’une
excitation plus importante du rotor, la valeur des courants est plus grande, les erreurs
relatives deviennent petites.
Les erreurs s’expliquent par la mesure du courant. Il est suﬃsant que les mesures du
courant possèdent une erreur absolue de 1.5[A] (1.5% à pleine échelle) pour expliquer la
diﬀérence entre le modèle dans tous les cas (Fig. 3.16, 3.17, 3.18). La mesure du courant
intervient dans deux étapes de l’expérience. D’abord lors de la mesure du courant de
court-circuit et du calcul de l’inductance de l’alternateur. Ensuite, lors de la mesure du
courant à la sortie du redresseur. En superposant les erreurs, nous constatons que le
modèle pourrait expliquer les mesures obtenues. Par exemple, si le courant d’excitation
est 1[A], les erreurs de mesure semblent expliquer la diﬀérence, même si elles semblaient
les plus importantes (Fig. 3.16).
Le courant de phase a été mesuré avec des résistances shunt, car la plage de fréquence et l’intensité du courant nous empêche d’utiliser d’autres instruments tels que
des transformateurs de courant. Ces shunts n’ont pas été vériﬁés depuis quelques années. La dernière date de vériﬁcation reste illisible. Donc, compte tenu de l’état des
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
176
Courant DC A
shunts, nous considérons qu’une erreur de 1.5% à pleine échelle est plausible.
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
Modèle avec
erreur rouge
Paramètres Essais bleu
1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
Vitesse RPM
Figure 3.16 – Comparaison des résultats expérimentaux et du modèle utilisant
des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 1[A]
Courant DC A
50
Paramètres avec
erreur rouge
30
Paramètres Essais bleu
40
20
10
1000
2000
3000
Vitesse RPM
4000
Figure 3.17 – Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des
paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 3[A]
Courant DC A
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
177
80
Paramètres avec
70
erreur rouge
60
50
40
30
20
10
Paramètres Essais bleu
1000
2000
3000
Vitesse RPM
4000
Figure 3.18 – Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des
paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 6[A]
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.5.3
178
Paramètres d’un alternateur modiﬁé avec rotor à aimants permanents
Nous avons utilisé un alternateur à aimants permanents composé du même stator
que la machine DELCO, mais il comporte un rotor à aimants permanents NdFeB à
12 pôles. À l’aide des essais en court-circuit et des essais à vide, nous avons trouvé
les paramètres électriques indiqués dans le Tableau 3.3. Des problèmes d’échauﬀement
excessif ont empêché de réaliser des essais avec charge à vitesses plus élevées. En eﬀet,
l’isolement a été endommagé et partiellement brûlé lors de ces essais.
Paramètres
Essai à vide et en
court-circuit
rs [Ohm]
0.1
L − M [mH]
0.34
λ [mWb phase phase RMS]
29.0
p
6
Tableau 3.3 – Paramètres électriques d’un alternateur à aimants permanents
3.5.4
Comparaison du courant à la sortie du redresseur de
l’alternateur à aimants
Nous pouvons constater que les résultats obtenus montrent que l’erreur relative
entre les mesures et le modèle est de 7% et que l’erreur absolue maximale est de 3.3[A]
(Fig. 3.19). Les diﬀérences sont expliquées par une erreur de mesure de courant de 1.5%
(Fig. 3.19).
Néanmoins, nous considérons les mesures obtenues pour l’alternateur à aimants
permanents incomplets. En eﬀet, nous n’étions pas capables d’obtenir des valeurs pour
des vitesses plus élevées que 2500[RPM] à cause de problèmes d’échauﬀement.
Courant DC A
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
179
80
Paramètres avec
70
erreur rouge
60
50
40
30
20
10
Paramètres Essais bleu
1000
2000
3000
Vitesse RPM
4000
Figure 3.19 – Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des
paramètres avec erreur pour l’alternateur à aimants permanents
Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture
3.6
180
Conclusion
Nous avons développé une méthode pour obtenir les solutions analytiques des équations diﬀérentielles en régime permanent d’un alternateur de voiture. Cette méthode se
base sur une étude séquence par séquence, réduite à un sixième de période électrique
avec au maximum, un seul changement de séquence de fonctionnement.
Cette méthode nous permet d’obtenir des expressions analytiques des intégrales
représentant le courant à la sortie du redresseur de l’alternateur, le courant eﬃcace,
la phase et l’amplitude de la composante fondamentale. Cela se traduit par un gain
important de temps de calcul par rapport à d’autres outils de simulation.
Nous avons validé cette méthode avec deux alternateurs diﬀérents. Les résultats
expérimentaux montrent que les hypothèses simpliﬁcatrices utilisées n’aﬀectent pas la
précision du modèle. En eﬀet, nous avons montré que la caractéristique de génération
maximale est reproduite par le modèle proposé avec une précision de 3% pour une
machine avec rotor bobiné et 7% pour une machine avec un rotor à aimants permanents.
Dans tous les cas l’erreur entre le modèle et la mesure est inférieure à 3 [A]. Ces résultats
conﬁrment qu’il est possible d’atteindre une bonne précision avec des modèles simpliﬁés.
Cette méthode peut être appliquée avec d’autres structures de redresseur. Par exemple,
nous avons développé un outil similaire pour un redresseur en pont monophasé.
Chapitre 4
Exemples de conception avec les
outils développés
4.1
Introduction
Les outils présentés dans les chapitres précédents ont été intégrés dans un environnement de conception de machines électriques et d’entraı̂nements à vitesse variable
du LEEPCI. Cet environnement est basé principalement sur des modèles de dimensionnement analytiques et utilise une méthode de résolution par optimisation avec
contraintes [11]. Les principales étapes d’un processus de conception sont les suivantes :
• Déﬁnition du cahier des charges.
◦ Déﬁnition du problème et des contraintes à satisfaire.
• Choix de la structure de la machine et de l’onduleur.
◦ Variables de dimensionnement et d’optimisation.
• Choix des matériaux et paramètres de dimensionnement.
◦ Paramètres caractéristiques des matériaux tels que l’aimantation et des techniques de fabrication comme le coeﬃcient de remplissage.
• Résolution du problème d’optimisation.
◦ Dimensionnement de la machine avec un modèle analytique.
◦ Calcul du modèle électrique équivalent de la machine.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
182
◦ Validation des points de fonctionnement et des contraintes du cahier des charges.
• Validation de la solution.
◦ Analyse et validation par calcul de champ et nouvelle itération avec correction
des paramètres de dimensionnement si nécessaire.
Les outils que nous avons développés constituent un noyau important de cette procédure puisqu’ils permettent d’estimer les paramètres électriques et les performances du
système d’entraı̂nement. Les sections suivantes montrent trois exemples d’utilisation de
ces outils. Le premier exemple montre la relation étroite qu’il y a entre la taille d’une
machine de traction et la puissance apparente de l’onduleur. Le deuxième exemple traite
de la conception d’un entraı̂nement de traction pour un parcours typique. Dans le troisième exemple, nous analysons la sensibilité des modèles analytiques pour la conception
d’un alternateur d’automobile en comparant les résultats d’un dimensionnement réalisé
avec deux modèles magnétiques diﬀérents.
4.2
Compromis entre la taille de l’onduleur et la
taille de la machine pour un fonctionnement sur
une large plage de vitesse
Dans le chapitre §2, nous avons montré que les machines à pôles saillants semblent
plus intéressantes que les machines à pôles lisses pour des applications de traction tel
que le préconise la référence [23]. Les raisons invoquées dans la référence [23] sont :
• Diminution de la quantité des aimants requis.
• Une f.e.m. plus faible à haute vitesse.
• Insensibilité aux variations du ﬂux des aimants.
• Augmentation de l’eﬃcacité à haute vitesse.
Cependant, ces conclusions se basent sur des mesures comme la quantité des aimants
ou la faiblesse de la f.e.m. à vide qui sont à toute évidence plus favorables aux machines
à pôles saillants. Aussi, nous ne trouvons pas de cahier des charges de référence pour
évaluer les diﬀérentes machines proposées dans [23].
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
183
Dans cette section, nous présentons les résultats d’une comparaison entre des paramètres de machine pour une caractéristique de couple vitesse à puissance constante
sur une plage de vitesse de 1 à 10 (Fig. 4.1). L’objectif est de trouver les systèmes
d’entraı̂nement qui sont au dessus de cette caractéristique [27].
T Nm
Tnom
0.8Tnom
0.6Tnom
0.4Tnom
0.2Tnom
nom
2nom
3nom
4nom
rads
5nom
Figure 4.1 – Cahier des charges à puissance constante
Nous comparons les diﬀérents systèmes d’entraı̂nement à l’aide de deux mesures :
• La puissance apparente de l’onduleur.
• Le couple maximal que peut fournir la machine.
La puissance apparente de l’onduleur a une relation directe avec son coût. En eﬀet,
nous pouvons montrer que le prix des transistors monte linéairement avec le courant
US$
maximal que peut supporter pour une application avec tension ﬁxe (Fig. 4.2).
200
175
150
125
100
75
50
25
$USD0.819imax
R2 0.911
50
100
150 200
imax A
250
300
Figure 4.2 – Prix des transistors en fonction du courant
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
184
Le couple maximum que peut fournir une machine dépend directement du volume
de son rotor, de l’induction dans l’entrefer et de la charge linéique au stator.
4.2.1
Méthode d’étude
Cette étude est basée sur les paramètres du modèle électrique équivalent de la machine soit l’inductance cyclique, le ﬂux à vide, le rapport de saillance, et la puissance
apparente du convertisseur [27]. Elle consiste à déterminer les ensembles de paramètres
qui permettent de satisfaire les conditions suivantes :
• Respecter le cahier des charges représenté par la caractéristique de couple vitesse
à puissance constante (Fig. 4.1).
• Minimiser à la fois la puissance apparente du convertisseur et le couple maximal
de la machine.
4.2.2
Analyse simpliﬁée
Pour montrer que l’étude n’a pas de solution évidente, on peut analyser deux cas très
simpliﬁés. Le premier cas, consiste à satisfaire le cahier des charges avec une machine
à pôles lisses avec une commande à couple maximum. Dans ce cas, le couple maximum
de l’entraı̂nement est donné par le produit du courant maximal de l’onduleur et le ﬂux
à vide de la machine. Le couple maximum est donné par :
3
Tnom = Tmax = pλimax
2
Où :
Tmax couple maximal.
Tnom couple nominal.
imax courant maximal.
(4.1)
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
185
En supposant que la chute de tension dans les impédances de la machine est négligeable, la f.e.m. de la machine doit être inférieure à la tension maximale, que peut
fournir l’onduleur, à la vitesse maximale de 10Ωnom (Fig. 4.1) :
vmax = 10λΩnom
(4.2)
Où :
vmax tension maximale.
λ ﬂux à vide.
Ωnom vitesse nominale.
Les deux équations précédentes montrent que la puissance apparente de l’onduleur
est égale dix fois la puissance mécanique de la charge :
3
vmax imax = 10Tnom Ωnom
2
Sonduleur = 10Pcharge
(4.3)
(4.4)
Le deuxième cas consiste à concevoir le système tel que la machine possède des
paramètres liés par l’équation suivante :
2 Tnom Ωnom
λ
=
L
3 vmax
(4.5)
Où :
L inductance.
Si la loi de commande est telle que la tension d’axe direct est toujours gardée à sa
valeur maximale :
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
186
vd = −vmax
(4.6)
vq = 0
(4.7)
Où :
vd , vq tension d’axe direct et d’axe quadratique.
Il est possible de montrer que le couple maximal du système est :
Tmax =
Tnom Ωnom
≥ Tcharge
Ω
(4.8)
La puissance apparente de l’onduleur est :
Sonduleur
3
= vmax
2
v
max
2
LΩ
+
2 Tnom Ωnom
3 vmax
2
(4.9)
Donc, il est suﬃsant de maximiser l’inductance pour minimiser la puissance apparente de l’onduleur. À la limite, on obtient :
Sonduleur = Pcharge
(4.10)
Où :
Sonduleur puissance apparente de l’onduleur.
Cependant, le couple de la machine atteint une valeur très élevée si la vitesse diminue. Cet exemple très simpliﬁé montre qu’il existe une relation entre la puissance de la
charge, la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal de la machine. Il ne
semble pas possible de minimiser la puissance apparente de l’onduleur sans aﬀecter le
couple maximal de la machine et sa taille.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.2.3
187
Analyse en utilisant les outils développés
L’outil développé dans le chapitre §2 peut être utilisé pour déterminer la relation
entre la taille de la machine et la taille de l’onduleur pour diﬀérents paramètres électriques et diﬀérents rapports de saillance. Le résultat de cette recherche est une courbe
qui représente le meilleur compromis entre la puissance apparente de l’onduleur et le
couple maximal de la machine.
La ﬁgure 4.3 montre le résultat avec des machines à pôles lisses. La courbe divise le
plan couple maximal - puissance apparente de l’onduleur en deux parties. Dans la partie
à gauche de la courbe, il n’est pas possible de trouver de systèmes qui remplissent le
cahier des charges avec la puissance apparente et le couple maximal imposés. À droite
de la courbe, il est possible de trouver des systèmes qui remplissent l’ensemble de ces
conditions.
Sur la courbe limite, on constate que, si la puissance apparente de l’onduleur est
réduite, le couple maximal de la machine augmente. Cependant, cette courbe montre
qu’à partir d’un 30% de surdimensionnement de l’onduleur par rapport à la puissance
mécanique, le couple de la machine atteint un minimum correspondant au couple de la
charge à basse vitesse.
En étudiant le cas des machines à pôles saillants avec un rapport de saillance imposé
(Lq = 5Ld ), on obtient une courbe très similaire à la courbe précédente (Fig. 4.4, bleu).
Malgré un rapport de saillance élevé, il ne semble pas que ce type de machine présente
un avantage intrinsèque qui lui permette de se démarquer des machines à pôles lisses
(Fig. 4.4, rouge) quant à la diminution du couple maximal ou de la taille minimale de
l’onduleur.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
188
3Tnom
Espace de solutions
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
1.5Tnom
1Tnom
Tnom nom
1.2Tnom nom
1.4Tnom nom
1.6Tnom nom
Sonduleur
1.8Tnom nom
2Tnom nom
Figure 4.3 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles lisses
3Tnom
Espace de solutions
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
1.5Tnom
1Tnom
Tnom nom
1.2Tnom nom
1.4Tnom nom
1.6Tnom nom
Sonduleur
1.8Tnom nom
2Tnom nom
Figure 4.4 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
189
Dans le cas des machines avec un autre rapport de saillance Lq = 0.2Ld , on obtient un
résultat diﬀérent. On constate qu’il est possible de trouver des systèmes qui utilisent un
onduleur plus petit que les machines à pôles lisses sans augmenter le couple maximal du
système (Fig. 4.5). En eﬀet, la courbe indique qu’au-delà de 20% de surdimensionnement
de l’onduleur par rapport à la puissance mécanique, le couple de la machine atteint un
minimum correspondant au couple de la charge. Dans le cas des machines à pôles lisses
ou des machines avec Lq = 5Ld , le surdimensionnement est de 30%. Ceci dit, ce rapport
de saillance est très diﬃcile à obtenir avec des rotors à aimants permanents. Il nécessite
l’utilisation de structures de rotor particulières avec des barrières de ﬂux, des aimants
chapeautés ou avec des rotors hybrides. Ces modiﬁcations compliquent la conception et
ne permettent pas nécessairement d’atteindre une valeur de saillance intéressante.
La raison pour laquelle la saillance semble avoir un eﬀet bénéﬁque, dans certains
cas, s’explique partiellement avec les équations d’une machine. Si nous négligeons la
résistance, les équations d’une machine, en variables de Park, sont :
vd = −pΩLq iq
(4.11)
vq = pΩ(λ + Ld id )
3
t = piq (λ + (Ld − Lq )id )
2
(4.12)
(4.13)
Le courant d’axe quadratique iq est absolument nécessaire pour générer du couple
dans la machine. Cependant, ce courant produit aussi une chute de tension d’axe directe,
qui est indésirable car elle s’ajoute à la f.e.m. de la machine qui se trouve dans l’axe
quadratique. Donc, le fait de proposer des saillances dont Lq > Ld ne semble pas aller
dans la bonne direction. Par contre, si nous pensons au cas limite où Lq = 0, la tension
d’axe quadratique devient nulle sans avoir à diminuer le courant d’axe quadratique de
la machine.
4.2.4
Eﬀet de la plage autour de la vitesse nominale
Les points de fonctionnement d’un parcours typique d’un véhicule ne sont pas tous
situés sur une caractéristique à puissance constante et ne la décrivent pas en entier. Il
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
190
3Tnom
Espace de solutions
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
1.5Tnom
1Tnom
Tnom nom
1.2Tnom nom
1.4Tnom nom
1.6Tnom nom
Sonduleur
1.8Tnom nom
2Tnom nom
Figure 4.5 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld
est donc intéressant d’étudier l’eﬀet d’un changement du cahier des charges lors d’un
fonctionnement à puissance constante (Fig. 4.1). Nous avons choisi d’éliminer du cahier
des charges, la partie de la courbe autour de la vitesse nominale, qui semble être la
partie la plus contraignante dans une application de traction électrique. Dans ce cas,
le couple minimal que doit fournir le système à diﬀérentes vitesses est déﬁni par la
ﬁgure 4.1, à l’exception de la plage autour de la vitesse nominale du système (Fig. 4.6,
bleu).
Si nous faisons la même recherche avec un cahier des charges modiﬁé (Fig. 4.6)
dans lequel le couple minimal n’est pas imposé entre 0.85Ωnom et 1.15Ωnom , on obtient
la courbe de la ﬁgure 4.7 dans le cas d’un système avec une machine à pôles lisses.
À partir d’un surdimensionnement de l’onduleur de 15% par rapport à la charge, le
couple maximal du système atteint un minimum correspondant au couple de la charge.
Ceci représente un gain de 15% sur la taille de l’onduleur par rapport au cahier des
charges non modiﬁé. On trouve un résultat très similaire dans le cas des machines avec
Lq = 5Ld (Fig. 4.8) soit que le surdimensionnement limite de l’onduleur est de 15%.
Dans le cas d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld , nous constatons qu’à partir
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
191
T Nm
Tnom
0.8Tnom
0.6Tnom
0.4Tnom
0.2Tnom
nom
2nom
3nom
rads
4nom
5nom
Figure 4.6 – Cahier des charges à puissance constante en ignorant une portion
autour de la vitesse nominale
d’un surdimensionnement de l’onduleur de 5%, le couple maximal atteint le minimum
(Fig. 4.9). Le Tableau 4.1 résume ces résultats.
Type de machine Surdimensionnement de Surdimensionnement de l’onl’onduleur limite
duleur limite
Cahier des charges nor- Cahier des charges modiﬁé
mal
Pôles lisses
30%
15%
Lq = 5Ld
30%
15%
Lq = 0.2Ld
20%
5%
Tableau 4.1 – Surdimensionnement de l’onduleur nécessaire pour obtenir un
couple maximal égal au couple de charge
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
192
3Tnom
Espace de solutions
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
Cahier des charges original
1.5Tnom
Cahier des charges modifié
Tnom
Tnom nom
1.2Tnom nom
1.4Tnom nom
1.6Tnom nom
Sonduleur
1.8Tnom nom
2Tnom nom
Figure 4.7 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles lisses avec un cahier des charges modiﬁé
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
193
3Tnom
Espace de solutions
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
Cahier des charges original
1.5Tnom
Cahier des charges modifié
Tnom
Tnom nom
1.2Tnom nom
1.4Tnom nom
1.6Tnom nom
Sonduleur
1.8Tnom nom
2Tnom nom
Figure 4.8 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld avec un cahier des
charges modiﬁé
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
194
3Tnom
Espace de solutions
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
Cahier des charges original
1.5Tnom
Cahier des charges modifié
Tnom
Tnom nom
1.2Tnom nom
1.4Tnom nom
1.6Tnom nom
Sonduleur
1.8Tnom nom
2Tnom nom
Figure 4.9 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld avec un cahier des
charges modiﬁé
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.2.5
195
Exemple de conception d’un entraı̂nement pour un fonctionnement à puissance constante
Cette section montre les résultats obtenus lors de la conception d’un entraı̂nement
avec une procédure d’optimisation et une validation des paramètres électriques avec
un logiciel de calcul des champs. La structure de la machine est ﬁxée à 12 pôles, 36
encoches et trois phases avec un rotor cylindrique. La saturation est négligée. La puissance apparente de l’onduleur est augmentée graduellement pour constater son eﬀet sur
le résultat de la conception de la machine. Pour l’optimisation, c’est la masse totale de
la machine qui a été minimisée tout en respectant les contraintes de la charge (Fig. 4.1
et 4.6). L’objectif est de déterminer si la relation trouvée entre le couple maximal de
la machine et le degré de surdimensionnement de l’onduleur est eﬀectivement vériﬁée
avec la procédure de CAO.
Les paramètres de conception sont présentés dans le Tableau 4.2. La puissance apparente de l’onduleur varie de 110% à 5 fois la puissance mécanique. En considérant le
cahier des charges de la ﬁgure 4.1, on obtient les résultats indiqués dans le Tableau 4.3
et la ﬁgure 4.10. Si nous considérons le cahier des charges de la ﬁgure 4.6, on obtient les
résultats indiqués dans le Tableau 4.4 et la ﬁgure 4.11. Les résultats suivent la tendance
de la courbe théorique dans les deux cas. Aussi, les systèmes qui utilisent le cahier des
charges modiﬁé ont un couple maximal moins important que les mêmes systèmes conçus
avec le cahier des charges non modiﬁé, tel qu’attendu.
Dans tous les cas, l’augmentation constatée sur le couple maximal du système est
plus importante que celle prévue par les courbes théoriques. Cette diﬀérence est plus
évidente si la puissance apparente de l’onduleur s’approche de la puissance mécanique
de la charge.
La masse des diﬀérentes machines diminue lorsque la puissance apparente de l’onduleur augmente. La masse des systèmes qui utilisent un cahier des charges modiﬁé est
inférieure à la masse des systèmes équivalents qui utilisent un cahier des charges non
modiﬁé (Fig. 4.12). Donc, la relation entre le couple maximal et la masse de la machine
est vériﬁée.
Cependant, le rapport entre la réaction d’induit et le ﬂux à vide ne suit pas la courbe
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
196
limite. Dans le cas des systèmes avec une puissance apparente d’onduleur proche de la
puissance mécanique, les systèmes conçus sont très près de la limite trouvée (Fig. 4.13,
a-d). Cependant, si la puissance apparente de l’onduleur est plus élevée que la puissance
mécanique, la réaction d’induit est beaucoup plus élevée que la limite trouvée (Fig. 4.13,
e-g). L’étude théorique se base sur la considération des paramètres électriques seulement
et il ne tient pas compte des contraintes propres à la conception des machines. La
ﬁgure 4.13 montre qu’il n’est pas possible de réduire la réaction d’induit de manière
arbitraire.
Tension bus DC
300[V]
Puissance mécanique nominale
25[kW]
Plage de vitesse à puissance constante
800-8000[RPM]
Couple nominal
298[Nm]
Vitesse nominale
800[RPM]
Pertes maximales du moteur
3.5[kW]
Nombre de pôles
12
Nombre d’encoches
36
Tableau 4.2 – Paramètres de conception d’un entraı̂nement pour une application
de traction
Machine Puissance apparente Couple maximum du Couple
de l’onduleur
système conçu
théorique
A
1.1Tnom Ωnom
1.59Tnom
1.25Tnom
B
1.15TnomΩnom
1.33Tnom
1.12Tnom
C
1.2Tnom Ωnom
1.19Tnom
1.05Tnom
D
1.41TnomΩnom
1Tnom
E
2Tnom Ωnom
1Tnom
F
5Tnom Ωnom
1Tnom
G
10Tnom Ωnom
1Tnom
maximum
Tableau 4.3 – Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur avec le cahier des charges de traction non modiﬁé
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
Machine Puissance apparente Couple maximum du Couple
de l’onduleur
système conçu
théorique
AS
1.1Tnom Ωnom
1.47Tnom
1.07Tnom
BS
1.15TnomΩnom
1.23Tnom
1.02Tnom
CS
1.2Tnom Ωnom
1.09Tnom
1Tnom
DS
2Tnom Ωnom
1Tnom
ES
5Tnom Ωnom
1Tnom
FS
10Tnom Ωnom
1Tnom
197
maximum
Tableau 4.4 – Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur avec le cahier des charges de traction modiﬁé
3Tnom
Couple Max
2.5Tnom
Espace de solutions
2Tnom
A
1.5Tnom
B
C
1Tnom
Tnom nom
D
E
2Tnom nom
F
3Tnom nom
Sonduleur
G
5Tnom nom 7Tnom nom 10Tnom nom
Figure 4.10 – Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
198
3Tnom
Couple Max
2.5Tnom
2Tnom
Espace de solutions
AS
1.5Tnom
BS
CS
DS
1Tnom
Tnom nom
2Tnom nom
ES
3Tnom nom
Sonduleur
FS
5Tnom nom 7Tnom nom 10Tnom nom
Figure 4.11 – Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le cahier
des charges modiﬁé.
90
80
A
Masse totale kg
70
AS
60
50
B
40
BS
C
30
CS
DS
ES
D
Tnom nom
2Tnom nom
E
3Tnom nom
Sonduleur
5Tnom nom 7Tnom nom
FS
F
10Tnom nom
Figure 4.12 – Masse des résultats de la conception d’une machine à pôles lisses
avec le cahier des charges modiﬁé.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
199
a
1
b
d
Espace de solutions
e
c
Limax
Λ
g
f
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
imax pu
Figure 4.13 – Réaction d’induit par rapport au ﬂux à vide des résultats de la
conception.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.2.6
200
Conclusion sur l’utilisation des outils pour le dimensionnement d’un entraı̂nement avec fonctionnement à puissance constante
Nous avons réalisé une étude théorique, d’abord analytique et par la suite en utilisant l’outil développé dans le chapitre §2, qui montre qu’il existe une relation entre le
couple maximal d’une machine et la puissance apparente de l’onduleur pour réaliser des
fonctionnements à puissance constante. À l’aide d’une procédure de conception d’entraı̂nements, nous avons pu valider la relation trouvée avec l’étude théorique entre le
couple maximal de la machine et la puissance apparente de l’onduleur. Nous avons aussi
montré que la masse de la machine augmente si la puissance apparente de l’onduleur
diminue. Cependant, la diminution théorique de la réaction d’induit avec la puissance
apparente n’est pas suivie.
Il n’est pas possible de construire un système de traction avec des machines à aimants
permanents avec une puissance mécanique égale à la puissance apparente de l’onduleur,
même en négligeant toutes les pertes. Ces résultats sont sensibles à la forme de la
caractéristique couple-vitesse du cahier des charges. On a constaté une diminution de
la masse de la machine lorsqu’on ignore la zone de la caractéristique de couple vitesse
autour de la transition entre le fonctionnement à couple constant et le fonctionnement
à puissance constante.
Cette étude théorique montre que les machines à pôles saillants dont Lq > Ld ne
semblent pas plus avantageuses que les machines à pôles lisses. Cependant, les machines
dont Ld > Lq semblent plus intéressantes mais l’outil du chapitre §2 montre aussi que
la loi de commande optimale d’une machine à pôles saillants est plus complexe qu’une
loi de commande d’une machine à pôles lisses. Il est important de tenir compte de
cet aspect lors du choix d’une structure d’entraı̂nements à vitesse variable pour des
applications de traction.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.3
201
Conception d’une machine pour une application
de traction
Une application de traction électrique peut se caractériser par une courbe de vitesse
et de pente en fonction du temps pour un parcours typique. Par exemple, la ﬁgure 4.14
montre un parcours basé sur des essais normalisés d’automobiles pour déterminer la
consommation de combustible (EPA US06 et EPA UDDS) [28] [11]. Ce parcours a été
modiﬁé en ajoutant une pente qui augmente la force de résistance au mouvement du
125
0.5
100
0.4
75
0.3
50
0.2
25
0.1
0
Pente pu
Vitesse kmh
véhicule.
0.
0
5 10 15 20 25 30 35 40
Temps min
Figure 4.14 – Vitesse et pente sur le parcours
En utilisant des donnés comme le diamètre des roues, le facteur de réduction de la
transmission, la masse du véhicule et le coeﬃcient de traı̂née (Tableau 4.5), les points
du parcours dans le temps sont transformés en points de couple versus la vitesse du
moteur (Fig. 4.15). Les points de la ﬁgure 4.15 forment une partie du cahier des charges
du véhicule, car le parcours doit être réalisable, avec le maximum d’eﬃcacité et en
respectant des contraintes liées à la taille de la machine et de l’onduleur.
Nombre de moteurs
2
Masse du véhicule
1400 [kg]
Réduction de la transmission
8 :1
Tension maximale
144 [V]
Courant maximal
289 [A]
Coeﬃcient de traı̂née
0.015
Tableau 4.5 – Caractéristiques de l’entraı̂nement du véhicule
Couple Nm
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
202
150
125
100
75
50
25
0
25
0
2000
4000
6000
Vitesse rpm
8000
Figure 4.15 – Couple de charge du moteur pour le parcours utilisé
4.3.1
Déﬁnition du problème d’optimisation
La déﬁnition du problème d’optimisation consiste à déterminer les contraintes, les
variables et les performances recherchées en fonction du cahier des charges. Dans la
référence [28], le problème d’optimisation a été déﬁni en suivant la méthode indiquée
dans la ﬁgure 4.16. En tenant compte du cahier des charges, la première étape consiste
à déﬁnir la structure du système, soit le nombre de phases, d’encoches et de pôles ainsi
que la structure du bobinage et de l’onduleur. Le nombre de phases a été ﬁxé à trois et
seulement des machines à pôles lisses ont été retenues.
Ensuite, les variables d’optimisation sont déﬁnies, les contraintes liées à la performance demandée au système et les équations de dimensionnement. Les variables
d’optimisation sont utilisées pour calculer :
• Les dimensions géométriques de la machine.
• La masse des diﬀérentes parties de la machine.
• Les paramètres électriques de la machine.
• La loi de commande de l’entraı̂nement pour le parcours typique utilisé (Fig. 4.14),
tout en respectant les limites de tension et de courant de l’onduleur.
• L’eﬃcacité du système sur le parcours est optimisée.
L’algorithme d’optimisation modiﬁe les variables pour optimiser l’eﬃcacité de l’entraı̂nement dans le parcours. Ces modiﬁcations se basent seulement sur le modèle analytique et il peut y avoir une diﬀérence entre la performance que prédit le calcul analytique
et un logiciel de calcul de champ. C’est pour cela que le résultat optimal obtenu est
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
203
considéré comme intermédiaire et qu’il doit être vériﬁé à l’aide d’un logiciel de calcul de
champ. Le résultat de cette vériﬁcation a soit pour eﬀet que la solution est validée ou
que des facteurs correcteurs pour l’inductance et le ﬂux sont calculés et que l’optimisation est réalisée de nouveau (Fig. 4.16). Ces facteurs correcteurs améliorent la précision
du calcul analytique par rapport au calcul de champ. Si la solution est validée par le
calcul de champ, elle est valable [28] [11]. L’avantage de cette méthode est de diminuer
le nombre d’utilisations du calcul de champ car il est utilisé à l’extérieur de la boucle
d’optimisation (Fig. 4.16) [11].
4.3.1.1
Détermination de la fonction objectif
Nous avons choisi de maximiser l’eﬃcacité totale de l’entraı̂nement sur le parcours
tout en satisfaisant les contraintes du cahier des charges. L’outil que nous avons développé donne directement la puissance électrique d’entrée à la machine pour chaque
point de fonctionnement §2.
Dans la référence [28], les pertes magnétiques de chaque point de fonctionnement de
la machine sont représentées comme un couple de friction ajouté au couple de charge.
Pour calculer les pertes magnétiques, l’outil est utilisé une première fois pour estimer le
ﬂux en charge de la machine. Avec le ﬂux en charge, il est possible d’estimer les pertes
magnétiques à l’aide des coeﬃcients des pertes d’hystérésis, de courant de Foucault
et des dimensions géométriques de la machine, comme il a été décrit dans [28], [11].
Ce calcul est réalisé pour chacun des points du parcours. Avec les pertes magnétiques
connues pour chaque point du parcours, un couple de friction équivalent est calculé et
l’outil est utilisé à nouveau en imposant une nouvelle valeur de couple électromagnétique suﬃsamment importante pour obtenir le couple mécanique désiré. Ceci permet
de calculer facilement l’énergie d’entrée en tenant compte des pertes magnétiques, mais
oblige à calculer deux fois chaque point du parcours (Fig. 4.16). L’énergie fournie à la
charge mécanique est obtenue directement du parcours, car c’est le produit du couple
de la charge, de sa vitesse et du temps. L’eﬃcacité est le ratio entre les deux énergies.
Notons que ce calcul nécessite d’évaluer deux fois chaque point du parcours, car les
pertes magnétiques sont estimées en fonction du point de fonctionnement en supposant
que les pertes magnétiques sont nulles.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
'
Départ
&
204
$
- Analyse du cahier
des charges
-
%
Choix de
structure de
la machine
-
?
Premier calcul
de loi de commande pour le parcours
Dimensionnement
analytique
?
Estimation des
pertes magnétiques
et correction du
couple de référence
?
Deuxième calcul de
la loi de commande
pour le parcours
-
Calcul de
l’eﬃcacité
sur le parcours
@ Non
@
@
@
- Fin optimisation @
@ analytique
@
@
@
@ Oui
?
Solution optimale
et validation par
calcul de champ
?
@
@
@
@
@
Validé ?
Calcul facteurs
Non
correcteurs pour @
modèle analytique
@
@
@
@
Oui
' ?
$
Solution ﬁnale
&
Figure 4.16 – Étapes de la conception d’un entraı̂nement de traction
%
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.3.1.2
205
Contraintes du cahier des charges
La liste des contraintes imposées par le cahier des charges est présentée dans le
Tableau 4.61 .
Couple électromagnétique à 2540 [RPM] 150 [Nm]
Couple électromagnétique à 3543 [RPM] 109 [Nm]
Couple électromagnétique à 5181 [RPM] 74 [Nm]
Couple électromagnétique à 8123 [RPM] 35 [Nm]
Diamètre externe maximal
0.3 [m]
Longueur maximale
0.15 [m]
Pertes maximales
3000 [W]
Courant maximal d’une phase
289 [A]
Tension maximale d’une phase
144 [V]
Induction maximale permise dans le fer 1.8 [T]
THD maximale de la f.e.m.
3%
Couple de détente maximal
1.5 [Nm]
Tableau 4.6 – Contraintes de conception
On peut remarquer que l’entraı̂nement doit être capable de développer un certain
niveau de couple à diﬀérentes vitesses. Ces valeurs caractéristiques ont été choisies arbitrairement en prenant les points les plus contraignants sur le parcours. Ces contraintes
permettent de s’assurer que l’ensemble du parcours est réalisable, sans nécessiter une
vériﬁcation pour chaque point du parcours.
L’encombrement de la machine est aussi limité en raison de l’espace disponible dans
un véhicule. Les pertes maximales pour les diﬀérents points d’opération du parcours
sont aussi limitées pour réduire l’échauﬀement et la taille du système de refroidissement.
La puissance apparente maximale de l’onduleur a été imposée pour limiter le coût du
convertisseur sous la forme d’une tension et d’un courant maximal.
1
La contrainte de THD a été ignorée lors de l’optimisation, et les machines A, B et E ne remplissent
pas cette contrainte. Elles ont été retenues dans cette thèse, car les résultats sont pertinents à la
discussion.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.3.1.3
206
Déﬁnition des variables d’optimisation
Les variables d’optimisation choisies sont celles montrées dans le Tableau 4.7.
Longueur du rotor
Diamètre du rotor
Charge linéique
Densité du courant
Angle d’un aimant
Epaisseur des aimants
Ouverture des becs d’encoche
Facteurs de concentration de ﬂux (3)
Tableau 4.7 – Variables d’optimisation
4.3.1.4
Déﬁnition des paramètres de conception
Dans la référence [28], les paramètres de conception sont déterminés en fonction des
matériaux utilisés pour construire la machine et les limites de fabrication de la machine
(Tableau 4.8). Les pertes magnétiques du fer sont estimées à l’aide d’un coeﬃcient des
pertes d’hystérésis et d’un coeﬃcient des pertes par courant de Foucault. L’estimation
des pertes magnétiques est nécessaire pour estimer les pertes totales du système et pour
évaluer eﬃcacité totale avec la méthode qui sera décrite plus tard (§4.3.1.6).
Facteur de remplissage des encoches
0.5
Entrefer mécanique minimal
2.5 [mm]
Magnétisation rémanente des aimants
1.16 [T]
Coeﬃcient des pertes d’hystérésis
0.1338 [W/T2 /Hz]
Coeﬃcient des pertes par courants de Foucault 0.411 [mW/T2 /Hz2 ]
Résistivité du cuivre
2.793 E-8 [Ωm]
Tableau 4.8 – Paramètres de conception
4.3.1.5
Calcul des paramètres électriques de la machine
Après avoir réalisé un dimensionnement magnétique de la structure de la machine
avec la méthode décrite à la référence [11], il est possible d’estimer les paramètres du
modèle électrique équivalent, qui sont les suivants :
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
207
• Le ﬂux à vide tenant compte de la saturation du fer
• L’inductance cyclique
• La résistance
Une analyse de sensibilité des modèles analytiques que nous avons développés pour le
calcul du ﬂux et de l’inductance est présentée dans la référence [11]. Cette étude montre
que les formules présentées dans le chapitre §1 oﬀrent une sensibilité satisfaisante par
rapport au calcul de champ. En eﬀet, le changement d’une variable géométrique de la
machine entraı̂ne un changement sur les valeurs des paramètres du modèle calculées avec
les formules du chapitre §1. Ce changement est du même signe que celui observé avec le
logiciel des éléments ﬁnis mais les valeurs ne sont pas exactement les mêmes [11]. Cette
diﬀérence sur les résultats était attendue puisque nous avons montré dans le chapitre
§1 que la précision des formules analytiques est aﬀectée par la structure de la machine
choisie, par la perméabilité du fer et par la saturation du fer.
En conséquence, il n’est pas envisageable d’utiliser directement les résultats de ces
formules lors de la conception d’un entraı̂nement par optimisation, car la solution ﬁnale
sera invalidée par un logiciel de calcul de champ. Pour corriger ce problème, il faut
réaliser une correction sur les paramètres du modèle électrique de la machine en utilisant les résultats du calcul de champ et eﬀectuer plusieurs itérations avec la procédure
d’optimisation. Cette méthode de correction est présentée dans la référence [11] et elle
consiste à comparer les valeurs de ﬂux et d’inductances obtenues à partir des formules
analytiques et du calcul de champ. Avec cette comparaison, il est possible d’obtenir un
facteur correcteur qui corrige la valeur des formules analytiques pour mieux s’approcher du calcul de champ (Fig. 4.16). Cette correction est appliquée seulement à la ﬁn
du calcul de champ et ne fait pas partie de l’algorithme d’optimisation.
Le calcul du ﬂux à vide de la machine s’eﬀectue en trois étapes :
• Les dimensions géométriques de la machine et les formules du chapitre §1 permettent de calculer le ﬂux à vide en négligeant la perméabilité du stator et du
rotor. Le résultat est un ﬂux dans le bobinage, sans tenir compte de la saturation
magnétique λns .
• Le ﬂux à vide est aussi calculé avec un réseau de reluctances qui représente uniquement le circuit d’un pôle de la machine. Le résultat est un ﬂux par pôle, sans
tenir compte de la saturation magnétique du réseau de reluctances λnsr .
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
208
• On estime ensuite un facteur d’atténuation de l’induction maximale dans l’entrefer
qui résulte de la saturation magnétique ou d’une faible perméabilité du fer. Ce
facteur est calculé en utilisant un réseau de réluctances d’un pôle qui tient compte
des caractéristiques B(H) des matériaux [11]. Le résultat est un ﬂux par pôle, avec
la saturation magnétique du réseau de reluctances λsr .
L’eﬀet d’atténuation du fer peut être estimé à l’aide du quotient du ﬂux par pôle
avec saturation λsr et du ﬂux par pôle sans saturation λnsr , qui sont obtenus avec les
réseaux de réluctance comme suit :
ksat =
λsr
λnsr
(4.14)
Le ﬂux à vide dans le bobinage, en tenant compte de la saturation du fer, est le
produit du facteur d’atténuation précédent et du ﬂux à vide dans le bobinage obtenu
avec un calcul linéaire :
λsat = ksat λns
(4.15)
Avec les formules proposées, il est possible d’estimer l’inductance, sans la prise en
compte de la saturation Llin . Pour calculer l’inductance avec saturation, nous supposons
que la valeur du courant de court-circuit dans le bobinage correspond au rapport entre
le ﬂux à vide et l’inductance cyclique et qu’elle n’est pas aﬀectée par l’état de saturation
[11].
λsat
Lsat
λns
=
Llin
iccsat =
(4.16)
icclin
(4.17)
iccsat = icclin
(4.18)
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
209
En conséquence, nous pouvons déduire que :
Lsat =
λsat
Llin = ksat Llin
λns
(4.19)
La détermination de la résistance par phase se base sur une estimation de la longueur moyenne d’une spire d’une bobine, multipliée par le nombre de bobines tout en
considérant le facteur de remplissage des encoches.
4.3.1.6
Calcul des courants pour les points du parcours
Le calcul des courants pour les diﬀérents points de fonctionnement du parcours
s’eﬀectue en trois étapes [28].
• On eﬀectue une première estimation des courants optimaux pour chaque point de
fonctionnement du système en utilisant les paramètres électriques de la machine
et les points de couple versus vitesse obtenus à partir du parcours du véhicule. Ce
calcul est réalisé suivant la méthode décrite dans §2 (premier calcul de la loi de
commande dans la ﬁgure 4.16).
• On calcule le ﬂux en charge pour chaque point de fonctionnement en utilisant les
résultats précédents.
• On estime ensuite les inductions dans les diﬀérentes parties de la machine pour
chaque point du parcours en utilisant le ﬂux en charge.
• Les pertes magnétiques pour chaque point du parcours sont ensuite déterminées
avec un modèle de pertes de Steinmetz (Tableau 4.8).
• On ajoute au couple de charge, un couple de freinage qui représente les pertes
magnétiques pour chaque point du parcours aﬁn d’estimer le couple électromagnétique de référence du moteur et réaliser un deuxième calcul des courants optimaux
(deuxième calcul de la loi de commande dans la ﬁgure 4.16).
• En utilisant les diﬀérentes valeurs de couple électromagnétique sur le parcours, les
paramètres électriques et l’outil présenté dans le chapitre §2, on peut déterminer
les valeurs ﬁnales des courants optimaux pour chaque point de fonctionnement
lors du parcours.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
210
Les valeurs ﬁnales de courant nous permettent d’évaluer la fonction objectif, soit
l’eﬃcacité de l’entraı̂nement lors du parcours.
4.3.2
Correction du résultat d’optimisation avec le calcul de
champ
Lorsqu’un optimum est trouvé, on vériﬁe les paramètres du modèle électrique avec
un logiciel de calcul de champ (Fig. 4.16). Ceci permet de s’assurer que le système calculé
respecte l’ensemble des contraintes du cahier des charges après une simulation par calcul
de champs. Si ce n’est pas le cas, on détermine des facteurs de correction pour les
paramètres électriques. Il faut alors relancer une nouvelle optimisation avec les facteurs
de correction. Les coeﬃcients de corrections sont ajustés après chaque optimisation
jusqu’à ce que l’écart entre le résultat de l’optimisation et le calcul de champ devienne
négligeable [15].
Il faut bien noter que le calcul de champ n’est pas utilisé directement pour l’optimisation puisqu’il prend plus de temps que le calcul analytique.
4.3.3
Analyse de résultats
Cette procédure d’optimisation a été utilisée pour comparer plusieurs structures de
machines sur le parcours de la ﬁgure 4.14 et le Tableau 4.9 montre les résultats de cette
étude. Chaque structure satisfait le même cahier des charges. La masse est variable et
les structures avec rotor externe semblent avoir un avantage pour minimiser les pertes
fer et la masse totale.
Les machines A et B possèdent la même structure mais il s’agit de résultats diﬀérents
qui satisfont le cahier des charges (Fig. 4.17 et 4.18).
Il est intéressant de remarquer que la machine A (Fig. 4.17) est limitée en vitesse par
rapport à la machine B (Fig. 4.18). La machine A possède une zone de fonctionnement
avec haut rendement qui s’étend vers la limite de fonctionnement. La machine B oﬀre
un rendement inférieur dans la limite de fonctionnement mais il est plus élevé dans la
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
211
zone entre 6000 et 8000 [RPM].
Le rendement sur le parcours est diﬀérent pour chaque machine mais les valeurs
sont similaires. Les machines C et F avec un rotor extérieur ont un rendement plus
intéressant que les machines avec rotor intérieur. On constate aussi une réduction du
volume de cuivre car les têtes de bobines sont moins importantes lorsque le stator se
trouve à l’intérieur de la machine.
Nous constatons que l’optimisation impose un rendement élevé pour toutes les machines dans la région de fonctionnement entre 2000 et 4000 [RPM] et 25 et 50 [Nm]. Cette
zone de fonctionnement rassemble le plus grand nombre de points du parcours. Cependant, il y a d’autres zones de concentration importante entre 6000 et 8000 [RPM] qui ne
sont pas toujours sous une zone de fonctionnement de haute eﬃcacité. Par exemple, la
machine D, qui a un rendement légèrement moins intéressant que les autres, n’oﬀre pas
un rendement élevé dans cette deuxième zone de concentration de points de parcours
(Fig. 4.20). Au contraire, les machines C et F ont cet avantage et oﬀrent un meilleur
rendement dans cette deuxième zone de concentration des points (Fig. 4.19 et 4.22).
Le rendement sur la caractéristique limite des entraı̂nements n’est pas signiﬁcatif.
Machine
A
B
C
D
4
E
5
F
Nombre de paires de pôles
6
5
Nombre d’encoches
36
12
21
18
8
Type de rotor
Int.
Ext.
Int.
Ext.
Longueur axiale [m]
0.066
0.068
0.088
0.090
0.058
0.043
Diamètre [m]
0.259
0.240
0.186
0.233
0.287
0.288
Masse de cuivre [kg]
5.70
4.65
2.42
4.12
5.77
3.22
Masse de fer [kg]
10.42
9.38
10.12
15.32
14.12
11.65
Masse des aimants [kg]
1.03
0.68
1.36
1.21
0.85
1.17
Masse totale [kg]
17.15
14.71
13.91
20.64
20.75
16.05
Rapport L/D
0.26
0.29
0.48
0.39
0.20
0.15
95%
93%
94%
96%
Rendement du parcours
93%
Tableau 4.9 – Résultats de l’optimisation avec diﬀérentes structures de machines
Le couple maximal de la machine E pourrait dépasser le couple maximal du cahier
des charges si on change la référence de couple (Fig. 4.21). Cette machine possède le
rendement le plus intéressant parmi les machines avec rotor interne mais elle est aussi
la plus lourde.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
150
212
0.98
Couplepu
125
0.96
100
75
0.94
50
25
0.92
0
0
2000
4000
6000
Vitesse pu
8000
10000
0.9
Figure 4.17 – Rendement de la machine A et points du parcours
150
0.98
Couplepu
125
0.96
100
75
0.94
50
25
0.92
0
0
2000
4000
6000
Vitesse pu
8000
10000
Figure 4.18 – Rendement de la machine B et points du parcours
0.9
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
150
213
0.98
Couplepu
125
0.96
100
75
0.94
50
25
0.92
0
0
2000
4000
6000
Vitesse pu
8000
10000
0.9
Figure 4.19 – Rendement de la machine C et points du parcours
150
0.98
Couplepu
125
0.96
100
75
0.94
50
25
0.92
0
0
2000
4000
6000
Vitesse pu
8000
10000
Figure 4.20 – Rendement de la machine D et points du parcours
0.9
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
150
214
0.98
Couplepu
125
0.96
100
75
0.94
50
25
0.92
0
0
2000
4000
6000
Vitesse pu
8000
10000
0.9
Figure 4.21 – Rendement de la machine E et points du parcours
150
0.98
Couplepu
125
0.96
100
75
0.94
50
25
0.92
0
0
2000
4000
6000
Vitesse pu
8000
10000
Figure 4.22 – Rendement de la machine F et points du parcours
0.9
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.3.4
215
Conclusion sur l’utilisation de la procédure de CAO pour
des applications de traction électrique
Les formules présentées dans le chapitre §1 pour déterminer le ﬂux et l’inductance
présentent l’avantage de tenir compte de n’importe quelle structure de machine, ce qui
a permis de facilement comparer plusieurs structures de machine. Un logiciel de calcul
du champ a validé toutes les solutions après une correction itérative sur les paramètres.
Dans le cas de la machine F, la correction des formules analytiques pour s’accorder au
résultat du calcul de champ est de 27%.
Les outils développés s’intègrent parfaitement dans la procédure de CAO et ont pu
être améliorés pour tenir compte de la perméabilité du fer et des pertes magnétiques. La
rapidité de résolution du modèle analytique développé dans §2 a permis de déterminer
la loi de commande optimale pour l’ensemble des 2475 points du parcours, dans une
procédure de conception itérative par optimisation. La méthode utilisée calcule la loi
de commande, deux fois, pour chacun des points à chaque itération d’optimisation. Ce
résultat montre l’intérêt et les avantages de cette méthode en égard au temps de calcul.
L’optimisation a permis d’adapter les caractéristiques des machines pour maximiser
le rendement du système dans la région où sont concentrés la plupart des points du
parcours. Le rendement du système est moins intéressant lors d’un fonctionnement à
basse vitesse et à fort couple ou dans la limite de fonctionnement. Cependant, cela a
un eﬀet négligeable sur l’eﬃcacité globale du système avec le parcours typique utilisé.
4.4
Comparaison de modèles magnétiques pour la
conception d’un alternateur de voiture
Dans le chapitre §3, nous avons développé un modèle pour un alternateur de voiture
avec un redresseur à diodes. Cet outil a été utilisé dans la référence [15] pour analyser l’inﬂuence de la précision des modèles magnétiques lors du dimensionnement d’un
alternateur avec une procédure d’optimisation. Il utilise les paramètres électriques de
l’alternateur qui sont estimés à l’aide de diﬀérents modèles magnétiques.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
216
Au chapitre §3, nous avons montré qu’il suﬃt de modéliser l’alternateur comme une
machine à pôles lisses. Donc les paramètres du circuit électrique équivalent sont le ﬂux
à vide, l’inductance cyclique et la résistance de phase. La méthode de conception de
l’alternateur est similaire à celle décrite dans l’exemple précédent et elle est illustrée
par la ﬁgure 4.23.
La procédure de conception a été appliquée deux fois. Une première fois en utilisant
un modèle magnétique avec seulement des reluctances (Fig. 4.24). Une deuxième fois,
en utilisant les formules présentées dans le chapitre §1, corrigées par un réseau de reluctances, pour tenir compte des caractéristiques des matériaux magnétiques (Fig. 4.25).
L’objectif est de comparer les deux résultats et d’analyser l’inﬂuence du modèle magnétique analytique sur les performances de la méthode de dimensionnement. Comme
il y a une correction par rapport au calcul de champ à l’extérieur de la boucle d’optimisation, les deux résultats ﬁnaux satisfont toutes les contraintes et sont validés par un
logiciel de calcul de champ en 3D.
4.4.1
Cahier des charges
Le cahier des charges de l’alternateur est présenté dans le Tableau 4.10 [11] [15].
Diamètre extérieur maximal
130[mm]
Diamètre de l’arbre
17.5[mm]
Longueur du circuit magnétique
25 [mm]
Entrefer mécanique minimal
0.2[mm]
Tension de la batterie
14 [V]
Courant de charge minimale à 1000 [RPM]
3 [A]
Courant de charge minimale à 3000 [RPM]
75 [A]
Courant de charge minimale à 8000 [RPM]
116 [A]
Tableau 4.10 – Cahier des charges d’un alternateur de voiture
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
'
$
Départ
&
- Analyse du cahier
des charges
%
Calcul caractéristique
courant vitesse
-
Choix de
structure de
la machine
-
?
Dimensionnement
analytique
@
@
@
@
@ Non
Fin optimisation @
@analytique de la masse
@
@
@
@
@
Oui
?
Calcul de
la masse
?
Solution obtenue
et validation par
calcul de champ 3D
Calcul facteurs
correcteurs calcul
de champ
?
@
@
@
@
@ Non
@
Validé ?
@
@
@
@
@
@
' ?
Oui
$
Fin
&
%
Figure 4.23 – Diagramme de la conception de l’alternateur
217
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
'
$
Dimmensionnement analytique
avec réluctances
&
%
218
?
Déterminer
dimensions géométriques
avec les variables
d’optimisation
?
Calculer le ﬂux à vide sans
saturation avec la solution
d’un réseau de réluctances linéaires
?
Calculer le ﬂux à vide avec
saturation à partir d’un réseau
de réluctances non-linéaires
?
Calculer l’inductance sans saturation
magnétique avec le réseau
de réluctances linéaire
?
Calculer le facteur de saturation
et calculer la valeur de l’inductance
avec saturation
?
Corriger les valeurs de ﬂux
et d’inductance avec
les facteurs correcteurs
du calcul de champ
'
?
$
Fin
&
%
Figure 4.24 – Dimensionnement analytique utilisant des réseaux de reluctances
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
$
'
Dimensionnement analytique
avec réluctances
&
%
219
Déterminer
dimensions géométriques
avec les variables
d’optimisation
?
Calculer l’inductance
sans saturation magnétique
avec le modèle du chapitre
§1
Calculer le ﬂux à vide
sans saturation magnétique
avec le modèle du chapitre
§1
?
Calculer le facteur de
saturation avec le réseau
de réluctances équivalent
-
Calculer le ﬂux à vide et
l’inductance avec saturation
magnétique avec le facteur
de saturation
?
Corriger le ﬂux à vide
et l’inductance avec
les facteurs correcteurs
du calcul de champ
'
?
$
Fin
&
%
Figure 4.25 – Dimensionnement analytique utilisant un modèle 2D corrigé avec
un réseau de reluctances
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.4.2
220
Méthode de conception
La méthode de conception est similaire à celle utilisée dans le cas du moteur de
traction (Fig. 4.16 et 4.23). Elle utilise une boucle d’optimisation avec des formules
analytiques et une correction après chaque résultat d’optimisation avec un logiciel de
calcul de champ. Les diﬀérences entre ces deux procédures sont les suivantes :
• Les variables d’optimisation puisqu’il s’agit d’une machine à rotor bobiné.
• La correction avec un calcul de champ a été réalisée à l’aide d’un logiciel 3D.
• La méthode de conception a été appliquée deux fois. Une fois avec un réseau de
reluctances tout seul et une autre fois avec les formules proposées dans §3 qui ont
été corrigées avec un réseau de réluctances pour tenir compte de la saturation
magnétique.
Le calcul de champ a été utilisé uniquement pour corriger les résultats de l’optimisation avec le modèle analytique pour limiter la durée du calcul. Néanmoins, cette
méthode assure que le résultat ﬁnal de l’optimisation est entièrement validé par le calcul
de champ, tel qu’indiquée à la ﬁgure 4.16.
4.4.3
Sensibilité de la caractéristique courant - vitesse en fonction des modèles magnétiques
Avant d’analyser les résultats de la méthode de conception, il est intéressant de
comparer les performances des diﬀérentes méthodes pour calculer les paramètres du
circuit équivalent. Pour cela, on a utilisé les dimensions géométriques d’un alternateur
connu et on a calculé ses paramètres avec les diﬀérentes méthodes disponibles, soit : des
méthodes analytiques et des méthodes numériques du calcul de champ en 3D [15]. On a
ensuite comparé les caractéristiques de courant - vitesse obtenues avec les diﬀérents jeux
de paramètres. La ﬁgure 4.26 montre les résultats de cette comparaison si on utilise les
deux méthodes de calcul analytiques et des simulations par calcul de champ en potentiel
vecteur et en potentiel scalaire. Les deux simulations par calcul de champ 3D permettent
d’encadrer la caractéristique exacte tel qu’expliqué dans la référence [29].
On constate que chaque modèle donne un résultat diﬀérent. La diﬀérence entre
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
221
les modèles analytiques et le calcul de champ montre l’importance de la méthode de
correction du calcul de champ développé dans [11]. Le modèle du redresseur du chapitre
§3 met en évidence que les deux méthodes de résolution de calcul de champ 3D ont une
diﬀérence de 10% à 8000 [RPM] et de 30% à 2000 [RPM].
200
175
Courant DC A
150
125
Calcul champ 3D scalaire
Calcul champ 3D vecteur
Calcul analytique reluctance
100
75
Calcul analytique 2Dreluctance
50
25
1000
2000
3000
4000
5000
Vitesse RPM
6000
7000
8000
Figure 4.26 – Comparaison des caractéristiques de courant vitesse avec diﬀérents
modèles magnétiques sur une même machine.
4.4.4
Résultats d’une conception par optimisation avec diﬀérents modèles
Dans la référence [15], on a utilisé les deux modèles magnétiques dans une procédure de conception itérative par optimisation en imposant des structures de machines
identiques soit le même nombre d’encoches, le même nombre de pôles, la même conﬁguration de bobinage et les mêmes paramètres de dimensionnement. Dans les deux cas,
le processus d’optimisation arrive à trouver une structure d’alternateur qui remplit le
cahier des charges et qui est validé par le calcul de champ en raison de la méthode de
correction itérative (Fig. 4.23).
Les résultats obtenus sont résumés dans le Tableau 4.11. On constate que les ré-
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
222
sultats du dimensionnement avec les deux modèles sont diﬀérents bien que ces deux
structures soient des solutions du problème. On constate que les géométries optimales,
particulièrement la grandeur de dents de rotor, sont diﬀérentes (Fig. 4.27, 4.28). Donc,
le résultat est fortement déterminé par le comportement du modèle analytique, même
si à la ﬁn, la correction assure que les résultats sont validés par le calcul de champ. La
correction se fait sur les valeurs des paramètres mais n’améliore pas la sensibilité du
modèle analytique.
La masse de l’alternateur obtenue à l’aide du modèle de reluctances est légèrement
supérieure au résultat obtenu à l’aide du deuxième modèle magnétique. Les densités
de courant sont similaires mais légèrement supérieures dans le résultat obtenu avec le
deuxième modèle. Cependant, les paramètres électriques des deux alternateurs sont très
similaires. Cela vient de la caractéristique minimale de génération et de la tension de
la batterie qui ne laisse pas de degrés de liberté pour le comportement électrique de
l’alternateur, compte tenu de la taille maximale permise, des pertes maximales imposées
et de l’adaptation du nombre de spires.
Figure 4.27 – Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique
avec réseaux de réluctances.
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
223
Figure 4.28 – Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique
avec formules 2D et corrigés avec un réseaux de réluctances.
Modèle magnétique
Réseau de réluctances
Formules analytiques §1 avec réseau de réluctances
Masse du fer
5.7[kg]
5.2[kg]
Masse du cuivre
0.96[kg]
0.86[kg]
Masse totale
6.7[kg]
6.1[kg]
Densité de courant de stator 27.1 [A/mm2 ]
29.3[A/mm2 ]
Densité de courant de rotor 10.2 [A/mm2 ]
10.4[A/mm2 ]
Flux à vide
12.4 [mWb]
Inductance cyclique
134 [μH]
Résistance
67 [mΩ]
Nombre de tours
12
11
Tableau 4.11 – Résultats obtenus pour la conception d’un alternateur
Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés
4.4.5
224
Conclusion sur l’inﬂuence des modèles magnétiques
Cette étude a mis en évidence l’inﬂuence de la sensibilité des modèles analytiques sur
les résultats d’une conception par optimisation. Elle montre que ces résultats dépendent
des performances du modèle analytique. La méthode d’estimation des paramètres électriques présentée au chapitre §1 et améliorée par [11] s’est avérée performante. L’utilisation du calcul de champ permet de corriger l’erreur du modèle analytique mais ne
peut pas améliorer sa sensibilité. Même si la solution trouvée à l’aide du modèle analytique n’est pas nécessairement un optimum du problème considéré, elle est une solution
valable qui respecte entièrement le cahier des charge.
4.5
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons montré la pertinence des outils de modélisation développés. Ils se sont révélés performants et bien adaptés pour la conception par optimisation des entraı̂nements à vitesse variable. Ils sont rapides et permettent d’évaluer
le comportement d’un entraı̂nement sur une large plage de vitesse tout en déterminant
les courants et les tensions du système. Il est donc possible de considérer un nombre
important de points de fonctionnement en régime permanent sans pénaliser le temps
de calcul. Cet avantage est essentiel pour une résolution itérative avec optimisation. La
conception d’un entraı̂nement pour une application de traction en utilisant des parcours
typiques est une approche originale qui était diﬃcilement réalisable sans des modèles
analytiques performants.
Les exemples de conception ont aussi montré la simplicité d’utilisation de ces outils et
les possibilités d’améliorations pour traiter des problèmes variés sans avoir à modiﬁer les
outils de base. La ﬂexibilité des outils a permis de rajouter des méthodes de correction de
modèles analytiques et de prise en compte de la saturation pour améliorer la procédure
de CAO [11].
Chapitre 5
Analyse des performances d’une
machine polyphasée en
fonctionnement dégradé
5.1
Introduction
Les machines polyphasées présentent un intérêt dans certaines applications pour la
tolérance aux défauts [30], [31] et [32]. Comme type de défauts, nous pouvons signaler
des problèmes sur le convertisseur, comme par exemple, un transistor court-circuité ou
ouvert. Des défauts peuvent aussi apparaı̂tre dans le bobinage de la machine, comme
une bobine avec un court-circuit entre ses spires.
Ces défauts aﬀectent les performances de l’entraı̂nement et ils peuvent être compensés dans le cas des machines polyphasées par des stratégies de commande particulières.
Cependant, les travaux présentés dans la littérature ne tiennent pas compte des limitations de tension et de courant du système pour déﬁnir la loi de commande appropriée
et pour évaluer les performances dans ces conditions particulières [30] [31] [32].
Nous avons déjà présenté une méthode de modélisation au chapitre §2 qui caractérise
des entraı̂nements polyphasés, en fonctionnement normal, en considérant les limitations
de courant et de tension du système. Il est possible d’utiliser la même approche pour
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
226
modéliser le fonctionnement des machines polyphasées qui comportent un défaut avec
une phase ouverte ou avec une phase en court-circuit.
Cette approche est diﬀérente de l’approche algébrique utilisée dans [30], [31] et [32].
Ces travaux n’ont pas considéré les impédances de la machine, ni la tension maximale
de l’onduleur. Cela simpliﬁe le calcul des solutions analytiques, mais ces résultats sont
valables seulement pour les basses vitesses. Lorsque la vitesse de fonctionnement s’approche de la vitesse nominale, nous ne pouvons plus négliger l’eﬀet des impédances. La
méthode présentée dans ce chapitre permet de surmonter ces inconvénients en solutionnant un problème d’optimisation.
Dans la première partie du chapitre, nous présentons la structure du système considéré et les hypothèses simpliﬁcatrices. Nous formulons le problème d’optimisation et
nous expliquons la méthode de résolution retenue. L’algorithme développé est ensuite
utilisé pour comparer des entraı̂nements avec un nombre de phases diﬀérent et pour
évaluer le surdimensionnement nécessaire pour réaliser une tolérance aux défauts. Nous
présentons une étude sur la ﬁabilité des entraı̂nements polyphasés. Finalement, nous
comparons des coûts normalisés de ces systèmes en fonction du nombre de phases et de
la probabilité de défaut.
5.2
Structure de la machine et de l’onduleur
Nous considérons que le système d’entraı̂nement est composé d’une machine à aimants permanents à pôles lisses et d’un onduleur. La machine comporte nphases phases.
Nous nous limiterons à étudier les cas de 3, 5 et 7 phases seulement, mais la méthode
que nous présentons est générale. Pour rendre le système tolérant aux défauts, la référence [33] propose que les phases ne soient ni couplées magnétiquement, ni couplées
thermiquement. Elle propose d’utiliser des structures avec des phases composées par
une seule bobine autour d’une dent. Dans la même référence, il est proposé que chaque
phase soit alimentée par un pont monophasé complet (Fig. 5.1). De cette manière,
chaque phase est complètement isolée des autres phases mis à part le bus DC.
Les références [30], [31] et [32] proposent de connecter les machines en étoile pour
diminuer le nombre de transistors nécessaires pour alimenter une machine polyphasée
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
227
(Fig. 5.2). Les deux types de structures sont tolérantes aux défauts mais la performance
est diﬀérente lors d’un défaut.
T1
T3
T2
T4
Figure 5.1 – Structure d’une phase d’un entraı̂nement alimentée avec un pont
monophasé par phase
T1 T2 T3 T4 T5
T6 T7 T8 T9 T10
Figure 5.2 – Structure d’une machine à cinq phases connectée en étoile
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
5.2.1
228
Types de défauts
Dans le système d’entraı̂nement, il peut se produire diﬀérents défauts :
• Une phase ouverte.
• Un court-circuit entre terminaux d’une phase.
• Un court-circuit entre spires d’une bobine d’une phase.
• Un transistor toujours ouvert.
• Un transistor toujours fermé.
Il est souhaitable que, dans tous les cas, le système puisse fournir une performance
adéquate. Nous supposons qu’une performance adéquate est la capacité de produire la
puissance mécanique suﬃsante pour maintenir le couple moyen à la même valeur et
sans ondulation du couple.
5.2.2
Commande d’une machine en présence d’un défaut
Dans le cas d’un défaut avec une phase ouverte ou d’une phase en court-circuit, il
est nécessaire de déterminer une commande en courant qui est capable d’annuler l’ondulation de couple et de maximiser le couple électromagnétique. Cette loi de commande
doit en tout temps respecter les contraintes de tension et de courant de l’entraı̂nement,
notamment la tension maximale et le courant maximal que peut fournir l’onduleur.
L’étude de ces deux défauts est importante, car dans le cas des autres types de
défauts, le contrôle du système a pour objectif que la phase aﬀectée soit vue par le
système comme une phase ouverte ou comme une phase en court-circuit.
5.2.2.1
Commande en présence d’un défaut de court-circuit d’une spire
d’une phase composée par une seule bobine
Dans le cas d’un court-circuit entre spires dans le bobinage d’une phase, il circule
un courant très élevé dans la spire en court-circuit. Les conducteurs de la spire risquent
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
229
de surchauﬀer jusqu’à l’interruption du circuit provoquant un défaut de phase ouverte.
Donc, une stratégie de contrôle consiste à provoquer l’interruption naturelle du courtcircuit. Cependant, cette stratégie entraı̂ne d’autres problèmes causés par la chaleur
qui peuvent apparaı̂tre avant que le courant ne soit interrompu. Pour ces raisons, la
référence [33] n’est pas favorable à l’idée de laisser le défaut s’interrompre tout seul.
Elle propose de réaliser un court-circuit entre les terminaux de la phase à l’aide de
l’onduleur (Fig. 5.3). De cette manière, le courant dans la spire en défaut diminue (voir
§A).
5.2.2.2
Défaut d’un transistor ouvert
Si un transistor reste ouvert de manière continue, par exemple, le transistor T3
(Fig. 5.5), il est nécessaire d’utiliser les autres transistors (T2 et T4) de l’onduleur pour
produire un court-circuit de la phase aﬀectée [33]. Ce court-circuit est nécessaire pour
empêcher les diodes de roue libre des transistors T1 et T4 de conduire. En eﬀet, un
fonctionnement en sur-vitesse peut produire un courant de circulation non contrôlé à
travers les diodes de roue libre des transistors T1 et T4. Ce risque est évité avec un
court-circuit de phase.
Si la machine est connectée en étoile et qu’un transistor est toujours ouvert, par
exemple T6, nous pouvons commander la fermeture du transistor T1. Par la suite, nous
utilisons les transistors des autres phases (T7-T10) pour injecter un courant élevé dans
la phase aﬀectée et pour ouvrir un fusible en série avec la phase (Fig. 5.7). De cette
manière la phase reste ouverte et nous évitons tout risque de circulation de courant par
la diode de roue libre du transistor T1.
5.2.2.3
Défaut d’un transistor fermé
Si le transistor T3 est toujours fermé dans une structure avec un pont monophasé
par phase, il est nécessaire d’utiliser le transistor T1 pour produire un court-circuit de la
phase (Fig. 5.6). Dans une machine connectée en étoile, si le transistor T6 est toujours
fermé, nous utilisons les transistors (T2-T5) pour injecter un courant élevé dans la
phase aﬀectée et ouvrir un fusible en série avec la phase [32] (Fig. 5.8). La référence [33]
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
230
aﬃrme que les fusibles diminuent la ﬁabilité du système. Cependant, le courant nominal
du fusible nécessaire est au moins trois fois plus important que le courant nominal du
système. Par exemple, pour une machine avec 5 phases, nous utilisons 4 phases pour
injecter le courant dans la phase avec défaut que nous désirons déconnecter. Donc les
problèmes de ﬁabilité du fusible sont réduits, car le fusible travaille bien au dessous de
son courant nominal dans toutes les conditions de fonctionnement.
T1
T2
T3
T4
Figure 5.3 – Phase alimentée par un pont monophasé, avec un court-circuit entre
les spires
T1 T2 T3 T4 T5
T6 T7 T8 T9 T10
Figure 5.4 – Phase avec un court-circuit entre les spires du bobinage et avec
connexion en étoile
5.2.3
Contrainte sur le courant de court-circuit d’une machine
Nous avons constaté que certains défauts, notamment le court-circuit entre les spires
d’une phase et les défauts des transistors de puissance, nécessitent de réaliser un courtcircuit d’une phase de la machine en régime permanent. Donc, il est nécessaire que
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
T1
T2
231
T3 ouvert
T4
Figure 5.5 – Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours
ouvert
T1
T2
T3 fermé
T4
Figure 5.6 – Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours
fermé
T1 T2 T3 T4 T5
inom
inom
inom
inom
4inom
T6 T7 T8 T9 T10
ouvert
Figure 5.7 – Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur
toujours ouvert
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
232
T1 T2 T3 T4 T5
inom
inom
inom
inom
4inom
T6 T7 T8 T9 T10
fermé
Figure 5.8 – Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur
toujours fermé
l’intensité de courant de court-circuit soit plus petite ou égale à l’intensité de courant
nominal de la machine. Aussi, dans les machines alimentées avec un pont monophasé
par phase, le courant de court-circuit circule dans l’onduleur. En conséquence, si les
phases sont magnétiquement découplées, le courant nominal du système doit remplir la
condition suivante :
inom ≥
λ
L
(5.1)
Dont L est l’inductance de la phase et λ est le ﬂux à vide de la phase.
5.3
Hypothèses simpliﬁcatrices du problème d’optimisation
Pour déterminer la performance d’un entraı̂nement en régime de défaut, nous utilisons un problème d’optimisation. Le problème d’optimisation consiste à maximiser le
couple tout en respectant les contraintes de tension et de courant de chaque phase.
Le défaut peut aussi être modélisé comme contraintes du problème d’optimisation. Par
exemple, le courant d’une phase est nul si la phase est ouverte à cause d’un défaut. Dans
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
233
le chapitre §2, nous avons développé une solution pour la maximisation du couple d’un
système en conditions normales de fonctionnement tout en respectant ses contraintes.
Le cas que nous traitons ici est diﬀérent, car le défaut impose un fonctionnement déséquilibré du système. Donc, nous ne pouvons pas utiliser la solution trouvée dans le
chapitre §2, car les hypothèses de départ ne sont pas respectées.
Pour poser le problème d’optimisation sous une forme convenable, nous utilisons les
hypothèses simpliﬁcatrices suivantes :
• La matrice d’inductances de la machine ne varie pas avec la position du rotor.
• La machine n’est pas saturée.
• Le ﬂux de la machine produit par les aimants est constant dans le temps.
• La résistance de la machine est constante dans le temps.
• Le ﬂux à vide est sinusoı̈dal.
• Le système est en régime permanent.
5.4
Mise en place du problème d’optimisation
Il est intéressant d’utiliser une transformation de variables pour mieux poser le
problème d’optimisation. Nous utilisons une transformation de Park généralisée qui
nous permet de nous assurer facilement que l’ondulation de couple électromagnétique
est nulle. Pour obtenir une transformation de Park généralisée, il est nécessaire de choisir
, tel que nous l’avons indiqué dans [34].
le vecteur hpark
Pour étudier les défauts qui nous intéressent, le vecteur convenable à choisir est le
suivant :
#
$
= −1 0 . . . 0 1
hpark
Si le nombre de phases est de 3, 5 ou 7, les vecteurs à utiliser sont :
(5.2)
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
#
$
h3phases = −1 1
#
$
h5phases = −1 0 0 1
#
$
h7phases = −1 0 0 0 0 1
234
(5.3)
(5.4)
(5.5)
En suivant la méthode indiquée dans la référence [34], nous pouvons obtenir les
matrices de transformation et la transformation inverse dans chaque cas.
Les courants de la machine sont représentés sous la forme d’un vecteur. Ce vecteur
est composé d’un courant de séquence homopolaire, deux courants en composantes de
Park et des courants en composantes de Clarke. Dans le cas d’une machine à trois phases,
il y a deux courants de Park id , iq et une composante homopolaire. Les composantes de
Park sont des composantes qui ne varient pas dans le temps en régime permanent et la
composante homopolaire varie en fonction de la position du rotor comme suit :
⎡
⎤
a0 cos pΩt + b0 sin pΩt
⎢
⎥
ĩ = ⎣
id
⎦
iq
(5.6)
Dans le cas d’une machine à cinq phases, nous avons aussi deux composantes de
Park, une composante homopolaire et deux composantes de Clarke comme suit :
⎡
a0 cos pΩt + b0 sin pΩt
⎤
⎥
⎢
id
⎥
⎢
⎥
⎢
α
α
⎥
ĩ = ⎢
⎢ia3 cos pΩt + ib3 sin pΩt⎥
⎥
⎢β
β
⎣ia3 cos pΩt + ib3 sin pΩt⎦
iq
(5.7)
Les composantes de Clarke varient aussi en fonction de la position du rotor. Dans
le cas d’une machine à sept phases, nous avons plutôt quatre composantes de Clarke
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
235
comme suit :
⎡
a0 cos pΩt + b0 sin pΩt
⎤
⎥
⎢
id
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢iα cos pΩt + iα sin pΩt⎥
b5
⎥
⎢ a5
⎥
⎢α
α
î = ⎢ia3 cos pΩt + ib3 sin pΩt⎥
⎥
⎢β
⎢i cos pΩt + iβ sin pΩt⎥
⎥
⎢ a3
b3
⎥
⎢β
β
⎣ia5 cos pΩt + ib5 sin pΩt⎦
iq
(5.8)
En utilisant la transformation inverse, nous pouvons obtenir les courants individuels de chaque phase. Comme il s’agit de fonctions sinusoı̈dales, nous pouvons facilement trouver la valeur maximale de la forme d’onde résultante et la comparer avec les
contraintes de courant du système.
Les tensions et les courants sont liés par l’équation générale suivante :
v̂ = R̂î +
dλ̂
∂T − 1
+T
pΩλ̂
dt
∂pΩt
(5.9)
En utilisant la transformation inverse, nous pouvons obtenir la tension de chaque
phase :
vabc... = T−1 v̂
(5.10)
Le problème d’optimisation qui détermine le couple maximal que peut fournir la
machine est le suivant :
max iq
(5.11)
Les variables que nous utilisons sont celles qui représentent le vecteur des courants.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
236
Par exemple dans le cas d’une machine à sept phases, les variables sont :
a0 , b0 , id , iαa3 , iαb3 , iβa3 , iβb3 , iq
(5.12)
Le problème d’optimisation compte plusieurs contraintes. D’abord la phase A est
ouverte, donc le courant est nul. Par exemple, dans le cas d’une machine à sept phases,
nous obtenons l’équation suivante :
(b0 + bα3 + bα5 + id ) cos(pΩt) + (a0 + aα3 + aα5 − iq ) sin(pΩt) = 0
(5.13)
Il est préférable d’écrire cette contrainte plutôt comme deux contraintes linéaires :
b0 + bα3 + bα5 + id = 0
(5.14)
a0 + aα3 + aα5 − iq = 0
(5.15)
Nous devons limiter le courant dans toutes les phases saines à la valeur maximale
permise par le système. Aussi, nous devons tenir compte de la tension de chaque phase
saine. Donc, en général, le problème d’optimisation compte les contraintes suivantes :
• Deux contraintes linéaires d’égalité associées à la phase ouverte (phase A).
• Une contrainte quadratique d’inégalité associée à la limite de courant par phase
saine.
• Une contrainte quadratique d’inégalité associée à la limite de tension par phase
saine.
• Une contrainte linéaire d’égalité par phase associée aux équations électriques de
la machine.
• Si la machine est connectée en étoile, il y a deux contraintes linéaires d’égalité
associées à la somme des courants de toutes les phases saines.
Dans le cas d’une phase en court-circuit, le problème est similaire. Il y a deux
contraintes linéaires d’égalité associées au court-circuit de la phase A à la place des
contraintes associées à la phase ouverte.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
237
Le problème que nous venons de montrer se classe comme un problème d’optimisation convexe. Ce type de problème d’optimisation possède un seul optimum local qui
est à la fois l’optimum global. Pour cette classe de problèmes, il existe des algorithmes
itératifs qui permettent de trouver l’optimum global [35]. Nous avons implémenté ces
algorithmes pour chaque cas que nous voulons comparer. L’utilisation de la transformation de Park généralisée nous permet de générer facilement des algorithmes qui sont
très similaires pour les diﬀérents nombres de phases.
5.5
Normalisation des paramètres
Pour que le système puisse supporter un défaut de court-circuit d’une phase ou un
court-circuit entre les spires d’une phase, il est nécessaire que le courant nominal du
système soit plus grand que le courant de court-circuit de la machine. Pour notre étude,
nous allons considérer le cas limite :
inom =
λ
L
(5.16)
Le couple maximal que peut produire le système est déterminé par le ﬂux et par
le courant nominal du système. Nous allons déﬁnir la vitesse nominale de la machine
comme la plus grande vitesse qui permet de produire le couple maximal tout en respectant les contraintes de courant et de tension du système dans des conditions normales
de fonctionnement.
Si on néglige la résistance :
2
= (pΩnom Linom )2 + (pΩnom λ)2
vnom
La normalisation des paramètres est donnée par :
(5.17)
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
v
vpu =
ipu
Ωpu
vnom
i
=
inom
Ω
=
Ωnom
238
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
Avec les équations précédentes, nous obtenons :
Lpu =
λpu =
L
vnom
inom pΩnom
L
vnom
pΩnom
(5.22)
(5.23)
Donc, l’équation (5.17) avec des variables normalisées est :
12 = L2pu + λ2pu
(5.24)
Aussi, l’équation (5.16) avec des variables normalisées est :
1=
λpu
Lpu
(5.25)
Donc, sans considération de la tension nominale, du courant nominal ou du nombre
de pôles du système, en variables normalisées, tous les systèmes qui remplissent les
conditions que nous avons énoncées auparavant possèdent les paramètres normalisés
suivants :
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
239
vnompu = 1[pu]
(5.26)
inompu = 1[pu]
1
λpu = √
2
1
Lpu = √
2
(5.27)
(5.28)
(5.29)
Le couple de la machine est donné par :
t=
nphases
pλiq
2
(5.30)
La valeur de référence du couple pour la normalisation est donnée par le rapport
entre la puissance apparente de l’onduleur et la vitesse nominale du système :
tnom =
nphases vnom inom
2
Ωnom
(5.31)
En conséquence, le couple normalisé est :
tpu = λpu iqpu
(5.32)
Notons que le couple normalisé est indépendant du nombre de pôles et du nombre
de phases de la machine. Donc, la normalisation facilite la comparaison entre diﬀérents
systèmes comportant un nombre diﬀérent de phases.
5.6
Comparaison entre entraı̂nements avec diﬀérent
nombre de phases
Dans cette section, nous allons comparer la performance avec défaut des machines
avec 3, 5 et 7 phases ayant un pont monophasé par phase ou une connexion étoile. Les
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
240
paramètres normalisés de ces machines sont tous les mêmes et ils ont été indiqués dans
la section §5.5.
Le Tableau 5.1 montre les résultats que nous avons obtenus dans le cas d’un défaut
d’une phase ouverte, en utilisant un pont monophasé par phase. Le Tableau 5.2 montre
les résultats que nous avons obtenus avec une connexion en étoile.
Nous constatons que la perte de couple à basse vitesse reproduit les résultats qui
ont été décrits dans des publications précédentes. Cependant, la perte de couple à
vitesse nominale de la machine est plus importante à cause de l’eﬀet des impédances
des machines. Nous constatons que les systèmes avec des ponts monophasés présentent
une meilleure performance que les systèmes connectés en étoile.
Le Tableau 5.3 montre les performances des systèmes lors d’un défaut de courtcircuit en utilisant un pont monophasé par phase. Le Tableau 5.4 montre les résultats si
la connexion de la machine est une étoile. Nous remarquons que le couple est plus aﬀecté
par un défaut de court-circuit que par un défaut d’une phase ouverte. Dans le cas de la
machine à trois phases, le couple à vitesse nominale est plus élevé que le couple à basse
vitesse. C’est le contraire dans le cas d’une phase ouverte. Nous constatons encore que les
systèmes utilisant un pont monophasé par phase présentent une meilleure performance
lors d’un défaut que les systèmes connectés en étoile. Notons que ces résultats sont
diﬀérents de ceux que nous avons publiés auparavant [32]. Dans cette publication, nous
avons supposé que la phase et l’amplitude du courant de court-circuit sont égales au
courant de court-circuit à très haute vitesse. Dans cette étude, nous ne faisons plus
cette supposition.
En observant la caractéristique couple vitesse des diﬀérents systèmes, nous constatons que, si le nombre de phases augmente, les performances lors d’un défaut s’améliorent (Fig. 5.10-). Nous remarquons aussi qu’il existe un minimum de couple à basse
vitesse dans le cas d’un défaut de court-circuit (Fig. 5.12, 5.13). Le minimum de couple
est causé par le couple de freinage de la phase en court-circuit. Ce couple est nul à
vitesse zéro et augmente avec la vitesse pour atteindre un maximum et par la suite
diminuer (Fig. 5.9). Nous pouvons constater aussi que la courbe de couple vitesse avec
un défaut de court circui rejoint la courbe avec une phase ouverte si la vitesse est nulle
(Fig. 5.14-).
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
241
La vitesse à laquelle le couple de freinage est le plus important est donnée par :
Ω∗ =
r
Lp
(5.33)
Si la résistance est petite par rapport à l’impédance de la phase à vitesse nominale,
la valeur de la vitesse où le couple de freinage est maximal est petite (Fig. 5.9). La
valeur du couple de freinage maximal est indépendante de la valeur de la résistance de
la phase de stator :
% du couple maximal
tf reinage =
pλ2
2L
(5.34)
100
80
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
Vitesse pu
0.2
Figure 5.9 – Couple de freinage lors d’un court-circuit d’une phase
En général, nous observons que le défaut qui aﬀecte le plus le couple d’un système
est le court-circuit d’une phase. Ce sont les entraı̂nements connectés en étoile qui sont
les plus sensibles aux défauts.
Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une
normales
phase ouverte
phase ouverte
phase ouverte
Couple à basse vi- 0.707
tesse [pu]
0.408 (-42%)
0.538 (-24%)
0.592 (-16%)
Couple à vitesse 0.707
0.351 (-50%)
0.509 (-28%)
0.576 (-19%)
nominale [pu]
Tableau 5.1 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une
phase ouverte et un pont monophasé par phase
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
242
Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une
normales phase ouverte
phase ouverte
phase ouverte
Couple à basse vi- 0.707
NA
0.512 (-28%)
0.574 (-19%)
NA
0.429 (-39%)
0.534 (-25%)
tesse
Couple à vitesse 0.707
nominale
Tableau 5.2 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une
phase ouverte et une connexion en étoile
Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une
normales phase en court- phase en court- phase en courtcircuit
circuit
circuit
Couple à basse vi- 0.707
tesse
0.105 (-85%)
0.419 (-41%)
0.520 (-27%)
Couple à vitesse 0.707
0.199 (-72%)
0.448 (-37%)
0.546 (-23%)
nominale
Tableau 5.3 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une
phase en court-circuit et avec un pont monophasé par phase
Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une
normales
Couple à basse vi- 0.707
phase en
circuit
court- phase en
circuit
court- phase en
circuit
court-
NA
0.330 (-53%)
0.500 (-29%)
NA
0.375 (-47%)
0.518 (-27%)
tesse
Couple à vitesse 0.707
nominale
Tableau 5.4 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une
phase en court-circuit et une connexion en étoile
% du couple maximal
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
100
243
Normal
7 phases pont 1Φ par phase
80
5 phases pont 1Φ par phase
60
3 phases pont 1Φ par phase
40
20
0
0
0.5
1
1.5
Vitesse pu
2
Figure 5.10 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte
% du couple maximal
et un pont monophasé par phase
100
Normal
7 phases étoile
80
5 phases étoile
60
3 phases pont 1Φ par phase
40
20
0
0
0.5
1
1.5
Vitesse pu
2
Figure 5.11 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte
% du couple maximal
et une connexion en étoile
100
Normal
7 phases pont 1Φ par phase
80
60
5 phases pont 1Φ par phase
40
3 phases pont 1Φ par phase
20
0
0
0.5
1
1.5
Vitesse pu
2
Figure 5.12 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et un pont monophasé par phase
% du couple maximal
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
100
80
Normal
7 phases étoile
60
5 phases étoile
40
244
3 phases pont 1Φ par phase
20
0
0
0.5
1
1.5
Vitesse pu
2
Figure 5.13 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et une connexion en étoile
5.6.1
Charges maximales avec tolérance aux défauts
Les caractéristiques de couple vitesse que nous avons déterminées nous permettent
d’établir la charge maximale qui peut être entraı̂née avec une phase de moins. La valeur
de la charge maximale est déterminée par :
• La caractéristique la plus basse entre la caractéristique avec une phase ouverte et
celle avec une phase en court-circuit.
• La courbe de couple vitesse de la charge.
• Un objectif d’optimisation.
Par exemple, dans le cas d’un système à trois phases, nous constatons qu’une charge
à couple constant est plus aﬀectée par le défaut d’une phase en court-circuit que dans
le cas des autres types de charges (Fig. 5.14.a et b). En eﬀet, le minimum de couple qui
se produit à basse vitesse lors d’un défaut de phase en court-circuit aﬀecte seulement
la charge à couple constant. La vitesse à laquelle le système peut entraı̂ner la charge
est de 1.85[pu]. Cette vitesse est imposée par la caractéristique avec une phase ouverte.
Une charge qui est proportionnelle à la vitesse ou au carré de la vitesse n’est pas nécessairement aﬀectée par ce creux de couple à basse vitesse (Fig. 5.14.b et c). Cependant,
la vitesse nominale est plus basse que pour le cas d’une charge à couple constant, mais
la puissance mécanique est plus élevée.
Dans la ﬁgure 5.14.a-c, nous avons déterminé le couple et la vitesse nominale de la
charge pour maximiser la puissance mécanique de la charge. Dans le cas d’un système à
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
245
trois phases, on obtient les mêmes résultats si l’on maximise la puissance mécanique et si
on maximise le couple de la charge. Pour des systèmes à cinq et sept phases, les résultats
sont diﬀérents. Dans le cas d’une machine à cinq phases (Fig. 5.15), la maximisation
de la puissance mécanique d’une charge à couple constant n’est pas limitée par le creux
de couple qui se produit à basse vitesse (Fig. 5.15.a). Par contre, si nous maximisons
le couple d’une charge à couple constant, la limite de couple est imposée par le creux
de couple qui se produit à basse vitesse, lors du court-circuit d’une phase (Fig. 5.16.a).
La limite de vitesse est imposée par la caractéristique avec une phase en court-circuit.
Nous pouvons réaliser la même observation dans le cas d’un système avec sept phases
avec ponts monophasés (Fig. 5.19 et 5.20) et d’un système connecté en étoile (Fig. 5.21
et 5.22). S’il s’agit d’un système connecté en étoile à cinq phases, la maximisation de la
puissance mécanique ou du couple mécanique donne le même résultat pour une charge
à couple constant (Fig. 5.17.a et 5.18.a). Cependant le résultat est diﬀérent pour les
autres types de charge (Fig. 5.17.b-c, 5.18.b-c) ou dans le cas de machines connectées en
étoile (Fig. 5.17, 5.18, 5.21, 5.22). Les Tableau 5.5 et Tableau 5.6 résument les résultats
que nous avons obtenus pour les diﬀérents types de charges considérées et les diﬀérents
nombres des phases.
Nombre
de 3
5
5 étoile
7
7 étoile
phases
Type de charge
Couple nominal
Charge à couple constant
0.104
0.370
0.329
0.344
0.419
Vitesse nominale 1.85
1.43
1.29
1.90
1.36
Puissance nomi- 0.194
0.530
0.425
0.653
0.570
nale
Type de charge
Couple nominal
Charge proportionnelle à la vitesse
0.200
0.370
0.352
0.344
0.419
Vitesse nominale 1.41
1.43
1.22
1.90
1.36
Puissance nomi- 0.282
0.530
0.429
0.653
0.570
nale
Type de charge
Couple nominal
Charge proportionnelle au carré de la vitesse
0.370
0.352
0.344
0.419
Vitesse nominale 1.41
0.200
1.43
1.22
1.90
1.36
Puissance nomi- 0.282
0.530
0.429
0.653
0.570
nale
Tableau 5.5 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
246
a
% du couple maximal
100
80
Phase ouverte
60
40
Phase courtcircuit
20
1.85
Charge couple constant
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
b
% du couple maximal
100
80
Phase ouverte
60
40
Phase courtcircuit
1.41
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
c
% du couple maximal
100
80
Phase ouverte
60
40
Phase courtcircuit
1.41
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
Figure 5.14 – Diﬀérents types de charges avec une machine à trois phases et un
pont monophasé par phase
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
247
a
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
60
Charge couple constant
1.43
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
b
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
60
1.43
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
c
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
60
Phase courtcircuit
1.43
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
Figure 5.15 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une
machine à cinq phases et un pont monophasé par phase
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
248
a
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
1.14
Charge couple constant
60
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
b
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
0.78
Phase courtcircuit
60
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
c
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
0.78
Phase courtcircuit
60
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
Figure 5.16 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à cinq phases et un pont monophasé par phase
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
249
a
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
60
Phase courtcircuit
Charge couple constant 1.29
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
b
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
60
Phase courtcircuit
1.22
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
c
% du couple maximal
100
Phase ouverte
80
60
Phase courtcircuit
1.22
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
Figure 5.17 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une
machine à cinq phases connectée en étoile
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
250
a
% Couple maximal
100
Phase ouverte
80
60
Phase courtcircuit
Charge couple constant 1.29
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
b
% Couple maximal
100
Phase ouverte
80
60
Phase courtcircuit
1.
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
c
% Couple maximal
100
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
1.
60
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
Figure 5.18 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à cinq phases connectée en étoile
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
251
a
100
% du couple maximal
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
60
1.9
40
Charge couple constant
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
b
100
% du couple maximal
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
60
1.9
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
c
100
% du couple maximal
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
60
1.9
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
Figure 5.19 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une
machine à sept phases avec un pont monophasé par phase
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
252
a
100
% du couple maximal
Phase ouverte
80
Phase courtcircuit
60
Charge couple constant
1.11
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
b
% du couple maximal
100
Phase ouverte
0.83
Phase courtcircuit
80
60
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
c
% du couple maximal
100
Phase ouverte
0.83
Phase courtcircuit
80
60
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
Figure 5.20 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à sept phases avec un pont monophasé par phase
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
253
a
% Couple maximal
100
Phase ouverte
Phase courtcircuit
80
60
1.36
Charge couple constant
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
b
% Couple maximal
100
Phase ouverte
Phase courtcircuit
80
60
1.36
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
c
% Couple maximal
100
Phase ouverte
Phase courtcircuit
80
60
1.36
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
Figure 5.21 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une
machine à sept phases connectée en étoile
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
254
a
% Couple maximal
100
Phase ouverte
Phase courtcircuit
1.08
80
60
Charge couple constant
40
20
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
1.5
2
b
% Couple maximal
100
Phase ouverte0.79
Phase courtcircuit
80
60
40
20
Charge proportionnelle à la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
c
% Couple maximal
100
Phase ouverte0.79
Phase courtcircuit
80
60
40
20
Charge proportionnelle au carré
de la vitesse
0
0
0.5
1
Vitesse pu
1.5
2
Figure 5.22 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à sept phases connectée en étoile
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
Nombre
phases
de 3
5
Type de charge
Couple nominal
5 étoile
7
7 étoile
Charge à couple constant
0.419
0.329
0.520
0.499
Vitesse nominale 1.85
1.14
1.29
1.11
1.08
Puissance nomi- 0.194
nale
0.479
0.425
0.577
0.539
0.104
Type de charge
Couple nominal
Charge proportionnelle à la vitesse
0.496
0.375
0.572
0.557
Vitesse nominale 1.41
0.78
1
0.83
0.79
Puissance nomi- 0.282
nale
0.387
0.375
0.474
0.440
Type de charge
Couple nominal
255
0.200
Charge proportionnelle au carré de la vitesse
0.200
0.496
0.375
0.572
0.557
Vitesse nominale 1.41
0.78
1
0.83
0.79
Puissance nomi- 0.282
nale
0.387
0.375
0.474
0.440
Tableau 5.6 – Charges maximales pour maximiser le couple
5.7
Fiabilité des machines polyphasées
Bien que la section précédente montre qu’une machine polyphasée est tolérante aux
défauts, et que le nombre de phases augmente cette tolérance, il est aussi possible que
l’augmentation du nombre de phases et du nombre de composants ampliﬁe le risque
d’un défaut. Donc, il se peut que le gain obtenu par la tolérance aux défauts soit réduit,
en partie, par une augmentation du risque de défaut. Nous allons réaliser une analyse
très simpliﬁée pour déterminer si une machine polyphasée est plus avantageuse qu’une
machine à trois phases. Nous considérons seulement le cas des systèmes comportant des
ponts monophasés dans chaque phase.
5.7.1
Fiabilité des transistors de puissance
Les transistors IGBT de puissance sous la forme de modules utilisés pour des entraı̂nements sont des dispositifs complexes. En eﬀet, pour pouvoir oﬀrir des courants
nominaux élevés dans un module, chaque transistor du module est composé en réalité
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
256
de plusieurs transistors en parallèle et de plusieurs diodes en parallèle [36]. Les interconnections entre les diﬀérents composants à l’intérieur d’un module sont réalisées à
l’aide de ﬁls conducteurs d’aluminium soudés à chaque transistor avec de la pression et
de l’ultrason. Un seul module peut contenir plusieurs centaines de ﬁls [37]. Les causes
des défauts des modules des transistors sont [38] :
• Fatigue mécanique des ﬁls de connexion.
• Séparation des ﬁls de connexion des transistors.
• Cassure des ﬁls de connexion au point de pliage.
• Déformation plastique des métallisations qui forment le point de contact avec les
ﬁls de connexion.
• Cassure et fatigue des matériaux fragiles du module (silicium, isolants et substrat
céramique).
• Corrosion des interconnexions.
• Fatigue des soudures entre le substrat céramique et la base du module.
• Vides dans la soudure entre le substrat céramique et la base du module.
• Court-circuit entre le collecteur et l’émetteur, problèmes d’isolement.
• Rayons cosmiques.
Les problèmes les plus fréquents sont : la séparation des ﬁls de connexion, la cassure
du substrat de céramique et les défauts d’isolement dans le gel du module [39]. Ces
défauts sont causés principalement par la diﬀérence des coeﬃcients d’expansion des différents matériaux qui causent des eﬀorts mécaniques à l’intérieur du module. En eﬀet,
les essais de vieillissement accéléré montrent que le nombre de cycles de température
qu’un module peut supporter diminue avec l’augmentation de la diﬀérence de température du cycle [40]. Les cahiers de charge pour des onduleurs de traction des locomotives
demandent 5 millions de cycles de fonctionnement sur 30 ans, ce qui impose que chaque
module doit avoir une fréquence des défauts de 10−7 heures, soit 9 10−4 défauts par année [41]. Il y a deux variables qui semblent intéressantes pour augmenter la durée de
vie des modules :
• La diminution des variations de température des modules en utilisant des moyens
de refroidissement appropriés
• La diminution du courant d’utilisation des transistors par rapport à leur courant
nominal [42].
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
5.7.2
257
Fiabilité des machines de traction
Dans les machines de traction alimentées par des onduleurs, les références consultées,
indiquent deux problèmes principaux associés aux tensions modulées des onduleurs :
• Le vieillissement accéléré du système d’isolement de la machine dû à la forme de
tension hachée des onduleurs [43].
• L’endommagement des roulements du rotor dû à la circulation des courants provoqués par la modulation de tension [44].
Les solutions proposées sont diverses, passant par l’utilisation d’isolements plus robustes, de cahiers des charge plus stricts par rapport aux décharges partielles, des
roulements isolés ou de contacts de mise à la terre du rotor. Cependant, dans les références [45] et [46], les problèmes constatés ont plutôt été d’isolement de stator dû à
l’entrée de poussière, de pluie ou de la neige.
5.7.3
Fréquence des défauts des diﬀérents composants
Les publications disponibles donnent des estimations diﬀérentes de la ﬁabilité des
composants des systèmes de traction et parfois ces données ne sont pas complètes. On
a aussi constaté que la déﬁnition de défaut n’est pas toujours la même, pour chaque
auteur. La référence [46] indique des fréquences de défaut plus élevées que les références
[47], [48], [45] et [49]. Cependant, elle montre que les moteurs de traction sont beaucoup
plus ﬁables que l’électronique de puissance. Elle remarque aussi que la moitié des défauts
étudiés sont causés par le système de contrôle. Le Tableau 5.7 montre les fréquences de
défaut par 109 heures de fonctionnement (FIT) des diﬀérents composants compilés de
quatre publications avec des données semblables.
Si nous considérons qu’un onduleur triphasé avec tolérance aux défauts possède 12
IGBT (quatre transistors par phase), selon les données du Tableau 5.7, le taux de défauts
le plus optimiste de l’onduleur est 7680 FIT. Ce taux est plus élevé que le taux de défauts
de la machine. Dans le cas d’un onduleur avec plus de phases, la fréquence de défauts de
l’onduleur sera proportionnellement plus grande si la ﬁabilité des modules est similaire.
Nous n’avons pas de donnés suﬃsantes pour aﬃrmer si un module ayant un courant
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
Référence
[47]
[48]
[45]
258
[49]
Moteur
NA
3200-5600
1518
NA
Thyristor avec snubber
290
160
285
NA
Diode
50
80
NA
IGBT avec commande rapprochée
NA
640
NA
Source d’alimentation pour la commande rappro- NA
chée
400-800
NA
Capteurs de tension et courant
NA
100-160
NA
Condensateur
NA
80
NA
Inducteur
NA
160
NA
IGBT sans commande rapprochée
NA
500
Commande rapprochée IGBT
NA
1300
Tableau 5.7 – Fréquence des défauts des composantes d’entraı̂nements de traction
des locomotives
nominal plus grand est plus ou moins ﬁable qu’un module de courant nominal inférieur
ou qu’une combinaison parallèle ou qu’une combinaison série de modules. Donc, nous
allons supposer simplement que la ﬁabilité des modules reste dans la plage des valeurs,
très variable, indiquée par les références, avec des taux de défaut qui varient entre 640
et 1800 FIT.
Dans le cas de la machine, il est diﬃcile d’aﬃrmer quelle est sa ﬁabilité en fonction
du nombre de phases car sa construction est diﬀérente et dépend aussi du type de
bobinage choisi. Le taux de défauts par phase peut être estimé en fonction des données
du Tableau 5.7. Nous pouvons considérer deux cas particuliers :
• La machine complète présente un taux de défauts indépendant du nombre de
phases. Cela correspond à un cas optimiste pour les machines à plus de trois
phases, car la ﬁabilité par phase augmente avec le nombre de phases.
• Le taux de défauts par phase est conservé. Cela correspond à une hypothèse pessimiste de la ﬁabilité pour les machines polyphasées, car la ﬁabilité de la machine
diminue avec le nombre de phases.
Même si nous pouvons discuter de la validité de ces hypothèses, il faut aussi remarquer que les données du Tableau 5.7 pour la ﬁabilité d’une machine à trois phases
varient de 1518 à 5600 FIT. Nous travaillons encore avec une donnée très imprécise et il
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
259
ne semble pas intéressant d’approfondir sur la ﬁabilité des machines avec plus de trois
phases si déjà la ﬁabilité des machines à trois phases n’est pas connue avec précision.
Dans le premier cas qui est le plus optimiste, le taux de défauts par phase sera :
F ITphase =
F ITmachine
+ ntransistor F ITtransistor
nphases
(5.35)
Dans le deuxième cas qui est plus pessimiste, le taux de défauts par phase sera :
F ITphase =
F ITmachine
+ ntransistor F ITtransistor
3
(5.36)
Il est intéressant de noter que la source d’alimentation de la commande rapprochée
possède un taux de défaut similaire au module IGBT (Tableau 5.7).
5.7.4
Hypothèses simpliﬁcatrices pour un exemple
Le problème de ﬁabilité des entraı̂nements de traction semble assez complexe et
nous n’avons pas l’intention de réaliser une étude approfondie qui demanderait l’analyse
complète des systèmes avec leur structure interne et leurs méthodes de fabrication et
d’assemblage. Nous avons choisi d’utiliser des simpliﬁcations très importantes pour cette
analyse en formulant les hypothèses suivantes :
• Les défauts d’une phase suivent un processus de Poisson avec fréquence μ de
défauts par année.
• Les défauts de chaque phase sont indépendants.
• Le coût d’un onduleur est proportionnel à sa puissance apparente.
• Le coût de fabrication d’une machine est proportionnel au couple maximal qui
peut être fourni.
• Le coût du défaut est un montant ﬁxe indépendant du moment quand il se produit.
• La charge entraı̂née est du type couple constant.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
260
Comme les valeurs des fréquences de défauts sont diﬀérentes selon les publications,
nous obtenons des plages de valeur pour la fréquence des défauts d’une phase qui varient
du simple au double en raison de l’imprécision des données sur la ﬁabilité des diﬀérents
composants (Tableau 5.8 et Tableau 5.9).
Nombre de phases
Taux de défaut par phase Défauts par année par
(FIT)
phase
3 ou polyphasé pessi- 3066-9067
0.03-0.08
miste
5 optimiste
2863-8320
0.03-0.07
7 optimiste
2777-8000
0.02-0.07
Tableau 5.8 – Taux de défauts par phase avec 4 transistors par phase
Nombre de phases
Taux de défaut par phase Défauts par année par
(FIT)
phase
3 ou polyphasé pessi- 1786-5466
miste
0.02-0.05
5 optimiste
1583-4720
0.01-0.04
7 optimiste
1496-4400
0.01-0.04
Tableau 5.9 – Taux de défauts par phase avec 2 transistors par phase
5.7.5
Coût de fabrication d’un système à trois phases sans
tolérance aux défauts
Avec les hypothèses que nous avons énoncées, le coût du système peut être divisé
en : le coût de fabrication de l’onduleur et le coût de fabrication de la machine. Le coût
varie selon le type de système que nous construisons.
Si nous concevons une machine à trois phases, sans tolérance aux défauts, son couple
maximal est exactement le couple de la charge. En utilisant les simpliﬁcations, le coût
de la machine est :
Cmach3φ = kcouple tnom
(5.37)
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
261
La puissance apparente de l’onduleur de la machine est égale à la puissance mécanique si nous négligeons toutes les pertes de la machine. Son coût est alors proportionnel
à la puissance mécanique :
Conduleur3φ = konduleur tnom Ωnom
(5.38)
Les coûts de fabrication d’un système à trois phases sans tolérance aux défauts vont
nous servir de références par rapport aux autres systèmes que nous voulons évaluer.
5.7.6
Coût de fabrication des systèmes avec tolérance aux défauts et un pont monophasé par phase
Nous supposons que le système est capable de fournir le couple demandé même s’il
présente un défaut. La charge entraı̂née est du type à couple constant et nous cherchons
à maximiser la puissance mécanique fournie par le système. Pour cela, nous utilisons
les données du Tableau 5.5.
Par exemple, dans le cas d’une machine à trois phases, nous avons trouvé qu’avec
un défaut de court-circuit d’une phase, la machine perd 85% du couple. Pour que le
système soit tolérant aux défauts, il est nécessaire que le couple de charge ne dépasse
pas 0.105[pu] même si la machine est capable de fournir, dans des conditions normales
de fonctionnement, un couple de 0.707[pu]. La machine doit être surdimensionnée en
couple de 680%, donc son coût augmente aussi de 680% par rapport au coût d’une
machine triphasée, sans tolérance aux défauts, qui fournit exactement le même couple
de la charge.
La puissance mécanique maximale qu’il est possible de fournir pour conserver la
tolérance aux défauts est 0.194[pu]. L’onduleur possède une puissance apparente de
1[pu] qui ne sera pas totalement transmise à la charge mécanique. En conséquence,
l’onduleur est surdimensionné de 515% par rapport à un onduleur pour un système
triphasé sans tolérance aux défauts. En conséquence, son coût augmente aussi de 515%
par rapport au coût de l’onduleur d’un système triphasé sans tolérance aux défauts.
En suivant ce même raisonnement pour les autres systèmes, nous pouvons construire le
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
262
Tableau 5.10.
Nombre de phases
Surdimensionnement
Surdimensionnement
de la machine
de l’onduleur
3
680%
515%
5
191%
188%
7
205%
153%
Tableau 5.10 – Surdimensionnement de la machine et de l’onduleur par rapport
à un entraı̂nement triphasé sans tolérance aux défauts
Le coût de fabrication du système possède deux composantes :
• Le coût de la machine qui correspond au produit du facteur de surdimensionnement de la machine et le coût de la machine à trois phases sans tolérance aux
défauts.
• Le coût de l’onduleur qui correspond au produit du facteur de surdimensionnement
de l’onduleur et le coût de l’onduleur à trois phases sans tolérance aux défauts.
5.7.7
Fréquence et coût des défauts
Nous avons supposé que les défauts d’une phase suivent un processus de Poisson avec
fréquence μ et que les phases sont indépendantes les unes des autres. En conséquence,
les défauts d’une machine avec nphases phases, suivent un processus de Poisson avec
fréquence nphases μ.
La probabilité que, dans une période de temps T , il n’y ait pas de défaut dans
une machine est e−nphases μT . La probabilité que pour une période de temps T , il y
ait exactement un défaut est de e−nphases μT nphases μT . En conséquence, la probabilité
que, dans une période de temps, un système soit hors service est indiquée dans le
Tableau 5.11.
Le coût moyen du système peut être estimé en additionnant deux composantes :
• Le coût de fabrication
• Le coût moyen des défauts.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
Nombre
phases
de Nombre de dé- Fréquence des défauts
fauts tolérés
3 sans tolérance 0
263
Probabilité d’être hors service
3μ
1 − e−3µT
aux défauts
3
1
3μ
1 − (1 + 3μT )e−3µT
5
1
5μ
1 − (1 + 5μT )e−5µT
7
1
7μ
1 − (1 + 7μT )e−7µT
Tableau 5.11 – Probabilité que le système soit hors service
• Le coût moyen des défauts est donné par le produit entre la probabilité du système
hors service et le coût des défauts.
5.8
Exemple de comparaison du coût des diﬀérents
systèmes
Pour comparer les diﬀérents systèmes, nous devons estimer les coûts y étant associés.
Nous supposons que :
• Le coût d’une machine à trois phases sans tolérance aux défauts est unitaire.
• Le coût de l’onduleur à trois phases sans tolérance aux défauts est deux fois le
coût de la machine.
• Le coût d’un défaut est 100 fois le coût de la machine sans tolérance aux défauts.
• Le coût d’une machine est proportionnel au surdimensionnement en couple par
rapport à la machine à trois phases sans tolérance aux défauts
• Le coût d’un onduleur est proportionnel à sa puissance apparente, comme nous
l’avons indiqué dans la section §5.7.6 .
Le coût moyen des diﬀérents systèmes est indiqué dans le Tableau 5.12 en utilisant
les données du Tableau 5.10.
Les ﬁg. 5.23 et 5.24 montrent la variation du coût moyen du système en fonction
de la fréquence de défauts par phase.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
264
Nombre
Coût de la Coût de Coût moyen du dé- Coût moyen
de phases machine
l’onduleur faut
3
sans 1
2
100(1 − e3µ )
3 + 100(1 − e3µ )
10.30
100(1 − (1 + 3μ)e−3µ ) 17.04 + 100(1 − (1 + 3μ)e−3µ )
tolérance
aux
défauts
3
avec 6.73
tolérance
aux
fauts
dé-
5 phases
1.91
3.77
100(1 − (1 + 5μ)e−5µ ) 5.68 + 100(1 − (1 + 5μ)e−5µ )
7 phases
2.05
3.06
100(1 − (1 + 7μ)e−7µ ) 5.11 + 100(1 − (1 + 7μ)e−7µ )
Tableau 5.12 – Coût moyen des diﬀérents systèmes
Si la fréquence des défauts est inférieure à 0.007 défaut par année, la possibilité de
subir un défaut est faible et elle ne justiﬁe pas le coût additionnel de systèmes avec
tolérance aux défauts. Dans ce cas, c’est le système avec trois phases sans tolérance aux
défauts qui est plus intéressant car son coût moyen est inférieur aux autres systèmes
(Fig. 5.23).
Si la fréquence des défauts se trouve entre 0.007 et 0.02 défaut par année, c’est le
système avec sept phases qui est le moins coûteux. L’avantage du système à sept phases
vient du faible surdimensionnement pour obtenir la tolérance aux défauts et le risque
du défaut justiﬁe cet investissement.
Cependant au-dessus de 0.02 défaut par année, il est plus intéressant d’utiliser un
système avec cinq phases (Fig. 5.23). Cela s’explique par le coût du système à sept
phases qui est plus faible que celui du système à cinq phases. Cependant, la possibilité
d’être hors service augmente plus rapidement avec un système à sept phases. Donc, si
le risque des défauts est plus important, il est plus avantageux de diminuer le nombre
de phases pour diminuer la fréquence des défauts.
Si le nombre de défauts par année se trouve entre 0.17 et 1, c’est le système à
trois phases avec tolérance aux défauts qui est plus intéressant. Même si son coût de
fabrication est plus élevé, il est plus ﬁable que les systèmes ayant un nombre de phases
plus grand (Fig. 5.24).
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
265
Si la fréquence des défauts est supérieure à 1 défaut par année, il est très probable
que tous les systèmes seront hors service. L’avantage de tolérer un défaut disparaı̂t, et
c’est la machine à trois phases sans tolérance aux défauts qui est la plus intéressante. Il
est plus intéressant d’utiliser le système le moins cher car le coût moyen de défaut est
le même pour tous les systèmes.
D’après cet exemple et ces hypothèses simpliﬁcatrices, la plage des défauts par année
par phase peut favoriser une machine à sept phases ou une machine à cinq phases.
Cependant, nous considérons seulement les défauts dans l’onduleur et dans la machine.
Il y a aussi d’autres composants qui peuvent entrer en défaillance et notre analyse est
peut être trop simpliﬁée.
Coût moyen
25
3 phases avec tolérance
20
15
10
5 phases
5
7 phases
3 phases sans tolérance
0
0.001 0.002
0.005 0.01
0.02
0.05
Μ défauts par année par phase
0.1
Figure 5.23 – Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence de défauts faible.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
Coût moyen
100
266
7 phases
80
60
40
3 phases
sans tolérance
20
3 phases avec tolérance
5 phases
0
0.1
0.15 0.2
0.3
0.5 0.7
1
Μ défauts par année par phase
1.5
2
Figure 5.24 – Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence de défauts haute.
Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé
5.9
267
Conclusion
Nous avons développé une méthode pour calculer la caractéristique de couple vitesse
d’une machine polyphasée avec un défaut de phase ouverte ou de court-circuit. Cette
méthode tient compte des limitations de courant et de tension du système.
Cette méthode a été utilisée pour analyser diﬀérents systèmes. Nous avons montré
que la tolérance aux défauts d’un entraı̂nement polyphasé ne dépend pas exclusivement
du nombre de phases. La structure de l’onduleur et la structure de la machine et sa
connexion doivent aussi être pris en compte.
Lors d’un défaut de phase ouverte, la perte de couple est plus importante à vitesse
nominale. On a constaté un écart par rapport aux résultats publiés précédemment qui
ne tiennent pas compte des limitations du système [32]. Dans le cas d’une phase en
court-circuit, nous avons montré que la perte de couple est plus importante à basse
vitesse.
Nous avons déterminé le surdimensionnement de la machine et de l’onduleur selon
le nombre de phases pour obtenir un système tolérant aux défauts. Nous avons constaté
que, si le nombre de phases est élevé, le surdimensionnement est moins important. Ce
surdimensionnement est aussi inﬂuencé par le type de charge entraı̂née.
Finalement, nous avons montré que, même si les machines polyphasées sont capables
de fonctionner en présence d’un défaut, elles ne sont pas toujours le meilleur choix. En
considérant un exemple très simpliﬁé, le nombre de phases le plus avantageux pour
diminuer le coût moyen du système varie en fonction de la fréquence des défauts. Il n’y
a pas de nombre de phases plus intéressant qu’un autre. Ce choix est fonction de la
structure, des coûts de fabrication, des risques et des conséquences d’un défaut.
Conclusion Générale
Dans le cadre de ce travail, nous avons développé des outils de modélisation pour
résoudre des problèmes spéciﬁques de conception et pour faciliter l’analyse des performances des entraı̂nements à vitesse variable. Ces modélisations concernent les machines
synchrones connectées à un onduleur de tension ou à un redresseur à diodes, fonctionnant sur une large plage de vitesse.
Nous avons développé une méthode pour établir le modèle électrique d’une machine
synchrone à pôles lisses en fonction de ses dimensions géométriques. Cette méthode
analytique permet de traiter des machines polyphasées avec n’importe quel nombre
d’encoches et n’importe quelle conﬁguration de bobinage. Elle se caractérise par sa
rapidité, sa ﬂexibilité et son bon comportement lorsque les dimensions de la machine
varient. Elle est particulièrement pertinente dans un processus de conception itératif
pour réaliser l’optimisation globale du système. Elle permet de résoudre une étape
incontournable de conception avant l’évaluation des performances de la machine. La
méthode a été implantée comme une bibliothèque de fonctions qui peut être utilisée
facilement avec d’autres modules. Elle a été utilisée pour la conception d’une machine de
traction et pour la conception d’un alternateur d’automobile. En comparant ses résultats
par rapport au calcul de champ, nous avons remarqué que la précision de la méthode est
sensible au nombre d’encoches par pôle. Elle néglige les caractéristiques magnétiques
des matériaux, ce qui a justiﬁé le développement d’une méthode de correction avec un
logiciel de calcul de champ par éléments ﬁnis.
Nous avons développé des méthodes pour estimer les limites de fonctionnement
et pour calculer les performances d’un entraı̂nement. Elles permettent d’étudier des
systèmes composés par une machine synchrone connectée à un onduleur de tension ou
à un redresseur à diodes.
Conclusion Générale
269
Un premier outil utilise un modèle de Park de la machine synchrone à pôles saillants
qui est bien adapté pour modéliser une grande variété de structures de machines. En
utilisant un algorithme d’optimisation analytique, il calcule la loi de commande optimale qui tient compte des limitations de tension et de courant de l’onduleur. Cette
méthode est particulièrement intéressante pour la conception des entraı̂nements à large
plage de vitesse car elle n’impose aucune contrainte sur la loi de commande, comme par
exemple, un déphasage ﬁxe entre les courants et les tensions. Pour chaque point de fonctionnement, elle trouve la meilleure stratégie de commande pour minimiser les pertes
Joule en tenant compte des paramètres de la machine et de l’onduleur. Elle permet
d’étudier facilement des systèmes de traction avec des cahiers de charges comportant
des fonctionnements à puissance constante ou des parcours typiques, comme illustré au
chapitre §4. Dans ces cas, la rapidité de l’outil est un avantage essentiel pour traiter des
problèmes nécessitant l’évaluation d’un grand nombre de points de fonctionnement.
Dans le cas particulier d’un alternateur avec redresseur à diodes, nous avons développé une méthode analytique pour trouver directement le régime permanent. La
méthode de résolution que nous avons développée trouve directement l’équation de la
forme d’onde des courants des phases de l’alternateur. En ayant ces formules, nous
avons pu calculer les caractéristiques de sortie de l’alternateur et ses pertes Joule. Le
gain de temps par rapport à d’autres méthodes de résolution est très important. Cette
méthode de modélisation a été validée expérimentalement avec deux alternateurs. Elle
a été utilisée pour la conception d’un alternateur et pour analyser la sensibilité des
modèles magnétiques.
Les trois exemples du chapitre §4 montrent l’utilité des outils développés et leur intégration dans un environnement de conception d’entraı̂nements à vitesse variable. Dans
la première partie sur les entraı̂nements avec fonctionnements à puissance constante,
nous avons montré que le couple maximal d’une machine de traction augmente si la
puissance apparente de l’onduleur s’approche de la puissance mécanique. Nous avons
ensuite dimensionné et comparé plusieurs systèmes de traction pouvant réaliser un parcours typique imposé qui comporte un nombre important de points. Nous avons constaté
que plusieurs structures respectent les exigences du cahier des charges et que l’optimisation adapte le rendement du système en fonction de la concentration des points de
fonctionnement sur une zone particulière. Un dernier exemple montre que la caractéristique du courant de charge en fonction de la vitesse est très sensible à la précision des
paramètres électriques du modèle utilisé. Dans un processus de conception, le résultat
Conclusion Générale
270
de l’optimisation avec les méthodes analytiques n’est pas validé par le calcul de champ.
Il a donc été nécessaire d’introduire une procédure de correction des paramètres pour
éviter ce problème. Cette méthode de correction améliore la précision des résultats mais
l’optimum dépend toujours du comportement du modèle analytique utilisé.
Dans le dernier chapitre, nous avons développé une méthode pour obtenir la caractéristique de couple vitesse des machines polyphasées en fonctionnement dégradé.
Elle utilise une modélisation avec des transformations généralisées pour les machines
polyphasées. En comparant des machines ayant un nombre diﬀérent de phases, nous
montrons que les machines polyphasées sont plus tolérantes aux défauts et que la perte
de performances varie en fonction de la vitesse. Le surdimensionnement du système
pour compenser un défaut dépend non seulement du nombre de phases de la machine
mais aussi de la caractéristique de couple vitesse de la charge.
Les possibilités oﬀertes par les méthodes de modélisation ne se limitent pas seulement aux exemples présentés dans les deux derniers chapitres. Par exemple, le cas des
machines fonctionnant à vitesse ﬁxe et à tension ﬁxe, comme un alternateur de réseau,
est un cas spécial qui peut être traité avec la méthode de modélisation des entraı̂nements avec un onduleur de tension. La mise au point des stratégies de commande et
l’analyse des caractéristiques d’eﬃcacité de toute la zone de fonctionnement sont rapidement réalisés avec les outils présentés. La modélisation d’un alternateur de voiture
peut bien s’appliquer à une machine existante pour analyser ses performances ou pour
dimensionner son redresseur. Le modèle d’un alternateur monophasé peut aussi servir
à la modélisation des alternateurs polyphasés si les phases sont découplées magnétiquement.
Les outils développés ne sont qu’une réponse aux problèmes spéciﬁques rencontrés
avec les moyens que nous avons à notre disposition. Ils laissent la place à beaucoup
d’améliorations. D’abord, le modèle pour l’estimation des paramètres électriques de la
machine pourrait gagner beaucoup en précision par la prise en compte de la saillance et
de la prise en compte des encochages avec une approche plus raﬃnée que le coeﬃcient de
Carter utilisé. En deuxième lieu, une prise en compte plus directe de la caractéristique
de saturation des matériaux serait intéressante à développer.
La modélisation des ensembles onduleur-machine pourrait être amélioré avec la prise
en compte de la saturation et des pertes magnétiques de la machine pour déterminer
Conclusion Générale
271
la loi de commande optimale avec une plus grande précision. Le fonctionnement du
système pour maximiser la génération électrique est une extension qui peut aussi être
abordée.
La modélisation d’un alternateur de voiture peut être généralisée à un nombre de
phases plus grande. L’utilité est alors de pouvoir comparer des alternateurs polyphasés
aux alternateurs triphasés.
Dans le cas de la modélisation des entraı̂nements polyphasés avec un défaut dans
une phase, le besoin principal est d’augmenter la vitesse de résolution. Des pistes de
solution sont envisageables comme la recherche des algorithmes d’optimisation mieux
adaptés au problème ou le changement de la formulation du problème pour obtenir une
convergence plus rapide.
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Annexe A
Court-circuit entre les spires d’une
phase
A.1
Introduction
Cette annexe montre la compensation du court-circuit entre les spires d’une phase.
La compensation est réalisée avec un court-circuit entre les bornes de la phase. L’explication se base sur l’utilisation d’un circuit équivalent des bobines qui composent la
phase.
A.2
Circuit équivalent d’une bobine avec un courtcircuit entre spires
Nous pouvons utiliser un circuit équivalent pour constater la diminution du courant
de défaut. Supposons une phase composée d’une bobine avec 5 spires montées sur le
même circuit magnétique. Chaque spire possède une inductance propre Lspire et une
résistance Rspire . Comme toutes les spires partagent le même circuit magnétique, l’inductance mutuelle entre les spires est donnée par kLspire et k est très proche de l’unité.
Les spires sont toutes connectées en série pour former le bobinage. Chaque spire est
Court-circuit entre les spires d’une phase
278
aﬀectée par une tension induite par le rotor de la machine. La ﬁgure A.1 montre le
schéma équivalent de ce circuit. Par simplicité, nous n’avons pas représenté les inductances mutuelles dans le schéma.
L’équation de tension de la spire numéro 1, en tenant compte du couplage entre les
spires, est la suivante :
v1 = Rspire i1 +
√
−1pΩLspire i1 +
√
−1pΩkLspire (i2 + i3 + i4 + i5 ) +
√
−1pΩλ
(A.1)
Les équations des tensions des autres spires sont similaires. La tension totale aux
bornes de la bobine est la somme des tensions des cinq spires :
vtot = v1 + v2 + v3 + v4 + v5
Nous pouvons montrer que la tension totale à vide d’une phase est :
√
vtot = 5 −1pΩλspire
(A.2)
L’impédance d’une phase est donc égale à :
Zterm = 5Rspire +
√
−1pΩ(5Lspire + 20kLspire)
(A.3)
La valeur de l’inductance équivalente, si nous supposons que le couplage magnétique
est parfait (k = 1) :
Lterm = 25Lspire
(A.4)
Cette valeur correspond à la valeur attendue pour une bobine de cinq spires, soit
que l’inductance est proportionnelle au carré du nombre de tours.
Court-circuit entre les spires d’une phase
279
1 pΛspire
v5
Rspire
i5
1 pLspire
1 pΛspire
v4
Rspire
i4
1 pLspire
1 pΛspire
vtot v3
Rspire
i3
itot
1 pLspire
1 pΛspire
v2
Rspire
i2
1 pLspire
1 pΛspire
v1
Rspire
i1
1 pLspire
Figure A.1 – Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq
spires
Court-circuit entre les spires d’une phase
280
Pour représenter un court-circuit dans une spire (Fig. A.2), il suﬃt d’imposer que
la tension d’une spire soit nulle :
v1 = 0
(A.5)
Si les bornes de la bobine sont déconnectées, alors il n’y a pas de courant dans la
bobine (Fig. A.2) :
i2 = i3 = i4 = i5 = 0
(A.6)
Le courant dans la spire en court-circuit est égal à :
pΩλspire
i1 = − √
− −1Rspire + pΩLspire
(A.7)
La tension aux bornes de la bobine est :
vtot
√
4 −1kLspire p2 λspireΩ2
= 4 −1pλspire Ω − √
− −1Rspire + Lspire pΩ
√
(A.8)
Si le couplage magnétique est parfait k = 1 et si la résistance est très faible, nous
obtenons :
i1 = −
vtot = 0
λspire
Lspire
(A.9)
(A.10)
Si en même temps que la spire est en court-circuit, nous provoquons un court-circuit
Court-circuit entre les spires d’une phase
281
1 pΛspire
v5
Rspire
i5
1 pLspire
1 pΛspire
v4
Rspire
i4
1 pLspire
1 pΛspire
vtot v3
Rspire
i3
itot
1 pLspire
1 pΛspire
v2
Rspire
i2
1 pLspire
1 pΛspire
v1
Rspire
i1
1 pLspire
Figure A.2 – Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq
spires et un court-circuit dans la première spire
Court-circuit entre les spires d’une phase
282
aux bornes de la bobine (Fig. A.3), nous obtenons le résultat suivant :
pλΩ
itot = i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = − √
− −1R + pΩL + 4kpΩL
(A.11)
Si le couplage magnétique est parfait k = 1 et la résistance est nulle Rspire = 0, nous
obtenons :
itot = i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = −
λspire
5Lspire
(A.12)
Donc, un court-circuit, aux bornes de la bobine, réduit le courant dans la spire avec
défaut dans un rapport cinq, qui correspond à la valeur du courant de court-circuit
dans la bobine. De la même manière, il est possible de montrer que, pour une bobine
quelconque avec ntours tours, un court-circuit de la phase réussit à diminuer de ntours
fois le courant d’une spire en court-circuit [33]. Cette condition s’applique si la phase est
composée d’une seule bobine dont toutes les spires sont logées dans la même encoche.
A.2.1
Cas d’une phase composée de plusieurs bobines
Si une phase est composée de plusieurs bobines connectées en série et qu’elles sont
sans couplage mutuel, la diminution du couple moyen dépend du déphasage de la f.e.m.
des diﬀérentes bobines. Nous considérons par exemple une phase composée de deux
bobines. Chaque bobine possède cinq spires (Fig. A.4). Nous pouvons montrer que, s’il
n’y a pas de défaut dans la phase, nous avons une tension à vide égale à :
vtot = vtot1 + vtot2
√
vtot1 = 5 −1pΩλspire
√
√
vtot2 = 5 −1pΩλspire e −1φ
√
√
vtot = 5 −1pΩλspire 1 + e −1φ
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
Court-circuit entre les spires d’une phase
283
Où φ correspond au déphasage de la f.e.m. des deux bobines.
En négligeant la résistance, le courant de court-circuit aux bornes de la phase correspond à :
itot
λspire 1 + esqrt−1φ
=−
5Lspire
2
(A.17)
Si le déphasage de la f.e.m. est nul, la valeur du courant de court-circuit de la phase
est égale à la valeur du courant de court-circuit d’une bobine toute seule :
itot = −
λspire
5Lspire
(A.18)
L’inductance de la phase est dans tous les cas la somme des inductances de deux
bobines :
Lphase = 2 ∗ 25Lspire
(A.19)
Supposons qu’il y a un court-circuit entre les spires dans une bobine, par exemple,
dans la spire numéro 1 de la bobine à gauche dans la ﬁgure A.4. Dans ce cas, la tension
à vide de la phase chute à la valeur de la tension à vide de la bobine saine seulement :
vtot = vtot1 + vtot2
(A.20)
vtot1 = 0
(A.21)
vtot2 = 5sqrt−1pΩλspire esqrt−1φ
(A.22)
vtot = 5sqrt−1pΩλspire esqrt−1φ
(A.23)
Court-circuit entre les spires d’une phase
284
Le courant de court-circuit entre les spires est :
i1 = −
λspire
Lspire
(A.24)
Si nous provoquons en même temps un court-circuit aux bornes de la phase, le
courant de court-circuit de la phase est égal à :
itot = −
λspire sqrt−1φ
e
5Lspire
(A.25)
Son amplitude est la même que le courant de court-circuit d’une phase saine, mais
avec un déphasage de φ. Le courant de court-circuit entre spires est :
i1 = −
λspire 5 − 4esqrt−1φ
5Lspire
(A.26)
Si le déphasage est nul, nous obtenons :
i1 = −
λspire
5Lspire
(A.27)
Donc, le court-circuit de la phase réduit le courant dans la spire avec défaut dans
un rapport cinq fois à condition que le déphasage des f.e.m. des bobines soit nul. Pour
une phase quelconque composée de plusieurs bobines avec ntours tours, le court-circuit
des terminaux permet de réduire dans un rapport ntours le courant d’une spire en courtcircuit, à condition que le déphasage de la f.e.m. de chaque bobine de la phase soit nul.
Si le déphasage n’est pas nul, le courant dans la spire sera plus élevé.
Court-circuit entre les spires d’une phase
285
1 pΛspire
v5
Rspire
i5
1 pLspire
1 pΛspire
v4
Rspire
i4
1 pLspire
1 pΛspire
vtot v3
Rspire
i3
itot
1 pLspire
1 pΛspire
v2
Rspire
i2
1 pLspire
1 pΛspire
v1
Rspire
i1
1 pLspire
Figure A.3 – Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq
spires avec une spire en court-circuit et un court-circuit entre les
bornes
Court-circuit entre les spires d’une phase
1 pΛspire 1 Φ
1 pΛspire
v5
Rspire
i5
v10
1 pLspire
Rspire
i4
v9
i3
i2
1 pLspire
Rspire
i8
itot
v7
Rspire
i7
1 pLspire
1 pΛspire 1 Φ
1 pΛspire
Rspire
vtot2 v8
1 pΛspire 1 Φ
1 pLspire
v1
itot
1 pLspire
1 pΛspire
Rspire
i9
1 pΛspire 1 Φ
1 pLspire
v2
Rspire
1 pLspire
1 pΛspire
Rspire
i10
1 pΛspire 1 Φ
1 pLspire
vtot1 v3
Rspire
1 pLspire
1 pΛspire
v4
286
i1
v6
Rspire
i6
1 pLspire
Figure A.4 – Schéma équivalent d’une phase composée de deux bobines avec cinq
spires
Court-circuit entre les spires d’une phase
A.3
287
Conclusion
Nous avons montré comment le court-circuit entre les bornes d’une phase peut diminuer sous l’intensité de courant d’un court-circuit entre spires d’une phase. Cependant,
il y a des conditions qui doivent être remplies pour que la diminution du courant soit
intéressante, notamment le déphasage de la f.e.m. des diﬀérentes bobines composant la
phase.