Nombres et calculs
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Sommaire Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes 1. Les règles de priorité des calculs 11 2. Les nombres relatifs 12 La droite graduée Comparaison de deux nombres relatifs Opérations 12 13 13 3. Les nombres rationnels et les nombres irrationnels 17 4. Fractions et écriture fractionnaire 18 Écriture fractionnaire Calculer un quotient Fractions égales Fraction d’un nombre Comparaison de fractions Somme et différence d’écritures fractionnaires Produit d’écritures fractionnaires Quotient d’écritures fractionnaires 18 20 21 22 23 24 25 27 5. Le carré et la racine carrée d’un nombre 28 Le carré d’un nombre La racine carrée d’un nombre Opérations sur les racines carrées 28 28 30 Écrire sous la forme a b Résolution d’équation du type x2 = a 30 32 6. Les préfixes, de pico à terra Les multiples de l’unité de mesure Les sous-multiples de l’unité de mesure 33 33 35 7. Ordre de grandeur, valeurs approchées 35 Ordre de grandeur Valeurs approchées par défaut ou par excès Troncature et arrondi 35 35 36 8. Les puissances Définitions Opérations sur les puissances Écriture scientifique 6 38 38 39 40 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 6 7/25/16 3:34 PM B. Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers 9. La division euclidienne 42 Les termes de la division euclidienne Diviseurs et multiples d’un entier Critères de divisibilité 42 43 44 10. Les nombres premiers 46 Définition Décomposition en produit de facteurs premiers 46 47 C. Utiliser le calcul littéral 11. Développer et factoriser 49 Réduire une expression littérale Développer avec la distributivité Les identités remarquables Factoriser avec facteurs communs ou identités remarquables 12. Résoudre des équations à l’aide du calcul littéral 49 50 52 53 54 Notion de variable Résoudre avec des équations Résoudre des inéquations Mettre en équations ou en inéquations des problèmes CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 7 54 55 57 59 7 7/25/16 3:34 PM 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 8 7/25/16 3:34 PM Nombres et A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes calculs 1. Les règles de priorité des calculs Pour calculer des expressions, il faut suivre un ordre précis. C’est ce que l’on appelle l’ordre de priorité des calculs. RÈGLES DE PRIORITÉ DES CALCULS • Si l’expression est une suite d’additions et de soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite. • Si l’expression ne comporte que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite. • Si l’expression ne comporte pas de parenthèses, alors les multiplications ou les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. On effectue les divisions et les multiplications avant les additions et soustractions. • Les calculs entre parenthèses sont prioritaires. Exemples : • A = (7 − 4) × (5 − 1,3) A= × 3 3,7 → On fait le calcul dans les deux parenthèses (règle 4). → On effectue la multiplication (règle 2). A = 11,1 • B = 22 − 2 × (15 − 6) + 4 × 8 B = 22 − 2 × 9 +4×8 B = 22 − + 32 B= B = 36 4 18 + 32 → On effectue le calcul dans la parenthèse (règle 4). → On effectue les multiplications (règle 3). → L’expression comporte une soustraction et une addition (règle 1). CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 9 9 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes 2. Les nombres relatifs I. La droite graduée Pour graduer une droite, il faut choisir un point d’origine O, qui correspond au nombre 0 et une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir du point O. Ainsi la droite graduée permet de visualiser l’ensemble des nombres relatifs. On appelle axe une droite graduée régulièrement et orientée. Tout point sur cet axe est repéré par un nombre relatif, son abscisse. Si le point est à gauche de l’origine, son abscisse est négative, s’il est à droite de l’origine son abscisse est positive. –3 –2 –1 O I M 0 1 2 m 3 abcisses negatives x abcisses positives On appelle distance à zéro d’un nombre relatif, le nombre sans son signe. Sur la droite graduée, c’est la distance entre le point origine O et l’abscisse du nombre. On note, pour notre exemple, M(m) qui veut dire : le point M a le nombre m pour abscisse. Ici m = 2,5 donc, on note M(2,5). Exemples : • La distance à zéro du nombre (−4,5) est 4,5. • On donne la droite graduée suivante : 5 6 7 8 M N 9 10 Les abscisses des points M et N sont : M(5,6) et N(8,3). 10 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 10 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes II. Comparaison de deux nombres relatifs JE COMPRENDS LA MÉTHODE • On peut comparer deux nombres relatifs de même signe ou de signes contraires. • Si les 2 nombres sont positifs, ils sont rangés dans l’ordre de leur distance à zéro. • Si les 2 nombres sont négatifs, ils sont rangés dans l’ordre inverse de leur distance à zéro. • Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif. Exemples : a) Comparer à l’aide du symbole nécessaire : • 5 et +5 → Ce sont deux nombres positifs et de même distance à zéro. On note 5 = +5. • −1,5 et 1,5 → Ce sont deux nombres de signes contraires. On note −1,5 < 1,5. • +1,24 et +2,14 → Ce sont deux nombres positifs. On note 1,24 < 2,14. • −6,2 et −6,3 → Ce sont deux nombres négatifs. On les range dans l’ordre inverse de leur distance à zéro. Pour les distances à zéro on a 6,2 < 6,3 et donc −6,3 < −6,2. b) Mettre dans l’ordre croissant : −2,5 ; −3,8 ; 4,7 ; −6,9 ; 3,8. • On commence par comparer les nombres positifs entre eux, puis les négatifs entre eux. • On met les symboles correspondants : −6,9 < −3,8 < −2,5 < 3,8 < 4,7. III. Opérations A. Somme de deux nombres relatifs L’addition est une opération dont le résultat est appelé la somme. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 11 11 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes PROPRIÉTÉS 1. La somme de 2 nombres relatifs de même signe est la somme de leur distance à zéro. On garde le signe commun. • La somme de 2 nombres relatifs de signes contraires est la différence entre leur distance à zéro. On garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Exemples : effectuer les sommes suivantes : • A = (−3,5) + (−4,2) → Les 2 nombres sont négatifs (propriété 1). A = −( 3,5 + 4,2) A n les ajoute et on garde le signe commun, qui est le →O signe moins. = −7,7 → Les 2 nombres sont de signes contraires (propriété 2). • B = (−3,5) + (4,2) B = ( 4,2 − 3,5) → On les soustrait et on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro, soit : 4,2. B = 0,7 B. Différence de deux nombres relatifs La soustraction est une opération dont le résultat est appelé la différence. JE COMPRENDS LA MÉTHODE Lorsque l’on veut soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Par exemple, l’opposé de +3 est −3. L’opposé de −1,2 est 1,2 ou +1,2. 12 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 12 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes Exemples : effectuer les soustractions suivantes : • A = (−5) − (+3) A = −(5) + (−3) A = −8 • B = (−7,2) − (+13,5) B = (7,2) + (−13,5) B = −(13,5 − 7,2) B = −20,7 ~ L’opposé de +3 est −3. → On ajoute l’opposé. → Les deux nombres sont de même signe. On les ajoute et on garde le signe commun. → L’opposé de +13,5 est −13,5. → Les deux nombres sont de signes contraires propriété 2). → On les soustrait et on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro. C. Produit de deux nombres relatifs La multiplication est une opération dont le résultat est appelé le produit. Les termes de la multiplication sont appelés les facteurs. JE COMPRENDS LA MÉTHODE Pour multiplier deux nombres relatifs, d’une part, on multiplie leur distance à zéro. D’autre part, on détermine le signe du produit. • Si deux nombres multipliés sont de même signe, leur produit est positif. • Si deux nombres multipliés sont de signes contraires, leur produit est négatif. « − » × « − » = « + » ; « + » × « + » = « + » ; « − » × « + » = « − » ; « + » × « − » = « − » ; CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 13 13 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes ASTUCE On remarque que, dans une série de multiplications : • S’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, alors leur produit est positif. • S’il y a un nombre impair de facteurs négatifs, alors leur produit est négatif. Exemples : Effectuer les multiplications suivantes : • A = (−5) × (+3) → Les nombres sont de signes contraires. A = −15 → Le produit est négatif. • B = (−7) × (−6) → Les nombres sont de même signe. B = 42 → Le produit est positif. D. Quotient de deux nombres relatifs La division est une opération dont le résultat est appelé le quotient. PROPRIÉTÉS Pour diviser deux nombres relatifs, on suit la même méthode que pour les multiplier. D’une part, on divise leur distance à zéro. D’autre part, on détermine le signe du produit. Exemples : effectuer les divisions suivantes : • A = (−16) ÷ (−2) → Les deux nombres sont de même signe, le résultat sera positif. A = 16 ÷ 2 → On effectue la division. A=8 14 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 14 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes Attention ! Les règles de priorité s’appliquent aussi avec les nombres relatifs. • B = (−15) ÷ (7 − 4) → On fait en priorité la soustraction entre parenthèses. B = (−15) ÷ 3 → Les deux nombres sont de signes contraires, le résultat sera négatif. B = −5 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 15 15 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes 3. Les nombres rationnels et les nombres irrationnels Les nombres se classent en différentes catégories qu’on nomme natures. LA NATURE DES NOMBRES 1. Les nombres entiers ont une partie décimale nulle. 2. Les nombres décimaux ont une partie décimale avec un nombre fini de chiffres. 3. Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers. 4. Les nombres irrationnels sont tous les nombres qui ne sont pas rationnels comme π ou 2 . Ainsi, 1 est un nombre rationnel car c’est le quotient 3 des entiers 1 et 3. Un nombre entier ou un nombre décimal est aussi un 24 et 3,5 nombre rationnel. Par exemple 12 s’écrit 2 35 . s’écrit 10 Exemples : classer les nombres suivants selon la catégorie à laquelle ils appartiennent : 2 3 ; Entiers 7 ; 56 7 ; 9 4 105 = 100 000 ; Décimaux non entiers Rationnels et non décimaux Irrationnels 16 1 1 1 + + 2 3 6 ; 10π ; 105 ; 10–7 ; 56 7 = 8 ; 10–7 = 0,0000001 ; 2 3 1 1 1 + + =1 2 3 6 9 3 4 2 = 1,5 ≈ 0,6666… 7 ; 10π CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 16 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes 4. Fractions et écriture fractionnaire I. Écriture fractionnaire DÉFINITION Le résultat de la division est appelé le quotient. 1. a et b sont deux nombres, et b est un nombre non nul. On peut noter le quotient sous deux formes : barre de fraction a÷b dividende a b numérateur b dénominateur diviseur On lit « a divisé par b ». 2. a On lit « a sur b ». est une écriture fractionnaire de la division de a par b. 7 0,9 210 21,7 Exemples : ; ; ; 6 4 100 0,3 3. a b est une fraction lorsque numérateur et dénominateur sont des nombres entiers. 7 210 Exemples : ; 6 100 4. Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et dont le dénominateur est 10 ou 100 ou 1 000 … Exemples : 210 100 Attention ! 2,4 n’est pas une fraction décimale. En effet, le numé10 24 rateur n’est pas un nombre entier. En revanche , 100 qui donne le même résultat, est une fraction décimale. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 17 17 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Exemples : • Écrire la fraction dont le dénominateur est 5 et le numérateur est 6 : 6 La réponse est . C’est la seule possibilité. 5 • Écrire une fraction dont le dénominateur est le triple du numérateur : Il y a une infi1 4 6 5 20 nité de réponses. On peut par exemple avoir : ; ; ; ; … 3 12 18 15 60 II. Calculer un quotient DÉFINITION a et b sont deux nombres, et b est un nombre non nul. 1. On calcule le quotient Rappelle-toi : une fraction est le nom donné au quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. a en b effectuant une division décimale de a par b. 2. La fraction a b est un nombre qui peut être : • Un nombre entier : 12 4 =3 • Un nombre décimal non entier : • Un nombre non décimal : 18 1 3 1 4 = 0,25 ≈ 0,333… CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 18 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes Exemple : • Calculer, si possible, l’écriture décimale du quotient 1 1 4 − 114 7 . 7 7 16,28… 4 4 Pour continuer à calculer le quotient après la virgule, on rajoute un 0 au reste. Il est en rouge ici. Le reste est en bleu à chaque fois. − 4 2 2 0 − 1 4 6 0 − 5 6 4 Si on continuait, on trouverait toujours un reste non nul. La division est infinie. On peut en 114 ≈ 16,28 conclure que ce quotient n’est ni un nombre entier, ni un nombre décimal. On note 7 Le nombre 16,28 est une valeur approchée au centième de ce quotient. On a donc une écriture fractionnaire de 114 . 7 III. Fractions égales Si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur d’un quotient, le quotient reste égal. 7 7 × 2 14 On a multiplié par 2 le numéraExemple : = = 6 6 × 2 12 teur et le dénominateur. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 19 19 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes PROPRIÉTÉS Cette règle permet de : • Simplifier des fractions : on remplace une fraction par une fraction égale, dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits ou plus simples. Une fraction simplifiée au maximum est appelée irréductible. Exemple : 14 12 = 7×2 6×2 = 7 On a simplifié la fraction par 2. 7 est plus petit que 14 et 6 6 est plus petit que 12. • Mettre au même dénominateur : on transforme des fractions pour qu’elles soient sur un même dénominateur. Cela permet de soustraire et d’additionner les fractions. Exemple : 7 5 7 5 × 3 7 15 + = + = + es fractions sont mises au même L 6 2 6 2×3 6 6 dénominateur : 6. • Mettre sous forme de fraction un nombre décimal non entier divisé par un autre nombre décimal non entier. 4,5 4,5 × 100 450 = = Exemple : 4,5 ÷0,09peut s’écrire 0,09 0,09 × 100 9 Exemples : • Simplifier au maximum la fraction : 36 6×6 36 60 . 6 → On remarque que 36 et 60 sont des multiples de 6. On simplifie donc par 6. 60 10 × 6 10 On peut encore simplifier la fraction car on remarque que 6 et 10 sont des multiples de 2. 6 10 = = 3×2 5×2 = = 3 5 → La fraction est simplifiée au maximum, elle est irréductible. • Transformer la fraction 3 10 pour que son dénominateur soit égal à 40 : 3 10 = 3× 4 10 × 4 = 12 40 . Rends-toi au I. point 2 de cette fiche pour trouver la définition de la fraction. 20 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 20 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes IV. Fraction d’un nombre DÉFINITION 1. Calculer la fraction d’un nombre signifie multiplier ce nombre par la fraction. Exemple : pour poser le calcul répondant à la question : « Que valent les deux tiers 2 de quinze ? », on écrit : × 15 . 3 2. Le « de » qu’on lit en français se traduit mathématiquement par le signe ×. On peut écrire ce calcul sous trois formes différentes. a a×b b a, b et c représentent des nombres : × b = = a× c c c Avec notre exemple, cela donne : 2 2 × 15 15 × 15 = = 2× 3 3 3 Exemples : dire si les formes choisies sont judicieuses : • • • 2 3 2 3 2 3 × 15 = 0,666 .... × 15 = 10 → Cette forme n’est pas judicieuse car le premier calcul donne une valeur approchée. × 15 = 2 × 15 3 × 15 = 2 × 15 3 = 30 3 = 10 → Cette forme est judicieuse car la multiplication de 15 par 2 donne un nombre entier. = 2 × 5 = 10 → Cette forme est judicieuse car la division de 15 par 3 donne un nombre entier. ASTUCE a est un nombre. 1. Multiplier un nombre par 0,5 revient à le diviser par 2 : a × 0,5 = a × 2. Diviser un nombre par 0,5 revient à le multiplier par 2 : a 0,5 = 1 2 a× 2 0,5 × 2 = = a . 2 2×a 1 = 2a . CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 21 21 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Exemples : • 26 × 0,5 = 26 × • 11 0,5 1 2 = 26 2 = 13 On peut noter 2a au lieu de 2 × a. = 2 × 11 = 22 V. Comparaison de fractions JE COMPRENDS LA MÉTHODE Pour comparer des nombres qui sont en écriture fractionnaire, on suit un de ces points : • On les écrit avec le même dénominateur. Ensuite on les range dans le même ordre que leur numérateur. • On les écrit avec le même numérateur. Ensuite on les range dans l’ordre inverse des dénominateurs. • On les compare avec 1. Exemples : • Comparer : 1,5 5,3 . 20 1,5 pour avoir comme dénominateur 20. Pour trouver par combien On transforme l’écriture de 5 5 et il faut multiplier 5, on effectue le calcul suivant : 20 ÷ 5 = 4. On multiplie donc le numérateur et 1,5 × 4 6 . le dénominateur par 4 : = 5 × 4 20 Les 2 écritures fractionnaires sont sur le même dénominateur, on compare les 2 numérateurs : 5,3 < 6. On en déduit l’ordre des écritures fractionnaires : On conclut : 5,3 1,5 . < 20 5 • Comparer : 22 12 15 et 36 31 5,3 20 < 6 20 . . CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 22 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes Comme 12 < 15, alors Comme 36 > 31, alors 12 15 36 31 < 1. > 1. On en déduit l’ordre suivant : On conclut : 12 15 < 36 31 12 15 < 1< 36 31 . . VI. Somme et différence d’écritures fractionnaires JE COMPRENDS LA MÉTHODE Pour additionner ou soustraire des écritures fractionnaires : 1. On écrit chacun des nombres avec le même dénominateur. 2. On additionne ou on soustrait les numérateurs suivant l’opération à faire. 3. On conserve le dénominateur commun. Exemples : Calculer les expressions suivantes : • A = A= A= A= A= 7 + 2 25 15 7×3 + → On cherche un multiple commun à 25 et à 15 : 25 × 3 = 75 ; 15 × 5 = 75. 2×5 25 × 3 15 × 5 → On réduit (met) chacune des fractions au même dénominateur : 75. 21 10 + → On ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun. 75 75 21+ 10 75 31 75 → On effectue l’addition. → On simplifie la fraction obtenue quand cela est possible. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 23 23 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes • B = B= B= B= B= 7 – 5 12 9 7×3 – → On cherche un multiple commun à 12 et à 9 : 12 × 3 = 36 ; 9 × 4 = 36. 5× 4 12 × 3 9 × 4 → On réduit (met) chacune des fractions au même dénominateur : 36. 21 20 – → On soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun. 36 36 21– 20 36 1 36 → On effectue la soustraction. → On simplifie la fraction obtenue quand cela est possible. VII. Produit d’écritures fractionnaires JE COMPRENDS LA MÉTHODE Pour faire le produit des écritures fractionnaires : 1. On multiplie les numérateurs entre eux. 2. On multiplie les dénominateurs entre eux. Attention ! On simplifie toujours les fractions avant de faire les multiplications de façon à avoir des calculs plus simples. 24 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 24 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes Exemples : calculer les expressions suivantes : • A = A= 8 7 × 3 → On remarque que les fractions ne sont pas simplifiables. 5 8×3 7×5 → On multiplie les numéra- Les règles des signes s’appliquent aussi pour les fractions. teurs entre eux et les dénominateurs entre eux. A= 24 35 → On effectue l’opération. 2 15 • B = (–3) × – × – → On cherche le signe de l’expression. ° 9 ° 23 B =– 3 × 2 × 15 9 × 23 → Il y a 3 signes moins, c’est un nombre impair. Le signe moins va donc rester. B =– 3×2×3×5 3 × 3 × 23 → On peut simplifier le produit en le décomposant en produit de facteurs. B =– B =– 2×5 23 10 23 → On simplifie. → On effectue l’opération. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 25 25 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes VIII. Quotient d’écritures fractionnaires PROPRIÉTÉS a et b sont deux nombres non nuls. 1. Si a × b = 1 alors a et b sont inverses l’un de l’autre. 2. L’inverse de a est 1 Attention ! Ne pas confondre inverse et opposé. 1 est l’inverse de a tandis que −a est a l’opposé de a. 1 a car a × = 1 . a Exemple : l’inverse de −2 est – 3. Et l’inverse de a b est b a car 1 2 car –2 × – = = 1. 2 ° 2 2 1 a b × = 1. b a 4. Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l’inverse de ce nombre. a c a d ad . a, b, c et d sont quatre nombres relatifs et b, c, d sont non nuls : ÷ = × = b d b c bc Exemples : calculer les expressions suivantes : 3 4 A = – ÷ → On transforme la « division » en la « multiplication par l’inverse ». 2 5 3 5 A = – × → Il y a un nombre impair de signe « − ». Le résultat sera négatif. 2 4 A= 3×5 2× 4 A=– 26 15 8 → On ne peut pas simplifier. → On effectue l’opération. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 26 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes 5. Le carré et la racine carrée d’un nombre I. Le carré d’un nombre DÉFINITIONS 1. La carré d’un nombre a est noté a2. Il se lit « a au carré ». 2. a2 = a × a 3. Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul. 4. Un nombre et son opposé ont le même carré : 32 = 9 et (–3)2 = (–3) × (–3) = 9 5. 22 = 4 ; 32 = 9 ; 52 = 25 sont des carrés parfaits. Attention ! Il ne faut pas confondre : (–3)2 = (–3) × (–3) = 9 et –32 = –3 × 3 = -9 II. La racine carrée d’un nombre DÉFINITIONS a est un nombre positif ou nul : 1. La racine carrée de a est l’unique nombre positif qui, élevé au carré, donne a. On note ce nombre : a . 2. a est un nombre positif ou nul. 3. Le symbole « » s’appelle le radical. 4. ( a )2 = a × a = a 5. a 2 = a × a = a Attention ! Au vocabulaire. Par exemple, pour 36. 36 a pour racine carrée 6: 36 = 62 = 6 36 est le carré de 6 : 62 = 6 × 6 = 36 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 27 27 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Exemples : 25 = 52 = 5 . 0 = 02 alors 0 = 0. 1 = 12 alors 1 = 1. Calculer les racines suivantes : ( 13)2 ; 169 ; 4 25 ; (–6)2 . ( 13)2 = 13 × 13 = 13 169 = 13 × 13 = 132 = 13 2 2 2 = = = 25 5×5 5 ° 5 4 2×2 (–6)2 = (–6) × (–6) = 36 = 6 × 6 = 62 = 6 III. Opérations sur les racines carrées PROPRIÉTÉS a et b sont deux nombres positifs ou nuls : 1. a × b = a × b 2. Si b est différent de 0 on a : a = a b b 3. a + b ≠ a + b sauf si a est nul ou si b est nul. 4. a – b ° 28 a – b sauf si b est nul. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 28 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes On prend par exemple : a = 25 et b = 9. 25 + 9 = 5 × 5 + 3 × 3 = 52 + 32 = 5 + 3 = 8 25 + 9 = 34 = 5,8 en arrondissant au dixième. Tu vois bien que le résultat de la somme est différent dans les deux cas. IV. Écrire sous la forme a b On peut écrire une expression comportant des racines carrées sous la forme a b . a b est une écriture simplifiée qui équivaut à : a × b . • A = 15 × 27 × 10 → On utilise la propriété 1 du III pour rassembler les facteurs sous la racine. • A = 15 × 27 × 10 → On décompose les facteurs en produit de facteurs comme 15 = 3 × 5. • A = (3 × 5) × (3 × 9) × (2 × 5) → On regroupe les chiffres identiques en les mettant au carré comme 3 × 3 = 32 • A = 32 × 52 × 9 × 2 → On utilise la propriété 1 du III, cette fois-ci pour séparer la racine en plusieurs facteurs. • A = 32 × 52 × 9 × 2 → On reconnaît deux racines carrées de carrés. On les simplifie. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 29 29 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes A = 3 × 5 × 9 × 2 → On reconnaît que : 9 = 3 × 3 = 32. A = 3 × 5 × 32 × 2 → On reconnaît une racine carrée de carré. On la simplifie. A = 3 × 5 × 3 × 2 → On finalise en effectuant les multiplications. A = 45 2 • B = B= B= 27 × 10 5×3 5 × 10 3 → On utilise la propriété 2 du III pour rassembler les facteurs sous la racine. → On décompose les facteurs en produit de facteurs comme 27 = 3 × 9. 3×9×2×5 5×3 27 → On simplifie le quotient par 3 et par 5. B = 9×2 → On utilise la propriété 1 du III, pour séparer la racine en plusieurs facteurs. • B = 9 × 2 → On reconnaît que : 9 = 3 × 3 = 32. B = 32 × 2 → On reconnaît une racine carrée de carré. On la simplifie. B =3 2 Un dernier exemple avec une expression comprenant une soustraction et une addition. Attention ! Rappelle-toi de la propriété 3 du III : a + b ≠ a + b sauf si a est nul ou si b est nul. a– b° a – b sauf si b est nul. • C = 20 –12 5 + 2 125 → On décompose 20 = 4 × 5 = 4 × 5 = 22 × 5 = 2 5 . → On décompose 125 = 25 × 5 = 25 × 5 = 52 × 5 = 5 5 . 30 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 30 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes • C = 2 5 – 2 × (5 5) → On développe. C = 2 5 –12 5 + 10 5 → On met 5 en facteur. C = (2 –12 + 10) 5 → On effectue le calcul qui est entre parenthèses. C = 0× 5 C=0 V. Résolution d’équation du type x2 = a PROPRIÉTÉS La résolution de l’équation x2 = a dépend du signe de a. • Si a > 0, l’équation x2 = a admet 2 solutions qui sont : a et – a . • Si a = 0, l’équation x2 = a admet 1 solution qui est : 0. • Si a < 0, l’équation x2 = a n’admet pas de solutions réelles. Exemples : résoudre les équations suivantes : • x2 = 16 : Comme a = 16 > 0, l’équation admet 2 solutions qui sont : 16 = 42 = 4 et – 16 = – 42 = –4 . • x2 + 4 = −5 : x2 + 4 = −5 est équivalente à x2 = −9. Comme a = −9 < 0, l’équation n’admet pas de solutions réelles. • x2 − 14 = 5x2 − 50 : x2 − 14 = 5x − 50 est équivalente à −14 + 50 = 5x2 − x2, soit 4x2 = 36 ou x2 = 9. Comme a = 9 > 0, alors l’équation admet 2 solutions qui sont : 9 = 32 = 3 et – 9 = – 32 = –3 . CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 31 31 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes 6. Les préfixes, de pico à terra I. Les multiples de l’unité de mesure On utilise dans la vie de tous les jours des préfixes numériques, devant l’unité de base de la mesure, comme kilo ou méga par exemple. Ces préfixes indiquent par quelle puissance de 10 l’unité de base de la mesure est multipliée. Le kilo est la multiplication par 103, c’est-à-dire 1 000, de l’unité de base de la mesure. Exemple : prenons l’unité de mesure « mètre ». 1 000 mètres équivalent à 103 mètres donc à 1 kilomètre. Les unités de mesure comme le mètre, le gramme, la seconde, sont fixées par le système international d’unité. En informatique l’unité d’information est l’octet, qui vaut 8 bits. On peut résumer les multiples de l’unité dans un tableau : Puissance 1012 109 106 103 102 101 Préfixe terra giga méga kilo hecto déca Symbole T G M k h da Exemple : le watt est l’unité qui permet de mesurer la puissance. À quoi correspond 1 mégawatt ? Le préfixe méga signifie qu’on multiplie l’unité de base de la mesure par 106. 1 mégawatt équivaut donc à 106 watts, qu’on peut écrire aussi 1 000 000 watts. 32 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 32 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes II. Les sous-multiples de l’unité de mesure On peut résumer les sous multiples de l’unité dans un tableau : Puissance 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 Préfixe déci centi milli micro nano pico Symbole d c m µ n p Exemples : convertir les mesures selon la consigne : a. Convertir 1 millimètre en mètre. Le préfixe milli signifie qu’on multiplie l’unité de base par 10–3. 1 millimètre équivaut à 10–3 mètre, qu’on peut écrire aussi 0,001 mètre. b. Convertir 27 nm en mètres. Le symbole n (pour nano) signifie qu’on multiplie l’unité de base par 10–9. 1 nm équivaut à 10–9 mètre. D’où 27 nm = 27 × 10–9 m. c. Convertir 0,0120 L en mL. Le préfixe m (pour milli) signifie qu’on multiplie l’unité de base par 10–3 ou par 0,001. 1 ml équivaut à 10–3L = 0,001 L. On a ici 12 × 0,001 L donc 12 mL. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 33 33 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes 7. Ordre de grandeur, valeurs approchées I. Ordre de grandeur Lorsque l’on fait des calculs de sommes, de différences, de produits ou de quotients, on peut utiliser un ordre de grandeur pour vérifier un résultat. On remplace chacun des termes de l’expression par une valeur arrondie qui lui est proche pour obtenir une opération facile à faire de tête. Par exemple : 1 024 + 787 = ? Un ordre de grandeur de 1 024 est 1 000, et pour 787, c’est 800. 1 000 + 800 = 1 800 C’est assez proche du résultat final qui est 1 811. Exemples : donner un ordre de grandeur du résultat de l’opération suivante : • C = 8,9 × 1 002 × 0,81 C = 9 × 1 000 × 1 → On arrondit les différentes valeurs. C = 9 000 → Ordre de grandeur du produit. Le produit réel est 7 223,418. II. Valeurs approchées par défaut ou par excès A. Encadrer un nombre décimal JE COMPRENDS LA MÉTHODE Encadrer un nombre décimal c’est placer ce nombre entre 2 autres nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand. • Encadrer à l’unité près, c’est encadrer le nombre décimal entre 2 entiers consécutifs. Exemple : 15 < 15,35 < 16. 15 et 16 sont deux entiers consécutifs car 16 − 15 = 1. • Encadrer au dixième près, c’est encadrer le nombre décimal entre 2 nombres décimaux dont la différence vaut 0,1 (1 dixième). Exemple : 15,3 < 15,35 < 15,4, avec 15,4 − 15,3 = 0,1. 34 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 34 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes B. Donner la valeur approchée d’un nombre décimal DÉFINITIONS Une valeur approchée est une valeur proche d’un nombre. Plus on utilise de décimales (chiffres après la virgule), plus la précision est grande. • La valeur approchée par défaut est la valeur approchée inférieure au nombre. • La valeur approchée par excès est la valeur approchée supérieure au nombre. Exemple : dans l’encadrement : 15,3 < 15,35 < 15,4 15,3 est une valeur approchée par défaut au dixième près de 15,35. 15,4 est une valeur approchée par excès au dixième près de 15,35. Exemples : Une valeur approchée par défaut à l’unité près de 15,8 est : 15. Une valeur approchée par excès à l’unité près de 15,8 est : 16. Un encadrement à l’unité près de 107,99 est : 107 < 107,99 < 108. On a bien 108 − 107 = 1. Un encadrement au dixième près de 107,99 est : 107,9 < 107,99 < 108. On a bien 108 − 107,9 = 0,1. La valeur approchée par défaut au dixième près de 2,543 est : 2,5. Un encadrement au centième près de 5,1053 est : 5,10 < 5,1053 < 5,11. On a bien 5,11− 5,10 = 0,01. III. Troncature et arrondi A. Troncature DÉFINITION • La troncature à l’unité d’un nombre décimal est sa partie entière. • On peut aussi faire une troncature au dixième (un chiffre après la virgule), au centième (deux chiffres après la virgule), au millième (trois chiffres après la virgule) etc. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 35 35 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes La troncature à l’unité du nombre décimal 7,285 est 7. Sa troncature au dixième est 7,2. Sa troncature au centième est 7,28. B. Arrondi DÉFINITION • L’arrondi à l’unité d’un nombre décimal est le nombre entier qui lui est le plus proche. Lorsque l’on veut arrondir un nombre à l’unité, on regarde le chiffre après la virgule : 1. Lorsque ce chiffre est 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4, on arrondit à l’entier inférieur. 2. Lorsque ce chiffre est 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9, on arrondit à l’entier supérieur. • On peut aussi arrondir au dixième (un chiffre après la virgule), au centième (deux chiffres après la virgule), au millième (trois chiffres après la virgule) etc.. On regarde là aussi le chiffre suivant pour déterminer l’arrondi. L’arrondi à l’unité de 7,285 est 7 car après la virgule il y a un 2. Son arrondi au dixième est 7,3 car après le 2 il y a un 8. Son arrondi au centième est 7,29 car après le 8 il y a un 5. Exemples : La troncature à l’unité de 12,53 est : 12. L’arrondi à l’unité de 4,2 est : 4. L’arrondi au dixième de 4,29 est : 4,3. L’arrondi à l’unité de 7,81 est : 8. La troncature à l’unité de 7,99 est : 7. 36 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 36 7/25/16 3:34 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes 8. Les puissances I. Définitions DÉFINITIONS 1. Les puissances d’exposant positif : pour tout nombre a et pour tout entier n, quand n > 1 on a : an = a × a × … × a. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». On écrit le nombre a autant de fois que la valeur du nombre n. On dit qu’il y a n facteurs a. 2. Par convention, on écrit a1 = a et a0 = 1. 3. Les puissances d’exposant négatif : pour tout nombre a non nul et pour tout entier n, on a : a− n = 1 an . Par exemple a4 = a × a × a × a. 1 1 . Et a –4 = 4 = a a ×a ×a ×a Exemples : • 3n = 27 → Cette expression est vraie si n = 3 car 33 = 27. • n2 = 81 → Cette expression est vraie si n = 9 car 92 = 81. • 2–3 = 1 3 2 = 1 2×2×2 = Attention ! Il ne faut pas confondre 23 = 2 × 2 × 2 = 8 et 2 × 3 = 6. 1 8 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 37 37 7/25/16 3:34 PM Nombres et calculs A. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes II. Opérations sur les puissances PROPRIÉTÉS a et b sont deux nombres relatifs et n et m sont deux nombres entiers : • an × am = an+m • an m = a n– m a • (an)m = an×m • an × bn = (ab)n a • = bn ° b an n Exemples : a. Écrire sous la forme an, avec a et n des entiers : • A = 95 × 93 × 9–6 → On réunit les puissances. A = 95+3+(–6) → On additionne les puissances. A = 92 • B = 212 2–5 → On réunit les puissances. B = 212–(–5) → On soustrait la puissance du dénominateur à celle du numérateur. B = 217 b. Effectuer les opérations suivantes : • A =3 × (6 − 2)2 → On effectue la soustraction entre parenthèses. A = 3 × 42 A = 48 Attention ! Dans les calculs avec des puissances, effectue les calculs de puissances avant les autres opérations sauf celles entre parenthèses. 38 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 38 7/25/16 3:35 PM A. Utiliser les nombres pour comparer, Nombres et calculs calculer et résoudre des problèmes • B = B= B= B= • C = C= 62 + 2 → On fait les calculs des puissances. 23 36 + 2 8 38 8 19 → On additionne les termes du numérateur. → On simplifie. 4 3 × 10–8 × 5 × (10–2 )–3 12 × 105 3 × 5 × 10–8 × (10–2 )–3 12 × 105 → On regroupe les puissances de 10. → On utilise les règles sur les puissances. 3 × 5 10–8 × 106 C= × → On simplifie le quotient. 3× 4 105 C= 5 × 10–8+6–5 → On finalise. 4 C = 1,25 × 10–7 III. Écriture scientifique Il arrive souvent que pour certains résultats, la calculatrice donne la valeur approchée d’un nombre en écriture scientifique (on dit aussi notation scientifique), soit parce que sa capacité d’affichage est dépassée, soit parce que la calculatrice est en mode scientifique. DÉFINITION Un nombre en écriture scientifique est sous la forme : a × 10n avec a un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 et n un entier. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 39 39 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs B. Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Cela veut dire qu’il n’y a qu’un seul chiffre avant la virgule. En revanche il peut y en avoir plusieurs après. Exemples : mettre en notation scientifique les expressions suivantes : • A = 12 × 102 × 5 × (103)2 → On regroupe les puissances. A = 12 × 5 × 102 × 106 → On utilise les règles de calculs. A = 60 × 108 → On transforme 60 en écriture scientifique. A = 6 × 101 × 108 → On finalise le calcul. A = 6 × 109 → Le résultat est en notation scientifique. • B = B= B= 0,3 × 10–2 × 5 × 10–5 4 × 10–4 → On regroupe les puissances. 0,3 × 5 10–2 × 10–5 × → On utilise les règles sur les puissances. 4 10–4 1,5 4 × 10–7–(–4) → On fait la division. B = 0,375 × 10–3 → 0,375 n’est pas une écriture scientifique. B = 3,75 × 10–1 × 10–3 → On finalise le calcul. B = 3,75 × 10–4 → Le résultat est en notation scientifique. 40 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 40 7/25/16 3:35 PM B. Comprendre et utiliser les notions Nombres et calculs de divisibilité et de nombres premiers 9. La division euclidienne I. Les termes de la division euclidienne DÉFINITION • On effectue une division euclidienne lorsque l’on divise un nombre entier (le dividende) par un autre nombre entier non nul (le diviseur). • Cette opération permet de trouver deux autres nombres entiers : le quotient et le reste. • On note son résultat sous la forme : dividende = diviseur × quotient + reste. • Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur. Voici l’opération que tu poses sur ton cahier lorsque tu réalises manuellement la division euclidienne : dividende diviseur quotient reste Exemple : 2 1 1 - 2 1 - 0 1 0 1 7 3 × 7 = 21 3 0 On soustrait 21 au dividende. Il reste 0. On descend le 1. 0×7=0 On soustrait 0 au nouveau dividende. Il reste 1. On peut donc écrire le résultat de cette division euclidienne : 211 = 7 × 30 + 1. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 41 41 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs B. Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers On différencie la division euclidienne où le quotient est un nombre entier, de la division décimale où le quotient est un nombre décimal (avec des chiffres après la virgule). 211 = 7 × 30 + 1 est la division euclidienne de 211 par 7. 211 ÷ 7 ≈ 30,14285 est la division décimale de 211 par 7. II. Diviseurs et multiples d’un entier DÉFINITION a et b sont deux nombres entiers et b est non nul. • Si le reste de la division euclidienne de a par b vaut 0, on dit que : 1. a est divisible par b. 2. b est un diviseur de a. 3. a est un multiple de b. 4. b est un multiple de a. Dans ce cas, on peut écrire le résultat comme cela : Le résultat de la division euclidienne de 18 par 3 est : 18 = 6 × 3 + 0 Exemples : a. Dans la division euclidienne de 184 par 8, on a : 184 = 8 × 23 = 8 × 23 + 0, donc 8 est un diviseur de 184. b. Dans la division euclidienne de 180 par 8, on a : 180 = 8 × 22 + 4, donc 8 n’est pas un diviseur de 180. 42 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 42 7/25/16 3:35 PM B. Comprendre et utiliser les notions Nombres et calculs de divisibilité et de nombres premiers III. Critères de divisibilité JE COMPRENDS LA MÉTHODE a et b sont deux nombres entiers et b est non nul. Sans faire la division, les critères de divisibilité permettent de savoir si a est divisible par b. Un entier pair (son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8) est divisible par 2. Par exemple, 10 ÷ 2 = 5 ou encore 56 ÷ 2 = 28. PROPRIÉTÉS • Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. • Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Exemples : • 340 est divisible par 2 et par 10. • 344 est divisible par 2. • 345 est divisible par 5. PROPRIÉTÉS • Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé avec son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est un multiple de 4. • Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. • Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 43 43 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs B. Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Exemples : déterminer par quels chiffres les nombres suivants sont divisibles. On regroupe les résultats dans un tableau. 206 432 4 635 43 050 Sont divisibles par 2 Oui Le dernier chiffre est 6 (chiffre pair). Oui Le dernier chiffre est 2 (chiffre pair). Non Le dernier chiffre est 5 (chiffre impair). Oui Le dernier chiffre est 0 (chiffre pair). Sont divisibles par 3 Non 2+0+6=8 Et 3 × 3 = 9 ≠ 8 Oui 4+3+2=9 Et 3 × 3 = 9 Oui 4 + 6 + 3 + 5 = 18 Et 3 × 6 = 18 Oui 4 + 3 + 0 + 5 + 0 = 12 Et 3 × 4 = 12 Sont divisibles par 4 Non 4 × 2 = 8 ≠ 06 Oui 4 × 8 = 32 Non 4 × 8 = 32 ≠ 35 Non 4 × 12 = 48 ≠ 50 Non Non Le dernier chiffre est 6, pas 0 ou 5. Le dernier chiffre est 2, pas 0 ou 5. Oui Oui Le dernier chiffre est 5. Le dernier chiffre est 0. Sont divisibles par 9 Non 2+0+6=8 Et 9 × 1 = 9 ≠ 8 Oui 4+3+2=9 Et 9 × 1 = 9 Oui 4 + 6 + 3 + 5 = 18 Et 9 × 2 = 18 Non 4 + 3 + 0 + 5 + 0 = 12 Et 9 × 1 = 9 ≠ 12 Sont divisibles par 10 Non Le dernier chiffre est 6, pas 0. Non Le dernier chiffre est 2, pas 0. Non Le dernier chiffre est 6, pas 0. Oui Le dernier chiffre est 0. Sont divisibles par 5 Ces différents critères peuvent être utiles pour simplifier une fraction. 44 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 44 7/25/16 3:35 PM B. Comprendre et utiliser les notions Nombres et calculs de divisibilité et de nombres premiers Exemple : simplifier 320 160 . Les chiffres des unités des deux nombres sont 0, ils sont donc divisibles par 10 : 320 = 10 × 32 = 32 . 160 10 × 16 16 Les nombres 32 et 16 sont pairs donc on peut simplifier par 2 : 32 2 = 2 × 16 2×8 = 16 8 . On ne peut plus simplifier la fraction, elle est à présent irréductible. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 45 45 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs B. Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers 10. Les nombres premiers I. Définition DÉFINITION On dit qu’un entier naturel est un nombre premier s’il possède exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. 21 n’est pas un nombre premier car il est divisible : • par 3 21 = 3 × 7 + 0. 19 est un nombre premier car il est seulement divisible : • par 1 19 = 1 × 19 + 0 • par 19 19 = 19 × 1 + 0. JE CONNAIS Le début de la liste des nombres premiers : (2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 49 ; …) 1 n’est pas un nombre premier car il est seulement divisible par 1 : 1 = 1 × 1 + 0 2 est le seul nombre pair qui soit un nombre premier. Il est divisible par 1 et par 2. Les autres entiers pairs ne sont pas des nombres premiers car ils sont divisibles par 1, par eux-mêmes et par 2. 46 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 46 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral II. Décomposition en produit de facteurs premiers Si un entier naturel n’est pas un nombre premier alors on peut le décomposer en produit de facteurs premiers. En effet il est alors divisible par d’autres nombres que 1 et lui-même. JE COMPRENDS LA MÉTHODE • On utilise les critères de divisibilité pour transformer l’écriture d’un nombre entier non premier en une succession de produits. • On divise le nombre par son plus petit diviseur. On recommence l’opération jusqu’à arriver à un nombre premier. Exemples : décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants : 252 et 105 : • 252 est un nombre pair, il n’est donc pas premier. On peut le décomposer. Même chose pour 105 qui est divisible par 1, par 105 et par 5. 252 = 2 × 126 → Le plus petit entier qui divise 252 est 2. 252 = 2 × (2 × 63) → Le plus petit entier qui divise 126 est 2. 252 = 2 × 2 × (3 × 21) → Le plus petit entier qui divise 63 est 3 car 6 + 3 = 12. 252 = 2 × 2 × 3 × (3 × 7) → Le plus petit entier qui divise 21 est 3. 252 = 22 × 32 × 7 → Le nombre 7 est un nombre premier, on ne peut pas le décomposer. On simplifie le produit en mettant au carré. 105 = 3 × 35 → Le plus petit entier qui divise 105 est 3. 105 = 3 × 5 × 7 → Le plus petit entier qui divise 35 est 5. 7 est un nombre premier, on ne peut pas le décomposer. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 47 47 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral 11. Développer et factoriser I. Réduire une expression littérale Le calcul d’opérations où figurent des lettres s’appelle le calcul littéral. Exemple : la mesure de l’aire d’un cercle est souvent appelée A. La mesure du rayon d’un cercle est souvent appelée R. Le calcul littéral de l’aire d’un cercle est donné sous la formule : A = π × R2. JE COMPRENDS LA MÉTHODE On peut simplifier un calcul littéral : 1. En utilisant les conventions d’écritures. On peut ainsi enlever les signes inutiles. Exemples : a × b = ab ou 6 × x = 6x. 2. En utilisant la commutativité : a × b = b × a Exemple : 2xy + 3yx = 2xy + 3xy = (2 + 3) xy = 5xy 3. En réduisant des sommes lorsque cela est possible. Exemples : 12x + 7x = 19x mais 12x2 + 7x ne peut être réduit car x2 ≠ x. 4. En utilisant les règles de suppression des parenthèses : a + (b + c) = a + b + c et a − (b + c) = a − b − c. Exemples : • 2x + (3x − 7x) = 2x + 3x − 7x = 5x − 7x = −2x • 4x − (x − 2x) = 4x − x + 2x = 3x + 2x = 5x 48 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 48 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemples : Réduire les expressions suivantes : A = 7x + 5x − 4 − 2x. → On réunit les termes qui comportent des x ensemble. A = 7x + 5x − 2x − 4 → On additionne les termes en x. A = (7 + 5 − 2) x − 4 A = 10x − 4 C = 5 × 3x + 2 × 4x2 + 4 × 2x + 6 × 3x2 → On effectue les multiplications. C = 15x + 8x2 + 8x + 18x2 → On réunit les termes qui comportent des x ensemble et ceux qui comportent des x2 ensemble. C = 15x + 8x + 8x2 + 18x2 C = (8 + 18)x + (15 + 8)x 2 → On additionne les termes en et les termes en x2. C = 26x2 + 23x II. Développer avec la distributivité On développe une expression lorsque l’on passe d’une expression sous forme de produit de facteurs à une expression sous forme de somme. Les facteurs sont les éléments de la multiplication. RÈGLES DE DISTRIBUTIVITÉ a, b, c et d sont des nombres relatifs. 1. a × (b + c) = a × b + a × c = ab + ac 2. a × (b − c) = a × b − a × c = ab − ac 3. (a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d = ac + ad + bc + bd CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 49 49 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemples : développer et réduire les produits suivants : A = 6 × (a + 7) + 58 → On utilise la règle 1. A = 6 × a + 6 × 7 + 58 → On effectue les multiplications. A = 6a + 42 + 58 → On enlève le signe × entre le 6 et le x. On additionne. A = 6a + 100 B = 2 × (3 − 2y) → On utilise la règle 2. B = 6 × y + 2 × 2y → On effectue les multiplications. B = 6y + 4y → On additionne. B = 10x C = (3x − 1)(2x − 5) C = 3x × 2x + 3x × (−5) − 1 × 2x − 1 × (−5) C = 6x2 − 15x − 2x + 5 C = 6x2 − 17x + 5 → On utilise la règle de la double distributivité : règle 3. → On effectue les multiplications. → On additionne les termes en x. III. Les identités remarquables RÈGLES DES IDENTITÉS REMARQUABLES Pour tous les nombres a et b : 1. Le carré d’une somme est : (a + b)2 = a2 + 2 × a × b + b2 2. Le carré d’une différence est : (a − b)2 = a2 − 2 × a × b + b2 3. La différence de 2 carrés est : (a + b) × (a − b) = a2 − b2 Les expressions du type (a + b)2 ou (a − b)2 sont sous forme de produit. En effet : (a + b)2 = (a + b) × (a + b) et (a − b)2 = (a − b) × (a − b). On peut donc les développer. 50 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 50 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemples : Développer l’expression suivante : Factoriser l’ expression suivante : A = (3x + 5) B = 36x2 − 60x + 25 On reconnaît la forme : (a + b)2. On reconnaît la forme : a2 − 2 × a × b + b2. Ici, a = 2x et b = 5. On utilise la règle 1 des identités remarquables : Ici, a = 6x et b = 5 car 52 = 25. 2 (a + b) = a + 2 × a × b + b 2 2 2 A = (3x)2 + 2 × 3x × 5 + (5)2 A = 9x + 30x + 25 2 On a bien 2 × a × b = 2 × 6x × 5 = 60x. On utilise la règle 2 des identités remarquables, dans l’autre sens cette fois-ci : a2 − 2 × a × b + b2 = (a − b)2 B = (6x − 5)2 IV. Factoriser avec facteurs communs ou identités remarquables On factorise une expression lorsque l’on passe d’une expression sous forme de sommes à une expression sous forme de produit de facteurs. JE COMPRENDS LA MÉTHODE On peut factoriser une expression algébrique : 1. En cherchant un facteur commun. Exemple : 3x − 3y = 3(x − y) car 3 est le facteur commun aux 2 nombres de la somme : 3x et 3y. 2. En utilisant les identités remarquables. Exemple : 25x2 − 9 = (5x − 3)(5x + 3). 3. En utilisant les deux techniques décrites ci-dessus. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 51 51 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemple : factoriser les expressions suivantes : A = (x − 5)(2x − 3) + (x − 3)(x − 5) → On repère le facteur commun : (x − 5). A = (x − 5) × [(2x − 3) + (x − 3)] → On effectue les opérations dans le crochet. A = (x − 5)(3x − 6) B = 25x2 − 9 + (5x − 3)(2x + 7) B = (5x − 3)(5x + 3) + (5x − 3)(2x + 7) B = (5x − 3) × [(5x + 3) + (2x + 7)] B = (5x − 3) × (5x + 3 + 2x + 7) → On factorise d’abord 25x2 − 9 = (5x + 3)(5x − 3). On remplace cette forme factorisée dans A. → On voit ainsi apparaître le facteur commun qui est : (5x − 3). → On effectue la somme entre parenthèse. B = (5x − 3)(7x + 10) 52 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 52 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral 12. Résoudre des équations à l’aide du calcul littéral I. Notion de variable DÉFINITIONS • Les expressions mathématiques dans lesquelles figurent des lettres s’appellent des expressions littérales. Ainsi, on peut être amené à utiliser des lettres à la place des nombres. • Parfois ces lettres représentent une variable, c’est-à-dire un nombre qui peut prendre différentes valeurs. Exemple : le périmètre d’un cercle dépend de la variable rayon R : P = 2πR. • Une variable peut être appelée une inconnue. On nomme généralement l’inconnue x ou y. Exemple : 4x − 5 = 3. Les nombres 5 et 3 sont des constantes et x est l’inconnue, un nombre que l’on ne connaît pas encore. Dans un problème, on remplace par une lettre la solution qu’on cherche. Exemples : traduire sous forme d’une égalité mathématique les phrases suivantes : 1. Qu’est-ce qui, ajouté au double de 5, vaut 13 ? 2 × 5 + y = 13 2. Un rectangle a une longueur qui vaut le double de sa largeur et son périmètre vaut 15 : On pose comme inconnues : L la longueur du rectangle et l sa largeur. Ici L = 2l. Or, on a la formule : périmètre d’un rectangle = 2 × (longueur + largeur). On a donc ici l’égalité 15 = 2 × (2l + l) = 61 3. Je suis un nombre entier tel que, si on m’ajoute 5, je double. Qui suis-je ? On pose : n le nombre entier recherché. n + 5 = 2n. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 53 53 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral II. Résoudre avec des équations DÉFINITIONS • Une équation est une égalité dans laquelle apparaissent une ou des inconnues. • Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue, si elles existent, qui font que l’égalité est vraie. • Cette ou ces valeurs s’appellent les solutions de l’équation. On dit que les solutions vérifient l’égalité. Dans une équation, les termes situés à gauche du signe = sont appelés le premier membre tandis que les termes situés à droite du signe = sont appelés le second membre. On a : premier membre = second membre. JE COMPRENDS LA MÉTHODE • On peut ajouter ou soustraire un même nombre de part et d’autre de l’égalité sans changer cette égalité. Exemple : x + 3 = 5 est équivalent à x + 3 − 3 = 5 − 3 et donc x = 2. • On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une égalité par un même nombre non nul sans changer cette égalité. Exemple : 3x = 6 est équivalent à 54 3x 3 = 6 3 et donc x = 2. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 54 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemples : résoudre les équations suivantes : 7x + 5 = 3x − 15 → On soustrait 5 de part et d’autre de l’égalité. 7x + 5 − 5 = 3x − 15 − 5 → Cela permet de faire disparaître 5 dans le 1er membre. 7x = 3x − 20 7x − 3x = 3x − 20 − 3x 4x = −20 4x 4 =– 20 4 x = −5 → On soustrait 3x de part et d’autre de l’égalité. → Cela permet de faire disparaître 3x dans le 2nd membre. → On divise par 4 les deux membres. → On simplifie. La solution de l’équation est –5. On met les termes avec des x d’un côté (souvent le premier membre) et les termes sans x de l’autre. 5x 6 = 3 → On utilise le produit en croix. 7 5x × 7 = 6 × 3 35x = 18 35 x 35 x= = 18 35 18 → On effectue les produits. → On divise par 35 les deux membres. → On simplifie. La solution de l’équation est 18 35 . 35 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 55 55 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral III. Résoudre des inéquations A. Inégalités JE COMPRENDS LA MÉTHODE • Si on ajoute ou soustrait un même nombre de part et d’autre d’une inégalité, on ne change pas le sens de l’inégalité. Exemple : si x < 4, alors x + 2 < 4 + 2 ou encore x − 10 < 4 − 10. • Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif, on ne change pas le sens de l’inégalité. Exemple : 3x < 6. On multiplie par 2 chaque membre. On obtient : 6x < 12. • Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. Exemple : x < 4. On multiplie par −2 chaque membre. On obtient : −2x > −8. Ainsi : si a < b et c > 0 alors ac < bc. mais si c < 0 alors ac > bc. B. Résoudre des inéquations DÉFINITIONS • Une inéquation est une inégalité dans laquelle apparaissent une ou des inconnues. • Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des solutions qui vérifient l’inégalité. 56 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 56 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemples : résoudre les inéquations suivantes : 3x − 4 ≤ x + 7 3x − 4 + 4 ≤ x + 7 + 4 → On ajoute 4 de part et d’autre de l’inégalité. 3x ≤ x + 11 → Cela permet de faire disparaître 4 dans le 1er membre. 3x − x ≤ x + 11 − x → On soustrait x de part et d’autre. 2x ≤ 11 → Cela permet de faire disparaître x dans le 2nd membre. 2x → On divise par 2. Le sens de l’inégalité reste inchangé. 2 ≤ 11 2 x ≤ 5,5 → Les nombres tels que x ≤ 5,5 constituent l’ensemble des solutions de cette inéquation. x + 7 < 8x − (3 + 2x) x + 7 < 8x − 3 − 2x → On ôte les parenthèses. x + 7 < 6x − 3 → On soustrait les termes en x dans le 2nd membre. x + 7 − 7 < 6x − 3 − 7 → On soustrait 7 de part et d’autre de l’inégalité. x < 6x − 10 → Cela permet de faire disparaître 7 dans le 1er membre. x − 6x < 6x − 6x − 10 → On soustrait 6x de part et d’autre de l’inégalité. −5x < −10 → Cela permet de faire disparaître 6x dans le 2nd membre. –5 x → On divise par −5 : c’est un nombre négatif donc on change le sens de l’inégalité. > –10 –5 –5 x>2 → Les nombres tels que x > 2 constituent l’ensemble des solutions de cette inéquation. C. Représentation des solutions d’une équation JE COMPRENDS LA MÉTHODE On peut représenter l’ensemble des solutions d’une inéquation sur un axe gradué. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 57 57 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral Exemples : Pour x ≤ 5,5 on a la représentation suivante de l’ensemble des solutions : ensemble solution 0 5,5 Pour x > 2 on a la représentation suivante de l’ensemble des solutions : 0 2 ensemble solution Attention ! Prendre garde au sens du crochet sur l’axe gradué. Quand l’inégalité est stricte (> ou <), le nombre limite n’est pas inclus dans les solutions : le crochet tourne le dos aux solutions. Dans le cas contraire, le crochet englobe les solutions. IV. Mettre en équations ou en inéquations des problèmes Pour résoudre un problème, on peut être amené à traduire les données du texte par une équation ou une inéquation. 58 CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 58 7/25/16 3:35 PM Nombres et calculs C. Utiliser le calcul littéral JE COMPRENDS LA MÉTHODE 1. On pose une « inconnue », c’est-à-dire qu’on lui donne un nom, en général, x, pour la ou les solutions cherchées. 2. On traduit toutes les informations du texte en fonction de cette inconnue. 3. On écrit une équation ou une inéquation avec les informations précédentes. 4. On résout l’équation ou l’inéquation. 5. On vérifie que la solution « marche ». 6. On conclut par rapport au problème posé. Exemple : Trois amies se partagent 1 200 € gagnés à la loterie. Valérie empoche 150 € de plus que Béatrice et Béatrice touche le double de Florence. Combien Florence a-t-elle gagné ? 1. On cherche la somme gagnée par Florence. On décide de la nommer x. 2. On traduit les informations : • Florence a gagné x euros à la loterie. • Béatrice a gagné le double de Florence donc : 2x euros. • Valérie a gagné 150 € de plus que Béatrice donc : 2x + 150 euros. 3. À elles trois, elles ont gagné la somme de 1 200 €. On peut donc écrire une équation qui décrit cette égalité : x + 2x + 2x + 150 = 1 200 4. On résout l’équation : x + 2x + 2x + 150 = 1 200 5x + 150 = 1 200 5x + 150 − 150 = 1 200 − 150 5x = 1 050 5x = 1050 5 5 x = 210 → On additionne les x. → On soustrait 150 de part et d’autre de l’égalité. → Cela permet de faire disparaître 150 du 1er membre. → On divise par 5 les deux membres. → On simplifie. La solution de l’équation est 210. 5. La valeur trouvée semble juste. On vérifie en calculant la part de chacune : si Florence a 210, alors Béatrice qui a le double aura 420 et Valérie : 420 + 150 = 570. On additionne les trois nombres 210 + 420 + 570 = 1 200. La solution marche bien. 6. Florence a gagné 210 €. CNED LES ESSENTIELS MATHÉMATIQUES – livret 4-MA51-TE-PA-11-16.indd 59 59 7/25/16 3:35 PM
