Nombres premiers 1 Nombres premiers 1.1 Définition : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui a exactement deux diviseurs : 1 et luimême. 1.2 Remarque Le nombre 1 n’est pas premier par définition 1.3 Exemple Les nombres 2,3,5,7,11 sont premiers les seuls diviseurs de ces nombres sont 1 et lui-même 1.4 Nombres premiers inferieur a 100 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Pour déterminer les entiers premiers inférieurs a 100 1. Le nombre 1 n’est pas premier par définition 2. On retient que les nombres qui ont 1 et lui même comme diviseurs 3. On hachure les nombres qui ont comme diviseurs outre que 1 et lui-même, 2,3, 4,5,… Ainsi Les nombres 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,7 9,83,89,97 Sont premiers 2 Test de primalité 2.1 Teste Pour savoir si un entier naturel n est premier, on peut tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à n dont le carré est inférieur ou égal à n. Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier ; Sinon n n'est pas premier. 2.2 Exemple 𝒂 = 𝟐𝟑𝟑 n’est pas divisible par 2,3,4,5 par critères de divisibilité On a : √𝒂 ≅ 𝟏𝟓, 𝟐𝟔 donc les nombres premiers inferieur à 15,26 sont 2 ;3 ;5 ;7 ;11 et 13 Comme ces nombres ne divise pas 𝒂 alors 𝒂 est premier 2.3 Théorème : Soit 𝒏 ≥ 𝟐 un entier. Il existe des nombres premiers 𝒑𝟏 < 𝒑𝟐 < ⋯ < 𝒑𝒓 , et des exposants entiers 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , . . , 𝜶𝒓 ≥ 𝟏 , tels que : 𝒏 = 𝒑𝟏 𝜶𝟏 × 𝒑𝟐 𝜶𝟐 × … × 𝒑𝒓 𝜶𝒓 de plus cette décomposition elle est unique 2.4 Exemple : 𝟐𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑 est la décomposition en facteurs premiers 𝟑𝟔 = 𝟑𝟐 × 𝟗 n’est la pas décomposition en facteurs premiers 2.5 Remarque : Pourquoi 𝟏 n’est pas un nombre premier 𝟐𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑 = 𝟏 × 𝟐𝟑 × 𝟑 = 𝟏𝟐 × 𝟐𝟑 × 𝟑 … 2.6 Exemple : 𝟓𝟎𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟕 et 𝟓𝟎𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓𝟎 × 𝟕𝟏 𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 × 𝟑 × 𝟓𝟐 ; 𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟏 × 𝟓𝟐 × 𝟕𝟎 Le PGCD(300,504) s’obtient en prenants le plus petit exposant de chaque facteur premier 𝑷𝑮𝑪𝑫(𝟑𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟒) = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟏 × 𝟓𝟎 × 𝟕𝟎 = 𝟏𝟐 Le PPCM (300,504) s’obtient en prenants le plus grand exposant de chaque facteur premier 𝑷𝑷𝑪𝑴(𝟑𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟒) = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓𝟐 × 𝟕𝟏 = 𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎 3 Critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 : si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8. 3 : si la somme des chiffres est un multiple de 3. 5 : si le dernier chiffre est 0 ou 5. 9 : si la somme des chiffres est un multiple de 9. 10 : si le dernier chiffre est 0. 3.1 Teste1 3 x 5² + 35 est-il un multiple de 5 ? 13 divise-t-il 12 X 12 X 12 X 12 - 1 ? 1 est-il premier ? Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs ou égaux à 50 ? 45 783 est-il un nombre premier ? 4 est-il premier ? 9 est-il premier ? 4 et 9 sont-ils premiers entre eux ? 55 + 251 est-il un multiple de 5? 12 est-il un diviseur de 12 ?