Algèbre / 1ère année / version 2014-2015

ALGÈBRE
1ère année
1.1 Calcul littéral
1
1.1.1 Notations/conventions d’écriture
1
1.1.2 Polynômes et opérations
2
1.1.3 Identités remarquables et factorisation
8
1.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir
16
1.1.5 Questionnaire à choix multiples
16
1.2 Les équations
17
1.2.1 Théorie sur les équations
17
1.2.2 Équations polynomiales du 1er degré
20
1.2.3 Équations polynomiales du 2ème degré
28
1.2.4 Systèmes d'équations linéaires
42
1.2.5 Ce qu’il faut absolument savoir
55
1.2.6 Questionnaire à choix multiples
56
Picchione Serge
2014-2015
1.3 Les inéquations
57
1.3.1 Intervalles
57
1.3.2 Inéquations du premier degré
60
1.3.3 Inéquations de degré supérieur à un
62
1.3.4 Ce qu’il faut absolument savoir
64
1.3.5 Questionnaire à choix multiples
64
1.4 Solutions des exercices
Picchione Serge
65
2014-2015
AVANT-PROPOS
• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de
Genève en première année, en algèbre. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres
filières d’enseignement.
• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.)
et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les
diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des
exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations.
• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de
développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).
• Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré
blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.
• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez
vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix
multiples ».
• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :
http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione
• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé
leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio
Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.
BON TRAVAIL !
Picchione Serge
2014-2015
Picchione Serge
2014-2015
1.1 Calcul littéral
François Viète était un avocat et un mathématicien français né à
Fontenay-le-Comte en 1540 et mort à Paris en 1603. Son œuvre est
capitale pour la symbolisation en algèbre. C’est à lui que l’on doit
l’utilisation des lettres pour représenter les quantités connues ou
inconnues. Son ouvrage principal s’intitule Les Zététiques.
Le livre de la nature est ouvert devant nous, écrit dans la langue des
mathématiques.
Galiléo Galiléi (1564-1642)
1.1.1 Notations/conventions d’écriture
a) En mathématique, il faut abstraire ! Autrement dit, lorsque l’on voit une expression
mathématique comportant des lettres, il faut imaginer qu’elles représentent des nombres.
Il faut se détacher de l'écriture !
Exemple
P( x ) = x 2 − 3x + 2 et x = 4 alors P( 4 ) = 4 2 − 3 ⋅ 4 + 2 = 6
b) Le choix de représenter des nombres par des lettres va permettre de généraliser et de noter
de manière compacte certains résultats mathématiques . Voilà une idée géniale !
Exemples
b.1) Aire d'un carré :
Aire =
3⋅3 = 32 3
Aire =
4⋅4 = 42
3
4
Plus généralement :
4
Aire =
x⋅x = x2
x
x
b.2) Les nombres pairs = {0,2 ,4,6 ,8 ,10 , 12,14,16 ,18,20,22,.......}
On peut aussi écrire :
Les nombres pairs = {2n tel que n ∈ ` } (écriture compacte)
c) Il faut distinguer :
• les constantes : a, b, c, d,...qui représentent un nombre particulier d'un ensemble donné.
Par exemple : a = 3 , b = 17/4
• les variables : x, y, z, t, n, m, ...qui représentent un nombre quelconque d'un ensemble
donné.
Par exemple : x peut prendre ses valeurs dans ] = {.... − 3; −2; −1;0;1;2;3;.....}
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P.S. / 2014-2015
1
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
1.1.2 Polynômes et opérations
Définition
Un monôme (à une variable) est le produit d’un nombre réel donné et d’une variable réelle
élevée à une certaine puissance entière positive ou nulle.
Exemples
9x3
7x1
by5
-1x2
-4x0
ay3
Remarques
a) Le nombre donné qui compose le monôme s’appelle le coefficient du monôme.
b) On note :
1⋅ x = x
,
,
x 0 = 1 et x 1 = x
( − 1) ⋅ x = − x
Définition
Un polynôme (à une variable) est une somme de monômes (à une variable). Ces monômes
s’appellent les termes du polynôme.
Exemples
a) P( x ) = 4 x 5 + 7 x - 9 est un polynôme en x composé de 3 monômes.
Le degré du polynôme est 5, on note deg(P) = 5 et ses coefficients sont : c5 =4 , c1=7 , c0 = − 9.
b) P( t ) = 4 5 t 4 − t 2 est un polynôme en t composé de 2 monômes.
Le degré du polynôme est 4, on note deg(P) = 4 et ses coefficients sont : c4 =1024 , c2 =− 1.
Remarque
Dans ce cours, un monôme est considéré comme un polynôme à 1 terme.
Définition
Le degré n du polynôme, c’est la plus grande puissance de la variable qu’il contient.
Notation : deg(P) = n.
Remarques
a) Un polynôme ne possède pas de variable à l’exposant :
P( x ) = 2 x + 3x n’est pas un polynôme car 2 x n’est pas un monôme.
P( x ) = x 2 + 3x est un polynôme deg( P ) = 2 et ses coefficients sont : c2 =1 , c1=3 .
b) Un polynôme ne possède pas de variable sous une racine :
P( x ) = 5x + 2 n’est pas un polynôme car
1
2
5x = 5 x = 5x n’est pas un monôme.
P( x ) = 5x + 2 est un polynôme deg( P ) = 1 et ses coefficients sont : c1= 5 , c0 = 2 .
c) Un polynôme ne possède pas de division par la variable :
3
3
1
P( x ) = + 6 n’est pas un polynôme car = 3 = 3x −1 n’est pas un monôme.
x
x
x
x
1
P( x ) = + 6 est un polynôme deg( P ) = 1 et ses coefficients sont : c1= , c0 =6 .
3
3
Convention
On écrit toujours les termes d’un polynôme (monômes) de telle sorte que les puissances soient
présentées dans l’ordre décroissant.
Exemple P( x ) = 5x 2 + 6 x + 2 est la forme ordonnée et non pas : P( x ) = 6x + 5x 2 + 2 .
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Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Somme de deux polynômes (addition)
P(t) + Q(t) =
= (3t 2 + 2t + 1) + (6t 2 − 8t + 2)
↓ associativité
a+(b+c)=(a+b) +c
= 3t 2 + 2t + 1 + 6t 2 − 8t + 2
↓ commutativité
a+b=b+a
= 3t 2 + 6t 2 + 2t − 8t + 1 + 2
↓ mise en évidence ab + ac = a( b + c )
= ( 3 + 6 )t 2 + ( 2 − 8 )t + ( 1 + 2 )
↓ forme réduite et ordonnée
= 9t 2 − 6t + 3 =
( P + Q ) (t)
Différence de deux polynômes (soustraction)
P(t) − Q(t) =
= (3t 2 + 2t + 1) − (6t 2 − 8t + 2) =
↓ def. de la soustraction a − b=a+( − b)=a+ ( −1) ⋅ b
= ( 3t 2 + 2t + 1) + ( −6t 2 + 8t − 2 )
↓ associativité
a+( b+c )=( a+b )+c
= 3t 2 + 2t + 1 − 6t 2 + 8t − 2
↓ commutativité
a+b=b+a
= 3t 2 − 6t 2 + 2t + 8t + 1 − 2
↓ mise en évidence
ab + ac = a( b + c )
= ( 3 − 6 ) t 2 + ( 2 + 8 ) t + (1 − 2 )
↓ forme réduite et ordonnée
= −3t 2 + 10t − 1 = ( P − Q ) (t)
• Le polynôme opposé à Q( t ) = 6t 2 − 8t + 2 est −Q( t ) = −6t 2 + 8t − 2 et réciproquement.
Si on change les signes de chaque coefficient d’un polynôme, on obtient le polynôme opposé.
• Par définition, la somme d'un polynôme et de son opposé est égale au polynôme nul ; c'est à dire :
Q ( t ) + ( −Q ( t ) ) = ( −Q ( t ) ) + Q ( t ) = 0
Produit de deux polynômes (multiplication)
↓ double distributivité (a+b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd
R(t) ⋅ T(t) = (3t 2 + 1)(5t 3 − 8t)
= ( 3t 2 ⋅ 5t 3 ) +(1 ⋅ 5t 3 ) + ( 3t 2 ⋅ −8t ) +( 1 ⋅ −8t
)
↓ commutativité
ab = ba et
= 15t 5 + 5t 3 − 24t 3 − 8t
↓ mise en évidence
= 15t 5 + ( 5 − 24)t 3 − 8t
↓ forme réduite et ordonnée
a n a m = a n+m
ab + ac = a( b + c )
= 15t − 19t − 8t = ( R ⋅ T ) (t)
5
3
Illustration de la distributivité
5t3
-8t
3t2
3t 2 ⋅ 5t 3
3t 2 ⋅ ( −8t )
1
1 ⋅ 5t 3
1 ⋅ ( −8t )
Remarques
On se souviendra qu'il est naturel d'utiliser les
propriétés bien connues des opérations sur
les nombres réels (mise en évidence,
distributivité, commutativité, associativité, etc.)
lorsque l'on multiplie, additionne ou soustrait
deux où plusieurs polynômes, car les lettres
composant le polynôme représentent des
nombres.
Lorsqu’on additionne, soustrait ou multiplie deux
nombres réels le résultat est un nombre réel ce
qui est aussi le cas pour les polynômes.
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P.S. / 2014-2015
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Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 1
a) Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel.
Exemple Les nombres pairs : 2n car si n est un entier naturel n ∈ {0,1,2,3 ,4 ,5 ,.......} = `
alors 2n ∈ {0,2 ,4,6 ,8 ,10 ,.......}
1) Les nombres impairs.
2) Les multiples de 3.
3) Les multiples de 5.
4) Les multiples de π.
5) Les multiples de 2π.
6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3.
7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23.
8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570.
b) Exprimer et simplifier à l’aide des lettres données :
1) le périmètre d’un rectangle de dimensions a et b.
2) l’aire totale des faces d’un parallélipipède rectangle de dimensions x , y et z.
3) la somme des aires de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 2r.
4) la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x , 3x et 9x.
5) le volume total du corps formé de deux cubes, l’un d’arête x et l’autre d’arête y.
6) le périmètre d’un triangle équilatéral de côté 3c.
7) l’aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayon x , respectivement y
(avec y >x).
8) l’aire d’un carré de diagonale d.
9) l’aire d’un losange dont la petite diagonale mesure d et la grande le triple de la petite.
10) la somme des périmètres de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 3r.
11) l’aire totale A des faces de l’objet.
12) le volume V de l’objet.
1
x
3
2
1
x
3
x
x
3x
2
x
3
x
y
x
x
Remarque : les dessins ne sont pas à l’échelle.
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Exercice 2
Les expressions suivantes définissent-elles des polynômes ? Justifiez votre réponse.
Si oui, donner leur degré et leurs coefficients.
2x 2 − 5x + 1
1) P( x ) =
3
2) P( x ) = 3x 6 + 5 −
4
x
3) P( x ) = x 2 + 1
5) P( t ) = ( t + 5 ) − ( t 2 + 25 ) − (10t + 1)
4) P ( x ) = 1000
2
16 ⎞
9⎞
4⎞
2⎞
⎛
⎛
⎛
⎛
7) P ( y ) = ⎜ 4 − ⎟ y 3 − ⎜ 3 − ⎟ y 2 + ⎜ 2 + ⎟ y + ⎜ 1 + ⎟
4 ⎠
3⎠
2⎠
1⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
4
9) P ( t ) = 2 + t + 1
t
6) P( x ) = 3x 3 + 5x + 7
8) P( x ) = 4 5 x 3 + 23 x 2 + 54
Exercice 3
Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes.
1) x 2 + ( x − 1)
10) − ( x 6 + 3x 3 + 9 ) + ( x 3 − 3 )
2) 2x 2 + ( x 2 − 2 )
⎛ 2x − 1 ⎞
⎛ x −1⎞
11) ⎜
⎟−3+⎜
⎟ + ( x − 2)
⎝ 3 ⎠
⎝ 5 ⎠
3x 2 − 4 x + 1
+
12)
2
4
7
2x − 3
13) ( 2x + 3 ) +
−1
4
2
2
14) ( t − 1) − ( 2t + 6 ) − 4 ( t − 5 )
3
x2
3
15)
+ ( x − 1)
2
1 ⎛ 2y + 6 y − 5 ⎞
−
16) ( 3 y − 1) − ⎜
⎟
2⎝ 8
3 ⎠
x −1 x − 2 x −3 x −4
17) −
+
−
+
2
3
4
5
3) ( 3x 2 − 4 ) + ( x + 1)
2
4) ( x 2 − 9x + 14 ) + ( x − 4 )
5) ( x 2 − 11x + 28 ) − ( 2x − 2 )
6) ( z 2 − z ) + ( z − z 3 )
2
2
7) 4 ⎡⎢( t 2 − 1) − ( 1 − t ) ⎤⎥
⎣
⎦
8) ( y + 1) + ( y 2 − y + 1)
9) ( x − 1) + ( x 2 + x + 1)
2
2
Exercice 4
Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes.
1) x 2 ( x − 1)
8) ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
2) 2x 2 ( x 2 − 2 )
9) ( x 6 + 3x 3 + 9 )( x 3 − 3 )
3) ( 3x 2 − 4 ) ( x + 1)
10) x (1 − x )( 2x + 1)
4) ( x 2 − 9x + 14 ) ( x − 4 )
11) x 2 ( x + 2 )( 2x − 3 )
5) ( z 2 − z )( z − z 3 )
12) (1 − x )( 2 − x )( x − 3 )
6) ( t 2 − 1) (1 − t )
13) 3 ( t + 2 ) + 9
7) ( y + 1)
2
(y
2
2
− y + 1)
2
14) −4 ( x − 2 ) − 6
2
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P.S. / 2014-2015
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Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 5
Considérons les polynômes : P( x ) = 3 x + 5
R( x ) = x 5 + 7 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 1
Q( x ) = 2 x 3 +7 x 2 + 3 x
S( x ) =− x 5 + 7 x + 1
Si on veut obtenir uniquement le coefficient du terme de degré 2 du polynôme P( x ) ⋅ Q( x )
on écrit :
P( x ) ⋅ Q( x ) = ( 3x + 5 ) ⋅( 2x 3 +7 x 2 + 3x ) = ... + 3x ⋅ 3x + 5 ⋅ 7 x 2 ± ... = ... + 9x 2 + 35x 2 ± ... = ... + 44 x 2 ± ...
a) Sans tout calculer / développer, déterminer :
1) le coefficient du terme de degré 3 du polynôme P⋅ Q
2) le coefficient du terme de degré 4 du polynôme Q⋅ R
3) le coefficient du terme de degré 3 du polynôme R⋅ S
b) Sans tout calculer / développer, déterminer le degré des polynômes :
1) P+Q
2) R+S
3) P+Q+R
4) P+Q+R+S
5) P− Q
6) R− S
7) P− Q− R
8) P− Q− R− S
9) P⋅ Q
10) R⋅ S
11) P⋅ Q⋅ R
12) P⋅ Q⋅ R⋅ S
c) Proposition
1) Le degré de la somme de deux polynômes, est plus petit ou égal au plus grand
des degrés des polynômes que l’on a additionnés.
2) Le degré de la différence de deux polynômes, est plus petit ou égal au plus grand
des degrés des polynômes que l’on a soustraits.
3) Le degré du produit de deux polynômes, est égal à la somme des degrés
des polynômes que l’on a multipliés.
Autrement dit :
Soient A(x) et B(x) deux polynômes.
1) deg(A+B) ≤ max[deg(A) ; deg(B)]
2) deg(A−B) ≤ max[deg(A) ; deg(B)]
3) deg(A·B) = deg(A) + deg(B)
Donner un exemple pour chaque cas et expliquer brièvement ces résultats.
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P.S. / 2014-2015
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Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 6
1 4
7
t - 8t 2 + t - 5
3
9
1
C( t ) = 3t 2 - t + 1
4
Considérons les polynômes : A( t ) =
Simplifier et calculer :
12 5
t + 5t 3 + 2
7
1
D( t ) = -t 2 2
B( t ) =
1) C( t ) + D( t ) − C( t ) + D( t )
2) [ A( t ) − B( t )] + [ B( t ) − A( t )]
3) [ A( t ) − C( t ) − A( t )] + [ B( t ) − D( t ) − B( t )]
4) [ A( t ) − C( t )] − [ A( t ) − C( t ) + D( t ) − B( t ) ] + D( t )
5) [C( t ) + D( t )] − C( t )2 − D( t )2
2
Exercice 7
1) Quel polynôme P( x ) faut-il additionner au polynôme x 3 − 4x + 1 pour obtenir x + 3 ?
2) Quel polynôme P( x ) faut-il soustraire au polynôme x 3 − 3x 2 + 1 pour obtenir x 3 -
7 2 5
x + ?
2
3
3) Quel polynôme P( x ) faut-il soustraire au polynôme 2x 3 − 6 x 2 + 2 pour obtenir − x 3 - 11x 2 + 12 ?
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P.S. / 2014-2015
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Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
1.1.3 Identités remarquables et factorisation
On rencontre très souvent les produits mentionnés ci-dessous. Ils méritent donc une attention
particulière.
Activité
En utilisant la distributivité, développer les produits suivants et réduire.
1) ( x + a ) =
2
2) ( x − a ) =
2
3) ( x + a )( x − a ) =
4) ( x + a )( x + b ) =
• Parmi toutes les égalités possibles, vous venez de démontrer certaines égalités qui apparaissent
très souvent ; elles sont appelées les identités remarquables.
• Ces identités remarquables vont notamment nous permettre de gagner du temps dans le calcul
algébrique.
• Il est important de savoir reconnaître une identité remarquable et d’être capable de passer d’un
produit à une somme et réciproquement.
Formules à connaître parfaitement
Quels que soient les nombres a, b et x on a :
(voir table C.R.M)
1) ( x + a ) = x 2 + 2ax + a 2
2
2) ( x − a ) = x 2 − 2ax + a 2
2
3) ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
4) ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a ⋅ b
Remarque Il n'existe pas d'écriture sous forme d’un produit pour x 2 + a 2 .
Définitions
• Factoriser un polynôme, c’est le transformer en produit de polynômes.
• Développer, c'est transformer les produits de polynômes pour obtenir une somme
de termes simples (sommes de monômes).
Exemple
Factoriser
P( x ) = x 2 − 10x + 25 = ( x − 5 )( x − 5 )
Développer
Remarque Factoriser un polynôme et développer sont des transformations réciproques.
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8
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
• Méthodes de factorisation
1) 8x 2 − 3x = x ( 8x − 3 )
Mise en évidence : ab + ac = a ( b + c )
On met en évidence les symboles apparaissant dans tous les monômes.
(
)(
2) x 2 − 2 = x − 2 ⋅ x + 2
)
Identité remarquable : x 2 − a 2 = ( x + a )( x − a )
3) En général, il est nécessaire d’utiliser la mise en évidence et les identités remarquables
plusieurs fois pour factoriser le plus possible un polynôme.
x 3 − 10x 2 +25x
↓ Mise en évidence
= x ( x 2 − 10x+25 )
↓ Identité remarquable
= x ( x − 5 )( x − 5 ) = x ( x − 5 )
2
ˆ
Polynome
factorisé
4) Il existe des polynômes comme x 3 + x 2 - 26 x + 24 qui sont factorisables mais les méthodes
étudiées ci-dessus ne sont pas applicables. x 3 + x 2 − 26 x + 24 = ( x + 6 )( x − 1)( x − 4 )
D’autres méthodes existent pour factoriser certains polynômes, mais elles seront traitées
en 1ère et en 2ème année en lien avec les solutions d’une équation polynomiale.
On verra en outre, l’utilité de la factorisation pour la résolution d’équations polynomiales.
Remarques
a) Tous les polynômes ne sont pas factorisables ; Les polynômes de degré 1 comme 3x+1 et le
polynôme x 2 + 4 de degré 2 ne sont pas factorisables.
Cependant, le théorème suivant nous donne une information importante :
Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes
du 1er degré et/ou du 2ème degré.
Exemples
P(x) = 3x + 1
Q(x)= x 2 + 4
Factorisation
deg(P)=1
P( x ) n' est pas factorisable.
deg(Q)=2
Q( x ) n' est pas factorisable.
R( x ) = x 2 − 10 x + 25 = ( x − 5 )( x − 5 )
deg(R)=2
R( x ) est factorisable.
S( x ) = x 3 + x 2 − 26 x + 24 = ( x + 6 )( x − 1)( x − 4 )
deg(S)=3
S( x ) est factorisable.
Factorisation
Factorisation
T( x ) = x 4 + 5x 3 − 2x 2 + 20x − 24 = ( x + 6 )( x − 1) ( x 2 + 4 )
deg(T)=4
T( x ) est factorisable.
Nous étudierons dans un prochain chapitre la condition pour qu'un polynôme de degré 2
soit factorisable ou non.
b) On retiendra que, factoriser un polynôme est une transformation sur les polynômes alors que la
mise en évidence et les identités remarquables sont deux « outils » pour factoriser un polynôme.
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Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 8
Factoriser complètement les polynômes.
Exemples :
i) x 2 − 16= ( x − 4 )( x + 4 )
ii) x 2 + 7 x + 10 = ( x + 2 )( x + 5 )
7 = 2 + 5 et 10 = 2 ⋅ 5
iii) 3x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x 2 + 2x + 1) = 3 ( x + 1)( x + 1) = 3 ( x + 1)
2
1) x 2 + 14 x + 49
26) x 2 − 20x − 21
51) x 2 − 4x + 4
2) x 2 − 16 x + 63
27) x 2 + 16 x + 63
52) x ( x + 1)
3) x 2 − 9
28) x 2 + 21 + 22x
53) x 2 + 100
4) 4x 2 + 20x + 25
29) x 2 − 18x + 81
54) x 2 − 100
5) 4 − x 2
30) x 2 − 16 x − 36
55) ( 2x + 1)( 3x + 100 )
6) x + 20x − 21
31) 5x − 125
7) x 2 − 11x + 30
32) x 2 − 20 x + 36
56) ( x + 10 )( x + 20 )
8) 36 x − 24x + 4
33) 36 x + 24x + 4
2
9) 2x + 26 x + 24
34) x + 16 x − 36
10) 9t − 49
35) x + 20 x + 36
11) x + 2x − 63
36) x + 39 + 16 x
12) 2x − 72
37) x − 13x + 12
13) x − 10 x − 39
38) 10x − 39 + x
14) x 2 − 12 − 11x
39) −2x 2 − 2x + 60
15) 9x 2 − 4
40) x 2 + 10 x − 39
16) x − 24x + 144
41) x − 6 x + 9
17) x − 22x + 21
42) 36 x − 16
18) 16 x + 2x 2 + 32
43) 4 x 2 − 1
19) 16t + 64t + 64
44) −2x − 26 x − 24
20) v + 11v + 30
45) y − y − 12
21) 2a 2 − 14a + 24
46) 27 z − 12
22) −12 + x 2 + 11x
47) 16t + 24t + 9
23) 9x − 12x + 4
48) −3u + 18u − 27
24) 3x + 21x + 36
49) 1 − 4x
25) 4x 2 − 4x − 120
50) ( 2x + 7 )( 2x + 7 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
57) x 2 + 1
58) − x 2 + 4x + 32
59) 4z 2 + 8z + 4
60) 4x 2 + 25
61) 6 x 2 − 12x + 6
62) 12 y 2 − 12 y + 3
63) 45t 2 − 30t + 5
64) 18x 2 + 12x + 2
65) 4x 2 − 16 x − 84
66) 2x 2 − 20x − 48
67) 2x 2 + 18 x + 40
68) 3x 2 + 3x − 60
69) 4x 2 + 28x + 48
70) ax 2 − 4ax − 5a
71) 2cx 2 − 18cx + 28c
72) 3kx 2 − 12kx − 63k
73) 4m 2 x 2 − 40m 2 x − 96m 2
74) 3a 2 x 2 − 3a 2 x
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P.S. / 2014-2015
10
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 9
Factoriser complètement les polynômes.
i) 2x 3 − 32x = 2x ( x 2 − 16 ) = 2x ( x − 4 )( x + 4 )
Exemples :
ii) x 4 − 81 = ( x 2 − 9 )( x 2 + 9 ) = ( x − 3 )( x + 3 ) ( x 2 + 9 )
1) 4a 2 − 8
26) 2x 3 + 2x 2 − 40 x
2) x 4 + 2x 2 + 1
27) x 3 + 7 x 2 + 12x
3) 4a 3 + 8a 2 + 4a
28) ( x + 2 ) ( x 2 − 4x − 5 )
4) u 3 + 6u 2 + 9u
29) x 3 − 7 x
5) 9a 4 + 6a 2 + 1
30) ( x 2 + 3 )( x 2 + 7 )
6) 4x 4 + 25x 2 + 20x 3
7) 16 x 4 − 72x 2 + 81
8) 16 x 4 + 72x 2 + 81
9) x 4 − 2x 2 + 1
10) 4t 3 − 16t 2 + 16t
11) 9a 4 − 6a 2 + 1
12) ( 3a − 2 ) ( 9a 2 − 12a + 4 )
13) 2x 2 − 12
14) u − 4u
4
2
31) 2x ( x + 2 )( x − 12 )
32) 3x 3 − 3x 2 − 60x
33) 5x 3 + 5x 2 − 150 x
34) 5x 3 − 125x
35) 81 − x 4
36) 2x 3 − 110x − 12x 2
37) x 4 + 16
38)
9 4 6 3 1 2
x + x + x
5
5
5
15) 4x 4 + 100x 2 − 40 x 3
39) 9x 3 − 6 x 2 + x
16) 16 x 4 + 81 − 72x 2
40) 12x 3 + 12x 2 + 3x
17) z 3 + z
41) 5z 4 − 20z 2
18) 625 − b4
42) a 2 x 4 − a 4 x 2
19) x 4 − 25
43) 4ax 3 + 12ax 2 + 9ax
20) b4 − 144
44) 12a 3 y − 48ay 3
21) ( 2x − 3 )( 2x + 3 )( x + 3 )
45) 8x 3 + 24 x 2 + 18x
22) w4 + 4
23) ( x + 1) ( 25x 2 − 8 2 )
24) x − 16
4
25) ( x + 5 )( x + 4 ) ( x 2 + 1)
9ax 4
− 16ax 2
46)
25
47) ( x + 2 ) + ( x 2 − 4x )
48) 2x ( x + 2 ) − ( 4 x + 32 )
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P.S. / 2014-2015
11
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 10
Factoriser complètement les polynômes.
Exemples :
i) ( 2x + 4 )( 3x + 2 ) − ( 2x + 4 ) = ( 2x + 4 ) ⎡⎣( 3x + 2 ) − 1⎤⎦ = ( 2x + 4 )( 3x + 1)
ii) ( 3x + 1) − ( x + 2 ) = ⎡⎣( 3x + 1) + ( x + 2 ) ⎤⎦ ⎡⎣( 3x + 1) − ( x + 2 ) ⎤⎦ = ( 4 x + 3 )( 2x − 1)
2
2
1) ( 2x + 3 )( 6 x − 7 ) + ( 2x + 3 )( 11x − 15 )
16) ( 3x − 2 ) − (7 x − 2 )( 3x − 2 ) + 4 x ( 3x − 2 )
2) ( 5x + 4 )( 9 x − 5 ) − ( 12x + 7 )( 5x + 4 )
17) ( 3x + 2 ) − ( x − 5 )
3) ( 9x + 12 ) − ( 9x + 12 )(11x − 7 )
18) (7 x − 1) − ( 5x + 2 )
4) ( x + 7 )( 3x + 2 ) − ( x + 7 )
19) (7 x − 1) − 25
5) ( t + 7 )( 3t + 2 ) − t ( t + 7 )
20) ( 2t − 7 ) t 2 + 7 − 2t
2
7) ( 2x − 6 ) − ( 6 x − 9 )( 2x − 6 )
2
2
2
2
2
2
2
6) ( 2u + 4 )( 4u + 2 ) − ( 2u + 4 )( 3u + 5 )
8) ( x − 2 ) + 3 ( x − 2 )
2
2
3
21) ( 14 − 4 x )( x + 1) + ( 2x − 7 )
2
22) ( 2x − 7 )( 2 − x ) − 2x + 7
23) 49 − 4x 2 + 7 − 2x
9) (7 x − 1)( 2x + 3 ) − ( 3x + 1)(7 x − 1)
24) 4x ( 2x − 7 ) − (7 − 2x ) ( 3x 2 − 5x )
10) ( 8u + 4 )( u + 5 ) − ( u − 5 )( 2u + 1)
25) 4t 2 (7 − 2t ) − (7 − 2t )( 4t + 3 ) − 5 (7 − 2t )
11) ( 3x − 2 ) ( x 2 + 1) − 5 ( x 2 + 1)
26) ( 4x + 5 ) − ( 2x − 3 )
12) ( 3t + 2 )( t − 1) + 4 ( 1 − t ) + ( 5t − 3 )( t − 1)
27) ( 4x + 5 ) ( 2x − 3 )
13) 7 x ( 8 x − 3 ) + ( 3 − 8 x )( 2x − 5 ) − 16 x + 6
28) 64 − ( 2x − 3 )
14) − ( 1 − x )( x + 3 ) − 2 ( x + 3 ) + x ( x + 3 )
15) ( y + 1)( 2 − y ) + 2 ( y − 2 ) + ( y − 2 )( y + 2 )
2
2
2
2
2
2
29) ( 4x − 1) − 9 ( 3 − x )
2
30) 16 − 9 ( 3 − y )
2
2
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P.S. / 2014-2015
12
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 11
Factoriser complètement les polynômes.
1) ( 5x − 3 ) − ( 3x + 1)
2
28) x 2 + 2x − ( 2x + 2 ) + 1
2
2
2) 4 ( 2x − 3 ) − ( 3x + 2 )
2
3) 64 − ( 2x − 7 )
29) x 2 + 6 λ x + 9λ 2
2
30) ( x 4 − 2x 2 + 1)
2
2
4) 4 x 2 − 1 + ( 2x − 1)( 3x + 1)
31) a 4 x 4 - 6a 3 x 3 + 9a 2 x 2
5) 9x 2 − 6 x + 1
32) 2kx 2 + 10kx − 132k
6) 18x 2 − 24x + 8
33) 3 ( x + 1) + 18 ( x + 1) + 27
7) 2 ( x + 2 ) − 12 ( x + 2 ) + 18
34) ( x 2 + 16 )
2
2
( x + 1)
2
x2
9
16
2
9) ( 8u + 4 )( u + 5 ) − ( u − 5 )( 2u + 1) + ( 2u + 1)
35) ( x 2 − 4 ) ( x − 1) ( x + 2 2 )( x 2 + 4 )
10) x 2 + 14x + 48
37) x 2 ( 8 x − 3 ) + ( 3 − 8 x )( 2x + 1) − 16 x + 6
11) x 3 + 17 x 2 + 72x
38) x 2 ( 8 x − 3 )( 3 − 8 x )( 2x + 1)
8)
2
−
12) x 2 + 9
13) ( x 3 + 9 x )
36) ( x 2 − 8 )
2
⎛ 1
z2 ⎞ ⎛ 9
2⎞
39) ⎜ −
⎟⎜ − z ⎟
⎠
⎝ 25 16 ⎠ ⎝ 4
2
14) 25x 2 + 20ax + 4a 2
40) (0,81 − 0,64 u 2 )(0,64 u 2 + 0,81)
15) 49t 3 − 28t 2 + 4t
41) 4x 4 − 100
16) ( 49x 2 − 28x + 4 )( x 2 − 1)
17) 81z 4 − 625
42) ( 4x 2 − 1)
3
43) ( x 2 − 8x + 12 )( x 2 − 22x + 85 )
18) x − 11
2
1 2
y + 8 + 5y
2
19) 2z 4 − 72
44)
20) m 4 − 2m 2 + 1
45) ( x 2 + 20x + 19 )( x 2 − 14 x + 13 )
21) x 2 − 2x − 99
46) kx 2 − 4kx − 32k
22) ( x + 15x + 56 )( x + 1)
2
2
47) ( 9x 2 + 12x + 4 ) − 2x ( 3x + 2 ) + ( 4 − 9x 2 )
23) ( x 2 + 2 )( x 2 + 1) ( x + 1)
48) (7 − 2x )( x + 5 ) − ( 21 − 6 x )( 2x − 1)
24) ax − a
4
25) ( x − 2 ) + 3 ( x − 2 ) + ( x − 4 x + 4 )
2
3
2
26) ( 3t + 2 )( t − 1) + 4 ( 1 − t ) + ( t 2 − 1)
27) (1 − x 2 )( 2 − x 2 )( 3 − x 2 )
49) (7 − 2v )( v + 5 )( 21 − 6v )( 2v − 1)
50) ( x 2 − 4 x − 5 )( x 2 − 4 x − 12 )
51) x 2 − 115x + 1500
52) 2 ( x 2 − 2x + 1) + 1 − x 2 + ( x − 1)( 2x + 1)
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P.S. / 2014-2015
13
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 12
Développer à l’aide des identités remarquables.
i) ( 2x + 3 ) = ( 2x ) + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9
2
Exemples :
2
ii) ( y + 8 )( y − 8 ) = y 2 − 8 2 = y 2 − 64
1) ( x + 2 )
2
15) ( a + 1)( a − 1) ( a 2 + 1)( a 4 − 1)
2) ( x − 3 )
2
16) ( a 2 + 6 )( a 2 + 4 )
3) ( y + 5 )
2
1⎞
⎛
17) ⎜ 7a − ⎟
2⎠
⎝
4) ( y + 7 )( y − 7 )
18) ( ax 2 − 1)( ax 2 − 19 )
5) ( x 2 + 1)( x 2 − 1)
6) ( 3 y − 3 )
19) ( 4a 4 − 24 )
2
9) ( 4m + 3 )
21) ( 9z − 2 )( 9z + 2 )
2
1 ⎞⎛
1 ⎞
⎛
22) ⎜ 10x − ⎟ ⎜ 10x + ⎟
10 ⎠ ⎝
10 ⎠
⎝
2
10) ( 5s − 2 )
23) ( x − 1) ( x 2 + 1) ( x + 1)
2
11) ( 2a 2 − 1)
(
12) x 2 + 5
13) ( x 3 + 23 )
2
20) ( 6ax − a 2 )( 6ax + a 2 )
7) ( 4z + 4 )( 4z − 4 )
8) ( 6b 2 + 1)
2
24) ( x + 2 )( x − 2 ) ( x 4 + 16 )( x 2 + 4 )
2
)( x
2
− 5
25) ( x 2 − 1)( x 2 + 1)( x 4 − 8 )
)
⎛1
⎞⎛ 1
⎞⎛ 1
⎞
26) ⎜ a + 3 ⎟ ⎜ a − 3 ⎟ ⎜ a 2 + 32 ⎟
⎝2
⎠⎝ 2
⎠⎝ 4
⎠
2
14) ( x + 2 )( x − 12 )
27) (0,1w + 5 )(0,1w − 5 ) (0,01w 2 + 5 2 )
Exercice 13
a) Développer les produits suivants et compléter le tableau des coefficients s’y rattachant :
( a + b )0 =
1
( a + b )1 =
a+b
( a + b )2 =
a 2 + 2ab + b 2
( a + b )3 =
.........
............
(a +b) =
.........
............
(a +b) =
.........
............
(a +b) =
..........
............
4
5
6
1
1
1
1
2
1
b) Y a-t-il une règle pour déterminer les puissances et les coefficients des termes de ces sommes ?
Si oui, laquelle ?
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P.S. / 2014-2015
14
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
Exercice 14
Calculer mentalement (en vous aidant des identités remarquables) :
A = 1032
B = 105 2
C = 110 2
D = 99 2
E = 98 2
F = 95 2
(
)(
G = 5+ 3 5− 3
)
H=
(
10 − 7
)(
10 + 7
)
(
)(
I = 10 − 2 10 + 2
)
Exercice 15 *
Théorème
La somme des n premiers nombres entiers 1 + 2 + 3 + ... + n est égale à
n ( n + 1)
.
2
a) Vérifier que cela est vrai pour quelques valeurs de n.
b) Démontrer cette égalité pour n quelconque.
c) Calculer la somme des 1'000 premiers nombres entiers : 1 + 2 + 3 + ...+ 999 + 1'000.
d) Estimer le temps nécessaire au calcul de la somme des 1'000 premiers nombres entiers sans le
théorème et avec le théorème. Comparer !
Exercice 16 *
Théorème
La somme des n premiers nombres entiers impairs 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1 est égale à n 2 .
a) Vérifier que cela est vrai pour quelques valeurs de n.
b) Démontrer cette égalité pour n quelconque.
c) Calculer la somme des 3'000 premiers nombres entiers impairs : 1 + 3 + 5 + ... + 5'997 + 5’999.
d) Estimer le temps nécessaire au calcul de la somme des 3'000 premiers nombres entiers impairs
sans le théorème et avec le théorème. Comparer !
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P.S. / 2014-2015
15
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
1.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir
1♥ Savoir reconnaître les constantes et les variables dans un énoncé
ok
2♥ Connaître la définition d'un monôme et d'un polynôme
ok
3♥ Connaître la définition du degré d'un polynôme
ok
4♥ Déterminer le degré et les coefficients d'un polynôme
ok
5♥ Calculer la somme, la différence et le produit de deux polynômes
ok
6♥ Connaître parfaitement les identités remarquables
ok
7♥ Comprendre ce que veut dire : factoriser un polynôme et développer
des produits de polynômes
ok
8♥ Savoir développer des produits de polynômes
ok
9♥ Savoir factoriser certains polynômes à l’aide de la mise en évidence et des identités
remarquables
ok
10♥ Connaître le théorème sur la décomposition d'un polynôme en produit de polynômes
ok
1.1.5 Questionnaire à choix multiples
Vrai Faux
1♣ Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance que contient le polynôme.
V
F
2♣ P( x ) = 4 5 x 3 + 5 4 + 23 x 2 + 32 x est la forme ordonnée du polynôme P.
V
F
3♣ P( x ) = x 3 + x 2 + x −1 est un polynôme de degré 3.
V
F
4♣ Le coefficient du terme de degré 1 de P( x ) = 4x 2 + 2x − 3 est 2.
V
F
5♣ Le degré du produit de deux polynômes, est égal à la somme des degrés
des polynômes que l’on a multipliés.
V
F
6♣ ( x + a )2 = x 2 + a 2
V
F
7♣ ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
V
F
8♣ Factoriser un polynôme, c’est le transformer en somme de polynômes.
V
F
9♣ Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes
du 1er degré.
V
F
10♣ x + a n’est pas factorisable.
V
F
11♣ Le degré de la somme de deux polynômes, est égal à la somme des degrés
des polynômes que l’on a additionnés.
V
F
12♣ P( x ) = ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) est un polynôme de degré 8.
V
F
2
Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 1.4 avec les solutions des exercices.
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P.S. / 2014-2015
16
Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
1.2 Les équations
Considérons l'égalité : 6x − 7 = 2x + 5 . Pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vérifiée ?
C'est le genre de problème que nous allons résoudre dans ce chapitre.
Beaucoup de problèmes en mathématique ou en physique conduisent à l’obtention d’une ou de
plusieurs équations. Nous traiterons en première année les équations polynomiales du 1er et
du 2ème degré ainsi que les systèmes d’équations linéaires de 2 équations à 2 inconnues et
3 équations à 3 inconnues.
Exemples d’équations
1) 6 x − 7 = 2x + 5
une équation polynomiale de degré 1 à une inconnue x.
2) u 2 − 6u − 9 = 4
une équation polynomiale de degré 2 à une inconnue u.
3) 3x − 2 y = 6
une équation linéaire à deux inconnues x et y.
4) 3x − y + z = 33
une équation linéaire à trois inconnues x, y et z .
⎧3x − 7 y = 2
5) ⎨
⎩5x + 9 y = 0
un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues x et y.
6)
3x 2 + 2=x
une équation irrationnelle à uneinconnue x.
1.2.1 Théorie sur les équations
L'égalité 6x − 7 = 2x + 5 est une équation.
Définition
Une équation est l’énoncé d’une égalité entre deux expressions algébriques, dans lesquelles
figurent une ou plusieurs variables qui prennent le statut d’inconnues.
Une équation est composée :
- d'une ou de plusieurs inconnues.
- d'un signe d'égalité.
- d'un membre de gauche et d'un membre de droite.
inconnue
6x
−7
N
7
membre de gauche
=
2x
+5
N
7
membre de droite
signe d'égalité
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P.S. / 2014-2015
17
Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Résolution d’une équation
Exemple
6 x − 7 = 2x + 5
⇔ 6 x − 7 + 7 = 2x + 5 + 7
⇔ 6 x = 2x + 12
⇔ 6 x - 2x = 2x + 12 - 2x
⇔ 4x = 12
4x 12
⇔
=
4
4
⇔ x=3
donnée
6x−7
=
2x+5
+7
=
+7
−2x
=
−2x
/4
=
/4
additionner +7
réduire
soustraire 2x
réduire
diviser par 4
réduire
Contrôle
x = 3 dans le membre de gauche : 6 ⋅ 3 − 7 = 18 − 7 = 11
x = 3 dans le membre de droite : 2 ⋅ 3 + 5 = 6 + 5 = 11
Conclusion : x = 3 est l’unique solution de l’équation.
On note : S = { 3 }
Le principe général utilisé pour résoudre une équation, c'est remplacer l’équation donnée par
des équations équivalentes de plus en plus simples jusqu'à isoler l'inconnue .
Définitions
Résoudre une équation, c’est trouver le ou les nombres réels qui substitués à l'inconnue vérifient
l’égalité. Ces nombres s’appellent les solutions (ou racines) de l’équation.
Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes solutions.
Remarques
Les équations précédentes sont toutes équivalentes, elles ont toutes la même solution (x = 3) .
Deux équations équivalentes sont liées par le symbole :
⇔.
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P.S. / 2014-2015
18
Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Principes d’équivalence pour résoudre une équation
Pour passer d'une équation équivalente à une autre il faut respecter les principes suivants :
Principe 1)
=
A
B
⇔
A+C
=
B+C
On peut additionner (ou soustraire) une même expression aux deux membres d’une équation.
Principe 2)
=
A
B
⇔
C⋅ A
=
C⋅ B
On peut multiplier (ou diviser, mais pas par 0) par une même expression ne contenant pas
l’inconnue les deux membres d’une équation.
Remarques
1) Les principes d’équivalences se résument de la manière suivante :
Effectuer les mêmes opérations à droite et à gauche de l’égalité.
L’illustration souvent retenue est "une balance qui doit rester en équilibre".
2) Ne pas multiplier ou diviser les deux membres de l’équation par l’inconnue .
Exemples
a) x + 1 = 2 ⇔ x( x + 1 ) = 2x
b) x 2 + x = 0 ⇔
c) 2x = 3x ⇔
x2 + x 0
=
x
x
multiplication par l’inconnue ⇒ ajoute une solution
⇔ x +1=0
2x 3x
=
⇔ 2=3
x
x
division par l’inconnue ⇒ perte d’une solution
division par l’inconnue ⇒ l’égalité n’est plus vraie
et perte d’une solution
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P.S. / 2014-2015
19
Algèbre / Les équations / 1 N-A
1.2.2 Équations polynomiales du 1er degré
Définition
On appelle équation (polynomiale) du premier degré toute équation qui peut s'écrire sous la
forme :
ax
+
b = 0
avec a,b ∈ \
a ≠0
x est l’inconnue
ˆ
polynome
du 1er degré
Exemple
6 x − 7 = 2x + 5 est une équation polynomiale du 1er degré d’inconnue x car on peut la mettre sous
la forme ax + b = 0 .
En effet : 6 x − 7 = 2x + 5 ⇔ 4N x − 12
N =0
b
a
L'unique solution est : S = { 3 }
Contrôle : 4 ⋅ 3 − 12 = 0
ok !
Résolution générale
ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = −
b
a
⎧ b⎫
S = ⎨− ⎬
⎩ a⎭
Il y a une unique solution.
Exercice 17
Résoudre les équations polynomiales du 1er degré suivantes (réponses en valeurs exactes).
Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (addition, soustraction,
multiplication, etc..) et le contrôle des solutions.
1) 2x − 4 = 6 x − 14
2) 3 − t = 7t − 8
3) 6 x = 0
4) 10 y + 7 =10 y + 7
5) 2 y = 8 + 2 y
6) 3 ( t − 7 ) = 5 ( 3 − t ) + 2t + 6
7) ( x − 1) + ( x + 2 ) − ( x − 1) − 6 ( 3x − 2 ) = 0
8) 2 2 x − 3 = 4 2 x + 3
9) π R − 3 = R + 2
x
x
−3 = −1
6
4
t 13t 5t
15) +
+
= 152
9 10 18
4+x
x − 3 5x + 1
16)
− ( x − 4) =
−
4
2
6
14)
17) 3 = ax + b (inconnue : x )
18) a ( c − x ) = b ( d − x )
19)
(inconnue : x)
x − 1 2x − 4
x−3
−
+x=
7
2
21
20) 3x = 18 + 3 ( x − 6 )
10) 0,25R + 2 = 0,75R + 5
21) 4 ( x 2 − 49 ) + 61 = ( 2x − 5 )
11) 14x 2 − 8 x − 2 = 14x 2 − 6
22) ( t + 1)( t + 2 ) = ( t − 3 )( t − 4 ) + 10
x −6 x −3
=
6
4
3 ( R − 5) 6 R
=
13)
7
4
12)
2
x −1 1⎛ x −3 7 − x ⎞ x +3 5
− ⎜
−
−
⎟=
4
2⎝ 2
5 ⎠
2
8
2x − 1 5x + 2
x +1
−
= 1−
24)
3
5
3
23)
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P.S. / 2014-2015
20
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 18
1) Donner 5 équations polynomiales du 1er degré « simple », ayant comme solution S={4}.
2) Donner 5 équations polynomiales du 1er degré « simple », ayant comme solution S={−7}.
3) Combien y a-t-il d’équations polynomiales du 1er degré ayant comme solution S={4} ? Justifier.
4) Combien y a-t-il d’équations polynomiales du 1er degré ayant comme solution S={−7} ? Justifier.
Exercice 19
Résoudre ces équations mentalement.
1) 2( x + 1) = x
5)
4x + 1
=8
2
2) 3x + 1 = 2x
3) 100 = 450 − 2x
4) x − 2x =− 5
6) 5( x + 1) = 7 x + 5 − 2x
7) 7 x − 21 = 0
8) 1 − 2x = 5
Exercice 20
Voici des relations entre des grandeurs physiques qui seront étudiées au Collège dans le cours de
Physique.
Résoudre (transformer) les équations (formules) par rapport à l’inconnue donnée.
Exemple On a la relation v =
Résolution : v =
Δx
et l’inconnue est Δ x .
Δt
Δx
Δx
⇔ Δt ⋅ v =
⋅ Δt ⇔ Δx = Δt ⋅ v
Δt
Δt
Indication : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs
(addition, soustraction, multiplication, etc..)
1) v =
Δx
Δt
2) v =
x1 − x0
t1 − t0
x0 =
t1 =
3) v = gt + v0
g=
t=
Vitesse moyenne.
4) x =
1 2
gt
2
5) x =
1 2
g t + v0 t + x0
2
6) Fp = G
7) g = G
MT m
R2
MT
R2
Mouvement uniformément accéléré (M.U.A.).
Δt =
t=
g=
Force de pesanteur.
R=
m=
Constante de gravitation terrestre.
G=
MT =
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P.S. / 2014-2015
21
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Suite exercice 20
8)
1 2
mv = mgh
2
v=
9) Ecal = m c (θ f − θi )
Énergie calorifique.
m=
10) m1 c1 (θ1 − θ f ) = m2 c2 (θ f − θ 2 )
Mélange sans changement d’état.
θf =
m2 =
Loi des gaz parfaits
V=
T=
p2 =
T2 =
V0 =
θ=
11)
pV = n RT
12)
p1 v1 p2 v2
=
T1
T2
13) V = V0 ( 1 + αθ )
14) TK = TC − 273.15
5
(TF − 32 )
9
1 1
1
+
=
16)
p p' f
15) TC =
17) I =
ΔQ
Δt
18) P = RI 2
19)
1 1
1
=
+
R R1 R2
Changement d’échelle de température.
TC =
Changement d’échelle de température.
TF =
θf =
Lentille sphérique mince.
p' =
f =
Courant électrique .
ΔQ =
Δt =
Puissance en courant continu.
R=
I=
Résistances en parallèles.
R2 =
4
20) V = π r 3
3
Volume d’une sphère
r=
21) A = 4 π r 2
Aire d’une sphère
r=
22) V = π r 2 h
Volume d’un cylindre
r=
h=
23) Alat = 2π rh
Aire latérale d’un cylindre
r=
h=
Volume d’un cône
r=
h=
24) V =
π r2 h
3
Rappel : Si x 2 = a et a ≥ 0 alors x = ± a
Notations : Ne pas confondre
x2
2x
x2
Δx
x puissance 2 et x 2 = x ⋅ x
2 fois x et 2x = x + x
x indice 2 ; le symbole 2 est un numéro et pas un nombre.
delta x (différence de x) ; le symbole Δ n’est ni un nombre
ni un numéro par contre Δ x est un nombre.
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Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Équations du 1er degré : Applications
Les maths sans problèmes, c'est comme le foot sans ballon ; ça n'a pas de sens. Alors
voilà une jolie gerbe de problèmes ! Attention, ça démarre pépère puis ça se corse....
Marche à suivre pour résoudre des problèmes
1) Lire le problème plusieurs fois et clarifier ce qui est donné (connu) et ce qui est à chercher
(inconnue).
2) Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue et écrire ce que cette lettre remplace.
3) Faire éventuellement un dessin avec des légendes (si nécessaire).
4) Formuler une équation qui décrit précisément ce que vous avez énoncé avec des mots.
5) Résoudre l’équation formulée à l’étape 4) en utilisant les principes d'équivalences.
6) Contrôler la ou les solutions obtenues à l’étape 5) en se reportant à l’énoncé de départ du
problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.
7) Formuler une phrase en français contenant la solution du problème.
Exercice 21
La coupe d’un canal d’écoulement est un trapèze dont la petite base mesure 3 m et la hauteur 1 m.
Déterminer la dimension de la grande base pour que l’aire de la coupe soit 5 m2.
Exercice 22
Un étudiant a obtenu en français les notes suivantes : 3.5 , 4.5 , 4.5 , 3 , 2.5 et 5.5.
Quelle note doit-il encore avoir pour obtenir une moyenne de 4.5 ?
Exercice 23
Pendant l’année, un étudiant a obtenu les notes 5 , 4.5 , 3 , 3.5 et 6.
Si l’examen final compte triple dans la note annuelle, quelle note l’étudiant doit-il obtenir pour
avoir une moyenne annuelle de 5 ?
Exercice 24
a) Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 426.
b) Trouver quatre nombres pairs consécutifs dont la somme vaut 1172.
c) Trouver cinq nombres pairs consécutifs dont la somme vaut 1172.
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P.S. / 2014-2015
23
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 25
Un magasin de vêtements décide de faire une réduction à la caisse de 17 % sur tous ses articles
restants en stock.
Si le rabais sur un pantalon est de 15 €, quel est le prix payé à la caisse par le client ?
Exercice 26
Un article sur lequel on a octroyé un rabais de 15 % coûte 50 Fr.
Combien coûtait l’article avant la remise ?
Exercice 27
Catherine et Michel affichent le même nombre sur chacune de leurs calculatrices.
Catherine multiplie le nombre affiché par 2, puis enlève 7 au produit obtenu.
Michel multiplie le nombre affiché par 6, puis ajoute 3 au produit obtenu.
Ils s'aperçoivent alors que le même résultat apparaît sur l'écran de leurs calculatrices.
Quel nombre ont-ils affiché au départ ?
Exercice 28
Pour chacun des carrés suivants, calcule la valeur de x pour que l'aire ombrée soit égale à 80 cm2.
5 cm
5 cm
Exercice 29
La figure montre la coupe d’une maison de deux étages.
La hauteur h au centre du deuxième étage n’a pas encore
été déterminée.
Calculer h pour que le second étage ait la même superficie
en coupe que le premier étage.
Exercice 30
Où placer le point P le long du segment [BC] pour que :
a) les triangles ABP et CDP aient la même aire ?
b) l'aire du triangle ABP soit le double de celle
du triangle CDP ?
cm
cm
cm
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24
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 31
Yannick possède des CD : un quart est constitué de CD de rock, deux tiers de CD de rap et tous les
autres sont des CD de techno. Yannick a quatre CD de techno. Combien Yannick possède-t-il de
CD au total ?
Exercice 32
Actuellement, l’âge de M. Dupont est le double de celui de Frédéric. Dans cinq ans, ils auront à eux
deux 70 ans. Quel est l’âge de M. Dupont ?
Exercice 33
Lors d’une récente élection, 5219 bulletins (tous valables) furent déposés dans l’urne. Le vainqueur
battait ses trois concurrents respectivement par 22, 30 et 73 voix. Quel est le nombre de voix
obtenues par chaque candidat ?
Exercice 34
Guillaume a 5 € de plus que Samuel. Ils dépensent 11 € chacun et il reste alors à Guillaume le
double de ce qu’il reste à Samuel. Quelle somme avait chacun avant leur achat ?
Exercice 35
Si Jennifer achète trois CDs, il lui reste 22 €. Si elle en achète cinq, il lui manque 20 €. Tous les
CDs sont au même prix. Combien coûte un CD ?
Exercice 36
Paul a lu un livre de 400 pages en quatre jours. Chaque jour, il lisait 20 pages de plus que la veille.
Combien a-t-il lu de pages le premier jour ?
Exercice 37
Les 24 élèves d’une classe vont ensemble au restaurant. Au moment de régler l’addition, trois
élèves constatent qu’ils ont oublié leur portefeuille. Chacun des autres élèves doit, dès lors, payer
1.5 € en plus du prix de son repas. Quel est le prix du menu ?
Exercice 38
Le salaire horaire de base d’un travailleur est 10 $, mais il reçoit une fois et demie son salaire
horaire pour chaque heure supplémentaire fournie en plus des 40 heures hebdomadaires. S’il reçoit
595 $ pour la semaine, combien d’heures supplémentaires a-t-il effectuées ?
Exercice 39
Le marchand de pop-corn a remplacé ses emballages
cylindriques par des emballages coniques, de mêmes
hauteurs et de mêmes rayons.
Quel prix le marchand devrait-il indiquer sur
le second emballage ?
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P.S. / 2014-2015
25
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 40
Le cornet à glace montré sur la figure doit contenir 125 cm3
de glace quand on le remplit jusqu’au sommet. Le diamètre
du cône est 5 cm, et le sommet de la glace est un hémisphère.
Calculer la hauteur h du cône.
Exercice 41 *
Deux enfants qui sont éloignés de 224 mètres partent
au même instant et marchent l’un vers l’autre aux
vitesses respectives de 1.5 m/s et 2 m/s (voir figure).
a) Dans combien de temps vont-ils se rencontrer ?
b) Quelle distance chacun aura-t-il parcourue ?
Exercice 42 *
Deux guides de montagne munis d’émetteurs-récepteurs quittent le même point à 9 h, l’un marchant
plein sud à 4 km/h et l’autre allant plein nord à 3 km/h. Combien de temps pourront-ils
communiquer l’un avec l’autre si chaque radio a une portée maximale de 10 km ?
(Réponse en : heures / minutes / secondes)
Exercice 43 *
Un couple prévoit de ne pas dépenser plus de 70 $ au restaurant. Si une taxe de 6 % est ajoutée à la
facture et s’il projette de donner un pourboire de 15 % après que la taxe ait été ajoutée, quel est le
prix maximal du menu ?
Exercice 44 *
Pour cet exercice nous avons besoin de la formule :
I = C ⋅t ⋅n
Intérêt simple = capital ⋅ taux d’intérêt ⋅ période d’intérêt.
Une somme de 50'000 F est placée à 4 % ; puis deux ans après, une somme de 80'000 F est placée à
5 %. Après combien de temps les deux sommes auront-elles produit le même intérêt ?
Exercice 45 *
Pour cet exercice nous avons besoin de la formule :
I = C ⋅t ⋅n
Intérêt simple = capital ⋅ taux d’intérêt ⋅ période d’intérêt.
Un capital est placé de la façon suivante : un tiers à 3,5 % pendant 3 ans, un quart à 4 % pendant 2
ans, et le reste à 3 % pendant 4 ans. L'intérêt total ainsi produit est 2100 F. Déterminer le capital.
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P.S. / 2014-2015
26
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 46 *
Un chimiste a 10 millilitres d’une solution qui contient une concentration d’acide à 30 %.
Combien de millilitres d’acide pur doit-il ajouter pour augmenter la concentration à 50 % ?
Exercice 47 *
Un radiateur contient 8 litres d’un mélange d’eau et d’antigel. Si 40 % du mélange est de l’antigel,
combien devrait-on enlever du mélange pour le remplacer par de l’antigel pour que le mélange
résultant contienne 60 % d’antigel ?
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P.S. / 2014-2015
27
Algèbre / Les équations / 1 N-A
1.2.3 Équations polynomiales du 2ème degré
Définition
On appelle équation (polynomiale) du deuxième degré toute équation qui peut s'écrire
2
sous la forme : ax
+ bx + c = 0 x est l’inconnue et a ≠ 0 a,b,c ∈ \
ˆ
polynome
du 2 ème degré
Exemple
5x 2 − 4x = 5 est une équation polynomiale du 2ème degré d’inconnue x car on peut la mettre sous la
forme ax 2 + bx + c = 0 . En effet : 5x 2 − 4x = 5 ⇔ 5x 2 − 4x − 5 = 0 ici a = 5 ; b = -4 ; c = -5
• Méthodes de résolutions
1. Méthode "directe" (valable si b = 0)
Exemple 4x 2 − 9 = 0 ⇔ 4x 2 = 9 ⇔ x 2 =
⎧ 3 3⎫
S = ⎨− ; ⎬
⎩ 2 2⎭
9
9
3
⇔ x=±
⇔ x=±
4
4
2
2. Factorisation du polynôme
Exemples
a) 4x 2 − 9 = 0
⇔ ( 2x − 3 )( 2x + 3 ) = 0
On factorise le polynôme avec l'identité x 2 − a 2 = ( x + a )( x − a )
Théorème du produit égal à zéro : A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
⇔ 2x − 3 = 0 ou 2x + 3 = 0
3
3
Après vérification
⇔ x=
ou x = −
2
2
b) x 2 = 4 x + 21
⎧ 3 3⎫
S = ⎨− ; ⎬
⎩ 2 2⎭
On utilise les principes d’équivalences afin que le membre de droite
de l’équation soit égal à 0.
⇔ x 2 − 4x − 21 = 0
On factorise le polynôme avec l'identité x 2 + ( a +b ) x + ab = ( x + a )( x +b )
⇔ ( x − 7 )( x + 3 ) = 0
Théorème du produit égal à zéro : A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
⇔ x − 7 = 0 ou x + 3 = 0
⇔ x = 7 ou x = −3
Après vérification
c) 3x 2 + 6 x + 3 = 0
S = {−3;7}
On factorise le polynôme avec la mise en évidence du facteur 3 et
l'identité x 2 + 2ax + a 2 = ( x + a )
2
⇔ 3 ( x + 1)( x + 1) = 0
Théorème du produit égal à zéro : A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
⇔ x +1=0
⇔ x = −1
Après vérification
d) x 2 + 9 = 0
S = {−1}
2
2
x + 9 n'est pas factorisable et l'équation x + 9 = 0 n'a pas de
solutions réelles
S =∅
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P.S. / 2014-2015
28
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Résumé
1) On utilise les principes d’équivalences afin que le membre de droite de l’équation soit égal à 0.
2) On essaye de factoriser le polynôme avec la mise en évidence et les identités remarquables.
3) On applique le théorème du produit égal à zéro : A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
Remarques
a) A + B = 0 ⇔
A = 0 ou B = 0
b) Cette méthode à un défaut, elle n'est applicable que si l'on "voit" la mise en évidence d'un
facteur et/ou l'identité remarquable permettant de factoriser le polynôme ce qui n'est pas
⎛ 1⎞
toujours évident. Exemple : 5x 2 − 4x − 1 = 5 ( x −1) ⎜ x + ⎟
⎝ 5⎠
Exercice 48
Résoudre les équations du 2ème degré en isolant l'inconnue (méthode "directe").
(Réponses en valeurs exactes).
Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs et le contrôle des solutions.
1) x 2 − 9 =0
2) 4x 2 − 9 =0
3) 4x 2 − 9 =16
4) x 2 + 81 =0
5) 20π r 2 =3000
6) 9z 2 − 4 2 = − 7
Exercice 49
Résoudre les équations à l'aide de la factorisation du polynôme.
Pour factoriser les polynômes on utilisera uniquement la mise en évidence et les identités
remarquables. (Réponses en valeurs exactes).
Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (mise en évidence,
identités remarquables, etc.) et le contrôle des solutions.
1) x 2 − 9 = 0
12) 6x 2 − 12x = − 6
24) u 4 − 4u 2 = 0
2) 35t 2 + 7t=0
13) 12y 2 = 12 y − 3
25) 4x 4 + 100 x 2 − 40x 3 = 0
3) x 2 − 81=0
14) 45t 2 − 30t = − 5
26) 16 x 4 + 81 − 72x 2 = 0
4) x 2 + 81=0
15) x 2 + 9 = 0
27) ( x + 5 )( x + 4 ) ( x 2 + 1) = 0
5) 121x 2 − 25=0
16) ( x + 3 ) = −2x − 7
28) 2x 3 + 2x 2 = 40 x
9
6) − t 2 =0
4
17) ( x + 4 ) = −2x − 9
29) x 3 + 7 x 2 + 12x = 0
2
2
18) 18x + 12x + 2 = 0
2
30) ( t + 2 ) ( t 2 − 4t − 5 ) = 0
1 z2
7)
− =0
25 16
19) 4x 2 − 16 x − 84 = 0
8) 12u 2 = 6u
20) 2x 2 − 20x − 48 = 0
32) ( x 2 + 3 )( x 2 + 7 ) = 0
9) x 2 − 4x − 21 = 0
21) 2x 2 + 18 x = −40
33) 2x ( x + 2 )( x − 12 ) = 0
10) t 2 − 14t + 13 = 0
22) 3x 2 = −3x + 60
34) 3x 3 = 3x 2 + 60x
11) 2x 2 + 2x − 40 = 0
23) 4z 2 + 28z + 48 = 0
35) 5x 3 + 5x 2 − 150x = 0
31) x 3 − 144x = 0
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P.S. / 2014-2015
29
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Suite exercice 49
36) ( 5x + 4 )( 9 x − 5 ) − ( 12x + 7 )( 5x + 4 ) = 0
43) (7 x − 1)( 2x + 3 ) = ( 3x + 1)(7 x − 1)
37) ( 9x + 12 ) − ( 9 x + 12 )(11x − 7 ) = 0
44) ( 8u + 4 )( u + 5 ) = ( u − 5 )( 2u + 1)
38) ( x + 7 )( 3x + 2 ) − ( x + 7 ) = 0
45) ( 3x − 2 ) ( x 2 + 1) = 5 ( x 2 + 1)
39) ( t + 7 )( 3t + 2 ) − t ( t + 7 ) = 0
46) ( x + 5 )( x + 4 ) + ( x 2 − 20 ) = 0
40) ( 2u + 4 )( 4u + 2 ) − ( 2u + 4 )( 3u + 5 ) = 0
47) ( x 2 + 3 ) − ( 2x 2 + 7 ) = 0
41) ( 2x − 6 ) = ( 6 x − 9 )( 2x − 6 )
48) 2x 3 − ( x 3 + 2x ) + ( x 3 − 12x ) = 0
2
2
42) ( x − 2 ) = −3 ( x − 2 )
2
2
3
Exercice 50
a) Donner les solutions des équations suivantes :
1) ( 3z − 4 )( z + 1) = 0
(
)
2) u + 3 ( u + 2 ) = 0
3) x ( x + 7 )( x + 8 )( x + 9 ) = 0
4) ( x + 2 )(7x − 14 )(14x − 28 ) = 0
b) Déterminer, sans développer le polynôme, une équation du 2ème degré qui admet :
1) 2 solutions réelles qui sont -1 et 5.
4) 1 solution réelle qui est 1/7.
2) 2 solutions réelles qui sont 95 et -45. 5) 1 solution réelle qui est 10 et le coeff. de x2 est 7.
3) 1 solution réelle qui est 4.
6) pas de solutions et le coefficient de x2 est 8.
c) Déterminer, sans développer le polynôme, une équation du 3ème degré qui admet :
1) 3 solutions réelles qui sont -1, 5 et -4 et le coefficient de x3 est -2.
2) 2 solutions réelles qui sont -1 et 5. et le coefficient de x3 est 4.
3) 1 solution réelle qui est 5 et le coefficient de x3 est 2.
4) pas de solutions et le coefficient de x3 est 1.
d) Déterminer, sans développer le polynôme, une équation du 4ème degré qui admet :
1) 4 solutions réelles qui sont 1, 2, 3 et 4.
2) 3 solutions réelles qui sont 1, 2 et 3.
3) 2 solutions réelles qui sont 1 et 2.
4) 1 solution réelle qui est 1.
5) pas de solutions et le coefficient de x4 est 1.
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P.S. / 2014-2015
30
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Activité
a) Compléter les identités remarquables.
1) x 2 + 4x + ..... = ( x + .....)
6) 16 x 2 − 24x + ..... = ( 4x − .....)
2
2) 4x 2 + 12x + ..... = ( 2x + .....)
3) 9x 2 − 12x + ..... = ( 3x − .....)
4) x 2 − 6 x + ..... = ( x − .....)
5) x 2 + bx + ..... = ( x + .....)
2
2
2
7) x 2 + 3x + ..... = ( x + .....)
2
2
8) x 2 + 5x + ..... = ( x + .....)
2
2
4
2
x + ..... = ( x + .....)
3
b
2
10) x 2 + x + ..... = ( x + .....)
a
9) x 2 +
Remarque : Cette méthode est appelée complétion du carré.
b) Compléter les égalités et les étapes de calculs. (Réponses en valeurs exactes).
1)
x2 − 6 x − 2 = 0
⇔ x −6x = 2
2
Principe d'équivalence : on additionne .....
Principe d'équivalence : on additionne ..... (complétion du carré)
⇔ x − 6 x + ..... = 2 + ..... On factorise le polynôme de .......... (complétion du carré)
2
⇔ ( x − ..... ) = .....
Principe d'équivalence : ..........
⇔ x − ..... = ± .....
Principe d'équivalence : on additionne .....
2
⇔ x = ..... ± .....
S = {.......... ; ..........}
2)
5x 2 − 4x − 1 = 0
Principe d'équivalence : on multiplie par .....
4
1
Principe d'équivalence : on additionne .....
⇔ x2 − x − = 0
5
5
4
1
Principe d'équivalence : on additionne ..... (complétion du carré)
⇔ x2 − x =
5
5
4
1
⇔ x 2 − x + ..... = + ..... On factorise le polynôme de .......... (complétion du carré)
5
5
⇔ ( x − ..... ) = .....
Principe d'équivalence : ..........
⇔ x − ..... = ± .....
⇔ x = ..... ± .....
Principe d'équivalence : on additionne .....
2
S = {.......... ; ..........}
Remarque : La méthode utilisée pour résoudre ces équations du 2ème degré est celle utilisée par
François Viète pour résoudre le cas général, à savoir : ax 2 + bx + c = 0
c) Appliquer la méthode du point b) pour résoudre les équations du 2ème degré suivantes :
(Réponses en valeurs exactes).
1) x 2 + 2x − 5 = 0
3) 4x 2 − 3x − 1 = 0
2) x 2 + 2x + 5 = 0
4)* ax 2 + bx + c = 0
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P.S. / 2014-2015
31
Algèbre / Les équations / 1 N-A
3. Formule de Viète
• La méthode de François Viète est une méthode générale qui permet de traiter toutes les équations
du 2 ème degré.
• La méthode consiste à ne factoriser qu’une partie du polynôme à l'aide des identités
remarquables pour ensuite isoler l’inconnue x.
Résolution
ax 2 + bx + c = 0
b
c
x+ =0
a
a
b
c
⇔ x2 + x = −
a
a
b2
b
c b2
⇔ x2 + x + 2 = − + 2
4a
a
a 4a
⇔ x2 +
1
a
c
Principe d'équivalence : on additionne −
a
2
b
Principe d'équivalence : on additionne 2 (complétion du carré)
4a
Principe d'équivalence : on multiplie par
On factorise le polynôme de gauche (complétion du carré)
et on additionne les fractions à droite.
2
b ⎞
b 2 − 4ac
⎛
⇔⎜x+
=
⎟
2a ⎠
4a 2
⎝
⇔ x+
b
b 2 − 4ac
=±
2a
4a 2
⇔x=−
b
b 2 − 4ac
±
2a
2a
Principe d'équivalence : x 2 = a ⇔ x = ± a avec a > 0
Propriété des racines :
m
m
=
n
n
On additionne les fractions à droite.
⎧⎪ -b - b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac ⎫⎪
S=⎨
;
⎬
2a
2a
⎩⎪
⎭⎪
b
b2 ⎛
b ⎞
Illustration de la complétion du carré : x + x + 2 = ⎜ x + ⎟
a
4a
2a ⎠
⎝
2
2
x
b
2a
x
x2
b
x
2a
b
2a
b
x
2a
b2
4a 2
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P.S. / 2014-2015
32
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Nous avons obtenu les solutions de l’équation générale du 2ème degré
(voir table C.R.M.)
ax + bx + c = 0
2
⇒
-b - b 2 - 4ac
-b + b 2 - 4ac
x1 =
et x2 =
2a
2a
(Formule de Viète)
Définition
Le nombre b 2 − 4ac est appelé discriminant de l'équation. On note : Δ = b 2 − 4ac (Δ delta)
Utilisons les solutions de l'équation générale du 2ème degré pour trouver les solutions réelles
d'équations particulières du 2ème degré (si elles existent).
5x 2 + 6 x + 1 = 0
x 2 − 2x + 1 = 0
−3x 2 + 3x − 1 = 0
On identifie les
coefficients du
polynôme :
a= 5 ; b = 6 ; c = 1
a = 1 ; b = −2 ; c = 1
a = −3 ; b = 3 ; c = −1
On calcule le
discriminant :
Δ = b 2 − 4ac
Δ = 16 > 0
Δ=0
Δ= − 3 < 0
L'équation possède
deux solutions réelles.
L'équation possède
une solution réelle.
L'équation
ne possède pas de
solutions réelles.
Solution(s)
réelle(s) de
l'équation :
x1 =
x2 =
{
− b − 16
2a
− b + 16
2a
1
S = −1 ;−
5
}
= −1
=−
1
5
x1 =
x2 =
−b − 0
=1
2a
−b + 0
2a
=1
S = { 1}
x1 =
x2 =
− b − −3
2a
− b + −3
2a
∉\
∉\
S =∅
Remarques
a) Le nombre de solutions réelles de l'équation dépend du signe du discriminant Δ.
Il y a 3 cas :
Δ > 0 ⇔ 2 solutions réelles
Δ = 0 ⇔ 1 solution réelle
Δ < 0 ⇔ 0 solution réelle
b) Lorsque Δ = 0, l’équation admet en fait deux fois la même solution. On dit alors que
l’équation possède une solution de multiplicité 2.
c) Une équation du 2ème degré a au plus deux solutions réelles.
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P.S. / 2014-2015
33
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 51
Résoudre les équations du 2ème degré en utilisant la formule de Viète.
(Réponses en valeurs exactes).
Indication : Calculer d’abord Δ .
1) 4x 2 − 9 = 0
5) 5t 2 − 4t − 1 = 0
9) x 2 + x − 1 = 0
2) x 2 + 49 = 0
6) 3t 2 +21t + 36 = 0
10) 45 y 2 − 30 y = −5
3) x 2 + x + 1 = 0
7) 32t 2 − 32t + 8 = 0
11) 3x 2 − 6 x + 1 = 0
4) x 2 + x = 20
8) 17t 2 +35t = −47
12) z 2 − 7 = 0
Exercice 52
Résoudre les équations polynomiales de degré 4. (Réponses en valeurs exactes).
1) x 4 − x 2 − 6 = 0
2) x 4 − 3x 2 + 1 = 0
3) x 4 − 4 = 0
4) x 4 + 4 = 0
Indication : Utiliser la substitution y = x pour ramener l’équation polynomiale de degré 4 à une de degré 2 .
2
Exercice 53
Vrai ou faux ? Justifier clairement à l'aide de calculs, d'exemples, de
contre-exemples et de commentaires en français.
1) L’équation x 2 − 3 = 0 possède une solution réelle.
2) L’équation x 2 − 6 x + 9 = 0 possède au moins une solution réelle.
3) L'équation x 2 + 3 = 0 possède deux solutions réelles .
4) L'équation ( x − 3 )( x + 5 ) = 0 possède les mêmes solutions que l'équation 4 ( x − 3 )( x + 5 ) = 0 .
5) L'équation ( x − 3 )( x + 5 ) = 0 possède les mêmes solutions que l'équation ( x − 3 )( x + 5 ) + 4 = 0 .
6) Il existe une infinité d'équations qui possèdent 3 et -5 comme solutions réelles.
7) L'équation x 2 − 2x + 4 = 0 possède trois solutions réelles .
8) ax 2 + bx + c est une équation du 2ème degré qui possède deux solutions réelles.
Exercice 54
Nous avons obtenu les solutions de l’équation générale du 2ème degré :
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1 =
a) Démontrer les relations de Viète :
−b − b 2 − 4ac
−b + b 2 − 4ac
et x2 =
2a
2a
x1 + x 2 = −
b
a
et
x1 ⋅ x 2 =
c
a
b) Contrôler que les solutions des équations du 2ème degré obtenues à l’exercice 51 satisfont les
relations de Viète.
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34
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 55
Nous avons obtenu les solutions de l’équation générale du 2ème degré :
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1 =
−b − Δ
−b + Δ
et x2 =
2a
2a
avec Δ = b 2 − 4ac
a) Démontrer les propositions suivantes :
• Si Δ > 0 alors on peut factoriser le polynôme ax 2 + bx + c
de la manière suivante : ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
• Si Δ = 0 alors on peut factoriser le polynôme ax2 + bx + c
de la manière suivante :
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) où x1 = x2 = −
2
b
2a
• Si Δ < 0 alors on ne peut pas factoriser le polynôme ax 2 + bx + c .
Indication : utiliser les relations de Viète.
Remarque : Ces propositions nous donnent à la fois le critère qui permet de savoir si un polynôme
de degré 2 est factorisable ou non et aussi la méthode, à savoir, l’utilisation des solutions
de l’équation polynomiale associée.
b) Résoudre les équations suivantes avec la formule de Viète :
1) 6 x 2 − x − 2 = 0
2) 9 x 2 = 9 x + 10
3) 9 x 2 = 24x − 16
4) x 2 − 2 3x + 3 = 0
5) 2x 2 + 2x − 2 = 0
6) x 2 + x + 1 = 0
c) Factoriser les polynômes suivants en utilisant les résultats précédents :
1) 6 x 2 − x − 2
2) 9x 2 − 9x − 10
3) 9x 2 − 24x + 16
4) x 2 − 2 3x + 3
5) 2x 2 + 2x − 2
6) x 2 + x + 1
d) Démontrer que le polynôme x 2 + d 2 avec d ≠ 0 n’est pas factorisable.
Exercice 56
Simplifier le plus possible les fractions suivantes :
Exemple :
1)
x 2 − 4 x + 4 ( x − 2) ( x − 2) x − 2
=
=
x2 − 4
( x − 2) ( x + 2) x + 2
x2 − 6 x + 9
x2 − 9
2)
x 2 − 16
x 2 − 5x + 4
3)
4x 2 + 8x − 12
x2 − 6 x + 5
4)
z2 + 1
z2 + z + 1
z2 − 1
5) 2
z + z +1
6 z 2 + 48z + 96
6) 2
6 z + 21z − 12
x2 + 1
7) 2
x −1
5x 2 − 4 x − 1
8) 2
x − 2x + 1
u 3 + 4u 2 + 4u
9)
u2 − u − 6
10t 2 − 17t + 3
10)
5t 2 + 14t − 3
20 x 2 − 23x + 6
11)
4x 2 − 11x + 6
y3 + 3 y2 + 2 y
12)
y2 − y − 6
13)
− x 2 + 9x − 18
x 2 + 6 x − 27
14)
z2 + z − 2
z2 − z − 6
15)
3x 2 − 21x + 36
2x 2 − 12x + 18
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Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Équations du 2ème degré : Applications
Les maths sans problèmes, c'est comme le tennis sans raquette ; ça n'a pas de sens.
Alors voilà une jolie gerbe de problèmes ! Attention, ça démarre pépère puis ça se
corse....
Marche à suivre pour résoudre des problèmes
1) Lire le problème plusieurs fois et clarifier ce qui est donné (connu) et ce qui est à chercher
(inconnue).
2) Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue et écrire ce que cette lettre remplace.
3) Faire éventuellement un dessin avec des légendes (si nécessaire).
4) Formuler une équation qui décrit précisément ce que vous avez énoncé avec des mots.
5) Résoudre l’équation formulée à l’étape 4) en utilisant les principes d'équivalences.
6) Contrôler la ou les solutions obtenues à l’étape 5) en se reportant à l’énoncé de départ du
problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.
7) Formuler une phrase en français contenant la solution du problème.
Exercice 57
Une fabrique de boîtes de conserve veut faire une boîte de forme
cylindrique de 20 cm de haut, contenant 3 dm3 (voir figure).
Calculer le rayon intérieur r de la boîte.
Exercice 58
a) Exprimer l’aire A de l‘anneau circulaire en fonction
du grand rayon R et du petit rayon r.
b) Si A = 120cm 2 et r = 4 cm ,que vaut R ?
c) Si A = 200 cm 2 et R = 7 cm ,que vaut r ?
R
r
Exercice 59
L’espace occupé actuellement par une ville est un disque de 10 km de diamètre. Durant les dix
dernières années, la ville s’est agrandie d’environ 50 km2. En supposant que la ville était déjà
circulaire, de combien s’est modifiée la distance du centre à la périphérie ?
Exercice 60
On veut construire un aquarium sans couvercle de 6 m de long,
deux faces latérales étant carrées, comme le montre la figure.
a) Calculer la hauteur de l’aquarium si le volume doit
être de 48 m3.
b) Calculer la hauteur si l’on veut utiliser 44 m2 de verre.
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P.S. / 2014-2015
36
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 61
Déterminer deux nombres entiers naturels consécutifs tels que le carré du plus petit, diminué de
vingt soit égal au triple du second, augmenté de cinq.
Exercice 62
On veut faire une boîte ouverte de base
carrée à partir d’un morceau de métal carré,
en coupant à chaque coin un carré de 3 cm
de côté et en pliant les côtés.
De quelle taille doit être le morceau de métal
pour que la boîte ait un volume de 48 cm3 ?
Exercice 63
Déterminer tous les triangles rectangles dont les côtés ont pour mesure trois nombres entiers
consécutifs.
x
Exercice 64
D
x−3
K
Soit ABCD un carré.
Déterminer la valeur x si l’aire du carré IJKL
vaut 25 cm2.
C
L
J
A
I
B
Exercice 65
Mille mètres de grillage de hauteur fixée sont
utilisés pour construire six cages à animaux,
comme le montre la figure. Les cages ont les
mêmes dimensions.
a) Exprimer la largeur y en fonction de la longueur x.
b) Montrer que l’aire totale clôturée A en fonction de x est donnée par la relation :
3
A = − x 2 + 250x
4
c) Déterminer les dimensions x et y qui donnent une aire de 20'000 m2.
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P.S. / 2014-2015
37
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 66 *
Quel temps t [s] met un objet en chute libre
sur la terre pour se trouver à une position p [m]
sachant que sa vitesse intiale au temps t = 0 [s]
est v0 [m/s], et sa position initiale au temps t = 0 [s]
est p0 [m/s] ?
p(t)
Le physicien Newton propose le « modèle » :
p=
1 2
gt + v0 t + p0
2
avec g ≅ 10 [m / s2 ]
Remarque :
Le temps de chute de l’objet sur terre (sans frottement) est indépendant de sa masse !
a) On lâche une pomme de 150 [gr] depuis une montgolfière située à 50 mètres au-dessus du sol
avec comme conditions initiales v0 = 0 [m / s] et p0 = 0[m] .
Quel est le temps de chute libre t [s] ?
b) Un parachutiste de 80 [kg] se lance d’un avion situé à 6000 [m] d’altitude avec comme
conditions initiales v0 = 4 [m / s] et p0 = 0[m] . Pour des raisons de sécurité, le parachutiste
ouvre son parachute à une altitude de 1000 [m].
Quel est le temps de chute libre t [s] ?
Exercice 67 *
La rapidité avec laquelle un comprimé de vitamine C se dissout dépend de sa surface. Une première
sorte de comprimé a la forme d’un cylindre de 1,5 centimètres de long terminé à chaque extrémité
par un hémisphère de rayon r centimètre comme le montre la figure. Une seconde sorte de
comprimé a la forme d’un cylindre circulaire droit de 0,5 centimètre de hauteur et de 1 centimètre
de rayon.
1.5 cm
r
1 cm
r
0.5 cm
a) Calculer le rayon r du premier comprimé pour que sa surface soit égale à celle
du second comprimé.
b) Calculer le volume de chaque comprimé.
Exercice 68 *
Deux montagnes, ayant l'une 1200 mètres et l'autre 2000 mètres d'altitude, sont situées dans deux
îles voisines ; la distance de leurs sommets est de 36 kilomètres ; de plus, si du sommet de la plus
grande on vise le sommet de la plus petite, la ligne de visée rencontre exactement la ligne d'horizon.
Déduire de ces données une valeur approchée du rayon de la terre supposée sphérique.
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Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 69 *
La forme du premier engin spatial du programme Apollo était un tronc de cône circulaire droit,
solide obtenu en coupant un cône par un plan parallèle à sa base.
1
a) Montrer que V = π h ( a 2 + ab + b 2 )
Indication : a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
3
b) Si h = 9 m et b = 3 m, pour quelle valeur de a le volume du tronc de cône est-il de 600 m3 ?
Exercice 70 *
Un jardinier dispose de 40 buissons qu'il veut planter autour d'un parterre dont la forme est donnée
ci-contre, les extrémités sont des demi-cercles.
Pour une pousse correcte, on doit respecter une distance de 50 cm entre chaque buisson.
Notre jardinier doit ensemencer le parterre et il dispose d'une quantité de graines pour 28 m2
(qui sera utilisé totalement).
Quelles devront être les dimensions de ce parterre ? (il s'agit de déterminer L et R)
Exercice 71 *
Rappel : la masse volumique ρ est donnée par ρ =
masse
m
= .
volume v
Une sphère métallique creuse a pour masse 72 kg. L'épaisseur de sa paroi est de 6 cm. La masse
volumique est de 8 grammes par centimètre cube. Quels sont ses rayons internes et externes ?
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P.S. / 2014-2015
39
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 72 *
Max veut fabriquer une table susceptible de se replier exactement à la verticale, pour avoir alors
un meuble extra-plat, comme il est indiqué sur les figures 1, 2, 3. Il utilise deux tiges IA et IB
articulées autour du point I. Ces deux tiges doivent être d'inégales longueurs afin que, lorsque
la table est repliée (voir figure 3), le point B ne vienne pas buter contre le point A, ce qui
empêcherait le meuble d'être tout à fait plat. On donne donc les longueurs IA = a et IB = b
avec a > b > 0.
Déterminer la position des points A et B, c'est-à-dire les longueurs OA et OB.
Exercice 73 *
Considérons l'équation polynomiale du 2ème degré x 2 − mx + 3m − 5 = 0 dans laquelle x est
l'inconnue et m est paramètre réel (c'est-à-dire représentant un nombre réel).
a) Étudier l'existence des solutions.
b) Démontrer que les solutions, quand elles existent, sont liées par une relation indépendante du
paramètre m.
Exercice 74 *
Monsieur Fauché emprunte à monsieur Richard la somme de 30'000 francs à un certain taux
d'intérêt. À la fin de la première année, Fauché rembourse à Richard la somme de 20'075 francs.
Le taux d'intérêt de la seconde année est celui de l'année précédente majoré de 1 %.
À la fin de la seconde année monsieur Fauché rembourse à monsieur Richard la somme
de 11'788 francs, éteignant ainsi sa dette.
Pouvez-vous aider ce brave Fauché à retrouver ce taux d'intérêt ?
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P.S. / 2014-2015
40
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 75 *
Une personne a placé un capital de 10 000 euros à un taux initial de t % que vous devez calculer
sachant que :
• La personne a d'abord placé les 10 000 euros à t % pendant 1 année .
• La valeur alors acquise (capital + intérêt) , c’est à dire le capital après une année, a été placé à
un taux plus rémunérateur : 4% de plus et ce pendant 1 année .
• A la fin de la seconde période les intérêts acquis (au total sur les 2 ans) s'élevaient à 2272 euros.
Exercice 76 *
x
2
L'aire ombrée est égale à A cm .
x
a) Donner la valeur de x en fonction (à l'aide) de c et de A.
b) Déterminer la valeur de x si c = 11 cm et A = 24 cm2.
c
x
x
c
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P.S. / 2014-2015
41
Algèbre / Les équations / 1 N-A
1.2.4 Systèmes d'équations linéaires
• Généralités
Définition
On appelle système d'équations un ensemble d'équations qui doivent être résolues
simultanément. Les équations composant le système peuvent comporter plusieurs inconnues.
Exemples
⎧ x2 + y + z3 = 3
a) ⎨
est un système de 2 équations à 3 inconnues.
=
3xyz
10
⎩
⎧ 2x − y = 4
b) ⎨
et
⎩x + 2 y = 2
⎧x + y = 5
sont des systèmes de 2 équations à 2 inconnues.
⎨
⎩x y = 1
⎧ 2x − y = 4
⎪
c) ⎨ x + 2 y = −2
⎪x + y = 7
⎩
est un système de 3 équations à 2 inconnues.
Remarque On signale un système d'équations par une accolade placée à gauche des équations.
Définition
Une solution d’un système d’équations est un élément qui vérifie simultanément toutes les
équations de ce système. Pour un système à 2 inconnues une solution est un couple, noté ( x; y ) ,
pour un système à 3 inconnues une solution est un triplet, noté ( x; y; z ) , etc.
Exemples
⎧ 2x − y = 4
⎧2 ⋅ 2 − 0 = 4
a) Une solution du système (2x2) ⎨
est le couple ( 2;0 ) car ⎨
⎩x + 2 y = 2
⎩2 + 2 ⋅ 0 = 2
On peut montrer que ce système admet une seule solution .
Dans ce cas on note l’ensemble solution : S = { ( 2;0 ) }
⎧x + 3y + z = 3
⎪
b) Une solution du système (3x3) ⎨ 2x + 2 y + z = 8 est le triplet ( 4 ; − 1 ; 2 )
⎪x + 2 y − z = 0
⎩
⎧4 + 3 ⋅ ( −1) + 2 = 3
⎪
car ⎨ 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( −1) + 2 = 8
⎪
⎩4 + 2 ⋅ ( −1) − 2 = 0
On peut montrer que ce système admet une seule solution .
Dans ce cas on note l’ensemble solution : S = {( 4 ; − 1 ; 2 )} .
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P.S. / 2014-2015
42
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Définition
On appelle équation linéaire toute équation qui peut s'écrire sous la forme :
a1 x1 + a2 x2 + ...... + an xn = b
x1 ,x2 ,.....,xn sont les n inconnues et a1 ,a2 ,.....,an ,b ∈ \ sont les n+1 constantes.
Exemples
a) 3x − 4 y + 6 z = 25 est une équation linéaire.
b) x 3 + y + xyz =
3
n’est pas une équation linéaire.
x y2
⎧ 2x − y = 4
est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
c) ⎨
⎩x + 2 y = 2
⎧x + y = 5
d) ⎨
⎩x ⋅ y = 1
n’est pas un système linéaire. C’est un système non linéaire.
Remarques
a) Il n'y a pas de produit ni de quotient d'inconnues dans une équation linéaire.
b) Dans ce cours, nous ne traiterons que des systèmes d'équations linéaires.
Définition
Deux systèmes d’équations sont dits équivalents s’ils ont la même solution, c'est-à-dire
le même ensemble solution.
Exemples
⎧4 x − 2 y = 8
⎧ 2x − y = 4
a) Le système ⎨
et ⎨
sont équivalents car on peut montrer que ces deux
⎩x + 2 y = 2
⎩x + 2 y = 2
systèmes admettent le même ensemble solution : S = { ( 2;0 ) } .
⎧x + y = 5
ne sont pas équivalents car ils ne possèdent pas
⎨
⎩x ⋅ y = 1
⎧2 ⋅ 2 − 0 = 4
⎧2 + 0 = 2 ≠ 5
le même ensemble solution : ⎨
et ⎨
⎩2 ⋅ 0 = 0 ≠ 1
⎩2 + 2 ⋅ 0 = 2
⎧ 2x − y = 4
b) Le système ⎨
⎩x + 2 y = 2
et
Notation
Deux systèmes d’équations équivalents sont liés par le symbole : ⇔
Par rapport aux exemples précédents :
⎧ 2x − y = 4
⎧4x − 2 y = 8
⇔⎨
⎨
⎩x + 2 y = 2
⎩x + 2 y = 2
⎧ 2x − y = 4
⎧x + y = 5
⇔ ⎨
⎨
⎩x ⋅ y = 1
⎩x + 2 y = 2
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P.S. / 2014-2015
43
Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Principes d’équivalences pour les systèmes d’équations
linéaires
Principe 1)
En multipliant les deux membres d’une équation d’un système par un même nombre non nul,
on obtient un système équivalent.
⎧A = B
⎨
⎩C = D
⎧α ⋅ A = α ⋅ B
⇔ ⎨
⎩C = D
et α ≠ 0
Principe 2)
En additionnant à une équation d’un système une autre équation du même système, on obtient
un système équivalent.
⎧A = B
⎨
⎩C = D
⎧A+ C = B + D
⇔ ⎨
C=D
⎩
Exemples
⎧ 2x − y = 4
a) Les systèmes ⎨
⎩x + 2 y = 2
⎧4x − 2 y = 8
et ⎨
⎩x + 2 y = 2
sont des systèmes équivalents, car les deux dernières équations sont identiques et la première
équation du deuxième système a été obtenue en multipliant la première équation du premier
système par 2.
⎧4x − 2 y = 8
b) Les systèmes ⎨
⎩x + 2 y = 2
⎧4x − 2 y = 8
et ⎨
= 10
⎩5x
sont des systèmes équivalents, car les deux premières équations sont identiques et la seconde
équation du deuxième système a été obtenue en additionnant la première équation à la deuxième.
Notations
⎧ 2x − y = 4
⎨
⎩x + 2 y = 2
L1
L2
⇔
⎪⎧ 2x − y = 4
⎨
= 10
⎪⎩5x
L1 = L1
2 ⋅ L1 + L2 = L2
Remarque
Lorsqu’on applique ces deux principes simultanément (voir ci-dessus), on dit que l’on fait une
combinaison linéaire des premiers membres et des deuxièmes membres des équations concernées.
Conclusion
C’est uniquement à l’aide de ces deux principes que l’on résout
les systèmes d’équations linéaires.
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44
Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Méthodes de résolutions des systèmes d’équations linéaires
1. Résolution par « triangulation » d’un système d’équations
linéaires 2 x 2
Exemple
Donnée :
⎧ 2x = y + 4
⎨
⎩2 y = 2 − x
⎧ 2x − y = 4
⎨
⎩x + 2 y = 2
⎧⎪ 2x − y = 4
⇔⎨
= 10
⎪⎩5x
Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
L1
L2
L1 = L1
L2 = 2 ⋅ L1 + L2
⎧ 2x − y = 4
⇔⎨
=2
⎩ x
⎧y = 0
⇔⎨
⎩x = 2
On réécrit le système. Chaque équation du système doit
être écrit sous la forme : ax + by = c .
On numérote les équations.
On décide de conserver la première équation
et d’éliminer l’inconnue y dans la deuxième équation.
Nous avons triangulé le système d’équations linéaires.
On peut trouver facilement la solution d’un système
triangulé.
En effet, la deuxième équation d’un tel système est une
équation à une inconnue en x.
On substitue maintenant dans la première équation la
valeur de x et on trouve y.
La première équation d’un tel système est une équation
à une inconnue en y.
⎧ 2 ⋅ 2 − 0 = 4 ok !
⎨
⎩ 2 + 2 ⋅ 0 = 2 ok !
Vérification.
S = {( 2 ;0 )}
Le système admet une solution, qui est un couple
de nombres.
Définition
Un système d’équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système
possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant
qu’une seule inconnue.
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45
Algèbre / Les équations / 1 N-A
2. Résolution par « Cramer » d’un système d’équations linéaires 2 x 2 *
Cramer Gabriel (Suisse 1704-1752) était professeur de mathématiques et de
philosophie à Genève, ami de son compatriote Jean Bernoulli. Ses travaux
portent principalement sur les courbes algébriques et sur la résolution des
systèmes d'équations linéaires.
La méthode de Cramer, consiste à résoudre le cas général d'un système de
2 équations linéaires à 2 inconnues et ensuite d'adopter une notation compacte
en utilisant les déterminants afin de discuter de l’ensemble solution du système.
Méthode *
• Tout système de 2 équations linéaires à 2 inconnues peut s’écrire sous la forme :
⎧ a1 x + b1 y = c1
⎨
⎩ a2 x + b2 y = c2
Les inconnues sont x et y ∈ \ et les constantes sont a1 , b1 , c1 ,a2 ,b2 , c2 ∈ \
• Isolons les inconnues x et y en utilisant les principes d’équivalences :
⎧ a1 x + b1 y = c1
⎨
⎩ a2 x + b2 y = c2
⎧ a1 x + b1 y = c1
⎨
⎩ a2 x + b2 y = c2
L1
L2
⎪⎧ − a1a2 x − a2b1 y = − a2 c1
⇔⎨
⎪⎩ a1a2 x + a1b2 y = a1c2
⇔
y=
L2
l
⎧⎪ a b x + b1b2 y = b2 c1
b2 ⋅ L1 = L
1
⇔⎨ 1 2
l
⎪⎩ − a2b1 x − b1b2 y = −b1c2 − b1 ⋅ L2 = L
2
− a2 ⋅ L1 = L1
a1 ⋅ L2 = L2
⇔ ( a1b2 − a2b1 )y = a1c2 − a2 c1
L1
⇔ ( a1b2 − a2b1 ) x = b2 c1 − b1c2
L1 + L2
a1c2 − a2 c1
a1b2 − a2b1
⇔
l+L
l
L
1
2
b2 c1 − b1c2
a1b2 − a2b1
x=
Autrement dit, on a exprimé les inconnues x et y en fonction des constantes a1 , b1 , c1 ,a2 ,b2 , c2 .
• Définition
Soit 4 nombres rangés dans un tableau carré de 2 lignes et 2 colonnes :
Le déterminant d’ordre 2 est le nombre : D =
Exemple :
a1
a2
b1
= a1 ⋅ b2 − a2 ⋅ b1
b2
7 −4
= 7 ⋅ 3 − 5 ⋅ ( −4) = 41
5 3
• On utilise la notation « déterminant » pour exprimer les solutions du système ci-dessus :
D=
a1
a2
b1
= a1 ⋅ b2 − a2 ⋅ b1
b2
Dx =
c1
c2
b1
= c1 ⋅ b2 − c2 ⋅ b1
b2
Les équations peuvent alors s’écrirent : y =
Dy
D
et
x=
Dy =
a1
a2
c1
= a1 ⋅ c2 − a2 ⋅ c1
c2
Dx
D
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46
Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Discutons de l’ensemble solution du système :
Cas 1 : Si D ≠ 0
Le système admet une solution qui est le couple ( x; y ) tel que :
c1 b1
c b
D
x= x = 2 2
a1 b1
D
a2 b2
a1
D
a
y= y = 2
a1
D
a2
c1
c2
b1
b2
Cas 2 : Si D = 0
1) Si D y ≠ 0 ou Dx ≠ 0
⇒ Les équations deviennent 0 ⋅ y=D y
0 ⋅ x=Dx
⇒ Le système n' admet aucune solution (système impossible).
2 ) Si D y = 0 et Dx = 0
⇒ Les équations deviennent 0 ⋅ y=0
0 ⋅ x=0
⇒ Le système admet une infinité de solutions (système indéterminé).
Exemple *
⎧ 2x − y = 4
⎨
⎩x + 2 y = 2
les inconnues sont x et y ∈ \
Calculs des déterminants :
D=
2 −1
=5≠0
1 2
Dx =
4 −1
= 10
2 2
Dy =
2 4
=0
1 2
Donc :
x=
Dx 10
=
=2
D
5
et
y=
Dy
D
=
0
=0
5
S = {( 2;0 )}
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Algèbre / Les équations / 1 N-A
3. Résolution par « triangulation » d’un système d’équations
linéaires 3 x 3
Exemple
⎧3 − z = x + 3 y
⎪
⎨ z = 8 − 2x − 2 y
⎪2 y = z − x
⎩
⎧x + 3y + z = 3
⎪
⎨ 2x + 2 y + z = 8
⎪x + 2 y − z = 0
⎩
⎧x + 3 y + z = 3
⎪⎪
⇔ ⎨x − y
=5
⎪
⎪⎩3x + 4 y = 8
⎧x + 3y + z = 3
⎪⎪
⇔ ⎨x − y
=5
⎪
= 28
⎪⎩7 x
Donnée :
Un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
On réécrit le système. Chaque équation du système
doit être écrit sous la forme : ax + by + cz = d .
L1
L2
On numérote les équations.
L3
L1 = L1
L2 = ( −1) ⋅ L1 + L2
L3 = L2 + L3
On décide de conserver la première équation
et d’éliminer l’inconnue z dans les deux
autres équations.
l= L
L
1
1
l
L =L
On décide de conserver la première et la
deuxième équation et d’éliminer l’inconnue y
dans la dernière équation.
l = 4⋅L + L
L
3
2
3
Nous avons triangulé le système d’équations
linéaires.
2
2
⎧x + 3 y + z = 3
⎪
⇔ ⎨x − y
=5
⎪x
=4
⎩
On peut trouver facilement la solution
d’un système triangulé.
⎧x + 3y + z = 3
⎪
⇔ ⎨y
= −1
⎪x
=4
⎩
On substitue maintenant dans l’avant-dernière
équation la valeur de x et on trouve y.
En effet, la dernière équation d’un tel système
est une équation à une inconnue en x.
L’avant-dernière équation d’un tel système
est une équation à une inconnue en y.
On substitue maintenant dans la première
équation la valeur de x et de y on trouve z.
⎧z = 2
⎪
⇔ ⎨ y = −1
⎪x = 4
⎩
⎧ 4 + 3 ⋅ ( −1) + 2 = 3
⎪
⎨ 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ ( − 1) + 2 = 8
⎪
⎩ 4 + 2 ⋅ ( −1) − 2 = 0
S = {( 4 ; − 1 ; 2 )}
La première équation d’un tel système
est une équation à une inconnue en z.
ok !
ok !
Vérification.
ok !
Le système admet une solution, qui est un triplet
de nombres .
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48
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Définition
Un système d’équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système
possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant
qu’une seule inconnue.
4. Résolution par « Cramer » d’un système d’équations linéaires 3 x 3 *
Il est possible d’utiliser la méthode de « Cramer » pour résoudre un système d’équations
linéaires 3 x 3 (3 équations linéaires à 3 inconnues). Pour cela il faut définir des
« déterminants 3 x 3 ».
La présentation de cette méthode pour un système d’équations linéaires 3 x 3 sort du cadre de
ce cours et ne sera donc pas exposée ici.
5. Résolution d’un système d’équations linéaires n x n *
Il est possible d’utiliser la méthode par « triangulation » ainsi que celle de « Cramer » pour
résoudre un système d’équations linéaires n x n (n équations linéaires à n inconnues).
La présentation de ces méthodes pour un système d’équations linéaires n x n sort du cadre de
ce cours et ne sera donc pas exposée ici.
Exercice 77
a) Résoudre les systèmes d’équations linéaires 2×2 suivants en utilisant la méthode de la
« triangulation ». (Réponses en valeurs exactes).
Lors de la résolution des systèmes d'équations doivent figurer : − toutes les étapes de calculs.
− le contrôle des solutions.
⎧ 7x + 12y = 3
1) ⎨
⎩ −5x + 8y = 31
⎧ x = 16 − y
2) ⎨
⎩ −11y = −13x+16
⎧ 11a − 9b = −98
3) ⎨
⎩ −6a − b = 18
⎧ 10x + 7y = −105
4) ⎨
⎩ 20x + 14 y = −47
⎧0 = −2 − y + 4x
5) ⎨
⎩ 2y = −4 + 8x
⎧ −5x+2y = 35
6) ⎨
⎩ −4x+3y = 21
⎧11x + 8y = −59
7) ⎨
⎩ 5x − 3y = 13
⎧ 15a = 27 − 14b
8) ⎨
⎩ − 14b = −45 −3a
⎧7u − v = −18
9) ⎨
⎩ u+3v = −12
⎧ 9 x − 11y = 0
⎪
10) ⎨
11
⎪⎩ −3x + 3 y = 0
⎧⎪ 2x + 3 y − 1 = 0
11) ⎨
⎪⎩ 6 y = 2 − 2x
⎧ 2m − 3n = −7
12) ⎨
⎩ −6m + 9n = 21
8
⎧
⎪x = − y
13) ⎨
5
⎪⎩3x = 4 y
⎧ 2t + s − 5 = 0
14) ⎨
⎩t − 2s + 5 = 0
⎧⎪ 2 ( x + y − 6 ) = −3 ( 2x − y )
15) ⎨
⎪⎩3 ( 2x + y ) = 2 ( x − y + 5 )
b) * Résoudre les systèmes d’équations linéaires 2×2 du point a) en utilisant la méthode de
« Cramer ». (Réponses en valeurs exactes).
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49
Algèbre / Les équations / 1 N-A
• Systèmes d’équations linéaires : Applications
Les maths sans problèmes, c'est comme le vélo sans roue ; ça n'a pas de sens. Alors
voilà une jolie gerbe de problèmes ! Attention, ça démarre pépère puis ça se corse....
Marche à suivre pour résoudre des problèmes
1) Lire le problème plusieurs fois et clarifier ce qui est donné (connu) et ce qui est à chercher
(inconnue).
2) Choisir des lettres qui représentent les quantités inconnues et écrire ce qu'elles remplacent.
3) Faire éventuellement un dessin avec des légendes.
4) Formuler des équations qui décrivent précisément ce qui est énoncé avec des mots.
5) Résoudre le système d’équations formulé à l’étape 4)
Indiquer la méthode utilisée (triangulation, Cramer, etc.).
6) Contrôler la ou les solutions obtenues à l’étape 5) en se reportant à l’énoncé de départ du
problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.
7) Formuler une phrase en français contenant la solution du problème.
Exercice 78
Un champ rectangulaire a un périmètre de 632 mètres.
Calculer ses dimensions sachant que la longueur mesure 24 mètres de plus que sa largeur.
Exercice 79
Un champ rectangulaire a un périmètre de 1350 mètres.
Calculer ses dimensions sachant que la longueur du champ vaut 4 fois sa largeur.
Exercice 80
La recette d'un cinéma s'élève à 13'450 F ; les places sont à 30 F et à 40 F.
72 personnes ont mangé une glace et 44 personnes du popcorn. Sachant qu'il y a eu 400 places
vendues, déterminer le nombre de places de chaque espèce.
Exercice 81
Un entrepreneur doit déplacer 460 tonnes de terre : il dispose de 2 camions, l'un pouvant transporter
5 tonnes et l'autre 3 tonnes ; il désire effectuer 100 transports. Combien de fois doit-il utiliser
chaque camion ?
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P.S. / 2014-2015
50
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 82
Un diététicien hospitalier veut préparer un plat de 10 unités de viande et de légume qui donnera 7 g
de protéines. Si une unité de légume fournit 0,5 g de protéines et une unité de viande 1 g de
protéines, combien de chaque produit doit-il utiliser?
Exercice 83
La largeur d’une piscine rectangulaire est égale au 3/4 de sa longueur. Cette piscine est entourée
d’une allée large de 3 m, d’une aire de 246 m2 .
Calculer les dimensions de la piscine.
Exercice 84
Un crayon de 8 centimètres de long et 1 centimètre de diamètre doit être fabriqué à partir de 5 cm3
de cire colorée. Le crayon doit avoir la forme d’un cylindre surmonté d’une petite pointe conique
(voir la figure).
Trouver la longueur x du cylindre et la hauteur y du cône.
Exercice 85
Un fermier prépare un mélange d’avoine et de blé pour le bétail. 30 grammes d’avoine apportent
4 grammes de protéines et 18 grammes d’hydrates de carbone, et 30 grammes de blé fournissent
3 grammes de protéines et 24 grammes d’hydrates de carbone.
Quelle quantité (en grammes) de chaque céréale faudrait-il employer pour satisfaire à des besoins
nutritionnels de 200 grammes de protéines et 1320 grammes d’hydrates de carbone pour chaque
ration ?
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Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 86
Résoudre les systèmes d’équations linéaires 3×3 suivants en utilisant la méthode de la
« triangulation ». (Réponses en valeurs exactes).
Lors de la résolution des systèmes d'équations doivent figurer : − toutes les étapes de calculs.
− le contrôle des solutions.
⎧ x + y − 2z = 3
⎪
1) ⎨ 3x + 2 y − z = 12
⎪ 8 x − 3 y − 6 z = −18
⎩
⎧ x − y + 11 = 0
⎪
2) ⎨ 2 y + z + 6 = −3x
⎪ −7 + x = − y − z
⎩
⎧ x =3− y − z
⎪
3) ⎨ 4 x = 5 y − 1
⎪
⎩ − 5 + 3x = −2 y
⎧a + 3b + 2c = −13
⎪
4) ⎨2a − 6b + 3c = 32
⎪3a − 4b − c = 12
⎩
⎧x + y − z = 1
⎪
5*) ⎨ x − y − z = −1
⎪
⎩2x + 2 y − 2z = 2
⎧2x + 2 y + 2z = 4
⎪
6*) ⎨ x + y + z = −1
⎪x + y + z = 1
⎩
⎧ 2x − 3 y + 2z = 6
⎪
7) ⎨ x + 8 y + 3z = −31
⎪3x − 2 y + z = −5
⎩
⎧ 2x + y = 2
⎪
8) ⎨ −4 y + z = 0
⎪4 x + z = 6
⎩
⎧ x + y + z = 14
⎪
9) ⎨ x − y + z = 6
⎪x − y − z = 4
⎩
⎧ r = 9 − s + 6t
⎪
10) ⎨ r + 4t = 5 + s
⎪ 2r − 3s = −4 − t
⎩
⎧ x + 2 y + 3z = 2
⎪
11*) ⎨ 2x + 4 y + z = −1
⎪
⎩3x + 6 y + 5z = 2
⎧6m − 2n + p = 1
⎪
12*) ⎨ m − 4n + 2 p = 0
⎪4m + 6n − 3 p = 0
⎩
⎧x +
⎪
13*) ⎨ x +
⎪x +
⎩
⎧ 2x + 3 y − 4z = 1
⎪
14*) ⎨3x − y + 2z = −2
⎪
⎩5x − 9 y + 14z = 3
⎧ 2x − 3 y + 5z = 4
⎪
15) ⎨3x + 2 y + 2z = 3
⎪4 x + y − 4z = −6
⎩
y+z =1
y+z =1
y+z =1
Exercice 87 *
a) Résoudre le système d’équations linéaires suivant, en fonction du paramètre réel m.
⎧ mx + m y = 1
⎪
2
⎨m
m
⎪⎩ 3 x + y = 2
b) Pour quelle(s) valeur(s) de m ce système d’équations linéaires :
i) admet une solution ?
ii) pas de solutions ? (système impossible)
iii) une infinité de solutions ? (système indéterminé)
Exercice 88 *
Dans un test médical destiné à mesurer la tolérance aux hydrates de carbone, un adulte boit 7
centilitres d’une solution à 30 % de glucose.
Lorsque le test est administré à un enfant, la concentration de glucose doit être ramenée à 20%.
Combien de solution à 30 % et combien d’eau devra-t-on utiliser pour préparer 7 centilitres de
solution à 20 % ?
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P.S. / 2014-2015
52
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 89 *
La théophylline, médicament contre l’asthme, est préparée à partir d’un élixir contenant une
concentration de 5 mg/ml d’un produit et d’un sirop parfumé à la cerise pour masquer le goût du
produit.
Combien de chaque ingrédient doit-on utiliser pour préparer 100 millilitres de solution
avec une concentration de 2 mg/ml ?
Exercice 90 *
En combien de temps l'aiguille des minutes fait-elle 110 tours en plus que l'aiguille des heures ?
Exercice 91 *
À quel moment, entre 2 heures et 3 heures, les aiguilles des minutes et des heures coïncident-elles ?
Exercice 92 *
Un train part de A vers B, à 12 heures, à la vitesse de 66 km à l'heure ; un autre train part de B vers
A, à 12 heures 10 minutes, à la vitesse de 72 km à l'heure.
Déterminer la distance AB, sachant que les trains se croisent à mi-chemin entre A et B.
Exercice 93 *
Un réservoir d’eau de 1200 litres est rempli par un seul tuyau d’amenée. Deux tuyaux de vidange
identiques peuvent être utilisés pour fournir de l’eau aux champs environnants (voir la figure).
Il faut 5 heures pour remplir le réservoir vide lorsque les deux tuyaux de vidange sont ouverts.
Quand un des tuyaux de vidange est fermé,
il faut 3 heures pour remplir le réservoir.
D1
Trouver les débits D1 et D2 (en litres par heure)
dans les tuyaux d’amenée et de vidange.
Rappel : Débit =
variation de volume
variation de temps
D2
D2
Exercice 94 *
Résoudre les systèmes d’équations non linéaires 2×2 suivants :
⎧x + y = 5
a) ⎨
⎩x ⋅ y = 1
⎧x + y = m
b) ⎨
⎩x ⋅ y = n
b
⎧
⎪⎪u + v = − a
c) ⎨
⎪u ⋅ v = c
⎪⎩
a
Indication : Utiliser la méthode par « substitution ».
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P.S. / 2014-2015
53
Algèbre / Les équations / 1 N-A
Exercice 95 *
Combien pèsent le gros Dédé, le petit Francis et le chien Boudin ?
Exercice 96 *
Avec son vélomoteur, un adolescent atteint les vitesses suivantes : 30 km/h en terrain plat,
20 km/h en montée et 40 km/h en descente. Pour aller d’une ville A à une ville B, distantes
de 90 km, il met 3 h. Pour revenir de B vers A, il lui faut 3 h 30 min.
Calculer les longueurs des montées, des descentes et des terrains plats entre A et B.
Exercice 97 *
Une société a trois machines A, B et C qui sont capables chacune de produire un certain article.
Toutefois, à cause du manque d’opérateurs qualifiés, seules deux machines peuvent être utilisées
simultanément. Le tableau suivant indique la production pendant une période de trois jours, en
utilisant diverses combinaisons des machines.
Combien de temps faudrait-il à chaque machine, si elle était utilisée seule, pour produire
1000 articles ?
Machines
utilisées
Heures
utilisées
Articles
produits
1er jour
A et B
6
4500
2ème jour
A et C
8
3600
3ème jour
B et C
7
4900
Exercice 98 *
Trois solutions contiennent un certain acide. La première contient 10 % d’acide, la deuxième 30 %
et la troisième 50 %. Un chimiste aimerait utiliser les trois solutions pour obtenir 50 litres d’un
mélange contenant 32 % d’acide. S’il veut utiliser deux fois plus de solution à 50 % que de solution
à 30 %, combien de litres de chaque solution devrait-il utiliser ?
Exercice 99 *
Une balle est tirée horizontalement sur une cible, et on entend le bruit de l’impact 1,5 seconde plus
tard. Si la vitesse de la balle est 990 m/s et la vitesse du son 330 m/s, quel est l’éloignement de la
cible ?
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P.S. / 2014-2015
54
Algèbre / Les équations / 1 N-A
1.2.5 Ce qu’il faut absolument savoir
11♥ Connaître la définition d'une équation
ok
12♥ Connaître les principes d'équivalences pour résoudre une équation
ok
13♥ Utiliser correctement le symbole d'équivalence ⇔
ok
14♥ Savoir reconnaître une équation polynomiale du premier degré
ok
15♥ Résoudre une équation polynomiale du premier degré
ok
16♥ Résoudre des problèmes simples faisant intervenir une équation du premier degré
ok
17♥ Savoir reconnaître une équation polynomiale du second degré
ok
18♥ Résoudre une équation du second degré par factorisation
ok
19♥ Résoudre une équation du second degré en utilisant la formule de Viète
ok
20♥ Résoudre des problèmes simples faisant intervenir une équation du second degré
ok
21♥ Connaître les relations de Viète
ok
22♥ Connaître le critère permettant de savoir si un polynôme du second degré
est factorisable ou non
ok
23♥ Savoir factoriser un polynôme du second degré à l’aide des solutions
de l’équation polynomiale associée
ok
24♥ Connaître la définition d'un système d'équations
ok
25♥ Connaître la définition d'une équation linéaire
ok
26♥ Connaître les principes d'équivalences pour résoudre un système d'équations linéaires
ok
27♥ Résoudre un système d'équations linéaires 2×2 et 3×3 par triangulation
ok
28* Résoudre un système d'équations linéaires 2×2 par la méthode de Cramer
ok
29♥ Résoudre des problèmes simples faisant intervenir un système
d'équations linéaires 2×2
ok
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
55
Algèbre / Les équations / 1 N-A
1.2.6 Questionnaire à choix multiples
Vrai
13♣ u 2 − 6u − 9 = 4 est une équation qui possède deux inconnues.
V
F
⎧3x − 7 y = 2
14♣ ⎨
est un système d’équations linéaires.
⎩5x + 9 y = 0
V
F
15♣ x + 1 = 2 ⇔
V
F
V
F
17♣ Il existe une infinité d’équations du 1er degré ayant comme solution S={4}
V
F
18♣ 4 ( x 2 − 2 ) + 2 = x 2 est une équation du 2e degré
V
F
19♣ Toute équation du 2e degré possède au moins une solution.
V
F
20♣ Si Δ = b 2 − 4ac > 0 alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 possède deux solutions.
V
F
21♣ Si Δ = b 2 − 4ac > 0 alors le polynôme ax 2 + bx + c est factorisable.
V
F
22♣ Si Δ = b 2 − 4ac < 0 alors le polynôme ax 2 + bx + c est factorisable.
V
F
⎧3x − 7 y = 2
23♣ ⎨
est un système d’équations linéaires triangulé
⎩5x + 9 y = 0
V
F
⎧ 2x − y = 4
24♣ Une solution du système ⎨
est le triplet ( 2 ;0;1)
⎩x + 2 y = 2
V
F
x( x + 1) = 2x
16♣ 4 ( x 2 − 49 ) + 61 = ( 2x − 5 )
2
est une équation du 1er degré
Faux
Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 1.4 avec les solutions des exercices.
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P.S. / 2014-2015
56
Algèbre / Les équations / 1 N-A
1.3 Les inéquations
1.3.1 Intervalles
Définition
Un intervalle de \ est une partie de \ qui n'a pas de « trou ».
Exemples
[0;1] , ]−2;5 ] et [ −1; +∞[
sont des intervalles.
Définitions
Soient a,b ∈ \ et a < b alors, on appelle :
a) Intervalle fermé [ a;b] = { x | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalle ouvert ]a;b[ = { x | a < x < b}
c) Intervalle semi-ouvert à droite [ a;b[ = { x | a ≤ x < b}
d) Intervalle semi-ouvert à gauche ]a;b ] = { x | a < x ≤ b}
Remarque
+∞ et −∞ ne sont pas des nombres, ils ne font donc jamais partie d'un intervalle qui est un
ensemble de nombres. Par conséquent, un intervalle sera toujours ouvert « du côté de l'infini ».
Activité 1 Compléter le tableau suivant.
−2 ≤ x < 3
x ∈ [ −2;3[
[
[
-2
3
]
[
-4
-1
x<0
x ∈ ]4; +∞[
−1 ≤ x ≤ 5
x ∈ [0;8[
x > 21
x ∈ ]−∞; −2]
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P.S. / 2014-2015
57
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
• Opérations avec des intervalles
Définitions
a) L'intersection des intervalles I et J est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent
à la fois à I et à J.
Cette intersection est notée « I ∩ J » qu’on lit « I inter J ».
b) La réunion des intervalles I et J est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à I ou à J.
Les nombres qui appartiennent aux deux intervalles font partie de la réunion.
Cette réunion est notée « I ∪ J » qu’on lit « I union J ».
c) La différence des intervalles I et J est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent
à I mais pas à J .
Cette différence est notée notée « I \ J » qu’on lit « I sauf J ».
Exemples
On considère les intervalles I = [4;6 ] et J = ]5;8[
[
0 1
]
] ]
[ ]
]
[
[ ]
[
0 1
]
[ ]
[ ]
a) I ∩ J = ]5;6 ]
0 1
b) I ∪ J = [4;8[
c) I \ J = [ 4;5 ]
\
10
[
[
\
10
\
10
Activité 2
On considère les intervalles I = [ −3;2] ,
J = ]−∞;4 ] , K = [4;8[ et
L = [6; +∞[
Dans chaque cas, représenter les intervalles dans des couleurs différentes et compléter.
1) K ; J
2) L ; K
3) I ; K
4) I ; J
5) J ; I
6) J ; L
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
\
K∩J =
\
L∩K =
\
I ∪K =
\
I∪J =
\
\
J\I =
J\L=
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
58
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
Exercice 100
Compléter par l’un des symboles ∈ ou ∉ .
3) 5 ........ [ 2;4 ]
1) −2,5 ........ ⎡⎣ −3; 3 ⎤⎦
2)
3 ........ ⎤⎦ −3; 3 ⎡⎣
4) 2 ........ [ 2;4 ]
5) 100,35 ........ ]−3; +∞[
6) −3 ........ ]−3; +∞[
7) −12 ⋅ 10 5 ........ ]−∞;0 ]
8) 0 ........ ]−∞;0 ]
9) 1,8 ........ ⎤⎦ −∞; 3 ⎤⎦
Exercice 101
Dans chaque cas, écrire l’intervalle correspondant aux nombres réels indiqués.
Un exemple est donné :
Nombres réels strictements supérieurs à 5 :
]5;+∞[
1) Nombres réels supérieurs ou égaux à 10.
2) Nombres réels strictement inférieurs à 5.
3) Nombres réels compris strictements entre -8/5 et -5/2.
4) \ , l’ensemble des nombres réels.
5) \ + , l’ensemble des nombres réels positifs.
6) \ − , l’ensemble des nombres réels négatifs.
7) \*+ , l’ensemble des nombres réels strictement positifs.
8) \*− , l’ensemble des nombres réels strictement négatifs.
Exercice 102
On considère les intervalles I = [ −2;2] ,
J = ]0;5 ] , K = ]−∞;0[ et
L = ]8;10[
Dans chaque cas, représenter les intervalles avec des couleurs différentes et compléter.
1) I ; K
2) I ; L
3) J ; K
4) I ; J
5) J ; I
6) K ; I
7) K ; I
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
0
5
10
\
I ∩K =
\
I ∩L=
\
J ∪K =
\
I∪J =
\
J\I =
\
K\I =
\
I\K =
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
59
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
1.3.2 Inéquations du premier degré
• Généralités
Définition
Une inéquation est une relation du type <, >, ≤ ou ≥ entre deux expressions mathématiques
et contenant un terme inconnu.
Exemples
b) x 2 ≤ 1
a) x + 1 ≤ 0
c) x 2 > 1
Activité 3 Quelle est la solution des inéquations a) , b) et c) ?
a)
\
S=
b)
\
S=
c)
\
S=
• Principes d'équivalences pour les inéquations
Principe 1)
Si on additionne ou on soustrait une même expression aux deux membres d’une inéquation,
on obtient une inéquation équivalente.
A> B ⇔ A+C > B+C
et
A> B ⇔ A−C > B−C
Principe 2)
Si on multiplie ou on divise les deux membres d'une inéquation par un nombre n ≠ 0 ,
on a les deux cas suivants :
Si n > 0
alors A > B ⇔ n ⋅ A > n ⋅ B et A > B ⇔
A B
>
n n
Si n < 0
alors A > B ⇔ n ⋅ A < n ⋅ B et A > B ⇔
A B
<
n n
Remarque Ces deux principes restent identiques pour <, ≤ ou ≥ .
Exemples
a) 5 > 3 ⇔ 5 + 2 > 3 + 2
b) 5 > 3 ⇔ 5 − 2 > 3 − 2
c) n = 2 > 0
d) n = −2 < 0
8 > 4 ⇔ 2 ⋅ 8 > 2 ⋅ 4 et 8 > 4 ⇔
:
:
8>4 ⇔
( −2 ) ⋅ 8 < ( −2 ) ⋅ 4
8 4
>
2 2
et 8 > 4 ⇔
8
4
<
−2 −2
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
60
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
Définition
On appelle une inéquation du 1er degré à une inconnue toute expression du type :
ax + b < 0 , ax + b ≤ 0 , ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0
avec a ≠ 0
Remarque
En utilisant les principes d'équivalences pour les inéquations et en isolant l’inconnue, on trouve
toutes les solutions des inéquations du 1er degré à une inconnue.
Exemples
−3
÷2
S = ]1; +∞[
a) 2x + 3 > 5 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1
−3
÷ ( −2 )
b) −2x + 3 ≤ 5 ⇔ − 2x ≤ 2 ⇔ x ≥ −1
S = [ −1; +∞[
Cas particuliers (a = 0)
c) 2x + 3 ≤ 2x + 3 ⇔ 0x ≤ 0
d) 2x + 3 > 2x + 4 ⇔ 0x > 1
vrai ∀x ∈ \
faux ∀x ∈ \
S =\
S =∅
Exercice 103
Résoudre les inéquations suivantes :
1) –3x + 6 ≤ 0
2) 5x + 3 < 8
3) 2x + 3 > 5x – 6
4) 3x + 2 ≤ 2 ( 2x + 4 )
5)
x 1 2x 1
− <
−
2 3 3 2
6)
x − 1 2x − 3
<
+5
4
2
7) −2x − 3 < −2x + 6
8)
x − 1 2x − 2
>
2
4
9)
3x − 1 13 7 x 11 ( x + 3 )
−
≥
−
5
2
3
6
10) 3 − 4 ( 5 − x ) ≤ 2x + 5
11) 4 ( 5 + x ) > 5 ( x + 3 )
12)
2x 2x − 17
2x − 6
−
< 10 −
5
3
2
Exercice 104 *
Les températures lues sur les échelles Fahrenheit et Celsius sont liées par la formule
5
C = ( F − 32 ) . Quelles valeurs de F correspondent aux valeurs de C telles que 30 ≤ C ≤ 40 ?
9
Exercice 105 *
Un acheteur doit décider s’il va acquérir la voiture A ou la voiture B. La voiture A coûte 10’000 $,
consomme 7,2 l/100 km et son assurance s’élève à 590 $ par an. La voiture B coûte 12’000 $,
consomme 4,8 l/100 km et son assurance s’élève à 600 $ par an. On suppose que l’acheteur roule
24’000 km par an et que le prix de l’essence reste à 1,25 $ le litre. En ne tenant compte que de ces
faits, déterminer combien il faudra de temps pour que la voiture B revienne moins cher que la
voiture A.
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
61
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
1.3.3 Inéquations de degré supérieur à un
Exemples
a) On veut résoudre l'inéquation : x 3 > x
• À ne pas faire : diviser par l’inconnue pour obtenir : x 2 > 1
Il ne faut pas multiplier (ou diviser) par une expression dont on ne connaît pas le signe car on
ne peut pas connaître le sens de l’inégalité.
x3 > x
• À faire :
On utilise les principes d’équivalences afin que le membre de droite
de l’inéquation soit égal à 0.
⇔ x3 – x > 0
⇔ x ( x 2 − 1) > 0
On factorise le polynôme avec la mise en évidence du facteur x.
On factorise le polynôme avec l'identité x 2 − a 2 = ( x + a )( x − a )
⇔ x ( x + 1)( x − 1) > 0
• On utilise ensuite un tableau des signes :
−1
x
x
x−1
x+1
x ( x − 1)( x + 1)
0
1
−
−
−
−
−
−
−
0
+
+
+
−
−
0
+
0
+
+
+
+
+
−
0
+
0
−
0
+
- Dans la 1ère colonne du tableau, on place tous les facteurs du polynôme et le polynôme dont on cherche à
connaître le signe en fonction de la variable x.
- Dans la 1ère ligne du tableau, on place dans l’ordre croissant tout les nombres qui annulent les facteurs du
polynôme.
- Pour chaque facteur du polynôme, on indique par le symbole + une expression positive, le symbole − une
expression négative et par le symbole 0 une expression nulle.
- La dernière ligne du tableau est obtenue en utlisant la règle des signes.
• L’ensemble solution est la réunion de deux intervalles : S = ]−1;0[ ∪ ]1;+∞[
b) On veut résoudre l'inéquation : x 2 − x + 7 < 0
• Dans ce cas Δ < 0 et donc le polynôme n’est pas factorisable.
• On utilise ensuite un tableau des signes :
x
x − x +7
2
+
• L’ensemble solution est : S = ∅
Résumé
1) Utiliser les principes d’équivalences afin que le membre de droite de l’inéquation soit égal à 0.
2) Essayer de factoriser le polynôme.
3) Faire un tableau des signes et utiliser la règle des signes.
4) Donner l’ensemble solution sous forme d’intervalles.
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P.S. / 2014-2015
62
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
Exercice 106
Résoudre les inéquations suivantes en utilisant un tableau des signes :
1) x 2 ≤ 4
13) x 4 > x 2
2) x 2 > 8
14) x 4 > − x 2
3) − x 2 + 4x − 7 > 0
15) 3x 2 − 5x + 2 ≤ 0
4) x 2 > 4x + 5
16) − x 2 + 4 x − 7 < 0
5) − x 2 − 2x + 8 ≥ 2x − 4
17) x 2 − 15x + 5 > 3x 2 − 12x + 6
6) 6 x 2 − x − 2 > 0
18) ( −4 )( x − 1)( x + 2 ) ( − x + 4 ) ≤ 0
2
7) 9 x 2 − 9 x − 10 ≤ 0
8) 9x 2 − 24 x < −16
9) 4 ( x + 1) > x
2
2
10) ( x + 5 )( 2 − x )( x − 1) < 0
11) ( x + 1) ( − x − 2 ) < 0
2
5
4
3
12) −2x − x + x ≥ 0
19) ( x − 2 ) ( x − 5 ) > 0
2
20) ( x − 2 ) ( x − 5 ) < 0
2
21) ( x − 2 ) ( x − 5 ) ≥ 0
2
22) ( x − 2 ) ( x − 5 ) ≤ 0
2
23) ( x − 3 )( x + 2 )( x − 1) < 0
3
24) ( x + 3 )( x − 2 ) ( x − 5 ) < 0
2
3
Exercice 107 *
Le Guiness Book des records mondiaux rapporte que les bergers allemands peuvent faire des sauts
de 3 mètres de haut en franchissant des murs. Si la distance d, en mètres, au-dessus du sol après t
secondes est donnée par l’équation d = − 4,9 t 2 + 7,3 t + 0,3 , pendant combien de secondes le
chien est-il à plus de 2,7 mètres au-dessus du sol ?
Exercice 108 *
A quelle condition peut-on factoriser les expressions suivantes ?
1) x 2 + 4 x + c
2) 3x 2 − 6 x + c
3) x 2 + bx + 4
4) 2x 2 + bx − 5
5) ax 2 + 4 x − 2
6) ax 2 − 2x + 3
7) x 2 + bx + c
8) ax 2 + 4 x + c
9) ax 2 + bx + 3
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
63
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
1.3.4 Ce qu’il faut absolument savoir
30♥ Maîtriser la notation avec des intervalles
ok
31♥ Connaître la définition d'une inéquation
ok
32♥ Connaître les principes d'équivalences pour les inéquations
ok
33♥ Résoudre une inéquation du premier degré
ok
34♥ Résoudre une inéquation de degré supérieur ou égal à 2 avec un tableau des signes
ok
1.3.5 Questionnaire à choix multiples
Vrai
Faux
25♣ {−2;2} est un intervalle.
V
F
26♣ [ −5; −2] ∪ [ 2;5 ] est un intervalle.
V
F
27♣ ]−2;2[ est un intervalle ouvert.
V
F
28♣ ]−2;2[ est un intervalle fermé.
V
F
29♣ [ −5; −2] ∪ [ −2;5 ] est un intervalle.
V
F
30♣ 12 ⋅ 10 −5 ∈]−∞;0 ]
V
F
31♣ −12 ⋅ 10 −5 ∈]−∞;0 ]
V
F
32♣ a < b ⇔ − a < −b
V
F
33♣ a ≤ b ⇔ a + 1 ≤ b + 1
V
F
V
F
35♣ x 3 > x ⇔ x 2 > 1
V
F
36♣ 4 ( x 2 − 2 ) + 2 = x 2 est une inéquation
V
F
34♣ a < b ⇔
a
b
>
− 2 −2
Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 1.4 avec les solutions des exercices.
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P.S. / 2014-2015
64
Algèbre / Les inéquations / 1 N-A
1.4 Solutions des exercices
Ex 1
a)
1) Les nombres impairs : 2n + 1
car si n est un entier naturel n ∈ {0,1,2,3,4,...} alors 2n + 1 ∈ {1,2,3,5,7 ,9,...}
2) Les multiples de 3 : 3n
3) Les multiples de 5 : 5n
4) Les multiples de π : π n
5) Les multiples de 2π : 2π n
(10 ⋅ n = multiple de 10 )
7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23 : 100n + 23
(100 ⋅ n = multiple de 100 )
8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570 : 1000n + 570 (1000 ⋅ n = multiple de 1000 )
6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3 : 10n + 3
b)
1) 2a + 2b
2) 2xy + 2xz + 2 yz
3) 5π r 2
4) 91x 2
5) x 3 + y 3
6) 9c
7) π y 2 − π x 2
8)
10) 8π r
11)
9)
3 2
d
2
14 2
x
3
d2
2
12) 4 x 2 y + 2xy
Ex 2
1) Oui c’est un polynôme ; deg(P) = 2
Coeff: c2 =
2
5
1
, c1 = −
, c0 =
3
3
3
2) Non ce n’est pas un polynôme.
3) Non ce n’est pas un polynôme.
4) Oui c’est un polynôme ; deg(P) =0
Coeff: c0 = 1000
5) Oui c’est un polynôme ; deg( P ) = 0
Coeff : c0 = − 1
6) Oui c’est un polynôme ; deg(P) = 3
Coeff: c3 = 3 , c1 = 5 , c0 = 7
7) Oui c’est un polynôme ; deg(P) =1
Coeff: c1 = 4 , c0 = 3
8) Oui c’est un polynôme ; deg(P) =3
Coeff: c3 = 4 5 , c2 = 23 , c0 = 5 4
9) Non ce n’est pas un polynôme.
Ex 3
1) x 2 + x − 1
Coeff : c2 = 1 ;c1 = 1 ;c0 = −1
2) 3x − 2
Coeff : c2 = 3 ; c0 = −2
3) 4 x + 2x − 3
Coeff : c2 = 4 ;c1 = 2 ;c0 = −3
4) x − 8 x + 10
Coeff : c2 = 1 ;c1 = −8 ;c0 = 10
5) −3x − 3x + 24
Coeff : c2 = −3 ;c1 = −3 ;c0 = 24
6) − z + z
Coeff : c3 = −1 ;c2 = 1
2
2
2
2
3
2
deg( P ) = 2
Coeff : c4 = 4 ;c2 = −12 ;c1 = 8
8) y + 2
Coeff : c2 = 1 ; c0 = 2
2
2
deg( P ) = 2
deg( P ) = 2
deg( P ) = 2
deg( P ) = 3
7) 4t − 12t + 8t
4
deg( P ) = 2
deg( P ) = 4
deg( P ) = 2
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
65
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
9) 2x 2 − x + 2
Coeff : c2 = 2 ; c1 = −1 ; c0 = 2
deg( P ) = 2
10) − x 6 − 2x 3 − 12
28
83
x−
11)
15
15
3 2 1
7
12)
x + x−
2
4
4
9
11
13)
x+
2
4
16
40
14) − t +
3
3
5
15) x 3 − x 2 + 3x − 1
2
73
53
16)
y−
24
24
13
13
17) − x −
60
60
Coeff : c6 = −1 ;c3 = −2 ;c0 = −12
deg( P ) = 6
28
83
Coeff : c1 =
;c0 = −
deg( P ) = 1
15
15
3
1
7
Coeff : c2 = ;c1 = ;c0 = −
deg( P ) = 2
2
4
4
9
11
Coeff : c1 = ;c0 =
deg( P ) = 1
2
4
16
40
Coeff : c1 = −
;c0 =
deg( P ) = 1
3
3
5
Coeff : c3 = 1 ;c2 = − ;c1 = 3 ;c0 = −1
deg( P ) = 3
2
73
53
Coeff : c1 =
;c0 = −
deg( P ) = 1
24
24
13
13
Coeff : c1 = −
;c0 = −
deg( P ) = 1
60
60
Ex 4
1)
x3 − x2
2)
2x − 4 x
3)
3x + 3x − 4 x − 4
Coeff : c3 = 3 ;c2 = 3 ;c1 = −4 ;c0 = −4
4)
x − 13x + 50 x − 56
Coeff : c3 = 1 ;c2 = −13 ;c1 = 50 ;c0 = −56
5)
−z + z + z − z
Coeff : c5 = −1 ;c4 = 1 ;c3 = 1 ;c2 = −1
6)
t − 2t + 2t − 1
Coeff : c4 = 1 ;c3 = −2 ;c1 = 2 ;c0 = −1
7)
y + y + y +1
Coeff : c4 = 1 ;c4 = 1 ;c1 = 1 ;c0 = 1
8)
x −1
Coeff : c3 = 1 ;c0 = −1
9)
x − 27
4
3
2
2
3
2
5
4
4
3
2
3
4
3
3
10) −2x + x + x
3
2
11) 2x + x − 6 x
12)
3
2
x − 6 x + 11x − 6
3
deg( P ) = 3
Coeff : c4 = 2 ;c2 = −4
deg( P ) = 4
Coeff : c9 = 1 ;c0 = −27
9
4
Coeff : c3 = 1 ;c2 = −1
2
deg( P ) = 5
deg( P ) = 4
deg( P ) = 4
deg( P ) = 9
Coeff : c3 = −2 ;c2 = 1 ;c1 = 1
deg( P ) = 3
Coeff : c4 = 2 ;c3 = 1 ;c2 = −6
deg( P ) = 4
Coeff : c3 = 1 ;c2 = −6 ;c1 = 11 ;c0 = −6
Coeff : c2 = 3 ;c1 = 12 ;c0 = 21
14) −4x + 16 x − 22
Coeff : c2 = −4 ;c1 = 16 ;c0 = −22
2
deg( P ) = 3
deg( P ) = 3
13) 3t + 12t + 21
2
deg( P ) = 3
deg( P ) = 3
deg( P ) = 2
deg( P ) = 2
Ex 5
a) 1) ( P ⋅ Q )( x ) = ..... + 31 x 3 ± ........
2) ( Q ⋅ R )( x ) = ..... + 53 x 4 ± ........
3) ( R ⋅ S )( x ) = ..... + 35 x 3 ± ........
b) On identifie à chaque fois le terme dont le degré est le plus élevé :
1) deg( P + Q ) = 3
2) deg( R + S ) = 3
3) deg( P + Q + R ) = 5
4) deg( P + Q + R + S ) = 3
5) deg( P − Q ) = 3
6) deg( R − S ) = 5
7) deg( P − Q − R ) = 5
8) deg( P − Q − R − S ) = 3
9) deg( P ⋅ Q ) = 4
10) deg( R ⋅ S ) = 10
11) deg( P ⋅ Q ⋅ R ) = 9
12) deg( P ⋅ Q ⋅ R ⋅ S ) = 14
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
66
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 6
1) −2t 2 − 1
4)
1 1
3) −2t 2 + t −
4
2
2) 0
12 5
t + 5t 3 + 2
7
1
1
5) −6t 4 + t 3 − 5t 2 + t − 1
2
4
Ex 7
2) P ( x ) =
1) P ( x ) = − x 3 + 5x + 2
1 2 2
x −
2
3
3) P ( x ) = 3x 3 + 5x 2 − 10
Ex 8
1) ( x + 7 )
2) ( x − 9 )( x − 7 )
3) ( x + 3 )( x − 3 )
4) ( 2x + 5 )
5) ( 2 + x )( 2 − x )
6) ( x + 21)( x − 1)
7) ( x − 5 )( x − 6 )
8) 4 ( 3x − 1)
9) 2 ( x + 1)( x + 12 )
10) ( 3t + 7 )( 3t − 7 )
11) ( x + 9 )( x − 7 )
12) 2 ( x + 6 )( x − 6 )
13) ( x + 3 )( x − 13 )
14) ( x + 1)( x − 12 )
15) ( 3x + 2 )( 3x − 2 )
16) ( x − 12 )
17) ( x − 1)( x − 21)
18) 2 ( x + 4 )
19) 16 ( t + 2 )
20) ( v + 6 )( v + 5 )
21) 2 ( a − 4 )( a − 3 )
22) ( x + 12 )( x − 1)
23) ( 3x − 2 )
25) 4 ( x − 6 )( x + 5 )
26) ( x − 21)( x + 1)
27) ( x + 7 )( x + 9 )
28) ( x + 1)( x + 21)
29) ( x − 9 )
30) ( x − 18 )( x + 2 )
31) 5 ( x + 5 )( x − 5 )
32) ( x − 18 )( x − 2 )
34) ( x + 18 )( x − 2 )
35) ( x + 18 )( x + 2 )
36) ( x + 3 )( x + 13 )
37) ( x − 1)( x − 12 )
38) ( x + 13 )( x − 3 )
39) ( −2 )( x + 6 )( x − 5 )
40) ( x + 13 )( x − 3 )
41) ( x − 3 )
42) 4 ( 3x + 2 )( 3x − 2 )
43) ( 2x + 1)( 2x − 1)
44) ( −2 )( x + 1)( x + 12 )
45) ( y − 4 )( y + 3 )
46) 3 ( 3z + 2 )( 3z − 2 )
47) ( 4t + 3 )
48) −3 ( u − 3 )
49) (1 + 2x )(1 − 2x )
50) Déjà factorisé
51) ( x − 2 )
53) Pas factorisable
54) ( x − 10 )( x + 10 )
55) Déjà factorisé
56) Déjà factorisé
57) Pas factorisable
58) ( −1)( x + 4 )( x − 8 )
59) 4 ( z + 1)
60) Pas factorisable
61) 6 ( x − 1)
62) 3 ( 2 y − 1)
63) 5 ( 3t − 1)
2
2
33) 4 ( 3x + 1)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
24) 3 ( x + 3 )( x + 4 )
2
2
2
2
52) Déjà factorisé
2
64) 2 ( 3x + 1)
2
2
65) 4 ( x + 3 )( x − 7 )
66) 2 ( x + 2 )( x − 12 )
67) 2 ( x + 5 )( x + 4 )
68) 3 ( x + 5 )( x − 4 )
69) 4 ( x + 4 )( x + 3 )
70) a ( x + 1)( x − 5 )
71) 2c ( x − 2 )( x − 7 )
72) 3k ( x + 3 )( x − 7 )
73) 4m
2
( x + 2 )( x − 12 )
74) 3a x ( x − 1)
2
Ex 9
(
)(
1) 4 a − 2 a + 2
4) u ( u + 3 )
)
2
10) 4t ( t − 2 )
(
11)
)( x + 6 )
16) ( 2x − 3 ) ( 2x + 3 )
2
19) x − 5
2
)( x + 5 ) ( x
2
+ 5)
(
2
9) ( x − 1) ( x + 1)
2
3a − 1
2
6) x 2 ( 2x + 5 )
2
8) ( 4x 2 + 9 )
2
2
13) 2 x − 6
3) 4a ( a + 1)
2
5) ( 3a 2 + 1)
2
7) ( 2x − 3 ) ( 2x + 3 )
(
2) ( x 2 + 1)
2
)(
2
3a + 1
)
2
12) ( 3a − 2 )
2
3
14) u 2 ( u − 2 )( u + 2 )
15) 4 x 2 ( x − 5 )
17) z ( z 2 + 1)
18) ( 5 − b )( 5 + b ) ( 25 + b 2 )
(
)(
)
2
20) b − 12 b + 12 ( b 2 + 12 ) 21) Déjà factorisé
22) Pas factorisable
23) ( x + 1)( 5x + 8 )( 5x − 8 )
24) ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2 + 4 )
25) Déjà factorisé
26) 2x ( x + 5 )( x − 4 )
27) x ( x + 4 )( x + 3 )
28) ( x + 2 )( x + 1)( x − 5 )
29) x x − 7
30) Déjà factorisé
(
)( x + 7 )
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
67
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
32) 3x ( x + 4 )( x − 5 )
31) Déjà factorisé
33) 5x ( x + 6 )( x − 5 )
34) 5x ( x + 5 )( x − 5 )
35) ( 9 + x 2 ) ( 3 + x )( 3 − x )
37) Pas factorisable
38)
40) 3x ( 2x + 1)
2
41) 5z 2 ( z + 2 )( z − 2 )
42) a 2 x 2 ( x + a )( x − a )
43) ax ( 2x + 3 )
2
44) 12ay ( a + 2 y )( a − 2 y )
45) 2x ( 2x + 3 )
47) ( x − 1)( x − 2 )
48) 2 ( x − 4 )( x + 4 )
2) −3 ( 5x + 4 )( x + 4 )
3) 3 ( 3x + 4 )( −2x + 19 )
5) 2 ( t + 7 )( t + 1)
6) 2 ( u + 2 )( u − 3 )
( x − 2 ) ( 3x − 5 )
11) ( x 2 + 1) ( 3x − 7 )
14) ( x + 3 )( 2x − 3 )
17) ( 2x + 7 )( 4 x − 3 )
20) (7 − 2t )( 1 + t )(1 − t )
23) 2 (7 − 2x )( x + 4 )
26) 4 ( 3x + 1)( x + 4 )
29) (7 x − 10 )( x + 8 )
9) (7 x − 1)( − x + 2 )
⎛3
⎞⎛ 3
⎞
46) ax 2 ⎜ x + 4 ⎟ ⎜ x − 4 ⎟
⎝5
⎠⎝ 5
⎠
1 2
2
x ( 3x + 1)
5
36) 2x ( x + 5 )( x − 11)
39) x ( 3x − 1)
2
2
Ex 10
( 2x + 3 )(17 x − 22 )
4) ( x + 7 )( 3x + 1)
2
7) 8 ( x − 3 ) ( −3x + 5 )
10) ( 2u + 1)( 3u + 25 )
13) ( 8 x − 3 )( 5x + 3 )
1)
8)
16) 0
19) (7 x − 6 )(7 x + 4 )
22) (7 − 2x )( x − 1)
25) 4 (7 − 2t )( t − 2 )( t + 1)
28)
2
( 2x + 5 )( −2x + 11)
12)
15)
18)
21)
24)
( t − 1)( 8t − 5 )
( y − 2 )( 2 y − 3 )
( 2x − 3 )(12x + 1)
9 (7 − 2x )
x (7 − 2x )( −3x + 1)
27) Déjà factorisé
30)
( 3 y − 5 )( −3 y + 13 )
Ex 11
1) ( 8 x − 2 )( 2x − 4 )
2) (7 x − 4 )( x − 8 )
3) ( 2x + 1)( −2x + 15 )
4) ( 5x + 2 )( 2x − 1)
5) ( 3x − 1)
6) 2( 3x − 2 )2
7) 2 ( x − 1)
1 ⎞⎛ 7
1⎞
⎛ 1
8) ⎜ x + ⎟ ⎜ x + ⎟
3 ⎠ ⎝ 12
3⎠
⎝ 12
11) x ( x + 8 )( x + 9 )
12) Pas factorisable
14) ( 5x + 2a )( 5x + 2a )
15) t (7t − 2 )(7t − 2 )
17) ( 3z − 5 )( 3z + 5 )( 9z 2 + 25 )
18) x + 11 x − 11
20) ( m − 1 ) ( m + 1 )
21) ( x − 11)( x + 9 )
22) ( x + 8 )( x + 7 ) ( x + 1)
23) Déjà factorisé
24) a ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1)
25) ( x − 2 ) ( 3x − 4 )
26) ( t − 1)( 4t − 1)
2
10) ( x + 6 )( x + 8 )
13) x
2
(x
2
+ 9 )( x + 9 )
2
16) (7 x − 2 )(7 x − 2 )( x − 1)( x + 1)
(
19) 2 z − 6
)( z + 6 ) ( z
2
+ 6)
2
2
2
27) ( 1 − x )( 1 + x )
(
2−x
)(
2+x
2
)(
3−x
)(
3+x
2
)
9) ( 2u + 1)( 5u + 26 )
(
)(
28) ( 3x + 3 )( − x − 1)
29) ( x + 3λ )( x + 3λ )
30) ( x − 1 )4 ( x + 1 )4
31) a 2 x 2 ( ax − 3 )
32) 2k ( x + 11)( x − 6 )
33) 3 ( x + 4 )
34) Déjà factorisé
35) ( x − 2 )( x + 2 )( x − 1)( x + 4 ) ( x 2 + 4 )
36) x + 8
(
38) Déjà factorisé
40) (0,8u + 0,9 )( −0,8u + 0,9 ) ( 0,64 u 2 + 0,81)
)
2
) (x − 8)
2
2
2
37) ( 8 x − 3 )( x − 3 )( x + 1)
3 ⎞⎛
3⎞
⎛ z 1 ⎞⎛ z 1 ⎞⎛
39) ⎜ + ⎟ ⎜ − + ⎟ ⎜ − z + ⎟ ⎜ z + ⎟
2 ⎠⎝
2⎠
⎝ 4 5 ⎠⎝ 4 5 ⎠⎝
41)
(
2x − 10
)(
2x + 10
) ( 2x
2
+ 10 )
45) ( x + 1)( x + 19 )( x − 1)( x − 13 )
46) k ( x + 4 )( x − 8 )
1
( y + 2 )( y + 8 )
2
47) ( 3x + 2 )( −2x + 4 )
48) ( −2x + 7 )( −5x + 8 )
49) Déjà factorisé
50) ( x + 1)( x − 5 )( x + 2 )( x − 6 )
51) ( x − 15 )( x − 100 )
52) ( x − 1)( 3x − 2 )
42) ( 2x − 1) ( 2x + 1)
3
3
43) ( x − 2 )( x − 6 )( x − 5 )( x − 17 ) 44)
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
68
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 12
1) x 2 + 4 x + 4
2) x 2 − 6 x + 9
3) y 2 + 10 y + 25
4) y 2 − 49
5) x 4 − 1
6) 9 y 2 − 18 y + 9
7) 16 z 2 − 16
10) 25s 2 − 20s + 4
13) x 6 + 16 x 3 + 64
8) 36b4 + 12b 2 + 1
11) 4a 4 − 4a 2 + 1
14) x 2 − 10 x − 24
1
17) 49a 2 − 7a +
4
20) 36a 2 x 2 − a 4
23) x 4 − 1
1 4
26)
a − 81
16
9) 16m 2 + 24m + 9
12) x 4 − 5
15) a 8 − 2a 4 + 1
16) a 4 + 10a 2 + 24
19) 16a 8 − 128a 4 + 256
22) 100 x 2 − 1 / 100
25) x 8 − 9 x 4 + 8
18) a 2 x 4 − 20ax 2 + 19
21) 81z 2 − 4
24) x 8 − 256
27) 0,0001w4 − 625
Réponses au questionnaire à choix multiples 1.1.5
Vrai
Faux
1♣ Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance que contient le polynôme.
V
F♦
2♣ P( x ) = 4 5 x 3 + 5 4 + 23 x 2 + 32 x est la forme ordonnée du polynôme P.
V
F♦
3♣ P( x ) = x 3 + x 2 + x −1 est un polynôme de degré 3.
V
F♦
4♣ Le coefficient du terme de degré 1 de P( x ) = 4 x 2 + 2x − 3 est 2.
V♦
F
5♣ Le degré du produit de deux polynômes, est égal à la somme des degrés
des polynômes que l’on a multipliés.
V♦
F
6♣ ( x + a ) = x + a
V
F♦
7♣ ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
V♦
F
8♣ Factoriser un polynôme, c’est le transformer en somme de polynômes.
V
F♦
9♣ Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes
du 1er degré.
V
F♦
10♣ x + a n’est pas factorisable.
V♦
F
11♣ Le degré de la somme de deux polynômes, est égal à la somme des degrés
des polynômes que l’on a additionnés.
V
F♦
12♣ P( x ) = ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) est un polynôme de degré 8.
V♦
F
2
2
2
2
Ex 17
⎧5 ⎫
1) S = ⎨ ⎬
⎩2⎭
⎧ 11 ⎫
2) S = ⎨ ⎬
⎩8⎭
3) S = {0}
4) S = \
5) S = ∅
6) S = {7}
⎧ 14 ⎫
7) S = ⎨ ⎬
⎩ 17 ⎭
⎧ 3 ⎫
8) S = ⎨ −
⎬
2⎭
⎩
⎪⎧ 2 + 3 ⎪⎫
9) S = ⎨
⎬
⎪⎩ π − 1 ⎪⎭
13) S = {−2}
10) S = {−6 }
⎧1⎫
11) S = ⎨ ⎬
⎩2⎭
12) S = {−3}
14) S = {−24}
15) S = {90}
16) S = {16 }
⎧3 − b ⎫
17) S = ⎨
⎬
⎩ a ⎭
⎧ bd − ac ⎫
18) S = ⎨
⎬
⎩ b−a ⎭
19) S = {−21}
20) S = \
21) S = {8}
22) S = {2}
⎧ 13 ⎫
23) S = ⎨ ⎬
⎩ 24 ⎭
24) S = ∅
2) S = {-1}
6) S = R
3) S = {175}
7) S = {3}
4) S = {5}
8) S = {-2}
Ex 19
1) S = {-2}
5) S = {15/4}
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
69
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 20
Δx
v
v − v0
3) g =
t
2) x0 = x1 − v ( t1 − t0 )
1) Δt =
t=
v − v0
g
5) g =
2 ( x − v0 t − x0 )
t2
7) G =
g R2
MT
MT =
9) m =
Ecal
c (θ f − θi )
θf =
nRT
p
G MT m
Fp
6) R =
Ecal + m cθi
mc
p1v1T2
v2T1
T2 =
p2 v2T1
p1v1
pp ′
p′ + p
θ=
V − V0
V0α
14) TC = TK + 273.15
17) ΔQ = Δt ⋅ I
Δt =
ΔQ
I
16) p′ =
fp
p− f
f =
18) R =
P
I2
I=
19) R2 =
RR1
R1 − R
20) r =
21) r =
A
4π
22) r =
23) r =
Alat
2π h
Alat
2π r
m1c1 (θ1 − θ f
m2 =
V
1 + αθ
9
15) TF = TC + 32
5
24) r =
3
V
πh
3V
πh
La grande base mesure 7 m.
Ex 22
x = 8 C’est impossible !
Ex 23
x = 6 Il doit avoir 6 !
Ex 24
a) Les nombres recherchés sont 141, 142 et 143 .
b) Les nombres recherchés sont 290, 292, 294 et 296 .
c) Impossible
Ex 25
Prix payé à la caisse par le client =73,25 €
Ex 26
Prix de vente avant réduction = 58,8 Fr.
Ex 27
Le nombre affiché au départ sur chacune de leur calculatrice est -2,5.
Ex 28
1) x = 6 cm
Ex 29
La hauteur du 2ème étage doit être de 4 mètres.
Ex 30
a) x = 11,25
Ex 31
Yannick possède 48 CD.
Ex 32
L’âge de M. Dupont est de 40 ans et l’âge de Frédéric est de 20 ans.
3) x = 1 cm
c2 (θ f − θ 2 )
)
P
R
3V
4π
Ex 21
2) x = 4 cm
G MT
m1c1θ1 + m2 c2θ 2
m1c1 + m2 c2
12) p2 =
h=
Fp R 2
10) θ f =
pV
nR
13) V0 =
m=
8) v = 2gh
T=
11) V =
x1 − x0 + vt0
v
2x
g
4) t =
g R2
G
t1 =
h=
h=
V
π r2
3V
π r2
4) x = 12 cm donc impossible car x ≤ 10 cm
b) x = 16 ,36
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
70
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 33
Le 1er candidat (le vainqueur) a obtenu 1336 voix.
Le 2 ème candidat (vaincu) a obtenu 1336 − 22 = 1314 voix, le 3ème candidat (vaincu) a obtenu
1336 − 30 = 1306 voix et le 4ème candidat (vaincu) a obtenu 1336 − 73 = 1263 voix..
Ex 34
Samuel avait 16 € et Guillaume avait 16 + 5 = 21 €.
Ex 35
Un CD coûte 21 €.
Ex 36
Le premier jour, Paul a lu 70 pages.
Ex 37
Un menu coûte 10,5 €.
Ex 38
Le travailleur a fourni 13 heures supplémentaires pendant cette semaine.
Ex 39
Le prix du 2ème emballage doit être de 1,85 Frs.
Ex 40
La hauteur du cône doit être d’environ 14,11 cm.
Ex 41*
a) Ils vont se rencontrer dans 64 s.
Ex 42*
Les guides de montagne pourront communiquer entre eux, pendant 1h 25min 43sec .
Ex 43*
Le prix maximal du menu doit être de 57,4 $.
Ex 44 *
Les intérêts seront égaux après 2 ans.
Ex 45 *
La valeur du capital est de 20'000 F.
Ex 46 *
La quantité d’acide pur à ajouter est de 4 ml.
Ex 47 *
La quantité de mélange à enlever (remplacé par de l'antigel) est de 8/3 l.
b) Fille : d1 = 96 m
Garçon : d2 = 128 m
Ex 48
1) S = {−3;3}
⎧ 3 3⎫
2) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 2 2⎭
⎧ 5 5⎫
3) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 2 2⎭
⎧⎪ 150 150 ⎫⎪
5) S = ⎨ −
;
⎬
π
π ⎭⎪
⎪⎩
4) S = ∅
6) S = {−1;1}
Ex 49
⎧ 3 3⎫
6) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 2 2⎭
⎧ 1 ⎫
2) S = ⎨ − ;0 ⎬
⎩ 5 ⎭
⎧ 4 4⎫
7) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 5 5⎭
11) S = {−5;4}
12) S = {1}
16) S = {−4}
17) S = {−5}
21) S = {−5; −4}
22) S = {−5;4}
⎧ 1⎫
8) S = ⎨0; ⎬
⎩ 2⎭
⎧1⎫
13) S = ⎨ ⎬
⎩2⎭
⎧ 1⎫
18) S = ⎨ − ⎬
⎩ 3⎭
23) S = {−4; −3}
⎧ 3 3⎫
26) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 2 2⎭
31) S = {−12;12}
27) S = {−5; −4}
28) S = {−5;0;4}
29) S = {−4; −3;0}
30) S = {−2; −1;5}
32) S = ∅
33) S = {−2;0;12}
34) S = {−4;0;5}
35) S = {−6;0;5}
⎧ 4 19 ⎫
37) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 3 2⎭
⎧5 ⎫
42) S = ⎨ ;2 ⎬
⎩3 ⎭
1⎫
⎧
38) S = ⎨ −7; − ⎬
3⎭
⎩
⎧1 ⎫
43) S = ⎨ ;2 ⎬
⎩7 ⎭
39) S = {−7; −1}
40) S = {−2;3}
⎧ 25 1 ⎫
44) S = ⎨ − ; − ⎬
2⎭
⎩ 3
⎧7 ⎫
45) S = ⎨ ⎬
⎩3⎭
47) S = ∅
48) S = − 7 ;0; 7
1) S = {−3;3}
4⎫
⎧
36) S = ⎨ −4; − ⎬
5⎭
⎩
⎧5 ⎫
41) S = ⎨ ;3 ⎬
⎩3 ⎭
⎧ 9 ⎫
46) S = ⎨ − ;0 ⎬
⎩ 2 ⎭
3) S = {−9;9}
4) S = ∅
⎧ 5 5⎫
5) S = ⎨ − ; ⎬
⎩ 11 11 ⎭
9) S = {−3;7 }
10) S = {1;13}
⎧1⎫
14) S = ⎨ ⎬
⎩3⎭
15) S = ∅
19) S = {−3;7}
20) S = {−2;12}
24) S = {−2;0;2}
25) S = {0;5}
{
}
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
71
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Activité
a)
1) x 2 + 4x + 4 = ( x + 2 )
6) 16 x 2 − 24 x + 9 = ( 4x − 3 )
2
3) 9 x 2 − 12x + 4 = ( 3x − 2 )
4) x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 )
5) x 2 + bx +
7) x 2 + 3x +
9 ⎛
3⎞
=⎜x+ ⎟
4 ⎝
2⎠
2
8) x 2 + 5x +
25 ⎛
5⎞
=⎜x+ ⎟
4 ⎝
2⎠
2
b2 ⎛
b⎞
=⎜x+ ⎟
4 ⎝
2⎠
2
2
2) 4 x 2 + 12x + 9 = ( 2x + 3 )
9) x 2 +
4 ⎛
2⎞
4
x+ =⎜x+ ⎟
9 ⎝
3⎠
3
2
10) x 2 +
2
2
2
b
b2 ⎛
b ⎞
x+ 2 =⎜x+ ⎟
a
4a
2a ⎠
⎝
2
b)
1)
x2 − 6 x − 2 = 0
Principe d'équivalence : on additionne + 2
⇔ x −6x = 2
Principe d'équivalence : on additionne + 9 (complétion du carré)
⇔ x −6x +9 = 2+9
On factorise le polynôme de gauche (complétion du carré)
⇔ ( x − 3 ) = 11
Principe d'équivalence : x 2 = a ⇔ x = ± a
⇔ x − 3 = ± 11
Principe d'équivalence : on additionne +3
⇔ x = 3 ± 11
S = 3 − 11 ; 3 + 11
2
2
2
{
avec a > 0
}
2)
5x 2 − 4 x − 1 = 0
4
1
x− =0
5
5
4
1
2
⇔x − x=
5
5
4
4 1 4
2
⇔ x − x+
= +
5
25 5 25
⇔ x2 −
1
5
1
Principe d'équivalence : on additionne +
5
4
Principe d'équivalence : on additionne +
(complétion du carré)
25
Principe d'équivalence : on multiplie par
On factorise le polynôme de gauche (complétion du carré)
2
2⎞
9
⎛
⇔⎜x− ⎟ =
5⎠
25
⎝
2
9
=±
5
25
2 3
⇔x= ±
5 5
⇔ x−
Principe d'équivalence : x 2 = a ⇔ x = ± a
Principe d'équivalence : on additionne +
avec a > 0
2
5
⎧ 1 ⎫
S = ⎨ − ; 1⎬
⎩ 5 ⎭
Ex 51
1) Δ > 0 ⇒
2 solutions
⎧ 3 3⎫
S = ⎨− ; ⎬
⎩ 2 2⎭
2) Δ < 0 ⇒
0 solution
S =∅
3) Δ < 0 ⇒
0 solution
S =∅
4) Δ > 0 ⇒
2 solutions
S = {−5;4}
5) Δ > 0 ⇒
2 solutions
6) Δ > 0 ⇒
2 solutions
S = {−4; −3}
7) Δ = 0 ⇒
1 solution
8) Δ < 0 ⇒
0 solution
S =∅
9) Δ > 0 ⇒
2 solutions
11) Δ > 0 ⇒
2 solutions
⎧ 1 ⎫
S = ⎨ − ;1⎬
⎩ 5 ⎭
⎧1⎫
S=⎨ ⎬
⎩2⎭
⎧⎪ −1 − 5 −1 + 5 ⎪⎫
S=⎨
;
⎬
2 ⎪⎭
⎪⎩ 2
⎧⎪
6
6 ⎫⎪
S = ⎨1 −
;1 +
⎬
3
3 ⎪⎭
⎪⎩
10) Δ = 0 ⇒
1 solution
⎧1⎫
S=⎨ ⎬
⎩3⎭
12) Δ > 0 ⇒
2 solutions
S = − 7; 7
{
}
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
72
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 52
{
1) S = − 3 ; 3
⎧⎪ 3 + 5
3 − 5 3 − 5 3 + 5 ⎫⎪
2) S = ⎨ −
;−
;
;
⎬ 3) S = − 2; 2
2
2
2
2 ⎪
⎪⎩
⎭
}
{
}
4) S = ∅
Ex 55
b) Résolution avec la formule de Viète :
1) 6 x 2 − x − 2 = 0
a = 6 , b = −1 , c = −2
2) 9 x 2 = 9 x + 10 ⇔ 9 x 2 − 9 x − 10 = 0
a = 9 , b = −9 , c = −10
3) 9 x 2 = 24 x − 16 ⇔ 9 x 2 − 24 x + 16 = 0
a = 1 , b = −2 3 , c = 3
a = 2 ; b = 2 ; c = −2
6) x 2 + x + 1 = 0
a =1 ; b=1 ; c =1
; Δ > 0 ; x1 =
;
Δ<0
; x1 = −
Δ>0
;
a = 9 , b = −24 , c = 16
4) x 2 − 2 3x + 3 = 0
5) 2x 2 + 2x − 2 = 0
Δ>0
;
;
;
−1 + 5
2
; x1 = −
Δ=0
Δ =0
x2 =
1
2
x2 =
2
3
2
3
x2 =
5
3
4
3
; x1 = x2 = 3
; x1 = x2 =
−1 − 5
2
; Pas de solutions réelles.
c)
1 ⎞⎛
2⎞
2 ⎞⎛
5⎞
⎛
⎛
1) 6 x 2 − x − 2 = 6 ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟
2) 9 x 2 − 9 x − 10 = 9 ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟
2 ⎠⎝
3⎠
3 ⎠⎝
3⎠
⎝
⎝
4
4
⎛
⎞⎛
⎞
3) 9 x 2 − 24 x + 16 = 9 ⎜ x − ⎟ ⎜ x − ⎟
4) x 2 − 2 3x + 3 = x − 3 x − 3
3 ⎠⎝
3⎠
⎝
⎛
−1 + 5 ⎞ ⎛
−1 − 5 ⎞
2
5) 2x 2 + 2x − 2 = 2 ⎜ x −
⎟⎜ x −
⎟ 6) x + x + 1 Pas factorisable
2
2
⎝
⎠⎝
⎠
(
)(
)
Ex 56
x−3
x+3
2( z + 4)
6)
2z − 1
x+4
x −1
x2 + 1
7)
( x − 1)( x + 1)
1)
11)
2)
5x − 2
x−2
12)
3)
4 ( x + 3)
x −5
5x + 1
8)
x −1
y ( y + 1)
( y − 3)
13)
6−x
x+9
z2 + 1
z2 + z + 1
u (u + 2)
9)
u−3
4)
14)
z −1
z −3
5)
( z − 1)( z + 1)
z2 + z + 1
2t − 3
10)
t+3
15)
3( x − 4)
2 ( x − 3)
Ex 57
La boite de conserve doit avoir un rayon d’environ 6,9 cm.
Ex 58
a) A = π ⋅ R 2 - π ⋅ r 2
Ex 59
Durant les dix dernières années la distance du centre à la périphérie s’est modifiée d’environ 2 km.
Ex 60
a) hauteur ≅ 2,83 m.
Ex 61
Les deux nombres entiers naturels consécutifs sont 7 et 8.
Ex 62
La taille du morceau de métal doit être de 10 cm.
Ex 63
Il n’y a qu’un triangle qui satisfait aux conditions. Ses côtés valent 3, 4 et 5.
Ex 64
La valeur de x vaut 7 cm.
Ex 65
a) y =
1000 − 3x
4
b) R ≅ 7,36 cm
c) Impossible
b) hauteur = 2 m.
3 2
⎛ 1000 − 3x ⎞
b) A = x ⋅ y = x ⋅ ⎜
⎟ = − x + 250 x
4
4
⎝
⎠
c) Il y a deux possibilités :
Première possibilité : x1 = 133,3 m et
Deuxième possibilité : x2 = 200 m et
y1 = 150 m
y2 = 100 m
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
73
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 66 *
a) t ≅ 3.16 s
b) t ≅ 31 s
Ex 67 *
a) r1 ≅ 0,57 cm
b) Volume du 1er comprimé = 2,31 cm 3
Volume du 2ème comprimé ≅ 1,57 cm 3
Ex 68 *
Le rayon de la terre mesure environ 6374,74 km.
Ex 69 *
b) a ≅ 6 ,04 m
Ex 70 *
R ≅ 2,08 m
Ex 71 *
Le rayon de la sphère intérieure est 7,787 cm ; celui de la sphère extérieure est 13,787 cm.
Ex 72 *
OA =
Ex 73 *
a) Les racines existent pour Δ ≥ 0 , c’est-à-dire pour m ≤ 2 ou m ≥ 10 .
Pour m = 2, racine double 1.
Pour m = 10, racine double 5.
Ex 74 *
Le taux d’intérêt de la première année est de 4,25%, celui de la deuxième année est de 5,25%.
Ex 75 *
Le taux initial est t = 8, 8%
Ex 76 *
a) x =
Ex 77
1) S = {( −3;2 )}
2) S = {( 8;8 )}
3) S = {( −4;6 )}
4) S = ∅
5) S = {( λ ;4λ − 2 ) λ ∈ \}
6) S = {( −9; −5 )}
7) S = {( −1; −6 )}
8) S = {( -1;3 )}
9) S = {( −3; −3 )}
⎧⎛ 9 ⎞
⎫
10) S = ⎨⎜ λ ; λ ⎟ λ ∈ \ ⎬
⎩⎝ 11 ⎠
⎭
11) S = ∅
⎧⎛ 7 + 2λ ⎞
⎫
12) S = ⎨⎜ λ ;
⎟ λ ∈ \⎬
3 ⎠
⎩⎝
⎭
13) S = {(0;0 )}
14) S = {( 3;1)}
⎧⎛ 35 8 ⎞ ⎫
15) S = ⎨⎜ ; ⎟ ⎬
⎩⎝ 22 11 ⎠ ⎭
Ex 78
largeur du champ = 146 m
longueur du champ = 170 m
Ex 79
largeur du champ = 135 m
longueur du champ = 540 m
Ex 80
nombre de places vendues à 30 F : 255
Ex 81
nombre de transports effectués par le camion de capacité de 5 tonnes : 80
nombre de transports effectués par le camion de capacité de 3 tonnes : 20
Ex 82
Le plat doit contenir 4 unités de viande et 6 unités de légume.
Ex 83
longueur = 20 m
Ex 84
longueur du cylindre ≅ 5,55 cm
Ex 85
nombre de « rations » de 30 gr. d’avoine : 20
nombre de « rations » de 30 gr. de blé : 40
Il faut 20 ⋅ 30 gr = 600 g d’avoine et 40 ⋅ 30 gr = 1200 g de blé.
1
2
(
(a − b)
L ≅ 3,47 m
2
+ 8ab + ( a − b )
C − C2 − 4 A
2
)
OB =
1
2
(
(a − b)
2
+ 8ab − ( a − b )
)
b) x = 3 cm
nombre de places vendues à 40 F : 145
largeur = 15 m
hauteur du cône ≅ 2,45 cm
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
74
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 86
⎧ 16 5 ⎫
1) S = ⎨⎜⎛ 1; ; ⎟⎞ ⎬
⎩⎝ 3 3 ⎠ ⎭
3) S = {(1;1;1)}
4) S = {( −2; −5;2 )}
5) S = {( λ ;1; λ ) λ ∈ \}
6) S = ∅
7) S = {( −5; −4;2 )}
⎧⎛ 1
⎞⎫
8) S = ⎨⎜ ;1;4 ⎟ ⎬
2
⎠⎭
⎩⎝
2) S = {( −8;3;12 )}
9) S = {( 9;4;1)}
10) S = {( 8;7;1)}
11) S = {( −1 − 2 β ; β ;1) | β ∈ \}
12) S = ∅
13) S = {( λ ; μ ; −λ − μ + 1) | λ , μ ∈ \}
14) S = ∅
⎧⎛ 1 2 4 ⎞ ⎫
15) S = ⎨⎜ − ; ; ⎟ ⎬
⎩⎝ 3 3 3 ⎠ ⎭
−3m2 +12
et y = 3m−2
6 −m
2m( 6 −m )
Ex 87 *
a) x =
Ex 88 *
volume de solution à 30 % =
Ex 89 *
volume d’élixir = 40 ml
Ex 90 *
120 heures (5 jours)
Ex 91 *
Moment où les aiguilles coïncident : 2 h 10 min 55 sec
Ex 92 *
La distance AB est de 264 km.
Ex 93 *
Débit du tuyau d'amenée = 560
Ex 94 *
⎧⎛ 9 1 ⎞ ⎫
a) S = ⎨⎜ ; ⎟ ⎬
⎩⎝ 2 2 ⎠ ⎭
14
cl
3
volume d’eau =
volume de sirop = 60 ml
litres
heure
Débit du tuyau de vidange = 160
litres
heure
⎧⎪⎛ m + m 2 − 4n m − m 2 − 4n ⎞ ⎫⎪
b) Si Δ = m 2 − 4n ≥ 0 alors S = ⎨⎜
;
⎟⎬
⎜
⎟
2
2
⎪⎩⎝
⎠ ⎭⎪
Si Δ = m 2 − 4n < 0 ⇔
c) Si Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 alors
Si Δ = b 2 − 4ac < 0 ⇔
7
cl
3
m2
<n
4
alors S = ∅
⎧⎪⎛ −b − b 2 − 4ac −b + b 2 − 4ac ⎞ ⎫⎪
S = ⎨⎜
;
⎟⎬
⎜
⎟
2a
2a
⎪⎩⎝
⎠ ⎭⎪
b2
< ac alors S = ∅
4
Ex 95 *
Dédé pèse 125 kg, le petit Francis 20 kg et le chien Boudin 15 kg
Ex 96 *
longueur des montées = 20 km
longueur des terrains plats = 30 km
longueur des descentes = 40 km
Ex 97 *
machine A = 4 h
Ex 98 *
nombre de litre de solution à 10% d’acide = 17 litres
nombre de litre de solution à 30% d’acide = 11 litres
nombre de litre de solution à 50% d’acide = 22 litres
Ex 99 *
Éloignement de la cible = 371,25 m
machine B = 2 h
machine C = 5 h
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P.S. / 2014-2015
75
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Réponses au questionnaire à choix multiples 1.2.6
Vrai
Faux
13♣ u 2 − 6u − 9 = 4 est une équation qui possède deux inconnues.
V
F♦
⎧3x − 7 y = 2
14♣ ⎨
est un système d’équations linéaires.
⎩5x + 9 y = 0
V♦
F
15♣ x + 1 = 2 ⇔
V
F♦
V♦
F
17♣ Il existe une infinité d’équations du 1er degré ayant comme solution S={4}
V♦
F
18♣ 4 ( x 2 − 2 ) + 2 = x 2 est une équation du 2e degré
V♦
F
19♣ Toute équation du 2e degré possède au moins une solution.
V
F♦
20♣ Si Δ = b 2 − 4ac > 0 alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 possède deux solutions.
V♦
F
21♣ Si Δ = b 2 − 4ac > 0 alors le polynôme ax 2 + bx + c est factorisable.
V♦
F
22♣ Si Δ = b 2 − 4ac < 0 alors le polynôme ax 2 + bx + c est factorisable.
V
F♦
⎧3x − 7 y = 2
23♣ ⎨
est un système d’équations linéaires triangulé
⎩5x + 9 y = 0
V
F♦
⎧ 2x − y = 4
24♣ Une solution du système ⎨
est le triple ( 2 ;0;1)
⎩x + 2 y = 2
V
F♦
x( x + 1 ) = 2x
16♣ 4 ( x 2 − 49 ) + 61 = ( 2x − 5 )
2
est une équation du 1er degré
Correction Activité 1 (Inéquations)
−2 ≤ x < 3
x ∈ [ −2;3[
x<0
x ∈ ]−∞;0[
x>4
x ∈ ]4; +∞[
−1 ≤ x ≤ 5
x ∈ [ −1;5 ]
0≤ x<8
[
-2
[
3
[
0
]
4
[
]
-1
5
x ∈ [0;8[
[
[
x > 21
x ∈ ]21; +∞[
]
−4 < x < −1
x ∈ ]−4; −1[
x ≤ −2
x ∈ ]−∞; −2]
0
8
21
]
-4
[
-1
]
-2
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P.S. / 2014-2015
76
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Correction Activité 2 (Inéquations)
1) K ∩ J = {4}
2) L ∩ K = [6;8[
3) I ∪ K = [ −3;2] ∪ [ 4;8[
4) I ∪ J = ]−∞;4 ]
5) J \ I = ]−∞; −3[ ∪ ]2;4 ]
6) J \ L = ]−∞;4 ]
Ex 100
1) −2,5 ∈ ⎡⎣ −3; 3 ⎤⎦
4) 2 ∈ [ 2;4 ]
2)
3 ∉ ⎤⎦ −3; 3 ⎡⎣
5) 100,35 ∈ ]−3; +∞[
3) 5 ∉ [ 2;4 ]
7) −12 ⋅ 10 ∈ ]−∞;0 ]
8) 0 ∈ ]−∞;0 ]
9) 1,8 ∉ ⎤⎦ −∞; 3 ⎤⎦
5
6) −3 ∉ ]−3; +∞[
Ex101
1) [10;+∞[
2)
]−∞;5[
4) ]−∞; +∞[
5) [0;+∞[
7) ]0;+∞[
8) ]−∞;0[
⎤ 5 8⎡
3) ⎥ − ; − ⎢
⎦ 2 5⎣
6) ]−∞;0 ]
Ex 102
1) I ∩ K = [ −2;0[
2) I ∩ L = ∅
3) J ∪ K = ]−∞;0[ ∪ ]0;5 ]
4) I ∪ J = [ −2;5 ]
5) J \ I = ]2;5 ]
6) K \ I = ]−∞; −2[
1) S = [ 2; +∞[
2) S = ]−∞;1[
3) S = ]−∞;3[
4) S = [ −6; +∞[
5) S = ]1; +∞[
6) S = ]−5; +∞[
7) S = \
8) S = ∅
9) S = [12; +∞[
10) S = ]−∞;11]
11) S = ]−∞;5[
12) S = ]−∞;10[
7) I \ K = [0;2]
Ex103
Ex 104 *
Les valeurs de F correspondantes sont celles dans l'intervalle : [86;104].
Ex 105 *
≈ 2,8 ans
Ex 106
1) S = [ −2 ; 2]
2) S = ⎤⎦ −∞ ; − 8 ⎡⎣ ∪ ⎤⎦ 8 ; ∞ ⎡⎣
3) S = ∅
4) S = ]−∞ ; − 1[ ∪ ]5 ; + ∞[
5) S = [ −6 ; 2]
⎡ 2 5⎤
7) S = ⎢ − ; ⎥
⎣ 3 3⎦
8) S = ∅
10) S = ]−5;1[ ∪ ]2; +∞[
11) S = ]−1; +∞[
13) S = ]−∞ ; − 1[ ∪ ]1 ; + ∞[
14) S = \* = \ / {0}
1⎡ ⎤ 2
⎤
⎡
6) S = ⎥ −∞; − ⎢ ∪ ⎥ ; +∞ ⎢
2⎣ ⎦ 3
⎦
⎣
2
⎤
⎡
9) S = ]−∞ ; − 2[ ∪ ⎥ − ; + ∞ ⎢
⎦ 3
⎣
⎡ 1⎤
12) S = ]−∞ ; − 1] ∪ ⎢0 ; ⎥
⎣ 2⎦
⎡2 ⎤
15) S = ⎢ ;1⎥
⎣3 ⎦
16) S = \
1⎡
⎤
17) S = ⎥ −1; − ⎢
2⎣
⎦
18) S = {−2} ∪ [1;4 ]
19) S = ]5; +∞[
20) S = ]−∞;2[ ∪ ]2;5[
21) S = {2} ∪ [5; +∞[
22) S = ]−∞;5 ]
23) S = ]−∞; −2[ ∪ ]1;3[
24) S = ]−3;2[ ∪ ]2;5[
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P.S. / 2014-2015
77
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Ex 107 *
Le chien est à plus de 2,7 mètres au-dessus du sol pendant ≈ 0,51 secondes.
Ex 108 *
Rappel : Le polynôme ax 2 + bx + c est factorisable dans \ si et seulement si Δ = b 2 − 4ac ≥ 0
1) c ∈ ]−∞;4 ]
2) c ∈ ]−∞;3]
3) b ∈ ]−∞; −4 ] ∪ [4; +∞[
4) b ∈ \
5) a ∈ [ −2; +∞[
1⎤
⎤
6) a ∈ ⎥ −∞; ⎥
3
⎦
⎦
7)
b2
≥c
4
8)
4
≥c
a
9)
b2
≥a
12
Réponses au questionnaire à choix multiples 1.3.5
Vrai
Faux
25♣ {−2;2} est un intervalle.
V
F♦
26♣ [ −5; −2] ∪ [ 2;5 ] est un intervalle.
V
F♦
27♣ ]−2;2[ est un intervalle ouvert.
V♦
F
28♣ ]−2;2[ est un intervalle fermé.
V
F♦
29♣ [ −5; −2] ∪ [ −2;5 ] est un intervalle.
V♦
F
30♣ 12 ⋅ 10 −5 ∈]−∞;0 ]
V
F♦
31♣ −12 ⋅ 10 −5 ∈]−∞;0 ]
V♦
F
32♣ a < b ⇔ − a < −b
V
F♦
33♣ a ≤ b ⇔ a + 1 ≤ b + 1
V♦
F
V♦
F
35♣ x 3 > x ⇔ x 2 > 1
V
F♦
36♣ 4 ( x 2 − 2 ) + 2 = x 2 est une inéquation
V
F♦
34♣ a < b ⇔
a
b
>
−2 −2
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P.S. / 2014-2015
78
Algèbre / Solutions des exercices / 1 N-A
Notes personnelles
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Notes personnelles
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