Faisceaux sur un espace topologique. I

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Faisceaux sur un espace topologique. I
Séminaire Henri Cartan, tome 3 (1950-1951), exp. no 14, p. 1-8
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1950-1951__3__A14_0>
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14-01
Séminaire H. CARTAN,
1950/51
Topologie algébrique
0
a
TOPOLOGIQUE, I.
CARTAN, le 9. 4 0195 ~ ) ~
FAISCEAUX SUR UN ESPACE
(Exposé
de H.
o
reprendre entièrement la théorie des "faisceaux et carapaces" qui a fait l’objet des exposés 12 à 17 du
Séminaire 1948/490 Entre temps est paru le mémoire de LERAY (J. de Math., Paris
exposé
Le but de cet
et des suivants est de
0
et
appl. t. 29, 1950, p. ~-~39) ~
Nous
commencerons
par
théorie axiomatique de la "cohomologie de ~ech"
une
plus
des espaces topologiques, à coefficients locaux les
généraux, c’est-à-dire
à coefficients dans un faisceau. Nous allons donc exposer tout d’abord les
notions relatives
faisceaux.
aux
terminologie s’écartera quelque
Séminaire î948/490 En particulier9 le sens du
N.B.- La
1.-
Définition
On
d’ un
définir
va
fera d’abord
adoptée
mot "faisceau"
a
dans le
été modifié.
o
faisceau.
faisceau
un
hypothèse
aucune
La définition
peu de celle
sur un
espace
topologique
sur
lequel
on ne
restrictive.
qui suit est due,
sous
la forme
"topologique" qui
lui est
’
donnée,
à LAZARD ?
.
Définition :t soit
anneau
des
entiers,
ou
est
que
jection")
1’)
de
pour
F
sur
F
satisfaisant
Un faisceau de
o
un
~
ensemble
F ,
K-modules
muni d’une
( cas fréquents :
sur un
application
topologi(dite "pro-
espace
p
et des 2 structures suivantes s
x~
‘ ~.~‘,; p l’image réciproque
p_~(~x F x
=
est, munie
K-module ;
est muni d’une structure
aux
commutatif à élément-unité
un anneau
corps).
chaque point
d’une structure de
2)
K
deux conditions :
topologique (en général non séparée)
(~~) les lois de composition de F (non
partout définies) définies par la structure de K-module des F sont continues 9
(r) la projection p est un homé omorphisme local ( i. e Q : tout élément
de F possède un voisinage ouvert que p applique biunivoquement et bicontinument sur un ouvert de y;, ) .
.
0
Sections d’un faisceau ~
une
section de
F
au-dessus d’un ouvert
application continue ss X .~_~ F qui, suivie de p , donne l’identitéo
L’image d’une telle application s (appelée aussi section)est un sous-ensemble
ouvert de F, qui contient un élément de chaque module Fx tel que x ~~: X .
est
une
Tout élément de
projection,
sa
notera (F , X)
car
~
est
un
d’un élément de
s~(x) ~
X
et
Z)
me
F
le
sont deux ouverts de
Y)
~
(F , X)
r
-~
car
est
Fx
pour
(03B1),
la conditions
élément).
l’ensemble de points
~
de la section
X ~
tels que
L’ensem-
on a un
au-
Z , l’homomorphis-
Y)
Z) 4».~.. ~
composé
homomor-
d’une section
X
X c Yc
X . Pour
tels que
X
x e
s ,
Y ,
la restriction à
section au-dessus de
une
d’après
à
associant,
en
de tous les
0
des
ensem-
K-module d’une manière évidente.
support
Y
Y est
obtenue
s
on
X . Cet
au-dessus de
parce que,
X) ,
(F , X) ,
ouvert
chaque
fonction continue de cet
une
l’appelle
on
‘
dessus de
est
élément de
un
fermé ;
0 est
Si
F
F ,
est muni d’une structure de
est
s
F
F x (l’ensemble
0 ~
ensemble ouvert de
r(F ~ X)
Pour
il contient la section
X ,l’élément
Si
’
vide~
x ~
ble
().
l’ensemble des sections de
chaque
l’opposé
section au-dessus d’un voisinage de
une
vertu de la condition
en
ble n’est pas
appartient à
F
et de
(F , y) ,~~~. ~ ‘ ~F 9 X)
o
2.- Modes~ de
Soit
module
définition
F
Fx
un
de
faisceau
faisceaux. Exemples.
sur
l’ espace
..
Pour
~
chaque point
s’identifie évidemment à la limite inductive
modules
X)
mes r (F , Y)
~ (F ,
relatifs
aux
X
ouverts
contenant
x
le
~~
("direct limit")
x , munis des
des
homomorphisconsidère
x) définis ci-dessus. Pour le voir, on
l’homomorphisme évident
(F , X) .....~.~ Fx (défini pour x 6 X ) 9 qui
tel que si x E X C Y 9 l’homomorphisme
~ .. (F ~ Y) ~ Fx est composé
F (F , Y) ~ (F , X) et de (F , X) ~
F .
est
de
"
..
Réciproquement :
système
fondamental d’ouverts de
l’espace
couple (~ 9 Y) d’ouverts tels que Y
un homomorphisme
fXy de Fy dans
l’homomorphisme
faisceau
F ~
soit .le
fXZ
comme
sant
F
des
l’application
composé
on
p
FX
qui,
à
X
un
une
et que
à
chaque
et
X
d’un
et, à chaque
module
Fy
ouvert
FX
soient
définis,
et cela de manière que, si X c Y
point
relatifs
définit
un
fXYfYZ
suit ~f pour chaque
limite inductive des
réunion
attachée
supposons que l’on ait
aux
.
x
Ces données
C :~;. , 9
ouverts
structure de
élément
u
de
X
on
définissent
c
Z,
un
considère le module
contenant
x 9
sur
la
faisceau, d’abord en définisF p associe le point x tel
u E
que
la
puis
X C ’~~
des
tel que
soit
F..
de
images
prenant
fondamental d’ouverts
système
comme
définie
un
élément
dans tous les modules
v
Fx
et l’ensemble
v ~
relatifs
rifie que les axiomes des faisceaux sont vérifiés par
Lorsqu’un faisceau
ci-dessus 3
à
un
on a un
élément
inductives
n’est pas
mes
de
Fx
un
FX
exactement,
homomorphisme évident,°.,
FX
de
ouvert
v(X , v)
On vé-
F.
FX
comme
c’est celui
qui,
images dans les limiter
générale cet homomorphisme
ses
En
points
aux
un
points x EX.
(F , X) ;
~
associe l’ensemble de
relatives
aux
est défini par le moyen de modules
F
de
v
V(X , v)
les ensembles suivants on prend arbitrairement
F
de
topologie
en
isomorphisme de F X sur F (F ~ X) . On observera que des systèdifférents peuvent donner naissance au même faisceau (ou, plus
o
à des faisceaux
isomorphes)
o
K-module ; considérons le faisceau F suivant ~s l’ensemble F est le produit M x aa
; la projection p associe à
chaque couple (m 9 x) le point x 9 la topologie de F est le produit de la
topologie discrète sur M et de la topologie de l’espace JL . Un tel faisceau
F s’appelle le
M (On notera l’analogie
avec la notion d’espace fibré trivial). Tous les modules
Fx sont isomorphes à
M ~ d’une manière canonique.
Faisceau constant : soit
hs
un
faisceau constant défini par le module
Exemple de
le module
SX
faisceau
non
constanti
considérons,
des fonctions définies dans
X
et
chaque ouvert
à valeurs dans K ;9 pour
pour
S
x ~ l’homomorphisme Sy -~~~~ Sx défini par la restriction des fonctions.
Ceci définit un faisceau S ~ qu’on appellera le faisceau des germes de fonc-
XC
tions à valeurs dans
K .
o
Autre exemple ? supposons que y. soit une variété à structure analytique
complexe Définissons FX comme le module des fonctions holomorphes (à valeurs
complexes, K étant ici le corps des nombres complexes) dans l’ouvert X. On
obtient un faisceau F ; le module F
s’identifie au module des séries entiè0
convergentes au voisinage du point x . La topologie dans l’ensemble F de
toutes les séries relatives à tous les points
s’interprète facilement.
On observera qu’une composante connexe de F n’est pas autre chose qu’une
fonction analytique dans tout son domaine d’existence ( surface de Riemann non
ramifiée
res
,
o
Remarque :
ment
la
topologie
du faisceau
F
est
séparée (principe du prolonge-
analytique)o
Remarque :
dans chacun de
ces
2
exemples, l’homomorphisme
X)
est
isomorphisme
un
~ _ (S ~ X)
sur.
Par exemple, pour le premier faisceau
des sections au-dessus d’un ouvert X
des fonctions définies dans
n’est autre que le module
et à valeurs dans
X
le module
S~
K .
3. - Sous-faisceau, faisceau-quotient, homomorphisme.
Un sous-faisceau d’un faisceau
est
F
un
G
sous-ensemble
la structure induite soit celle d’un faisceau. Pour
cela?
F ~ tel
de
que
il faut et il suffit
quet
1)
2)
pour
G
chaque point x
soit ouvert dans
Soit donc
G
un
~
soit
F
Gx =
,
un
sous-module de
Fx)
F
o
F . On définit
sous-faisceau de
0
un
faisceau-quoti ent
F/G comme suit : on considère l’ensemble quotient de F par la relation
d’équivalence suivante 1 u et v sont équivalents si p(u) p(v) et,
u - v t
désignant le point
G . Sur cet ensemble quotient de F ,
=
.
mettons la
x
l’espace topologique F . Comme G
est ouvert dans F 9 la relation d’équivalence est ouverte, donc les ouverts
F/G sont les images des ouverts de F . L’image réciproque d’un point x
s’identifie au quotient
que l’on munit de la structure de modulequotient.
topologie d’espace quotient
de
de
Homomorphisme de faisceauxi considérons deux faisceaux F et G sur le
même espace
(un cas plus général sera envisagé plus loin). Un homomorphisme
de F dans G est une application
continue 03C6 de F dans G ? telle que,
pour tout point
’
de
x , la
à
restriction 03C6x de 03C6
dans
Fx
L’ensemble des homomorphismes de
muni d’une structure de K-module.
F
soit
F
dans
homomorphisme
un
est évidemment
G
~
Si
trois faisceaux
on a
homomorphisme
un
dans
L.
de
G
dans
F ~, G ? L , un homomorphisme de F dans G 9
L g on définit un homomorphisme composé de F
Les
endomorphismes de F forment
composition des endomorphismes).
1
Si
X
dans
un
(F y X)
au
est
un
F
dessus de
F
une
homomorphisme de F àans F.
K-algèbre (la multiplication étant la
est
ouvert de l’ espace
faisceau
~
section de
G
et
..
Un endomorphisme d’un faiscoau
F
.
G
définit
r (G , X)
o
définie pour
X.
un
tout
homomorphisme ~.~
homomorphisme des modules
Il est défini
xc
,
un
comme
X ~ alors
x
suitn si
de sectionss
x ~.
.~ ~~ (s(x) }
d’ un faisceau
est
s(x)
une
est
une
section de
~~(F 9 X)
Ceci définit
foncteur
l’homomorphisme identique
comme
façon précise.9
F . D’une
du faisceau
du faisceau
F 9 l’homomorphisme
associé
X) dans lui-même est aussi l’homomorphisme identique En
outre, si on a 3 faisceaux F ~ G ~ L , un homomorphisme de F dans G ~ un
autre de G dans L 9 et le composé de F dans L 9 alors l’homomorphisme
~ (F 9 X) ~ 1 .,. (L 9 X) associé à ce dernier est le composé des homomorphismes
~ (F 9 X) ~ ~’~ (G 9 X) et i~ (G 9 X) ~..~ ~~ (L , X) associés à F -.-w G et
à G ~ L . Enfin, si un
homomorphisme 03C6 de F dans G est la somme de
2 homomorphismes
t~’~ et y 2 9 l’homomorphisme de F (F 9 X) dans f~ ~G 9 X)
ot à
associé à
est la somme des homomorphismes associés à
’~~z .
F
si
F
..,~,.
est
0
Noyau et image d’un homomorphisme. Le noyau d’un homomorphisme de faiso
i’image réciproque de l’ensemble des Ox ~’ G x quand x
parcourt l’espace ~.,.. Comme ce dernier ensemble est ouvert dans G ~ le noyau
est ouvert dans F ; c’est donc un sous-faisceau F’ , et, pour chaque point x
FX est le noyau de l’homomorphisme Fx ...~. G x
ceaux
G
F ~.~~.
est
o
~
a
Puisqu’un homomorphisme de F dans G est une application ouverte,
l’image de F dans G est ouverte dans G ~ c’est un sous-faisceau G’
et) pour chaque point x 9 G~ est l’image de Fx ..--~ Gx
de
G 9
’
,.
~
Suite exacte
exacte, puisqu’on
de faisceaux et
a
d’homomorphismes s on a la notion de suite
noyau et d’image d’un homomorphisme de faisceaux.
celle de
On considérera notamment des suites exactes de la forme
0
~
F’ ~ F P ~ FU ~
sous-faisceau de
Etant donné
F j
telle suite
une
pour
une
telle
X) ~ (F" ,
reviendra
X)
loin
plus
Exemple
soit
!~
soit,
pour
suit :
sur
faisceau-quotient de F par ce sous-faisceau.
exacte, la suite des homomorphismes associés
n’est pas
cette
~
si
x ~
,0
faisceau-quotient
F"
quotient
F ,
de
=
F/F’
en
F
générale l’homomorphisme
~
F"
soit sur.
On
question.
de suite exactei soit
sous-ensemble ouvert de
F"x,
bien que
complémentaire (ouvert).
le
chaque point x 6 1.
Fx
un
au
son
=
s’identifie à
F’
suite,
exacte (trivial à partir des définitions). Mais
est
un
F"
et
0j
F’ x
F ~
0
sous-espace ferme de
un
Etant donné
sous-module
si
x
(
’~
’
donc
est
à savoir
=
"~
F’
définie
F"
=
0
est bien
en
si
un
faisceau
F’
de
(la réunion
un
sur
défini
F’
des
sous-faisceau de
chaque point
x~ ,
F
F
et
x ~ par
Fil = F
un
si
comme
est
F’ x
F ).
a
Le
module
x 1
.
Homomorphisme compatible avec une application continue. Soient deux espaX et t( ~ et f une application continue de ’~ dans ~ . Etant donné
.
ces
sur
F
faisceau
un
,
et
G
G
G
faisceau
un
F ~ compatible
dans
d’homomorphisme
de
définition~
collection d’homomorphismes
une
à la condition de continuité suivante s si
voisinage
voisinage
au-dessus
au-dessus d’un
on va
de
=
et si
y~
°
et
s(x) ~ F~
G
une
alors
=
~o
.
satisfaisant
x 2014~
section
on a une
C’est~ par
0
G~/~) 2014~ ~ ?
~ s
~JC ~
f .
l’application
avec
point
définir la notion
°
°
’
on
s(x)
=
~.
tout
en
point
assez
x
voisin de
étant l’application identique,
notion d’homomorphisme de faisceaux déjà définie.
Lorsque ~
G
est
F
2014~
f
,
2014~ ~
application continue
compatible avec f ~ on associe
f
Si
=
une
on
retrouve la
un
,
homomorphisme
homomorphisme des modules
un
.
de sections
F
En
x
effet, si
(G ~ Y)
y 2014~
2014~ ~ (t(f(y)))
Soient
et
t(y)
F
est
(F ~
une
F’
deux faisceaux
homomorphismes
l’application continue f
homomorphismes F 2014~. F’ et
gramme suivant est commutatif
4.-
on a
le
Opérations
de
Imase
dans ,
réciproque
et soit
sur
dans
G
un
F , compatible
F
2014~
et
et
G’ y si y
f" (Y) .
deux faisceaux
G’
2014~
sur
compatibles
compatibles avec des
chaque point x , le dia-
sont
~/
G 2014~
G’
de
pour
s
.
les faisceaux.
une
faisceau
appelé image réciproque
G
G
d’un faisceau : soit
G
au-dessus de
Y
Y , alors
au-dessus de
G
’~ dans ~ .
diagramme commutatif 1
diverses
F
section de
pour tout ouvert
,
section de
une
avec
Alors
f"~(Y))
est
dira que des
on
~
F
2014~
avec
de
On
G ,
et noté
application
va
définir
f" (G) ~
et
continue
f
de
F
OC
un
faisceau
un
homomorphisme de
produit Il, x G ,
f. A cet effet, considérons le
sur
avec sa
des
topologie d’espace-produit.
(x , g)
couples
2014~ ~ ) .
G
p(g)
tels que
Ce sous-espace
F
suit : la projection
Soit
=
F
fermée constitué
le sous-espace
f(x)
(on
note
la
p
projection
est muni d’une structure de faisceau
X.
9( ~
sur
définie par l’application
Il est clair que le module F ~ formé des couples (x ~ g) tels que
P(g) = f(x) , est canoniquement isomorphe à
comme
F
2014~
est
-
.
La collection des
homomorphisme
de
G
dans
Toute section de
f~(G)
F ~ compatible
G
par
’t
si
F
On
F~
a
faisceau
un
chaque point
par
un
cas
G
=
F ~
possède
est constant. Dans le
STEENROD. On notera : si
revêtement
est
F
f" (G)
=
espace ~
voisinage
ouvert
simplement
connexe
:T
f
x
.
est localement constant
y
sur
rejoint celle
lequel
de
le faisceau induit
système local,
(c’est-à-dire
(conséquence
immédiate du "principe de
2
~
~..
définir,
tifs à des ouverts
à des ouverts
X
0
X
x
Ces modules
a
uns
G
dans les
évidemment
=
Y ~ attachons à
LX Y ,
avec
x
l’espace-produit
sur
des
X
x
Y
..L
sur
0
autres~ définissent
Fx
n’a
faisceau
un
ait été défini par des
(cf. numéro 2). Considérons,
Y
des ouverts de la forme
modules les
et que
G
ait été défini par des
F
supposons que
0~ ~
de
9C
si
espaces distincts.
deux espaces, F un faisceau
Le produit tensoriel F ~ G va être un faisceau~
Pour le
due à
monodromietl).
Soient ~
x
par arcs~ la
connexe
alors tout faisceau localement constant
sur
’~ .
section de
une
s’appelle faisceau
d’un espace localement
que
~L ~
sur
un
étant l’injection.
f
tout point
en
sur un
notion de faisceau localement constant
pas d’autre
définit
Y
sous-espace
le faisceau
.
s
un
G
G
Définition
définit
F
2014~
f .
avec
au-dessus d’un ouvert
Cas particulier: soit
induit
s
f"~(Y) .
au-dessus de
Pour tout faisceau
isomorphismes ~
x
t’.
F..
Gy
,
relatifs
la famille
le module
homomorphismes évidents
un
rela-
faisceau
L
sur
de
x fj
ces
.
On
parce que le foncteur
"produit tensoriel" commute avec les limites directes. De
plus, le faisceau L ne change pas si on
change les Fx. et les Gy sans changer les faisceaux F et G qu’ils définissent. Le faisceau
L
F
définition,
et
G~
par
est donc
entièrement défini par la donnée des faisceaux
le produit tensoriel
G .
Supposons données deux applications continues- f ? 1
_~
, et,
14-08
qj
g ~
n’p
.~.
et soit
h
l’application-produit
sur
Soient des faisceauxr F
,
F’
’ ,
‘~,
G
,
~
r;~~~
-~
x
G’
sur
compatibles
f
applications
et g respectivement. Alors l’homomorphisme F’
défini par les homomorphismes
avec
et soient des
F’ ~ F
homomorphismes
~ F’ f (x~ ~~
phismes
Ff(x)
produit
h . Cet
e
s’appelle
le
G/B
G’
et
~--~~~-
et
Fx
2014~,
sur
Gy) ,
G
~
(produits
G
~.~.~
sur
est
compatible
Plongeons
induit
un
dans
x
faisceau
sur
x
le produit tensoriel de
tout
point
x ~ ,
Soit donnée
G
F
homomorphismes
Alors l’homomorphisme
Ff(x)
f On
e
~
l’appelle
G’ .~.~ G.
o
et
et
G’
.~.
~X~
--m-~
Gf(x)
F et Gf(x)
le
G’
.~
F’ c;:; G’
encore
l’application
et
et
F
F ~G
G’ --.~~
et
G.
G
sur x
le faisceau
appellerons
sont
x .
x
F
encore
Il est clair que, pour
e
F’
F’ .~~,~. F
G~
(sur
G
application continue
deux faisceaux
phismes
et
on a
une
F c
que nous noterons
~
F
faisceau
l’application diagonale :c
par
avec
si
un
les
~..~, F .~ G
le faisceau
Produit
est
’ ;
tensoriels des homomor-
homomorphisme du faisceau F’ c~ G’ dans
produit tensorieldes homomorphismes F’ .~-~
tensoriel de 2 faisceauxsur le
deux faisceaux sur le même espace x , F ~ G
.
f
dans
deux faisceaux
soient
~;~ 9
et soient des
F
et
G
compatibles avec l’application f .
G défini par les homomorphismes
F x; Gx (produits
~
sur
x’ ;
G)
est
tensoriels des homomor-
compatible
avec
produit tensoriel des homomorphismes
l’application
F’
~
F
et