Logique

Logique
Laval
Bellepierre
1er février 2013
Laval
Logique
Calcul propositionnel
Proposition
Une proposition logique est une affimation qui peut être soit vraie,
soit fausse.
Exemples
Il pleut
Vrai Faux
8<4
Vrai Faux
3<π
Vrai Faux
Propositions quelconques (non logiques)
Je mens en permanence
Le prof de math est sympa
Laval
Vrai Faux Indécidable
Bof ça dépend des jours
Logique
Proposition contraire
Négation
On note ¬ ou P la proposition non P
Exemple
P : ”2 est un nombre pair”
Table de vérité
P
V
F
¬P
F
V
Laval
Logique
Conjonction
ET logique
Etant données deux propositions (P,Q), la conjonction associe la
proposition P ET Q notée P ∧ Q qui est vraie seulement lorsque P
et Q sont simultanément vraies.
Tables de vérité
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∧Q
V
F
F
F
Exemple
Il pleut et il fait moins de 15 degré.
Laval
Logique
Disjonction
OU logique
Etant données deux propositions (P,Q), la disjonction associe la
proposition P OU Q notée P ∨ Q qui est fausse seulement lorsque
P et Q sont simultanément fausses.
Table de vérité
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∨Q
V
V
V
F
∨ : OU non exclusif
La disjonction est différente du ”ou” en langage courant qui est
exclusif. ”Fromage ou dessert”
Laval
Logique
Implication
Causalité
Si P est vraie alors Q est vraie. On dit aussi P entraı̂ne Q et on
note P ⇒ Q (P implique Q)
Table de vérité de : ⇒
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⇒Q
V
F
V
V
Exemples en arithmétique
1
Si un nombre premier p divise un produit a.b de deux nombres
entiers alors p divise a ou p divise b (Euclide)
2
Si PGCD(a,b)=1 et a divise bc alors a divise c (Gauss)
Laval
Logique
Equivalence
Définition
Lorsque simultanément P ⇒ Q et Q ⇒ P on dit P et Q sont
équivalentes. On note alors P ⇔ Q.
Table de vérité de : ⇔
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⇔Q
V
F
F
V
Exemples
1
ABC est un triangle rectangle en B ⇔ AB 2 + BC 2 = AC 2
2
PGCD(a,b)=a ⇔ a divise b
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Logique
Calcul propositionnel, premières propriétés
Commutativité
P ∧Q ⇔Q ∧P
P ∨Q ⇔Q ∨P
Distributivité
P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Neutres
Notons V la proposition toujours vraie F celle toujours fausse.
P ∧V ⇔P
P ∨F ⇔P
Complément
P ∧ ¬P ⇔ F
P ∨ ¬P ⇔ V
Laval
Logique
Implication, équivalence et calcul propositionnel
Contraposée
(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
√
Très utile pour faire des démonstrations : 2 n’est pas une
fraction.
Prudence
(P ⇒ Q) et (¬P ⇒ ¬Q) ne sont pas équivalentes.
Equivalence
(P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P))
Implication
(P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
Exercice
Montrer que (P ⇔ Q) ⇔ ((¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)
Laval
Logique
Quantificateurs et prédicats
Quantificateur existentiel
Il existe x réel tel que x < 4 s’écrit ∃x ∈ R, x < 4
∃x ∈ R, x < 4 est vraie
x = 3 convient.
Quantificateur universel
Pour tout x réel, on a x < 4 s’écrit ∀x ∈ R, x < 4
∀x ∈ R, x < 4 est fausse
x = 5 contredit la proposition.
Prédicat avec une variable
La proposition x < 4 s’appelle prédicat, on peut la noter p(x).
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Logique
Calcul propositionnel
Prédicats à plusieurs variables
1
∃(a, b, c) ∈ N3 , a2 + b 2 = c 2
2
∃(a, b, c) ∈ N3 , a3 + b 3 = c 3
Importance de l’ordre des quantificateurs
∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x < y est vraie
∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x < y est fausse
Négation avec des quantificateurs
1
La négation de ∃x, p(x) est ∀x, ¬p(x)
2
La négation de ∀x, p(x) est ∃x, ¬p(x)
Exemples
∃x ∈ R, x < 4 a pour négation ∀x ∈ R, x ≥ 4
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