Exercice 1 : On considère le triangle ABC. La bissectrice de l`angle

INTERROGATION N°4 - CORRIGE
Exercice 1 :
On considère le triangle ABC. La bissectrice de l’angle BAC coupe [BC] en I. La
parallèle à (AB) passant par C coupe (AI) en D.
1) Démontrer que ACD est isocèle.
Les angles BAI et IAC ont la même mesure, puisque (AI) est la bissectrice de
l’angle BAC.
Les angles BAI et IDC sont alternes-internes et les droites (AB) et (CD) qui les
forment sont parallèles, donc BAI = IDC.
On déduit des égalités précédentes que IAC = IDC. Ces angles sont donc les
angles à la base du triangle ACD isocèle en C.
2) En déduire que l’on a l’égalité :
IB AB
=
IC AC
Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en I. les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D’après le
théorème de Thalès, on a :
IB IA AB
=
=
IC ID DC
Or, ACD est isocèle en C, donc AC = CD.
En utilisant :
IB AB
=
IC DC
Et en remplaçant DC par AC, on obtient bien :
IB AB
=
IC AC
Exercice 2 :
ABCD est un rectangle tel que 𝐴𝐵 = 2 et 𝐴𝐷 = 1. Soit E le milieu de [CD].
On rappelle que le centre de gravité d’un triangle est situé aux 2/3 de
chaque médiane en partant du sommet.
1) Calculer AE et BD.
ABCD est un rectangle, donc DC = AB = 2.
E est le milieu de [CD], donc DE =
2
2
.
Le triangle ADE est rectangle en D, donc, d’après le théorème de Pythagore,
on a :
𝐴𝐸² = 𝐴𝐷² + 𝐷𝐸²
2
𝐴𝐸² = 1² +
²
2
2
𝐴𝐸² = 1 +
4
1
𝐴𝐸² = 1 +
2
3
𝐴𝐸² =
2
𝐴𝐸 =
𝐴𝐸 =
𝐴𝐸 =
3
2
𝐴𝐸 =
3
2
3
2
×
6
2
2
2
INTERROGATION N°4 - CORRIGE
Le triangle BAD est rectangle en A, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :
𝐵𝐷² = 𝐵𝐴² + 𝐴𝐷²
𝐵𝐷² = 3
𝐵𝐷² = 2 ² + 1²
𝐵𝐷 = 3
𝐵𝐷² = 2 + 1
2) Démontrer que K est le centre de gravité du triangle ACD.
ABCD est un rectangle, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, donc (BD) passe par le milieu F
de [AC]. (BD) est donc la médiane issue de D du triangle ACD.
E est le milieu de [CD], donc (AE) est la médiane issue de A du triangle ACD.
K est le point d’intersection des deux médianes (AE) et (BD) du triangle ACD, c’est donc son centre de
gravité.
3) Calculer AK et DK.
Puisque K est le centre de gravité du triangle ACD, on a :
2
𝐴𝐾 = 𝐴𝐸
3
2
6
𝐴𝐾 = ×
3 2
𝐴𝐾 =
2
𝐷𝐾 = 𝐴𝐹
3
2 1
𝐷𝐾 = × × 𝐵𝐷
3 2
1
𝐷𝐾 = × 3
3
3
𝐷𝐾 =
3
Et
6
3
4) En déduire que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
Dans le triangle ADK, le plus grand côté est AD.
D’une part :
𝐴𝐷2 = 12 = 1
D‘autre part :
2
2
6
3
6 3 9
𝐴𝐾² + 𝐷𝐾² =
+
= + = =1
3
3
9 9 9
On constate que AD² = AK² + DK² donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
ADK est rectangle en K.
Ceci signifie que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
Exercice 3 :
Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus.
Son cercle circonscrit est le cercle de centre O et de rayon 𝑅.
Soit [BB’] le diamètre passant par le point B.
1) Quelle est la nature du triangle BB’C ?
On sait que BB’C est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [BB’].
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un
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diamètre et un point du cercle, alors il est rectangle en ce point. Donc BB’C est rectangle en C.
2) Montrer que les deux angles BAC et BB′C sont ont la même mesure.
Les deux angles BAC et BB′C sont des angles inscrits qui interceptent tous les deux le même arc de
cercle BC. Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure,
donc BAC = BB′C .
BC
3) Montrer que : sin BB′C = 2𝑅
[BB’] est le diamètre du cercle de rayon R, donc BB’ = 2R.
Dans le triangle BB’C rectangle en C, on a :
BC BC
sin BB′C =
=
BB′ 2𝑅
BC
4) En déduire que : 2𝑅 = sin BAC
En utilisant le produit en croix, on trouve :
2𝑅 =
BC
sin BB′C
Et puisque nous avons démontré BAC = BB′C, on obtient :
BC
2𝑅 =
sin BAC