2C A. Généralités sur les fonctions numériques (exercices et corrigés) Exercice 6 condition dom f ensemble des racines 9 \{0; } 4 7 ]−∞ ; ] 3 [−2 ; 3] ]−∞ ; −2[ ]2 ; +∞[ \{2} 5 { } 3 \{0;6} 1) 4x2 – 9x ≠ 0 2) 7 – 3x ≥ 0 3) 4) 5) 6) (x + 2)(3 – x) ≥ 0 x2 – 4 > 0 x2 – 4x + 4 > 0 aucune 7) −9x2 + 30x – 25 ≥ 0 8) x2 ≠ 0 et |x − 6| ≠ 0 9) x2 5x 6 0 15x 3x3 ]−∞ ;− 5 [ [−1 ; 0[ ] 5 ; 6] 10) 5 – 3|x|≥ 0 [− Ø 7 } 3 {−2 ; 3} Ø Ø {1} 5 { } 3 Ø { 5 5 ; ] 3 3 {−1 ; 6} {− 5 5 ; } 3 3 Exercice 8 dom f = B, dom g = C, dom h = D, dom i = A Exercice 12 a) 1) S = {−5,7 ; 7} 2) S = {6,2 ; −5} b) 1) S = [−8 ; −5,7[ ]7 ; 8] 3) S = {−7 ; −2 ; 3 ; 8 } 4) S = {−4 ; 7,3} 2) S = [−8 ; −7,5[ [−2,7 ; 2] c) f(x) < 1 si x ]−6,3 ; 7,5[ g(x) ≥ 1 si x [−6,5 ; −2,6] [3,8 ; 7,7] 5) S = { −6,4 ; 0 ; 7,6} 3) S = ]−8 ; −6,4[ ]7,6 ; 8[ 4) S = [−6,4 ; 7,6] donc S = ]−6,3 ; −2,6] [3,8 ; 7,5[ Exercice 26 1) f ≠ g, car f(x) = |x| ≠ g(x) 2) f ≠ g, car dom f = et dom g = [0 ; +∞[ x 32 x 3 f(x) 3) f = g, car dom f = dom g = et g(x) = x2 6x 9 4) f ≠ g, car dom f = [ 23 ; +∞[ et dom g = 5) f ≠ g, car dom f = ]−∞ ; - 12 ] [1 ; +∞[ et dom g = [1 ; +∞[ 6) f ≠ g, car dom f = \ {1} et dom g = x2 5x 4 x 1 x 4 remarque : sur \ {1} : f(x) = = x – 4 = g(x) x 1 x 1 7) f ≠ g, car dom f = ]−∞ ; −3[ [2 ; +∞[ et dom g = [2 ; +∞[ 8) f = g, car dom f = dom g = ]0 ; +∞[ et f(x) x 1 x x x x 1 x x x x x g(x) x 9) f ≠ g, car dom f = [2 ; 3[ ]3 ; +∞[ et dom g = [2 ; +∞[ remarque : sur [2 ; 3[ ]3 ; +∞[ : f(x) x 3 x 2 1 x 2 1 x 2 1 10) f ≠ g, car f(x) ≠ g(x) Exercice 29 a) dom f = [−4 ; 4] x 3 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 2 x 2 12 x 3 x 2 1 g(x) E1 2C A. Généralités sur les fonctions numériques E2 (exercices et corrigés) b) 1) f est positive sur [4 ; −1] [2 ; 3] 2) f(x) < 0 sur ]−1 ; 2[ ]3 ; 4] 3) f(x) + 2 ≥ 0 f(x) ≥ −2 sur [−4 ; 4] Exercice 31 a) f < g sur ]−3 ; 1,5[ b) f(x) ≥ g(x) sur [−4 ; −3] ]1,5 ; 4] Exercice 33 1) f est minorée, majorée et donc aussi bornée (plus petit majorant : 3 ; plus grand minorant : −1) 2) f est majorée (plus petit majorant : 2) 3) f est minorée (plus grand minorant : -2) 4) f est minorée, majorée et donc aussi bornée (plus petit majorant : 1 ; plus grand minorant : −1) 5) f est minorée (plus grand minorant : -4) 6) f est majorée (plus petit majorant : 0) Exercice 44 dom f 1) 2) * dom g 3) [−1 ; +∞[ \{ ]−∞ ; −2[ [2 ; +∞[ 4) 5) 1 } 2 dom (f g) 1 \{ } 2 [−2 ; +∞[ \{ dom (g f) 5 7 ; } 2 2 6x 4 2x 1 * 1 } 2 ]−∞ ; − [−1 ; +∞[ (f g)(x) 4x2 + 5 1 1 2x 2x 4 \{ 5 1 [ [− ; +∞[ 2 2 ]−∞ ; −2[ [2 ; +∞[ 4x2 12x 5 Exercice 45 4 2 e) 1) dom (f h g) = \ {1} ; (f h g)(x) = 2 x 1 x 2x 1 2 4 x2 4 x2 2 2) dom (g f h) = * ; (g f h)(x) = 1 2 2 2 x x x x 2 2 2 x 2 2 x 2 1 2 2 2 x x x x2 2 2 2 4) dom (h f g) = \ {1} ; (h f g)(x) = 2 x 1 x 2x 1 3) dom (g h f) = * ; (g f h)(x) = Exercice 48 1) f(x) = (h g)(x) avec g(x) = x2 et h(x) = 1 – x 2) f(x) = (h g)(x) avec g(x) = 1 − x et h(x) = x2 3) f(x) = (h g)(x) avec g(x) = 2 − x et h(x) = x 4) f(x) = (i h g)(x) avec g(x) = x2 et h(x) = 4 – x et i(x) = x 5) f(x) = (k j i h g)(x) avec g(x) = x − 1 et h(x) = x2 et i(x) = 6) f(x) = (i h g)(x) avec g(x) = 2x − Exercice 51 f1-1 : 3 x et j(x) = 1 et k(x) = −x x et h(x) = cos x et i(x) = x2 f2-1 : x 3 x 1 f3-1 : + [1 ; +∞[ x x2 +1 (g f)(x) 16x2 + 40x +25 x 2 x 3+2 x 1 1 2 x 3 1 3+2 x2 4 2C A. Généralités sur les fonctions numériques E3 (exercices et corrigés) 1 5 x 3 3 f4 n’est pas injective, car p.ex. 0 est l’image de 2 et de −2. la réciproque n’est pas une fonction x f5-1 : \ {1} \ {2} 2x 1 x x 1 f6 n’est pas injective, car p. ex. 2 est l’image de 2 et de −2. la réciproque n’est pas une fonction Exercice 9 a) ① g ② i ③ f ④h b) dom f = , im f = [−1 ; +∞[ ; dom g = , im g = [−2 ; 1] ; dom h = , im h = [−1 ; 1] ; dom i = , im i = + c) h est impaire et i est paire d) i(x) = |x| = |−x| Exercice 13 a) domaine 1) \ { k|k } 2) 3) 4) k|k } 2 \ { k |k } 4 2 \ { 2 k|k } \{ 5) k 6) k b) parité impaire c) racines / d) périodicité T = 2π paire / T = 2π impaire x = k ,k 8 2 x = 2k,k paire x= / x = k, k / 2 2k; 2 2k k; 2 k k, k 2 2 T = 2π T= T = 2π T=π Quelques exercices supplémentaires Exercice A1 a) Montrer que le graphe de la fonction f : x −3x2 + 5x – 1 admet la droite d’équation x = b) Montrer que le graphe de la fonction g : x 5 comme axe de symétrie. 6 2x 1 admet un centre de symétrie. x 1 c) Montrer que le graphe de la fonction h : x x3 – 2x + x − 2 admet un centre de symétrie d’abscisse d) Montrer que le graphe de la fonction i : x cos(3x) − 1 admet un centre de symétrie d’abscisse 2 . 3 . 6 Exercice A2 Dans les cas suivants, déterminer dom f, ainsi que la parité et la périodicité de f. a) f : x |x| x2 1 e) f : x x2 – 1 + 2cosx b) f : x x x2 1 f) f : x cosx + tan x En cas de besoin… (remise facultative) Exercice A3 c) f : x |x| + x g) f : x sin2x 2 cos2 x d) f : x x x 3 7x h) f : x tanx sinx x cosx 2C A. Généralités sur les fonctions numériques (exercices et corrigés) a) Déterminer dom f et im f. b) Quelle est la valeur de f(5). c) Que vaut l’image de -3 ? d) Quelles sont les racines de f ? e) Résoudre l’équation f(x) = -2. f) Résoudre l’inéquation f(x) < 2. g) Résoudre l’équation f(x) – 3 = 0. h) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle croissante ? i) Sur quel(s) intervalle(s), la fonction f est-elle positive ? j) La fonction f est-elle minorée ? majorée ? bornée ? Exercice A4 Voici les graphes cartésiens de deux fonctions f et g: a) Déterminer dom f, im f, dom g et im g. b) Quelles sont les racines de f ? c) Résoudre l’équation f(x) = g(x). d) Résoudre l’inéquation f(x) ≥ g(x). Exercice A5 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : 1 x 3 5x 4 a) f(x) = 2 d) f(x) = 2 x x 4x 3 x 1 2x 8 b) f(x) = x x 1 x 1 x 3 5x 4 2x 8 Exercice A6 Est-ce que dans les cas suivants, f = g ? c) f(x) = e) f(x) = x2 9 2x 7 f) f(x) = x 2 x 4 5 2x E4 2C A. Généralités sur les fonctions numériques (exercices et corrigés) x2 x 6 x 2 x3 x x 3 et g(x) = x x a) f(x) = x + 3 et g(x) = b) f(x) = c) f(x) = |x + 5| et g(x) = x 2 10x 25 Exercice A7 Soit les fonctions suivantes : f(x) = x2 + 2x g(x) = 2x x3 et h(x) = x. 1) Déterminer dom f, dom g et dom h. 2) Déterminer le domaine de définition et l’expression analytique des fonctions suivantes : f a) f g b) h f c) h g d) h g f e) g Exercice A8 Décomposer les fonctions suivantes en composée de fonctions usuelles : 2 4 a) f(x) = 3x 2 8 b) f(x) = 3 x 8 c) f(x) = 5 x 2 d) f(x) = 1 3 x 1 Pour s’autocontrôler… (corrigé dans le livre) exercices 52, 53, 59, 64, 65, 66, 67 Pour aller plus loin… (remise facultative) Exercice A9 ax b avec a,c * et b,d cx d b) Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie dont on déterminera les coordonnées. a) Déterminer le domaine de la fonction f : x Exercice A10 Soit f(x) = 3x + 4 et g(x) = −2x + m Déterminer m pour que f g = g f. Exercice A11 Soit f une fonction paire définie sur et g une fonction impaire définie sur . Étudier la parité de f g, de f f et de g g. Exercice A12 Soit f une fonction strictement croissante définie sur et g une fonction strictement décroissante définie sur . Étudier le variations de f g, de f f et de g g. Exercice A13 Soit f(x) = ax + b et g(x) = cx + d avec a,c * et b,d a) Trouver une relation entre a,b,c et d pour que f g = g f. b) Si a = 2 et b = 5, trouver trois couples (c ; d) tels que f g = g f. E5