Presentation

Régression et modèle de mélange pour le
débruitage de signaux
E. Côme
Co-direction : T. Denoeux (UTC) P. Aknin (INRETS)
Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité
(INRETS)
2, avenue du général Malleret-Joinville
94114, Arcueil
[email protected]
Etienne Côme ()
Modèle de mélange pour le débruitage
19 mars 2006
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Introduction
Introduction
Objectifs :
Débruitage et paramétrisation de signaux d’inspection des circuits de voie
⇒ Pour le diagnostic des condensateurs d’accord
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
4
x 10
Signal d’inspection
zoom sur quelques chaı̂nettes
A priori :
Signal = succession de chaı̂nettes (polynômes du second degré)
Présence d’un bruit non symétrique (2 sources) et d’espérance non nulle
Etienne Côme ()
Modèle de mélange pour le débruitage
19 mars 2006
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Introduction
Pourquoi un modèle de régression ?
I
Information utile pour le diagnostic dans les points de rebroussement
⇒ Filtrage spectral peu adapté (disparition des points de
rebroussement)
I
Classe de fonctions de régression bien définie (polynôme degré 2)
I
Coefficients des polynômes peuvent aussi servir de descripteur pour le
signal
Etienne Côme ()
Modèle de mélange pour le débruitage
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Introduction
Pourquoi un modèle de régression ?
I
Information utile pour le diagnostic dans les points de rebroussement
⇒ Filtrage spectral peu adapté (disparition des points de
rebroussement)
I
Classe de fonctions de régression bien définie (polynôme degré 2)
I
Coefficients des polynômes peuvent aussi servir de descripteur pour le
signal
Problème
Présence d’un bruit non symétrique (2 sources physiques) et d’espérance
non nulle
Etienne Côme ()
Modèle de mélange pour le débruitage
19 mars 2006
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Introduction
Pourquoi un modèle de régression ?
I
Information utile pour le diagnostic dans les points de rebroussement
⇒ Filtrage spectral peu adapté (disparition des points de
rebroussement)
I
Classe de fonctions de régression bien définie (polynôme degré 2)
I
Coefficients des polynômes peuvent aussi servir de descripteur pour le
signal
Problème
Présence d’un bruit non symétrique (2 sources physiques) et d’espérance
non nulle
Solution
Modèle de bruit prenant en compte cette particularité :
Le Modèle de Mélange
Estimation des paramètres de régression et du mélange grâce à un
algorithme de type ”Generalized EM”
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Modèle de mélange pour le débruitage
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Le modèle
Le modèle
Les données :
Le signal est représenté par un échantillon indépendant
((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) issu du couple (x, y ) où x est la variable
indépendante, et y la variable dépendante
Etienne Côme ()
Modèle de mélange pour le débruitage
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Le modèle
Le modèle
Les données :
Le signal est représenté par un échantillon indépendant
((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) issu du couple (x, y ) où x est la variable
indépendante, et y la variable dépendante
Le modèle :
Etienne Côme ()
y
=
ax 2 + bx + c + ε
PK
2
f (ε) =
k=1 πk N (ε; µk , σk )
Modèle de mélange pour le débruitage
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Le modèle
Le modèle
Les données :
Le signal est représenté par un échantillon indépendant
((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) issu du couple (x, y ) où x est la variable
indépendante, et y la variable dépendante
Le modèle :
y
=
ax 2 + bx + c + ε
PK
2
f (ε) =
k=1 πk N (ε; µk , σk )
Avantages :
Permet de modéliser diverses situations (bruit non symétrique)
Adapté au problème à résoudre
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L’Estimation
L’Estimation
Densité de y :
f (y ; Ψ) =
K
X
N (y ; ax 2 + bx + ck , σk2 )
k=1
où ck = c + µk , Ψ = (a, b, ck , σk2 ) , k ∈ {1..K } est le vecteur
paramètre du modèle
Estimation par Maximum de Vraisemblance grâce à un algorithme
de type ”Generalized EM”
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L’algorithme
L’algorithme
L’étape E :
L’étape E est similaire à l’étape E de l’algorithme EM classique pour les
modèles de mélange.
L’étape M : Maximisation ou Croissance ?
L’étapes M est délicate
Il est possible de maximiser analytiquement / (a, b, ck ) pour σk fixé
Réciproquement il est possible de maximiser / σk pour (a, b, ck ) fixé
Il est donc possible de garantir la croissance de la vraisemblance entre
l’itération q et l’itération q + 1
⇒ Algorithme de type ”Generalized EM”
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Problème d’identification du signal
Problème d’identification du signal
Quel signal ?
L’algorithme GEM permet de trouver les paramètres
Ψ = (a, b, ck , σk2 ) , k ∈ {1, K }
Différentes solutions sont envisageables pour reconstruire le signal :
. Choix d’un mode (nécessite des connaissances a priori)
. Calcul de l’espérance (hypothèse : Bruit d’espérance nulle)
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Résultats & perspectives
Résultats & perspectives
0.05
0.045
440
0.04
420
0.035
0.03
400
0.025
380
0.02
0.015
360
0.01
340
320
0.005
200
400
600
800
1000
1200
0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
(A gauche) Signal réel et signal débruité ; (à droite) histogramme et densité mélange
estimée du bruit
Perspectives :
Test quantitatifs (données simulées)
Etienne Côme ()
Modèle de mélange pour le débruitage
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