Module « Logiques et raisonnement » (IODAA) Memento
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Module « Logiques et raisonnement » (IODAA)
Memento
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À savoir :
• Une logique est constituée
1. d’un langage (défini par une syntaxe),
2. d’une sémantique qui associe les éléments du langage à des éléments du monde que l’on cherche à décrire,
3. et de règles d’inférence (‘inference rules’) pour manipuler les phrases du langages et en produire de
nouvelles.
• Une formule bien formée (‘well-formed formula’) est une expression du langage respectant un ensemble de
contraintes définissant les expressions licites du langage.
1.1
Logique des propositions
• Une proposition est une formule bien formée du langage.
• Un atome est un symbole utilisé pour représenter une proposition considérée comme indivisible. Par exemple
‘la lumière est allumée’, mais probablement pas ‘la lumière est allumée et la porte est fermée’.
• Un atome précédé ou non du signe de négation ¬ est appelé un littéral (négatif ou non).
• Une interprétation est une association à chaque atome du langage d’une valeur de vérité.
• Une formule est satisfiable si il existe au moins une interprétation qui le rend vraie.
• Une interprétation qui rend vraie une formule est appelée modèle de cette formule.
• Une formule est valide ou est une tautologie si il n’existe pas de modèle de sa négation. Elle est vraie dans
toute interprétation.
• Une formule est inconsistante (‘inconsistent’) si elle n’a pas de modèle. Elle est aussi dite insatisfiable.
1.2
Le raisonnement
• Une formule B est une conséquence logique d’une autre formule A (ou d’un ensemble de formules) si elle est
satisfaite pour tous les modèles de A (ou de l’ensemble de formules).
On note A |= B (implication logique), (en anglais ‘entailment’ ou ‘logical implication’).
• Déterminer si une formule bien formée est une conséquence logique d’un ensemble de formules bien-formées est
un problème NP-difficile, ce qui signifie que l’on ne sait pas prouver que sa complexité est moins qu’exponentielle
en le nombre d’atomes dans le pire cas.
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• La forme normale en Conjunctive Normal Form (CNF) consiste en une conjonction de clauses (disjonction de
littéraux). E.g. (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r ∨ ¬s) est une 3-CNF (la clause la plus longue possède trois littéraux).
• Le problème consistant à chercher si il existe un modèle d’une formule bien-formée s’appelle le problème de
satisfiabilité (PSAT). Un problème k-SAT est le problème de satisfiabilité pour des CNF dont les clauses ont
au plus k littéraux.
• Le problème k-SAT est NP-complet pour k ≥ 3. Cela signifie que sa complexité est exponentielle dans le pire
cas. Cependant beaucoup de problèmes k-SAT sont de complexité polynomiale.
• La règle d’inférence par résolution est : à partir de {λ} ∪ Σ1 et de {¬λ} ∪ Σ2 (où Σ1 et Σ2 sont des ensembles
de littéraux et λ est un atome), on peut inférer Σ1 ∪ Σ2 qui est appelé résolvante des deux clauses.
• Le principe de résolution est correct, mais incomplet. Par exemple, on a p ∧ q |= p ∨ q, mais on ne peut inférer
par résolution p ∨ q à partir de l’ensemble de clauses {p, q} (car il n’y a pas de possibilité de résolution).
• Le principe de résolution avec réfutation est complet (et correct). Par exemple, on peut prouver que la négation
de p ∨ q est inconsistante avec l’ensemble de clauses {p, q}.
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