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Fonctions
Jacques Paradis
Professeur
Département de mathématiques
1
Plan de la rencontre

Réseau de concepts

Élément de compétence

Définition et représentation graphique
d’une fonction

Classification des fonctions avec leur
domaine (Introduction au domaine d’une fonction)

Modélisation de situations simples
Département de mathématiques
2
Réseau de concepts
Définition
Domaine
Composées
Limite
Fonction
Graphique
Dérivée
Types
Application
Département de mathématiques
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Élément de compétence

Reconnaître et décrire les caractéristiques
d’une fonction représentée sous forme
d’expression symbolique ou sous forme
graphique
 Reconnaître
une fonction sous sa forme
symbolique et la représenter graphiquement
 Trouver le domaine d’une fonction, ses zéros,
l’ordonnée à l’origine
 Classer les fonctions
 Modéliser certaines situations simples
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4
Définition de fonction

Une fonction réelle f est une relation de IR vers IR
qui fait correspondre à tout élément de IR au plus
un élément de IR :
 f : IR
IR

x
y
 x (variable indépendante) et y (variable dépendante)
 On

écrit (x , y)  f ou y = f(x)
Exemple : y = f(x) = x2 + 4x - 5 où f(2) = 4 + 8 - 5 = 7,
ce qui donne le couple (2 , 7), f(-3) = ? et f(a+h) = ?
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Exemple de fonction
A
f
5
1
⅔

-9
2
⅝
7/5
Avec
B
(Graphique sagittal)
Ensemble de départ : { 5, 2/3, , 2, 7/5 }
Ensemble d’arrivée : { 1, -9, 5/8 }
Domaine de f ( dom f ) : { 5, , 2 }
Image de f ( ima f ) : { -9, ⅝ }
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Représentation graphique (1 de 3)

Graphique cartésien :
 Chaque
couple (x , y) est représenté par le
point correspondant P(x , y) du plan cartésien
y
 Le couple (x1 , y1)

x1 est l’abscisse du point et y1, l’ordonnée
 L’ensemble
P(x1 , y1)
des couples
y1
x1
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x
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Représentation graphique (2 de 3)

Exemple : Soit f(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2
(-1 , 6)
(1/2 , 0)
(-2 , 0)
(3/2 , 7/2)
(0 , 2)
Ordonnée à l’origine

(1 , 0)
Remarque : Une valeur prise par x est « zéro » d’une
fonction si on a f(x) = 0. La courbe croisse l’axe des x
pour cette valeur. -2, ½ et 1 sont des zéros de f(x).
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Exemple

Trouver l’ordonnée à l’origine et les zéros de
g(x) = 6x2 + 13x – 5.
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Représentation graphique (3 de 3)
Ne représente pas
une fonction
Représente une fonction
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Domaine d’une fonction

Déf. intuitive : l’ensemble des valeurs de x
pour lesquelles la fonction est bien définie.


Déf. formelle : { x  IR | (x , y) existe }


Ex. Si f(x) = x, alors 4  dom f car 4 est défini et -4
 dom f car (-4) est non défini.
Ex. Si f(x) = x,
alors dom
{ x  IR | aux
x ≥ réels
0}
l’ensemble
desfx=appartenant
tel que le couple=(x[0
, y), 
existe
En général, exclure du dom f les valeurs qui
annulent le dénominateur (diviseur)
 donnent une quantité négative sous une racine paire

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Exemple

Déterminer les zéros et le domaine de
2
f (x)  3 x  4 
x4
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Classification des fonctions algébriques (1 de 5)

Fonctions polynomiales de degré n :
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn
 Fonctions constantes (degré 0)

Ex. f(x) = 3
 Fonctions affines
 Ex. f(x) = 4x – 2
(linéaires) (degré 1)
 Fonctions quadratiques
 Ex. f(x) = x2 - x -2
 Domaine
(degré 2)
de ces fonctions : IR
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Classification des fonctions algébriques (2 de 5)

Fonctions rationnelles : f(x) = P(x) , où P(x) et
Q(x)
Q(x) sont des polynômes.
 Ex.

: Soit f(x)=
x2 +1 =
x2 +1
6x2 -7x-3 (2x-3)(3x+1)
Domaine de ces fonctions : { x  IR | Q(x) ≠ 0 }
 Ex.
: dom f = IR \ { 3/2 , -1/3}
2 -1
3x
f(x)=
 Exercice : Trouver le domaine de
x2 -7x-18
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Classification des fonctions algébriques (3 de 5)

Fonctions irrationnelles : f(x) = n g(x)
 Ex.

: Soit f1(x)= 3 x
x 5
et f2(x)= x 2  9
Domaine de ces fonctions :
 Si
n est impair, alors dom f = dom g
 Si n est pair, alors dom f = { x  dom g | g(x) ≥ 0 }
 Ex.

: dom f1 = IR \ { 5 } et dom f2 = - , -3] U [3 , 
Exercice : Trouver le domaine de f(x)  x 2  6x  9
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Classification des fonctions algébriques (4 de 5)

Fonction valeur absolue : f(x) = | x | où
 x , si x  0
f(x) = 
 -x, si x < 0
 Ex.

y
: Soit f(x) = | x -4 |
4
x
Domaine : dom f = dom g si f(x) = | g(x) |
 Ex.
: dom f = IR où f(x) = | x -4 |
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Classification des fonctions algébriques (5 de 5)

Fonctions définies par parties :
 Exemple
y
1:
 x 2 , si x  0
f(x) = 
 x + 1, si x  0
1
x
Dom f = IR \ { 0 }
y
si x   2
4,

si   2
 Exemple 2 : f (x)   2,
 2x  1, si   2

Dom f = IR
4
2
x
-2
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Modélisation de situations simples

(100 , 212)
Exemple : Le point de congélation F
de l’eau est de 0°C, ou 32°F, et
son point d’ébullition est de
100°C, ou 212°F. La fonction qui
permet de transformer des degrés
Celsius en degrés Fahrenheit est
une fonction affine.


a) Déterminer l’équation de la droite
qui décrit le lien entre C et F.
b) Transformer 10°C en degrés F.
(0 , 32)
C
 c) Transformer 350°F en degrés C.
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Modélisation de situations simples

(suite)
Il en coûte 1080 $ pour un voyage entre Montréal et Athènes si l’avion
transporte 200 passagers. La société aérienne a calculé que chaque
augmentation de 5 passagers lui permet de réduire le prix du billet de
13 $. Donner la fonction qui permet de calculer le revenu de la société
en fonction du nombre d’augmentions de 5 passagers et préciser son
domaine si la capacité maximale de l’avion est de 345 passagers.
Soit x : le nombre d’augmentations
N. d’augmentations
N. de passagers
Prix ($)
Revenu
0
200
1080
200 × 1080
1
200 + 1(5)
1080-1(13)
(200 + 5)(1080-13)
2
200 + 2(5)
1080-2(13)
(200 + 10)(1080-26)
X
200 + x(5)
1080-x(13)
(200 + 5x)(1080-13x)
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Modélisation de situations simples

(suite)
Un morceau de carton rectangulaire de 24 cm sur 41 cm
doit servir à fabriquer une boîte ouverte sur le dessus.
Pour construire cette boîte, on découpe un carré de x cm
par x cm dans chacun des quatre coins et on replie les
côtés perpendiculaires à la base. Donner la fonction qui
représente le volume de cette boîte en fonction de x et
donner son domaine.
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Devoir

Exercices 1.1, p.14, nos 1 à 7, 9, 12 et 13

Exercices 1.2, p. 30, nos 1 à 4, 7, 8, 9, 12 et
13

Exercices récapitulatifs, p.34, # 1, 2, 4(sauf i),
6(sauf e), 16 et 17
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Devoir (Réponses)
 3 , b)
2a)
\ 2
e)
\ 0 , f)

, c)
\ 1, d)
\  5, 0, 5

4g) , 1]  [2,  , h) , j)


\ 1 ,3 ,
2
\ 3,3
6a) y = -4, b) y = 6x + 1, c) y = 7, d) x = -3
17) y = 21x
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Rappel sur la droite (1 de 2)

Soit y = ax + b l’équation d’une droite passant
par (x1 , y1) et (x2 , y2), où :
b
représente l’ordonnée à l’origine : (0 , b)
(x2 , y2)
y2
a
: pente
y -y
y
1
2
=
a=
x -x
x
2 1
y1
∆y
(x1 , y1)
∆x
b
x1
x2
 Exemple
: Trouver l’équation de la droite passant
par (-2 , 3) et (3 , 1).
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Rappel sur la droite (2 de 2)
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