Eléments de logique - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

2014/2015
M1: Eléments de logique
PCSI Paul Eluard
Eléments de logique
Des sites
– Deux tests de logique : http://demainluniversite.fr/tests_autoeval/maths_lille1
– exo7.emath.fr/ficpdf/fic00002.pdf exercices avec correction et vidéo
– Exercices de logique de l’université d’Angers www.math.univ-angers.fr/../exologique
pages d’exercices avec indication de correction
Le langage mathématique est un langage technique, le pb c’est que parfois cela ressemble
au langage usuel, et cela crée parfois des conflits.
En maths, Les mots utilisés ont tous une signification précise.
I) Les propositions logiques
1. Une proposition logique est une phrase (sujet+verbe + complément) qui ne peut être
que Vraie ou Fausse.
’Je suis prof de maths des PCSI’ est une proposition vraie (sa valeur de vérité est V)
’Il pleut’ est une proposition vraie aujourd’hui
’x est positif’ n’est pas une proposition logique
’∀x ∈ R, x2 est positif’ est une proposition logique vraie
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ln(xy) = ln x + ln y est une proposition fausse.
Table de vérité d’une proposition
Table de vérité d’une proposition vraie
Table de vérité d’une proposition fausse
Proposition P
Proposition P
V
F
2. Les opérations sur les propositions logiques
A partir de propositions logiques, on crée de nouvelles propositions logiques dont les
tables de vérité dépendent des tables de vérité des propositions initiales.
(a) La négation
Proposition P
Proposition Non P
V
F
F
V
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(b) la conjonction
Proposition P
Proposition Q
Proposition P et Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Proposition P
Proposition Q
Proposition P ou Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
(c) ou
Attention, c’est le ’ou’ inclusif ce n’est pas le ’ou’ exclusif : cf fromage ou dessert.
(d) L’implication
Déf 1 Si P et Q sont deux propositions logiques, P =⇒ Q est la proposition
logique (Non(P )ou Q).
On dit : ’P implique Q’
On dit aussi ’Si P alors Q’
Sa table de vérité est alors :
Proposition P
Proposition Q
Proposition P =⇒ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Pb de l’implication : c’est une proposition logique décrite par un verbe
Remarque :
– Si P est fausse, P =⇒ Q est vraie
– Si P est vraie, P =⇒ Q est vraie quand Q est vraie
Finalement, pour montrer que P =⇒ Q est vraie, le seul problème consiste à
montrer que si P est vraie, alors Q est vraie.
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Rédaction :
On fait l’hypothèse que
Raisonnement logique :
..
.
On écrit
Montrons que la proposition P =⇒ Q est vraie.
Supposons que P est vraie
Alors
..
.
Final
Exemples :
Donc Q est vraie
i. Montrer que x ∈ R+ =⇒ x2 + x + 1 ≥ 0
ii. Montrer que n entier impair =⇒ n2 − 1 est un multiple de 8
On admet que
Thm 1 Si P, Q, R sont trois propositions logiques,
[(P =⇒ Q) et (Q =⇒ R)] =⇒ (P =⇒ R)
Démonstration possible avec les tables de vérité.
(e) L’équivalence
Déf 2 Deux propositions P et Q sont équivalentes si elles ont même table de
vérité.
On écrit P ⇐⇒ Q.
Thm 2 Les propositions logiques (P =⇒ Q et Non(Q) =⇒ Non(P )) ont même
table de vérité, elles sont équivalentes.
Déf 3 La proposition logique (Non(Q) =⇒ Non(P )) est la contraposée de la proposition logique (P =⇒ Q).
Exemples
i. la contraposée de ’Si f est dérivable en a alors f est continue en x0 ’
ii. ”Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas souvent”.
(f) Réciproque
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Déf 4 La réciproque de (P =⇒ Q) est la proposition logique (Q =⇒ P )
ATTENTION Les propositions logiques (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P ) n’ont pas forcément
même table de vérité.
Exemple la réciproque de ’Si f est dérivable en a alors f est continue en x0 ’
Thm 3 Les propositions logiques sont équivalentes si et seulement si les propositions logiques (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P ) sont vraies
Démonstration par table de vérité
Pour montrer que P et Q sont équivalentes,
on démontre que
i. Si P alors Q
ii. Si Q alors P .
(g) Négation et opérations
Thm 4 Si P et Q sont deux propositions logiques
– Non(P et Q) = (Non(P ) ou Non(Q))
– Non(P ou Q) = Non(P ) et Non(Q)
– Non(P =⇒ Q) = (P et Non(Q))
Démonstration par les tables de vérité.
Exemples : Donner la négation des propositions suivantes :
i. ’f est croissante sur R’
ii. ”Je passerai mes vacances d’été en Egypte ou en Turquie”.
iii. ’S’il fait beau, je vais à la plage’
iv. On considère la proposition suivante : ”Tous les Dyonisiens qui ont participé
au championnat régional de natation, ont eu une médaille et ont gagné un
voyage”.
v.
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II) Les quantificateurs
1. Quantificateur universel
Quel que soit noté ∀
∀x ∈ R, cos x ∈ [−1, 1]
∀x ∈ R, x2 ≥ 0 et ∀t ∈ R, t2 ≥ 0 et ∀ ∈ R, 2 ≥ 0
se traduit par ’les carrés des nombres réels sont positifs’
les nombres réels ont été nommés dans une phrase x, dans une autre t et dans une
troisième , le sens de la phrase n’a pas été affecté par la façon qu’on a choisie de
nommer les réels : la variable qui sert à cette description (qui n’a pas d’existence en
dehors de cette description) est appelée variable muette.
2. Quantificateur existentiel
il existe, noté ∃
∃x ∈ R tel que x2 = 0 assure le fait que l’ensemble x ∈ R tels que x2 = 0 est non
vide.
3. Négation d’une proposition logique contenant un quantificateur
– V ou F :’Les carrés des nombres entiers sont strictement positifs’
– V ou F : ’à Paris, quel que soit le jour du mois de juillet 2014, il a plu’ ( en français :
’il a plu tous les jours du mois de juillet 2014’)
– Soit f une fonction définie sur R Soit P la proposition : ’la fonction f est constante
et vaut 3’
traduire en termes mathématiques
Ecrire la négation
Règles :
Prop 1 Si P est une proposition définie sur un ensemble I
– La négation de [∀x ∈ I, P(x)] est [∃x ∈ I tel que N on(P(x))]
– La négation de [∃x ∈ I tel que P(x)] est [∀x ∈ I, N on(P(x))]
Exercice 1 Ecrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
(a) Le carré de tout réel est positif.
(b) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
(c) Aucun entier n’est supérieur à tous les autres.
Exercice 2 f étant une application de R dans R, Ecrire la négation de la proposition
P suivante :
(a) x0 est un réel et l est un réel
P : ∀ ∈ R+∗ , ∃α ∈ R+∗ , (|x − a| < =⇒ |f (x) − l| < )
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(b) P :
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∀a ∈ R, ∀b ∈ R, (a ≤ b =⇒ f (a) ≤ f (b))
Exercice 3 f étant une application de R dans R, Que signifient les deux phrases
suivantes
(a) ∃m ∈ R tel que ∀x ∈ R, f (x) = m
(b) ∀x ∈ R, ∃m ∈ R tel que f (x) = m
(c) ∀m ∈ R, ∃x ∈ R tel que f (x) = m
(d) ∃x ∈ R, tel que ∀m ∈ R, f (x) = m
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III) Les ensembles, Opérations sur les ensembles
1. On sait ce qu’est un ensemble....
Un sous-ensemble de E est un ensemble dont les éléments appartiennent tous à E. ∅
et E sont des sous-ensembles de E
On note P(E) l’ensemble des parties de E.
Donner P(E) quand E = {a, b, c, d}
– Faire la différence entre le symbole ∈ et le symbole ⊂
2 ∈ N et {2} ⊂ N
– le rôle des accolades : elles servent à décrire les ensembles
Exemple1 : Dans N, j’appelle A l’ensemble des nombres pairs A = {x ∈ N, tels que x/2 ∈ N}
x sert à décrire l’ensemble A, on dit que c’est une variable muette.
Exemple2 Ecrire avec des accolades l’ensemble des nombres entiers qui sont des
carrés
Exemple3 Ecrire avec des accolades l’ensemble des solutions de l’équation x + y = 4
Remarque : Parallèle : langage des ensembles et langages des propositions logiques.
– Si Q est une proposition logique définie sur un ensemble E, {x ∈ Etels que Q(x) est vraie }
est un sous-ensemble de E.
– Si A est un sous-ensemble de E, on définit sur E la proposition logique ’appartient
à A’.
2. Opérations sur les ensembles
E est un ensemble, P(E) l’ensemble de ses parties, on s’intéresse aux opérations que
l’on peut faire entre des parties de E.
(a) Complémentaire
Si A est une partie de E, A = {x ∈ E tels que x ∈
/ A}
(b) Union
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A ou x ∈ B)
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(c) Intersection
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B)
(d) L’inclusion
Si A et B sont deux parties de E. A ⊂ B ⇐⇒ (∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Pour démontrer qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B
On démontre l’implication (∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B)
On écrit
On démarre par
Soit x ∈ A
On fait l’hypothèse que Supposons que x ∈ A
Raisonnement logique :
Alors
..
..
.
.
Final
Donc x ∈ B
(e) L’égalité
Si A et B sont deux parties de E. A = B ⇐⇒ (A ⊂ B et B ⊂ A)
3. Règles de Morgan
Thm 5 A, B, C sont trois sous-ensembles de E, On a :
– A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ P ) ∩ (A ∪ C)
– A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ P ) ∪ (A ∩ C)
– A∪B =A∩B
– A∩B =A∪B
Se démontrent avec les diagrammes de Venn ou avec les tables de vérité
Exercice4 Déterminer les raisonnements qui sont logiquement valides.
(a) Tous les élèves sont bons en maths. Or Édouard est bon en maths. Donc Édouard
est un élève.
(b) Édouard est un élève. Or tous les élèves sont bons en maths. Donc Édouard est
bon en maths.
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(c) Aucun élève n’est bon en maths. Or Édouard n’est pas bon en maths. Donc
Édouard est un élève.
(d) Aucun élève n’est sympa. Or Édouard est un élève. Donc il n’est pas sympa.
(e) La plupart des élèves s’appellent Édouard. Or tous les Édouard sont bons en
maths. Donc certains élèves sont bons en maths.
(f) Tous les élèves s’appellent Édouard. Or certains Édouard ne sont pas bons en
maths. Donc certains élèves ne sont pas bons en maths.
Exercice 5 Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et soit les parties suivantes de E : A =
{1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {1, 3, 5, 7} et D = {2, 3, 4, 5, 6}.
Calculer (A ∩ B) ∪ (C ∩ D), (A ∪ C) ∩ (B ∪ D) et A ∩ D ∪ B ∪ C.
Exercice 6 L’opération ∆. On appelle différence symétrique de deux sous ensembles
A et B de E le sous-ensemble : A∆B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A)
(a) Déterminer A∆∅, A∆E et A∆A.
(b) Montrer que A∆B = B∆A et (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
Méthode : le problème des variables muettes
Une variable est muette si le fait de changer sa dénomination n’affecte pas le sens de la phrase
où elle intervient, la variable n’a pas d’existence en dehors de cette phrase. En particulier si
cette variable est utilisée dans la description d’une expression, la valeur de cette expression
n’en dépend pas.
exemples : quelles variables libres, quelles variables muettes
– x=3
– x≥0
2
– ∀x
X∈ R, x ≥ 0
2
–
i
i=1n
Z 1
Z
b
et dt
a
0
– x ∈ [[1, n]] tels que x2 − x ≤ 3
–
t
e dt,
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