relations d`incertitude d`heisenberg

RELATIONS D’INCERTITUDE D’HEISENBERG
1) Introduction
La mécanique quantique nous enseigne que les particules qu’on trouve dans la nature ont des
propriétés ondulatoires. Les propriétés ondulatoires et corpusculaires sont des manifestations
différentes de la nature intrinsèque de chaque particule. Par exemple les lois de De Broglie
montrent qu’une particule ayant une quantité de mouvement bien définie p peut se comporter
comme une onde de longueur d’onde λ = h ⁄ p . L’état quantique d’une particule est donnée
par une fonction d’onde dont l’amplitude a une interprétation probabiliste. On a plus de chance
de trouver la particule dans les régions où l’amplitude est grande. Si cette amplitude est non
nulle seulement dans une petite région de l’espace, alors la position la particule est bien connue. Mais dans ce cas la longueur d’onde (et donc la quantité de mouvement) sera mal connue.
Une relation d’incertitude position-quantité de mouvement découle de la nature ondulatoire de
la particule comme on peut le comprendre à partir du schéma ci-dessous (source: Cours de
Physique, Berkeley, Tome 4).
Position mal définie - quantité de mouvement bien définie
Position mieux définie - quantité de mouvement moins bien définie
Position bien définie - quantité de mouvement mal définie
La règle d’incertitude position-quantité de mouvement a été formulée par Heisenberg en 1927.
Il est possible de démontrer que des relations d’incertitude apparaissent automatiquement entre
quantités physiques liées à des opérateurs qui ne commutent pas entre eux. Le but de ce TD est
de démontrer de manière rigoureuse ces relations d’incertitudes.
2) Arguments intuitifs. Relation position-quantité de mouvement
On considèrera une particule dont la fonction d’onde est formée par un segment de sinusoïde
(comme sur la figure). Nous considérerons que l’incertitude sur la position ∆x est liée à la longueur du paquet d’onde. L’incertitude sur la longueur d’onde ∆λ (et donc sur la quantité de
mouvement) est d’autant plus faible que le nombre n d’oscillations est grand. En déduire que
∆x∆p ∼ 1 (ordre de grandeur).
3) Démonstration générale
On considère deux opérateurs A et B qui ne commutent pas. Il est toujours possible d’écrire le
commutateur sous la forme suivante:
[ A, B ] = iC
où C est un opérateur défini par cette relation. Considérons un système dans un état quantique
représenté par un ket |ψ⟩ normé. On définit la valeur moyenne d’un opérateur O dans l’état
|ψ⟩ et l’incertitude ∆O sur la mesure de la quantité physique représentée par cet opérateur:
⟨ O⟩ = ⟨ψ|O |ψ⟩ et ∆O =
2
⟨ O ⟩ – ⟨ O⟩
2
a) Montrer que si A et B sont hermitiens, C l’est également.
b) Montrer que l’incertitude sur l’opérateur a = A – ⟨ A⟩ est la même que celle sur A.
c) Montrer que [ a, b ] = iC où b = B – ⟨ B⟩ .
d) Partant du fait que ( a + iαb ) |ψ⟩
2
≥ 0 quelque soit α réel, montrer que:
2
⟨ C⟩
2
2
( ∆a ) ( ∆b ) ≥ -----------4
⟨ C⟩
e) En déduire la relation d’incertitude ∆A ⋅ ∆B ≥ ------------ .
2
3) Relation position-quantité de mouvement
d
Appliquer cette relation au cas A = p = – ih ------ et B = x .
dx
Liens
http://www.honors.unr.edu/~fenimore/wt202/close/
http://www.aip.org/history/heisenberg/