Lycée Jean Bart — PCSI – Année 2013-2014 DS de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013 Consignes et indications ä La durée du devoir est de 2 heures, les calculatrices sont interdites. ä Le sujet est rédigé sur 4 pages, et est constitué de 4 exercices et d’un problème, au sein desquels les questions sont souvent indépendantes. ä N’oubliez pas : – de numéroter vos copies ; – d’encadrer ou de souligner les résultats à la fin de chaque question ; – qu’en cas de besoin, vous avez le droit d’admettre le résultat d’une question pour passer à la suivante ; – d’accorder du soin à la présentation, et à votre rédaction (faites des phrases, n’oubliez pas les quantificateurs, soyez précis dans votre argumentation). ä Enfin, ce sujet peut se révéler trop long : traitez donc en priorité les questions qui vous semblent les plus simples. Exercice 1 — (Fonctions). Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. 1) Déterminer l’ensemble de définition, étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction : f : x 7−→ ln (ch x) 2) Soit y un réel arbitraire. On considère l’équation sh (x) = y (E1) : a) Sans la résoudre, justifier que l’équation (E1) possède une unique solution dans R. b) Résoudre dans R l’équation (E1). 3) Résoudre dans R l’équation 9x − 3x+1 + 4 = 0 (E2) : Exercice 2 — (Cosinus hyperbolique complexe). dans C) notée CH en posant : /C CH : C z On définit une application (sur C et à valeurs / ez + e−z 2 Cette définition étend à C celle du cosinus hyperbolique d’un réel que vous connaissez déjà. 1) L’application CH est-elle injective ? 2) Résoudre dans C l’équation : CH (z) = 1. PCSI — Devoir surveillé de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013 2 Exercice 3 — (Complexes et géométrie). − − On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O; → u,→ v ). Dans cet exercice, k désigne un réel non-nul, ω un nombre complexe, et Ω le point d’affixe ω. On considère la tranformation H du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M 0 d’affixe z 0 avec : z 0 = k (z − ω) + ω On pourra admettre que H est l’homothétie de centre Ω et de rapport k. 1) On considère M et N deux points distincts du plan ; on note M 0 et N 0 leurs images respectives par H. Et on note m, m0 , n et n0 les affixes respectives des points M , M 0 , N et N 0 . Calculer le rapport M 0N 0 . MN 2) On considère à présent M (m), N (n), P (p) et Q(q) quatre points du plan, avec M distinct de N et P distinct de Q. On note M 0 (m0 ), N 0 (n0 ), P 0 (p0 ) et Q0 (q 0 ) les images respectives de ces points par H. −−−→ −−→ −−→ −−→ Démontrer que M 0 N 0 , P 0 Q0 = M N , P Q . ∗ Exercice 4 — (Trigonométrie et applications du formulaire). 1) Démonstrations de deux formules de trigonométrie a) Soient a et b deux nombres réels. Rappeler les formules donnant cos (a + b) et cos (a − b). b) Déduire de la question précédente la formule donnant cos (a) cos (b) pour a et b réels. c) A l’aide ce qui précède, établir la formule suivante : ∀ (p, q) ∈ R2 , cos (p) + cos (q) = 2 cos p+q 2 2) Applications des formules précédentes Z a) Calculer l’intégrale : I = π cos (x) cos (3x) dx 0 b) Résoudre dans R l’équation (E) : cos (x) + cos (2x) + cos (3x) = 0 ∗. Rappelons que dans cette situation, on dit que H conserve les angles orientés. cos p−q 2 PCSI — Devoir surveillé de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013 3 Problème — (Vers la constante de Catalan). Questions préliminaires. Les trois questions ci-dessous sont indépendantes. Q1) Parmi les quatre fonctions : ch, sh, th et arctan, laquelle (ou lesquelles) est (ou sont) bornée(s) sur R ? On précisera les bornes le cas échéant. Q2) Calculer la limite lorsque x tend vers +∞ de ϕ(x) = x − arctan (x) 1 + x2 Q3) Soient x un réel, et n un entier naturel. Calculer les sommes : S1 (x) = n X k x ; S2 (x) = k=0 n X x 2k et S3 (x) = k=0 n X (−1)k x2k k=0 Partie A - Etude d’une famille de fonctions. Pour k un réel positif ou nul, on définit la fonction fk sur R∗ en posant : ∀ x ∈ R∗ , fk (x) = k + arctan(x) x On note Ck la courbe représentative dans la fonction fk dans un repère orthonormé du plan. A-1) Le cas k = 0. A-1-1) Etudier la parité de f0 . A-1-2) Montrer que f0 admet en +∞ une limite finie ` que l’on déterminera. A-1-3) Dresser le tableau de variation de f0 (on admettra que la limite de f0 en 0 est 1). A-2) Le cas k > 0. Soit k un réel quelconque. A-1-1) Déterminer les limites de fk en +∞ et en −∞. A-1-2) Après avoir justifié la dérivabilité de fk sur R∗ , calculer sa dérivée et l’écrire sous la forme : ∀ x ∈ R∗ , f 0 k (x) = 1 gk (x) x2 où gk est une fonction à déterminer. A-1-3) Justifier brièvement que gk est dérivable sur R, et établir que : ∀ x ∈ R, g 0 k (x) = − 2x2 (1 + x2 )2 A-1-4) Déduire de la question précédente le tableau de variation de gk sur R ; préciser les limites en ±∞. A-1-5) Déduire de la question précédente le tableau de signes de gk sur R (on pourra distinguer plusieurs cas suivant les valeurs de k). A-1-6) Déduire de la question précédente et de la question A-1-2 le tableau de variation de fk sur R∗ . 4 PCSI — Devoir surveillé de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013 Partie B - Sommes, arctangente, et constante de Catalan. Le but de cette question est d’obtenir une valeur approchée de l’intégrale Z 1 I= Z 1 f0 (x) dx = 0 0 arctan(x) dx x Cette intégrale est appelée constante de Catalan. B-1) Soit n un entier naturel, et x un réel positif. Montrer que : " n # 2(n+1) X 1 k 2k n+1 x = (−1) x + (−1) 1 + x2 1 + x2 k=0 B-2) Soit t un réel positif. En intégrant terme à terme la relation de la question précédente entre 0 et t, établir que : " n # X (−1)k 2k+1 + ψ(t) arctan(t) = t 2k + 1 k=0 où ψ est une fonction vérifiant : ∀ t ∈ R+ , |ψ(t)| 6 t2n+3 2n + 3 B-3) En déduire la majoration : ∀ n ∈ N, n k X (−1) 1 I − 6 2 (2k + 1) (2n + 3)2 k=0 B-4) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle Sn = n X (−1)k −2 2 est une valeur approchée de I à 10 (2k + 1) k=0 près ? Préciser la valeur de Sn dans ce cas. Barème indicatif . Ex 1 : 10pts (1) : 3pts ; 2) 4pts ; 3) 3pts) – Ex2 : 5pts – Ex3 : 8pts – Ex4 : 13pts (1) : 6pts ; 2) 7pts) – Problème : 44pts (Q1 et Q2 : 2pts chacune ; Q3 : 6pts ; Partie A : 21pts ; Partie B : 13pts) — Total : 80pts.