Cours: Arithmétique - mathématiques au collège Chaumié
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Cours: Arithmétique ARITHMÉTIQUE Ce chapitre va utiliser certaines notions vues depuis le début du collège: notion de diviseur, divisions euclidienne... Définition de l'arithmétique: L'arithmétique est une partie des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des nombres Remarque: Dans ce chapitre, nous allons essentiellement nous intéresser à l'étude des nombres entiers!!!!! I/ Diviseurs et PGCD Définition d'un diviseur d'un nombre: Soit m et n deux nombres entiers. On dit que m divise n si il existe un entier d tel que n = m× d Exemple: 7 est un diviseur de 21 car: 21 = 7 × 3 (par ailleurs 3 est aussi un diviseur de 21!!!) Exercice: Détermination des diviseurs d'un entier Déterminer les diviseurs de 16. 16 = 1 ×16 : donc 1 et 16 sont des diviseurs de 16 Pour déterminer les diviseurs d'un entier, on « décompose » 16 =2 ×8 : donc 2 et 8 sont des diviseurs de 16 cet entier en produit de deux facteurs entiers. La liste des 16=4 × 4 : donc 4 est un diviseur de 16 facteurs correspond alors à celle des diviseurs Les diviseurs de 16 sont donc: 1, 2, 4, 8 et 16. Définition d'un diviseur commun à deux entiers: Soit a et b deux nombres entiers. On dit qu'un entier d est un diviseur commun à a et à b si b est à l fois un diviseur de a et un diviseur de b. Exemple: 7 est un diviseur commun à 21 et à 28. En effet, 7 divise 21 car 21 = 7 × 3 et 7 divise 28 car 28 = 7 × 4 . Exercice: Recherche des diviseurs communs à deux entiers Établir la liste des diviseurs communs à 8 et à 12. 8=1×8 12=1×12 8=2×4 12=2×6 Les diviseurs de 8 sont: 1, 2, 4 et 8. 12=3×4 Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 Donc les diviseurs communs à 8 et à 12 sont: 1, 2 et 4. Remarque: Deux entiers ont forcément au moins un diviseur commun: 1. En effet, 1 divise tous les entiers! Définition du PGCD de deux entiers Soit a et b deux entiers. Parmi tous les diviseurs communs à a et à b, il en existe un qui est plus grand que les autre. Ce diviseur est appelé Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) à a et à b et on le note: PGCD(a : b). Arithmétique – Cours – Page 1 Cours: Arithmétique Exemple: Dans l'exercice précédent, on a vu que que les diviseurs communs à 8 et à 12 sont: 1, 2 et 4. Donc PGCD(8 ; 12) = 4. Exercice: Recherche du PGCD de deux entiers Déterminer le PGCD de 24 et de 36. 24 =1 ×24 24 = 2 ×12 24 = 3×8 24 = 4 × 6 Les diviseurs de 24 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 36 =1 ×36 36 = 2× 28 36 =3 ×12 36 = 4× 9 36 =6 ×6 Les diviseurs de 36 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 28 et 36. Les diviseurs communs à 24 et à 36 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Donc PGCD(24 ; 36) = 12 . Définition: Nombres premiers entre eux Lorsque le PGCD de deux entier est égal à 1, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux Exemple: 15 et 14 sont premiers entre eux. En effet, les diviseurs de 15 sont: 1, 3, 5 et 15 Ceux de 14 sont : 1, 2, 7 et 17 Donc PGCD (15 ; 14) = 1. Remarque: Il va parfois être difficile de trouver le PGCD de deux nombres, en particulier lorsqu'ils sont grands: par exemple il est difficile de trouver celui de 145 et de 100!!!!! Il va donc falloir trouver une « méthode » permettant de trouver simplement de PGCD de deux nombres!!! II/ L'algorithme d'Euclide Propriété: Propriété de la division Euclidienne Soit a et b deux entiers. Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a); alors PGCD(a ; b) = PGCD(b; r) Exemple: On a vu précédemment que PGCD(36 ; 24) = 12. Faisons la division euclidienne de 36 par 24: 36 24 36 = 24 ×1 12 12 1 Étudions maintenant PGCD(24 ; 12). Les diviseurs de 24 sont: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 12 et 24 Ceux de 12 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12 Donc PGCD(24 ; 12) = 12 D'où PGCD(36 ; 24) = PGCD(24 ; 12) ALGORITHME D'EUCLIDE Propriété: Lien entre PGCD et reste de la division Euclidienne Soit a et b deux entiers tels que a > b. Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, alors PGCD(a ; b) = b. Arithmétique – Cours – Page 2 sur 4 Cours: Arithmétique L'algorithme D'Euclide va consister à combiner les deux propriétés vues précédemment!!! En effet, on va effectuer l division euclidienne de a par b, puis de b par r .... et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul. Lorsque le reste est nul, alors on est certain que le PGCD des deux entiers de départ est égal au dernier reste non nul!!!!! Exercice: Utilisation de l'algorithme D'Euclide Déterminer le PGCD de 100 et de 145. Déterminons le PGCD de 100 et de 145 à l'aide de l'algorithme d'Euclide: 145 100 45 1 100 45 10 2 45 10 5 4 10 5 145=100×145 100= 45×210 45=10×45 10=5×20 0 2 Le processus s'arrête, car nous avons un reste nul! Le dernier reste non nul (qui est aussi le dernier nombre par lequel on a diviser) est égal à 5. Donc PGCD(100 ; 145) = 5. III/ Application à la simplification de fractions Définition: Fraction irréductible Une fraction est dite irréductible lorsque l'on ne peut plus la simplifier. Propriété: Lien entre fraction irréductible et PGCD Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont deux nombres premiers entre eux, alors la fraction est irréductible. Exemple: 22 22 2×11 = La fraction est irréductible, en effet: , on n peut plus la simplifier! 15 15 3×5 Vérifions que le PGCD de 22 et de 15 est bien 1. Pour cela, il est plus simple de lister des diviseurs de 22 et de 15 que d'utiliser l'algorithme d'Euclide étant donné que les nombres sont « petits ». 22=1×22 15=1×15 22=2×11 15=3×5 Les diviseurs de 22 sont: 1, 2, 11 et 22 Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15 Donc PGCD (22 ; 15) = 1. Propriété: Rendre irréductible une fraction Si on divise le numérateur et le numérateurs d'une fraction par le PGCD de ses deux nombres, alors on obtient une fraction irréductible. Remarque: On utilisera cette méthode uniquement lorsque les nombre composant la fraction sont assez grands, sinon on continue la méthode utilisant la décomposition des nombres en produit de facteurs! Arithmétique – Cours – Page 3 sur 4 Cours: Arithmétique Exercice: 1078 . 322 Déterminons le PGCD de 1078 et 322 à l'aide de l'algorithme d'Euclide: Rendre irréductible 1078 322 112 3 322 112 98 2 112 98 14 1 98 14 1078= 322×3112 322=112×298 112=98×114 98=14×70 0 7 Donc PGCD(1078 ; 322) = 14. Simplifions maintenant la fraction 1078 : 322 1078 1078: 14 77 = = 322 322 :14 23 La fraction irréductible égale à 1078 77 est . 322 23 Arithmétique – Cours – Page 4 sur 4
