Ultrabac Terminale S - Polynésie juin 2008 exercice de spécialité

Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Polynésie juin 2008
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et,
donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte
aucun point.
1. Soit n un entier naturel non nul quelconque.
Proposition 1 : Les entiers n et 2 × n + 1 sont premiers entre eux.
Voilà une question qui va être rapidement résolue car :
1× ( 2 × n + 1) + ( −2 ) × n = 1
Comme il existe deux entiers u = 1 et v = −2 tels que u × ( 2 × n + 1) + v × n = 1 , alors en
application du théorème de Bezout, les entiers non nuls 2 × n + 1 et n sont premiers entre
eux.
La proposition 1 est vraie.
Différence entre le théorème de Bezout et le théorème de l'Identité de Bezout
Le théorème de l'identité de Bezout énonce juste que si on appelle δ le PGCD de deux
entiers non nuls a et b, alors il existe deux entiers u et v tels que a × u + b × v = δ .
Page 1 sur 2
3. Soit N un entier naturel dont l'écriture en base 10 est aba7 .
Proposition 3 : Si N est divisible par 7, alors la somme a + b est divisible par 7.
Si l'écriture en base 10 de l'entier naturel N est aba7 , alors nous avons :
N = a ×1000 + b × 100 + a × 10 + 7
Petite précision : a et b sont des chiffres donc des entiers compris entre 0 et 9.
Intéressons aux trois premières puissances de 10...modulo 7.
Comme 10 = 7 + 3 alors 10 ≡ 3 modulo 7 .
On en déduit alors :
102 ≡ 32 ≡ 9 ≡ 2 modulo 7 et 103 ≡ 33 ≡ 27 ≡ 6 modulo 7
La congruence est compatible avec l'élévation à la puissance.
Modulo 7, il vient alors :
N ≡ a ×1000 + b ×100 + a × 10 + 7
≡ a×6 + b×2 + a×3+ 7
≡ a
×9 + b× 2 + 7 ≡ a × 2 + b× 2 + 0
≡ 2 × ( a + b ) modulo 7
Une combinaison linéaire de a et b est égale à leur PGCD δ.
Le théorème de Bezout lui précise que si une combinaison linéaire a × u + b × v de deux
entiers a et b est égale à 1, alors ceux-ci sont premiers entre eux. Leur PGCD est 1.
Mais ce n'est pas parce qu'une combinaison linéaire a × u + b × v est égale à un nombre
d que cela fait de celui-ci le PGCD de a et b. Toute combinaison linéaire a × u + b × v
serait alors un PGCD de a et b. Ce qui mettrait un sacré bordel !
2. Soit x un entier relatif.
Proposition 2 : x 2 + x + 3 ≡ 0 modulo 5 si et seulement si
x ≡ 1 modulo 5
Modulo 5, x ne peut prendre que cinq valeurs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 4.
Dans chacun de ces cas, voyons ce que donne modulo 5 la somme x 2 + x + 3 .
Car 7 et 9 sont congrus à 0 et 2 modulo 7.
Voilà un résultat très intéressant !
Or, si N est divisible par 7, alors il est congru à 0 modulo 7. Donc, nous avons alors :
N ≡ 2 × ( a + b ) ≡ 0 modulo 7
Autrement dit, 7 divise aussi le produit 2 × ( a + b ) .
Or, comme 7 est premier avec le premier facteur 2, alors en application du théorème de
Gauss, il divise nécessairement le second facteur a + b .
La proposition 3 est vraie.
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O; u , v ) .
Si x ≡ 0 modulo 5 alors x 2 + x + 3 ≡ 0 2 + 0 + 3 ≡ 3 modulo 5
Proposition 4 : La similitude directe de rapport 2, d'angle
Si x ≡ 1 modulo 5 alors x 2 + x + 3 ≡ 12 + 1 + 3 ≡ 5 ≡ 0 modulo 5
1− i a pour écriture complexe z ' =
Si x ≡ 2 modulo 5 alors x 2 + x + 3 ≡ 22 + 2 + 3 ≡ 9 ≡ 4 modulo 5
Si x ≡ 3 modulo 5 alors x 2 + x + 3 ≡ 32 + 3 + 3 ≡ 15 ≡ 0 modulo 5
Si x ≡ 4 modulo 5 alors x 2 + x + 3 ≡ 42 + 4 + 3 ≡ 23 ≡ 3 modulo 5
Conclusion : de tous ces calculs, nous déduisons l'équivalence :
x 2 + x + 3 ≡ 0 modulo 5 ⇔
x ≡ 1 modulo 5 ou x ≡ 3 modulo 5
Ce sont les deux seuls cas possibles !
La proposition 2 est fausse.
(
)
π
et de centre le point d'affixe
6
3 + i × z + 3 − i. 3 .
Pour solutionner cette question, nous pourrions nous intéresser à la similitude directe f
dont l'écriture complexe est :
z ' = f (z) =
(
)
3 + i × z + 3 − i. 3
Nous déterminerions alors son rapport et son angle à partir des module et arguments de
son coefficient directeur 3 + i .
Puis, nous testerions si le point d'affixe 1− i est sa propre image par f.
f (1 − i ) =
(
)
3 + i × (1 − i ) + 3 − i. 3 = 3 − i. 3 + i + 1 + 3 − i. 3 ≠ 1 − i
(1+ 2. 3 )+i×(1−2. 3 )
Ce qui nous permettrait de dire que la proposition 4 est fausse.
Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Polynésie juin 2008
Page 2 sur 2
Mais non ! Procédons autrement. Intéressons-nous à la similitude directe g de rapport 2,
π
d'angle
et de centre le point Ω d'affixe ω = 1 − i .
6
D'un point de vue complexe, c'est une fonction affine. D'ailleurs, l'une de ses écritures
complexes est de la forme :
g (z) = a × z + b
où a est un nombre complexe non nul et b un nombre complexe quelconque.
π
Le rapport 2 et l'angle
de la similitude g sont respectivement les module et argument
6
de son coefficient directeur a. Par conséquent :
π
6
3
1
π
π
= 2 × cos   + i × 2 × sin   = 2 ×
+ i × 2× = 3 + i
6
6
2
2
 
 
Donc une écriture complexe de g est de la forme :
a = 2× e
i.
g (z) =
(
(
)
3 + i ×z+ b
)
3 + i × (1 − i ) + b = 1 − i
⇔ b = − 3 + i.
(
3−2
⇔
3 − i. 3 + i + 1 + b = 1 − i
(
Le rapport de g
L'angle de g
π
⇔
z ' = s (z) = z
Pour trouver celle de sA , revenons à la définition d'une symétrie centrale !
i.
π
6
⇔ z '− ω = 2
× e × ( z − ω)
3 +i
( 3 + i ) × z − ( 3 + i ) × (1 − i ) + (1 − i )
= ( 3 + i ) × z − 3 + i. 3 − i − 1 + 1 − i
= ( 3 + i ) × z − 3 + i. ( 3 − 2 )
⇔ z' =
Ce que nous avions trouvé...
z AM '
⇔ z ' = 2× a − z
Ainsi, l'écriture complexe de la symétrie centrale sA est-elle :
z ' = sA ( z ) = 2 × a − z
)
i.
z '− ω
= 2×e 6
z−ω
Proposition 5 : L'ensemble des nombres complexes a tels que s sA = sA s est
l'ensemble des nombres réels.
Avant toute chose, déterminons les écritures complexes des deux similitudes s et sA .
L'écriture complexe de la réflexion s d'axe ( O; u ) est évidemment :
z MA
Conclusion : comme les deux similitudes directes f et g diffèrent par leurs ordonnées à
l'origine, alors elles sont distinctes.
La proposition 4 est fausse.
Une autre manière de dégoter l'expression complexe de g
On peut aussi obtenir l'expression complexe de la similitude directe g de manière plus
naturelle, en s'appuyant sur la signification des attributs de g : rapport, angle et centre.
M' d'affixe z' est l'image 
z '− ω Ω M '
π
 z '− ω  =
= 2 et arg 
= ΩM, ΩM ' =
 ⇔
de M d'affixe z par g 
z−ω
z − ω 
6
ΩM

M est supposé distinct de Ω
On considère un point A. On désigne par a son affixe.
On note s la réflexion d'axe ( O; u ) et sA la symétrie centrale de centre A.
M ' d'affixe z' est l'image de M d'affixe z 
 ⇔ A est le milieu du segment [MM'].
par la symétrie centrale sA

⇔ MA = AM ' ⇔ a
−z = z
'−a
Reste à déterminer l'ordonnée à l'origine b.
Comme le point Ω est le centre de g, il est donc sa propre image par cette similitude.
g ( ω) = ω ⇔
5. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O; u , v ) .
)
Intéressons-nous à présent aux deux composées f = s sA et
Ce sont des similitudes. Déterminons les écritures complexes :
f ( z ) = s sA ( z ) = sA ( z )
= 2
× a − z = 2 × a − z = 2 × a − z
et
g = sA s .
g ( z ) = sA s ( z )
= 2× a − s (z) = 2× a − z
La conjugaison est compatible avec
toutes les opérations.
Tout réel est son propre conjugué.
A présent, nous allons savoir pour quelles valeurs de a les deux composées f et g sont
égales.
f =g ⇔
2× a − z = 2× a − z
⇔ 2 × a = 2 × a ⇔ a = a ⇔ a est un réel
Pour tout nombre complexe z
Car seuls les réels sont
leurs propres conjugués !
La proposition 5 est vraie.
A propos de la nature des composées f et g.
Comme la symétrie axiale s est une isométrie indirecte (une similitude de rapport 1 qui
inverse l'orientation des angles) et que la symétrie centrale sA est une isométrie directe
(une similitude de rapport 1 qui conserve l'orientation des angles), alors les deux
composées f et g sont deux similitudes de rapport 1×1 = 1 .
Comme elles inversent les angles, f et g sont deux isométries indirectes.
Il n'existe que deux types d'isométries indirectes : les réflexions et les symétries glissées
(composée d'une réflexion suivie d'une translation).