x - V.Dujardin

Fonction inverse et fonctions homographiques
0
1 La fonction inverse
1.1 Définition
Définition 1 : fonction inverse
La fonction inverse est définie sur
ℝ
*
par
x→
1
x
Remarque :
•
Elle est définie sur ℝ privé de {0} car la division par 0 n'existe pas.
•
On peut écrire au moins de trois manières l'ensemble de définition de la fonction
inverse : ℝ* = ℝ - { 0 } =]- ∞ ;0[ ∪ ]0;+ ∞ [
1.2 Représentation graphique
La fonction inverse en représentée par une courbe que l'on
appelle hyperbole.
Cette hyperbole comporte deux parties qui ne sont pas
reliées, et que l'on appelle branches.
Remarque : l'hyperbole ne coupe pas l'axe des ordonnées,
car 0 n'appartient pas à l'ensemble de définition (0 n'a pas
1
d'image, car 0 n'existe pas).
1.3 Signe
Propriété 1 : signe
Le signe de
1
est celui de x.
x
Autrement dit : un nombre et son inverse ont le même signe
Preuve : 1 est positif. Le signe de 1÷x est donc celui de x d'après la règle des signes
dans un produit/quotient.
1.4 Sens de variation
Propriété 2: sens de variation
La fonction inverse est :
strictement décroissante sur ]−∞ ;0 [
strictement décroissante sur ] 0 ;+∞ [
Important : la fonction inverse n'est pas décroissante sur ℝ*
Méthode : la propriété 2 permet d'ordonner l'inverse de deux nombres de même signe.
Exemple : On sait que 3< π et que 3 et π sont dans ]0;+ ∞ [.
On en déduit que
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1
3
> 1π car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+ ∞ [
1
2 Fonctions homographiques
2.1 Définition
Définition 2 : fonctions homographiques
Une fonction homographique est une fonction qui peut s'écrire sous la forme
f ( x )=
ax +b
, avec a, b, c et d quatre nombres réels, et c ≠0
cx +d
Remarques :
• c ≠ 0 est important, sinon la fonction serait affine.
•
La fonction inverse est une fonction homographique, avec a=d=0 et b=c=1
Méthode : pour reconnaître une fonction homographique, on réduit les numérateurs et
dénominateurs de son expression pour identifier a, b, c et d.
2
( x +1 ) −x 2
Exemple avec la fonction définie pour x≠3 par g ( x )=
2 ( 3−x )
2
2
x +2 x +1−x
2x +1
=
Pour tout x≠3 : g ( x )=
.
6−2 x
−2 x +6
a x+b
g(x) est de la forme c x +d avec a=2, b=1, c=-2 et d=6. g est donc homographique.
2.2 Ensemble de définition
Rappel : l'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres qui ont une
image par f (c'est à dire que l'on peut calculer f  x  ). On le note généralement Df.
Méthode
Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec un quotient, on enlève de
ℝ la (ou les) valeur(s) qui annule(nt) le dénominateur (appelées valeurs « interdites »).
Exemple avec f : x →
3 x−1
2x +6
.
Valeur « interdite » pour x : lorsque 2 x +6=0 ,
ce qui équivaut à 2 x=−6 et à x =−3 ,
donc l'ensemble de définition de f est ℝ -{-3} (s'écrit aussi : ]- ∞ ;-3[ ∪ ]-3;+ ∞ [)
Une autre manière de rédiger :
f est définie pour 2 x+6≠0 qui équivaut à 2 x≠−6 et à x≠−3 , donc Df= ℝ -{-3}
2.3 Représentations graphiques
Vocabulaire :
Les courbes représentant les fonctions homographiques
sont des hyperboles.
Elles sont constituées de deux branches : on ne
peut pas les tracer sans lever le crayon.
Exemple : la valeur interdite étant 2, la courbe n'a
pas de point d'abscisse 2. Les branches sont séparées
par une droite définie par x=2 (en pointillée).
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2
3 Equations quotient
Définition 3
On appelle équation quotient les équations ayant l'inconnue dans un dénominateur.
x+1
x−2
Exemples :
=0 est une équation quotient,
1
x
=4 aussi. Elle équivaut à
1
x
1−4x
x
x
3
=0 n'est pas une équation quotient : pas d'inconnue au dénominateur.
−4=0 et à
=0
Méthode pour résoudre une équation quotient :
•
Exclure de la recherche les valeurs interdites.
•
Résoudre l'équation avec les propriétés connues (équivalences, produit nul, etc.)
Exemple 1 : Résoudre
( x −2 )( x+3 )
4−2 x
=0
 L'équation est définie pour 4−2 x≠0 ⇔ 4≠2 x ⇔ x≠2
 Dans ℝ -{2}, l'équation équivaut à
( x −2 )( x+3 )
4−2 x
=0
et à
( x−2)( x+3 )=0
(en multipliant par 4−2 x qui n'est pas nul)
et à
x=2 ou x=−3
(produit nul)
Conclusion : le seule solution est -3
Exemple 2 : résoudre
(car 2 est exclue)
x+1
=3
x+2
 Valeur interdite pour x+2=0 ⇔ x=−2
 Dans ℝ -{-2}, elle équivaut à
x+1
x+2
−3=0
et à
x+1−3 ( x+2)=0
et à
x+1−3 x−6=0
et à
x=− 52
(en multipliant par x+2 )
5
La solution est S={ − 2 }
Preuve de la propriété 2
Soient u et v dans ]- ∞ ;0[ avec u<v .
1
u
v
u
− 1v = u×v
− u×v
= v−u
u×v .
v−u est positif car u<v , et u×v aussi car u et v sont de même signe : le quotient
est donc positif.
On a donc
1
u
− 1v >0 ⇔
1
u
> 1v .
On a montré que l'ordre des antécédents s'inverse pour les images : la fonction est bien
décroissante sur ]- ∞ ;0[.
La démonstration est similaire sur ]0;+ ∞ [.
v.dujardin v1.3
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