Machine à laver avec balourd 45 minutes 8 points

Devoir Mécanique GMP2 Module M314 2h, sans
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Théorème de l'énergie cinétique Calculatrice interdite
Machine à laver avec balourd 45 minutes 8 points
On considère un tambour de machine contenant du linge en phase d'essorage. L'ensemble "tambour+linge réparti de façon homogène" est noté (S). Soit M sa masse. Voir gure
1.
⃗z0
⃗z1
⃗y1
balourd (B)
⃗x0
⃗y0
ensemble (S)
Figure 1 Schématisation du tambour de machine à laver, avec balourd
Une partie du linge se met en boule et crée un balourd noté (B), de masse m.
On propose le modèle cinématique de la gure 2. On distingue
le solide (S), équilibré dynamiquement par hypothèse,
le balourd (B) de centre de gravité G situé sur un rayon OG.
O est un point xe, situé sur l'axe de rotation du tambour (les oscillations de la machine
sont négligées). On pose B0 (⃗x0 , ⃗y0 , ⃗z0 ), base xe liée à la machine, avec ⃗z0 un axe vertical
ascendant.
−−→
On pose B1 (⃗x0 , ⃗y1 , ⃗z1 ) une base liée au balourd, telle que OG = a.⃗z1 . B1 se déduit de B0
par une rotation d'un angle ψ autour de ⃗x0 .
1
⃗z0
ψ
⃗z1
⃗y1
G
O
⃗x0
⃗y0
balourd (B)
ensemble (S)
Figure 2 Schématisation cinématique du problème
Travail demandé
1. Justier la forme de la matrice d'inertie de (S) dans la base B0 , au point O.
2. Calculer Ec (S/O), énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport au
bâti de la machine.
3. Calculer Ec (B/O), énergie cinétique de (B) dans son mouvement par rapport au
bâti de la machine.
4. Calculer Ep (S/O), énergie potentielle de pesanteur de (S) dans son mouvement
par rapport au bâti de la machine.
5. Calculer Ep (B/O), énergie potentielle de pesanteur de (B) dans son mouvement
par rapport au bâti de la machine.
6. On suppose que le tambour tourne à vitesse angulaire stabilisée (ω = ψ̇ = constante). En déduire, après application du théorème de l'énergie cinétique, la puissance développée par le moteur pour maintenir la vitesse ω .
7. Application numérique : m = 1kg ; a = 300mm ; ω =100rad/s (environ 1000tr/min).
8. Si le balourd n'existe pas, que vaut la puissance développée ? Conclusion.
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Étude de l'équilibre d'un "culbuto" 1h15 12 points
On considère un "culbuto", noté 1, constitué d'un demi-cylindre plein de rayon R (O
étant le centre du cylindre "complet"). La masse de 1 est notée m, et G est son centre
4R
de gravité (OG =
). On posera OG = a pour simplier.
3π
Lorsque le culbuto bascule, le point I de contact est toujours situé à la verticale de O
mais se déplace sur A⃗y0 . Le culbuto roule sans glisser en I par hypothèse.
On pose (⃗z0 , ⃗z1 ) = ψ , sachant que ⃗z0 est un axe vertical ascendant.
On nomme I0 le point situé sur le culbuto tel qu'à l'équilibre (lorsque ⃗z1 est confondu
avec ⃗z0 ), il soit confondu avec A (origine du repère xe).
On pose B0 (⃗x0 , ⃗y0 , ⃗z0 ), base xe.
On pose B1 (⃗x0 , ⃗y1 , ⃗z1 ) la base liée au culbuto.
⃗z0
⃗z1 ψ
O
G
I
A
⃗y0
Figure 3 Culbuto demicylindrique
1. Donner la relation entre les quantités AI , Ic
0 I (abscisse curviligne) et les paramètres
du problème R et ψ .
⃗a (I), puis celle du point O
2. En déduire la vitesse du point géométrique I , notée V
⃗
⃗
(notée Va (0) = VO∈1/0 ), en précisant les hypothèses eectuées.
3. Calculer la vitesse du point G en fonction de R, a et ψ , en projection dans la base
xe.
4. Dénir la forme de la matrice d'inertie du culbuto dans la base B1 , au point G.
5. Calculer l'énergie cinétique du culbuto.
6. Calculer son énergie potentielle de pesanteur.
7. En déduire l'équation diérentielle du mouvement d'oscillations, à l'aide du théorème
de l'énergie cinétique. Montrer que l'on a
ψ̈{m(R2 + a2 − 2aRcosψ) + A} + ψ̇ 2 (maRsinψ) + mgasinψ = 0
8. (bonus = 2 points) Comment obtenir une équation diérentielle plus simple (du 1er
degré), toujours à l'aide du théorème de l'énergie cinétique ? Écrire cette équation.
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