I. Nombre de solutions d`une équation de degré 3. II. Entier inférieur

I.
Nombre de solutions d’une équation de degré 3.
II. Entier inférieur le plus proche de la solution du
milieu lorsqu’il y en a 3.
I. Nombre de solutions d’une équation de degré 3.
On utilise les notations et les résultats du document
« 1. Etude des variations ».
On visualise la situation sur les tableaux de variations
obtenus précédemment.
 Lorsque ∆0 < 0 ou ∆0 = 0, d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, l’équation
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
a une unique solution.
(𝐸)
 Lorsque ∆0 > 0 , d’après le même théorème:
 Si 𝒇 𝒙𝟏 et 𝒇 𝒙𝟐 sont de signe contraire, l’équation
(E) a trois solutions.
 Si l’un des nombres 𝒇 𝒙𝟏 ou 𝒇 𝒙𝟐 est nul,
l’équation (E) a deux solutions.
 Si 𝒇 𝒙𝟏 et 𝒇 𝒙𝟐 sont de même signe, l’équation (E)
a une seule solution.
On en déduit l’algorithme suivant:
Algorithme 1: Nombre de solutions
 Lire 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑
 Définir 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
 ∆0 prend la valeur 𝑏 2 − 3𝑎𝑐
 Si ∆0 < 0 ou ∆0 = 0 alors
Afficher « l’équation a une seule solution »
 Sinon
 𝑥1 prend la valeur
−𝑏− ∆0
3𝑎
et 𝑥2 prend la valeur
 Si 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 > 0 alors

Afficher « l’équation a une seule solution »
 Si 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 = 0 alors

Afficher « l’équation a deux solutions »
 Si 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 < 0 alors

Afficher « l’équation a trois solutions »
−𝑏+ ∆0
3𝑎
II. Entier inférieur le plus proche de la solution du milieu
lorsqu’il y en a 3.
On se place dans le cas ∆0 > 0 et 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 < 0
L’équation
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
a 3 solutions, dont une entre 𝑥1 et 𝑥2 .
 On rappelle que
𝑥1 =
 Si 𝑎 > 0 ,
 Si 𝑎 < 0 ,
−𝑏− 𝑏2 −3𝑎𝑐
3𝑎
et 𝑥2 =
−𝑏+ 𝑏2 −3𝑎𝑐
3𝑎
𝑥1 < 𝑥2 .
𝑥1 > 𝑥2 .
On part du plus petit des nombres 𝑥1 ou 𝑥2 , noté 𝑥𝑚𝑖𝑛 .
On avance avec un pas de 1 jusqu’à obtenir une image de
signe différent de celui de 𝑥𝑚𝑖𝑛 .
Le nombre cherché est la partie entière du dernier nombre
trouvé.
On en déduit l’algorithme suivant:
Algorithme 2: Entier inférieur le plus proche de la
solution située entre 𝑥1 et 𝑥2
 Lire 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑
 Définir 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
 ∆0 prend la valeur 𝑏 2 − 3𝑎𝑐
 𝑥1 prend la valeur
−𝑏− ∆0
3𝑎
et 𝑥2 prend la valeur
 Si 𝑎 > 0 alors
 𝑥𝑚𝑖𝑛 prend la valeur 𝑥1
 Sinon
 𝑥𝑚𝑖𝑛 prend la valeur 𝑥2
 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 prend la valeur 𝑥𝑚𝑖𝑛
 Tant que 𝑓
𝑥𝑚𝑖𝑛 × 𝑓 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 > 0 faire
 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 prend la valeur 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 + 1
 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟_infé𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒_𝑒𝑛𝑡𝑖è𝑟𝑒(𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥)
 Afficher 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟_infé𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟
−𝑏+ ∆0
3𝑎