S erie 2

Theorie
des nombres algebriques
cw '05
Serie
2
1. Lesquels des ideaux
suivants sont des ideaux
premiers dans leurs anneaux ?
A
B
2Z ⊂ Z
C
(X) ⊂ Z[X]
(2, 1 +
√
√
−5) ⊂ Z[ −5]
2. Lesquels des ideaux
suivants sont des ideaux
maximaux dans leurs anneaux ?
A
B
0⊂Z
C
(X) ⊂ Z[X]
(2, 1 +
√
√
−5) ⊂ Z[ −5]
3. Soit I et J deux ideaux
entiers dans un corps de nombres. Alors
A
I ·J =I ∩J
B
I ∪J
est un ideal
C
I ∩J
est un ideal.
4. Lesquels des ideaux
fractionnaires suivants sont entiers ?
A
3
2Z
⊂Z
B
√
1+ −3
OK
2
√
avec K = Q(
−3)
√
1+ 2
2 OK
C
√ √
2, 7)
avec K = Q(
5. On considere
le corps K = Q(i) avec O = Z[i]. On a N (α) = N(α) > 0 pour tout
α ∈ K.
a) Dessiner l'ideal
β Z[i] pour un β comme 1 + 2i ou 2 − 3i.
b) (Algorithme d'Euclide.) Soit α, β ∈ Z[i] avec N(α) > N(β). Alors, il existe γ et δ
dans O avec
K
K:Q
K
α=γ·β+δ
ou N(δ) < N(β). (Hint : Ajoute α au dessin et choisis γ · β comme etant
le point le
plus «proche» de β Z[i].)
c) Montrer que tout ideal
dans Z[i] est principal. En particulier, on peut donc ecrire
tout el
ement
comme produit d'el
ements
irreductibles.
(Hint : l'el
ement
non-nul
de norme minimale dans un ideal
est un bon candidat pour le gen
erateur.)
d) Montrer que 1−i est irreductible et qu'il existe une unite α telle que 2 = α·(1−i)2 .
e) On a 5 = (2 + i) · (2 − i) = (1 + 2i) · (1 − 2i). Est-ce que c'est une contradiction avec
le fait que Z[i] est un anneau principal ?
6. Montrer que
54 = 2 · 33 =
13 +
√
2
−47 13 −
·
√
−47
2
sont deux factoriations
dierentes
de 54 en facteurs irreductibles
dans l'anneau des
√
entiers de K = Q( −47).
7. Soit d un
√ entiers sans facteur carre et p un nombre premier qui ne divise pas 2d. Soit
K = Q( d) le corps quadratique. Montrer que pO est un ideal
premier si et seulement
si ( dp ) = −1.
K
√
√
8. Soit A l'anneau Z[ −3] et I l'ideal
dans A engendre par 2 et 1 +
2A 6= I et que I 2 = 2A · I . Montrer aussi que I est un ideal
premier.
−3.
Montrer que
Ceci est donc un exemple d'un anneau A ou la factorisation des ideaux
en ideaux
premiers ne peut pas e^ tre unique.
Theorie
des nombres algebriques
9. Soit K un corps de nombres et
divise N (α) pour tout α ∈ I .
cw '05
I
un ideal
entier non-nul de
OK .
Montrer que
N(I)
K:Q
10. Soit I un ideal
entier dans un corps de nombres K . Montrer que si N(I) est premier
alors I est un ideal
premier. Est-ce que la contra-posee
est vraie ?
Solutions : 1 : ABC 2 : C 3 : C 4 : B