Sur le foncteur Hom (X,Y) en théorie simpliciale

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Sur le foncteur Hom(X,Y ) en théorie simpliciale
Séminaire Henri Cartan, tome 9 (1956-1957), exp. no 3, p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1956-1957__9__A3_1>
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3-01
1956/57.
Séminaire H,
Exposé
Hom(X,Y)
SUR LE FONCTEUR
Erratum à
l’Exposé
Page 1-08,
EN
.
lignes 5 et 6
entre les
bas, rajouter le texte suivant :
Serre équivaut à dire que l’applica-
de
au sens
du
.N.B. : Ce qui suit est la rédaction d’un
rattache à celui de
l.-~ Le-foncteur
Soient
l’Exposé 1,
défini
comme
X
l’Exposé
Exposé qui n’a jamais
2).
simpliciaux (on
deux ensembles
Y
On leur attache
un
généralement,
n
simpliciales
du
~
d.f
i
est
X
dans
Hom n (X’Y)
x
X
r,0 ~
n
est par dé-
Y.
(ensemble
des éléments
X,Y) , .ensemble des applications
Rappelons que 0394n désigne l’ensemble
Ho: G (Q, n x
dans
Y ,
éléments de dimension
p
sont les
applications croissantes
( 09 ~, ~ ... 9 p ) dans la suite ( ~a 1 ~ ... 9 n) 9 les
et de dégénérescence, dans 0394 , sont définies comme suit :
n
où
~.
: (091~...~p~~.)-~-~(~~lg...9p)
l’application composée
l
1
de la suite
est strictement Croissante et
composée
Hom(X~:Y) ~
de
pour tout entier
est
ses
0
de
produit 0394n,
(au Sens large ) f
opérations de face
de
simplicial Hom(X,Y) ,
applications simpliciales
de
simplicial suivant :
terminologie
°
finition l’ensemble des
de dimension
utilise la
nouvel ensemble
ensemble des éléments de dimension
Plus
lieu. Le sujet
1.
suit :
.
eu
Hom(X,Y).
et
page
SIMPLICIALE.
i.~
tion continue est fibrée
se
THÉORIE
~° 3
où
03C3i :
ne
prend
Observons que les applications
et
.
i 9
(0,1,...,p+1)~(0,1,...,p)
tive et prend deux fois la valeur
~, p
pas la valeur
i .
s.f
est
1
.
l’application
est croissante et
surjec-
.
et
d p+~ -~ ~, p , notées
définissent des applications
encore
c~.. 1
et
~r . a. 9
et dont la
première,
par
ost définie comme suit : à
exemple,
(0,1,...,p-1) de dimension
(O~l,...~~.i-.-~, (~~~9...9p~.
Nous
achever de définir
conne
et
d. :
si
elle associe
Hom
n
h
f :
est
x
une
application simpliciale,
-e
à i. : 0394n-1
n-
dont la
première
est induite par
03C3i : 0394n+1
et les
s.
une
ainsi définis satisfont
est défini
application simpliciale ;
notée
associe l’élément de
est
une
on
Hom(Xyg) ,
Hom (X~Y’)
aux
comme
tion
Hom
première
est
s,
i
e.st
i
l’applica-
immédiat que les
(Exposé 1,
di
relations
(l)).
simplicial. Soit alors g :
une application simpliciale
Hcm(X,Y)
ensemble
lui associe
et définie
suit : à
corme
défini par l’application
f 6
composée
(X’,Y)
f ~ Hom
défini pax° l’application
est induite par
n
c ompo sée
h , On vérifie que
associe
(X,Y) , Hom(h,Y)
Ham(h,Y)
.
est
une
applica-
simpliciale.
Enfin,
que
ùn . De même,
identités voulues
suit : à
dont la
est
g) est une
.
l’élément de
d.f
application simpliciale, De même, si h :
application simpliciale, on définit une application simpliciale
Il est itmnédiat que
X’ ~ X
f:
.
est induite pa.r
Ainsi
o
s. :
première
composée
tion
l’application 03B4i
(X,Y)
1’application composée
dont la
(0,1,...,q) ~
f :
dégénérescence
de face et de
Par définition
p-1 ,
élément
Pour
pour tout entier
"ensemble simplicial", on doit définir les
déjà défini l’ensemble
avons
opérations
de 0394
q
~
un
on
vérifie facilement que toutes les conditions sont satisfaites pour
et Hom(h,Y) définissent Hom(X,Y) comme foncteur des deux variables
X
nant
(à
Y
et
catégorie
catégorie des
valeurs dans la
ses
contravariant
en
et covariant
X 9
simpliciaux),
des ensembles
valeurs dans la
ensembles
simpliciaux ;
ce
foncteur prefoncteur est
Y .
en
applications naturelles.
2.- Quelques
X,Y,Z trois ensembles simpliciaux ;
Soient
on v.~
définir
application
une
simpliciale :
qui
on
est naturelle vis-à-vis de
veut associer
si
u E
de
Z
(de
dimension
ainsi associée à f
et par suite
sont de
dimension
et
g,
à deux
h:~n
x
h(u,x)
p ,
On vérifie que si
p~,
on
applications simpliciales
x---~
Z;
par
définition,
est l’élément
g(u,f(u,x))
l’application
note
h
on a
l’application X
Hom(X,Y)
ensembles simpliciaux
Hom(X,Z).
cela,
application simpliciale
une
et x ~ X
a
Pour
est
et
Hom(Y,Z)
dans
du
produit
l’ensemble simplicial
application simpliciale
une
des
Elle est évidenmcnt naturelle.
On vérifie que
sembles
En
l’application §£ est associative : si X,Y,Z,T sont des ensimpliciaux, et si f E Homn (X,Y) , g ~ Homn (Y9 Z) ? h C Homn (Z,T) , on a
particulier,
une application simpliciale
on a
.
’
Hom(X,X)
qui fait
de
Hom(X,X)
un
monoïde simplicial.
monoide pour la loi de composition
dégénéré
n
X ~
fois de l’élément neutre de
l’application identique
Hom(X,X) ,
~
x
X-4 X.
Le monolde simplicial
et
ce
Pour
monolde
Hom
est
chaque n, Homn(X,X)
possède
ce
un
un
élément neutre~
dernier n’est autre que
.
opère
à gauche dans l’ensemble
Hom(X,Y) ; le monoïde simplicial Hom(Y,Y) opère
plicial Hom(X,Y) .
simplicial
à droite dans l’ensemble sim-
Soient à
nouveau
trois ensembles
simpliciaux X,Y, Z.
On
va
définir
bi-
une
jection naturelle
(1)
Hou
x
Y,Z)
~
Homo(X,Hom(Y,Z))
.
,
Soit d t abord
une
lui associer
application simpliciale
application simpliciale hf:
va être une application simpliciale
à savoir celle
comme
suit : soit
x
~
une
xn9
’
couple d’éléments (u,y) de degré p avec (u E 0394n,
y é Y ) , associe l’élément f(ù(x),y) E Z , où il désigne l’application simpliciale X -4 X
définio par u : É -- Ô , On vérifie que g
ainsi définie
n
n
x
à
qui,
un
p
est bien
p
application simpliciale, et que l’application x -x gx de X dans
Hom(Y,Z) est simpliciale : c’est l’application hf cherchée. En sens inverse,
soit h une application simpliciale X -w Hom(Y,Z) ; si x EX, h(x) est une
n
et
application. simpliciale 0394n Y -+ Z ; soit. un l’élément fondamental de
une
Y É
l’image
de
l’application qui,
l ’application h(x)
par
au
couple (x,y) ,
associe
z , est
est
un
élément
z
é
Zn;
application sinpliciale
une
" ~
~h
.
,
Ainsi,
on a
d’une part associé à chaque
f g
Homo (X Y,Z)
x
élément
un
,
.
hf E
un
Xom
(X,Han(Y,Z) ) ; d’autre
élément
sont
part
Y, Z).
réciproques
on a
associé à chaque
h é Hom
(X,Hoà(Y,Z) )
On vérifie que les deux
l’une de
l’autre ;
~hf
elles définissent la
et
bijection (i)
’
cherchée.
,
Appliquons
maintenant
bijection natUrelle
Homn(X
la Collection de toutes
ces
(( )
en
x
Y,Z)
Hom(X
remplaçant
X
Y, Z )
Ro Hom(X
È
x.
n
X ;
on
trouve
En vertu de la
.
é
par
bijections (pour tous les
d’ensembles simpliciaux
(2)
y
.
, HOm (Y, Z ) )
qUi est, iui aussi, naturel.
n)
définit
un
une
. naturalité,
isomorphisme
3.- Le foncteur
THÉORÈME
et les fibrations de Kan.
1.- Soit
application simpliciale, fibrée au sens de Kan
ensemble simplicial X , Inapplication
une
(Exposé 1, page-1-08).
est fibrée
de Kan.
au sens
Observons tout de suite que si
seul élément
en
chaque dimension,
COROLLAIRE du théorème 1 :
complexe de Kan. (Cf$
DÉMONSTRATION
si
est
du théorème 1.-. Elle
n
un
va
entier
être
assez
1,
et soit
notons 0394kn le sous-ensemble simplicial
~0394 n
égale
à
Tf
qui prolonge
g
soit
Rappelons
(Po,...,pn)
étant
où
de
a un
technique
k
1956,
et
p.
un
1A-8).
délicate . Il s’agit
entier tel que
un
des
réunion
0394n,
de
est
Kan, alors
images des applica-
Supposons 2014 données
relatives à tous
de
g . On doit montrer
o
et satisfait à
n+1
entiers
T~o h
0
non
==
existe
une
i ~
x
tous
nuls,
sont
k . Un élément de
est de dimension
Pour
chaque entier
de la forme
((p~..~p~x)~
est stable pour les
chaque entier
Z(q) :
soit
avec
X
application simpliciale
ceux
A
x
Z(q)
A
sont les suites
la dimension d’un tel élément
X
lesquels l’un
pour
est
=
q~ -1 ~
à
f .
A
les éléments de
est nul pour
~ X
qu’il
éléments de l’ensemble simplicial
que les
Po+...+Pn-1 ;
pi
c’est-à-dire telles que la restriction de f
q(p~~p ) P +...+P -I .
qk(po,...,pn) = q)po,...,pn)- Pk , qui est ~ -1 .
Pour
B
applications sinpiiciales
qui soient compatibles,
des
complexe
un
J.C. MOORE, Lectures Notes, Princeton
do prouver ceci : soit
deux
particulier où
cas
obtient le :
on
E
considère le
on
un
couple
moins
((po,...,pn),x),
Définissons l’entier
l’ensemble des éléments de
~(P~~-~P )~ q *
au
A
Il est immédiat que
x
X
Z(q)
opérateurs de face (sinon pour les opérateurs de dégénérescence) ..
l’ensemble dos éléments suivants de
p ~-1 ~ notons
Z(q-l) ~
(a)
(b)
tous les éléments de
(c)
tous les éléments de la forme
que
qk(po,...,pn) = q et pk
tous les
.
~(P~’~P~) ~.
((po,...,pk+1 ),...,Pn
tels que
((p~.~p~x)
et
=
P ~
s
po+
° °
.+pkx),
tels
p .
opérateurs de face. En effet, c ’est
(b) ~ pour le type (c)~ cola résulte d~s
est stable par les
L’ensemble
clair pour les éléments du
type (a)
ou
faits suivants :
du
type (c)
Pour
de
Z(q,p-l).
procéder comme
définir
les sous-ensembles
Z(q~~~
dans 0394kn
par
récurrence
sur
suit :
on
définira
q 9 observons que pour
q~~
h
sur
-1~
automatiquement défini puisqu’il doit être
d’une façon précise,
égal à g . Pour faire la récurrence sur q p
pour prolonger h de Z(q) à Z(q+l), on procédera de proche en proche, en définissant h sur les sous-ensembles Z(q+l,p) pour p = -l~.~ ~ pour ,p = -1 ,
il n’y a pas de problème, car Z ( q+l 9 --1 ) ~ Z(q) ; il suffira donc de dire comment
h de Z(q+l,p-1) à Z(q+l,p).
on peut prolonger
est contenu
A
avec
de
x X ,
donc
h
est
.
chaque étape du prolongement, on devra s’assurer que h ~ sur l’ensemble
considérée est compatible avec les opérateurs de face ; est compatible
les opérateurs
Z(q+l,p) ;
de
et est
dégénérescence
compatible
avec
dans la
mesure
les "données
où ceux-ci
aux
ne
font pas sortir
limites", c’est-à-dire
h , supposé défini sur Z(q+l,p-l), peut’se prolonger à
Sur les éléments du type (a) , c’est-à-dire sur Z(q), he st déjà
défini ; on va choisir h sur les éléments du type (c) ~ puis, pour un élément
=
((p o 9..~9p n ~~x~ du type (b) tel que
Montrons comment
posera, par
définition :
.
Disons maintenant comment
on va
~~p o 9...9p k +1~.,.~pn )~s
x)
po+. , .+pk
p . Il faut
Premier
distinguer
cas:
trois
choisir
h
tel que
po
hw)
v
A X x q alors
n
est dans
v
s.u.
n’est ps,s dans 0394 x
n
pose
Ceci exige
alors deux
constate que
1°
n
si j~p +...+p.
et que
ou
2° si
élément du type
(c)
,
soit distinct des entiers
que j
possibilités :
dégénéré,
nais est
X?
po-1,po+p1-1,...,po+...+pk- 1-1,p o+...+pk,...,po +...+p
un
et
q+1
.
Deuxième
a
on
g(v) ;
de la forme
=
cas :
l’élément considéré
-
Il Y
v =
+...+p k-»1 +p k+1 +...+p ~ n
.
=
élément
sur un
si
on
de
x
J-~p +...+p~ ~
constate que
h(u)
Dans tous les cas,
ait la forme
est donc
on
est
u
déjà
°
connu, et
on
pose alors
Troisième
cédents.
Soit
cas
’toujours
i ~ po+...+pk . Si i
Z(q). Si
Z(q+1,p-1).
(cas général) :
v
l’élément
on
suppose
qu’on n’est
considéré ;
dans
considérons leà
aucun
d,v
1
si i > po+...+pk , div
i ( p +...+p , d v est élément du type
po+...+pk-1
cas
pré-
pour
ou
un
Dans tous les cas, les éléments h(d.v)
1
aussitôt que, pour 1 1 (1 et j distincts de
.
des
sont connus; et
po+...+pk) ,
on a
(c)
on
de
vérifie
.
Autrement
bilité pour que
h(v)
Par
un
Vh(v)
sont
f(v) , qui
=
d. h(v)
relations
aux
est
h(d.v)
p
pour
h(v) lorsque
défini
nous avons
h , ainsi prolongée satisfait
opérateurs
Il est immédiat que les prod.f(v) = f(div) , et puisque,
aux
(i.e. appartient
=
h(v),
et
est
de la
cause
=
J
on
J
on
utilise
type (a) ;
l’entraînera si
"premier cas"~
ce
où
tibilité
est du
v
derniors
ces
ne
avec
les
font pas
fait cette vérification.
hypothèse,
par
et
v
est du
on a
si
est du
avec
de la
=.
g(v)
relation
si
il suffit de le vérifier si
v
déjà acquis
cas
se
où
si
type
(a)
est du type
v
(c),
(5) qui
en
examinant les
type (b). Or si
h(v) = g(v)
v
v
"
type (c).
du
X ; c’est
vf
type (c),
type (c), on
est du
est du
; dans le deuReste le cas
servi à définir
a
qui vient d’être établi pour les éléments
Il faut ensuite vérifier la
C’est
mesure
compatible
compatibilité de f et de g
s.f(u)
= f ( sJ .u) .
J
J
sert alors
se
Soit ensuite à vérifier que
est du
vraie,
la vérifie si
on
on a
est du
v
f(v)
,Z(q)) 9
à
cas, c’est vrai à
xième cas,
où
la
et ost
ci-dessus : dans le troisième cas, c’est vrai par construction 9 dans le
cas
premier
limites",
aux
Indiquons rapidement comment
La relation
trois
"données
existe bien
Il reste à vérifier que
E
v
dégénérescence (dans
de face et de
sortir de
.
aux
o +...+p k 9
connu.
égales
respectivement
=
compati-
E . L’élément inconnu
E ~B est fibrée au sens de Kan, il
hypothèse, l’application
élément h(v) ~. E satisfaisant à toutes les conditions imposées.
Ainsi
du
conditions nécessaires de
aux
soient les faces d’un même élément de
ce
il faut que
outre,
jections
satisfont
justement satisfaire
doit
en
h(d.v)
les
dit,
vrai si
car
alors
v
(5)
est dans le
par construction.
opérateurs de face.
v
du type (b), cela résultera
est du
type (c). Examinons le cas où v est du type (c) : la compaest vraie par construction, puisque la relation (5) a
été utilisée pour définir
h
compatibilité de h
type (a). Si v est
sur
les éléments du
d. z h( (p ~ .o ...’ p k +1, ..., p ) ! n , s po+...+pk
= ((p , ° ...,p~+1, ...,p n ), S
x)
avec
les
type (b). Il reste à examiner les
Si l’élément
x) pour i -fi p o +...+p . k
est dans le
premier cas,
tout
va
bien
v
=
puisque
,
compatible avec les opérateurs de, face ; dans le second cas, tout revient à
vérifier l’égalité d. s .h(u)
h(dn s .u) : la vérification est triviale si i = j
g
est
=
ou
i =
mier
j+1,
car
alors les deux membres sont
membre est égal à
s ~ .~
égaux à h(u) ;
=
si
i j ,
qui
le pre-
est bien
égal
.
à
h(d,isj,u) j vérification analogue si
est vraie pàr
tion d.h(v)
h(d.v)
i
i
=
1
le
7 j+1. Enfin, dans
troisième cas, la rela-
construction.
opérateurs de
é
dégénérescence. Ija question est cell,;-ci : soit vt 0394n X tel que si v Z(q+1;p),
s.h(v).
h(s.v)
v - d.s.v E Z(q+1>p) j on doit vérifier que
ce qui entraîne que
1
1
terminer,
Pour
.
d.oit vérifier la
on
h
compatibilité dç
avec
les
x
=
~
i 1
C’est
Vrai ,
par
hypothèse,
Alors
s,v
i
i
où
est du
s.v
i
type (c)
mômo de
=
v , et
s h(v)
s , i h (v)
du
s , iv é
si
on
n’est pas du type
et celui où il est du
(a) ,
supposera donc que
et on doit donc examiner le
type (b) .
_
on
que
s v
1
est dans le
Sinon, l’élément
sv
soit du
type (c) :
"premier cas" ;
est dans le
si
s,vf
alors h(siv)
X ,
n
1
en
sont tous
égaux
aux
p , sauf pour
i
une
valeur
on a
de j (pour laquelle
Il reste donc à exaniner successivement les
cas
(1)
et
est de
=
=
=
"deuxième ca.s", et
il
h(s,v)
par.construction.
ce qui implique que
que s.v soit du type (b) ,i
Supposons maintenant
.
type (a) ou du type (b) . Il y a deux cas possibles:
(ii) .
plJ
=
=
est
v
p J.+l) .
(1) ,
Dans le cas
’
.
on a
cas
.
,
supposons d’abord
-
.
.
Dans le
le
où
cas
cas
(ii),
analogues (on
les calculs sont
et celui où
i ~’ p o +.. ,+p k--l
B’
et soit
b EB ;
on
.
simplicial de B engendré par un sommet
fibro correspondante de l ’application fibrée 03C0 ;
F
03C0-1(B’)
=
la
F
est la fibre au-dessus de
envoie
X
dans
au-dessus de
y
2.- Soit
soit E
un
Y
simplicial de l’ensemble simplicial X ,
l’application naturelle
et
de Kan.
été énoncé
a
(suite).
sous-ensemble
un
complexe de.Kan. Alors
au sens
(Ceci
la fibre
et les fibrations de Kan
THEOREME
.
y C Hom (XpB)
b . Considérons l’élément
B’ . Dans l’application fibrée
est évidemment
4.- Le foncteur
est fibrée
achevée.
le sous-ensemble
dit que
qui
séparément
i ~ p o *.. ,p ) k ..
La démonstration du théorème 1 est ainsi
REMARQUE. - Soit
doit discuter
sans
démonstration par MOORE, loc,
cit.~,~
.
DEMONSTRATION.- Elle est tout à fait senblable à celle du théorème 1. On utilise
Z(q)
les
s’agit
et les
Z(q,p)
exactenent
comme
façon précise ., il
applications simpliciales
ci-dessus. D’une
de prouver ceci : supposons données deux
restriction à Dk
x ~E
existe .une application simpliciale
telles que
et
g
aient même
f
g
Dans
(3)
tion
Pour
la démonstration
définir
h
A
dans ~
troisième
pour
pour
du
théorème 1,
on se
contentera de
romplacer la condi-
par la suivante :
le
X
y ; on veut montrer qu’il
qui prolonge à la fois f et
.
plus. haut :
x
x
ou
cas
premier
(qui
cas
élément du type (c)~ on distinguera trois cas, comme
est celui où l’élément considéré
est dans
Y ~
le second est celui où
sur un
x
exclut les deux
i ~ p +...+p. ~ et grâce au
h(v) un élément de E tel
précédents),
fait que
que
E
d.h(v)
on
est
=
dégénéré ; enfin dans le
connaît déjà les éléments h(div)
v
est
un
complexe
de
pour
i~
h(d.v)
Kan,
p
on
choisit
+...+Pk .
Les
vérifications finales sont alors les mêmes que dans la démonstration du théorème 1.
5.-
Compléments.
Reprenons la bijection (1)
La
ùu
B x
projection canonique
dans
paragraphe 2,
définit ainsi
XB
particulier :
un cas
une
application simpliciale
injection (pour dès raisons fonctorielles évidentes). Ceci identifie
et on explicite facilement cette
B à un sous-ensemble simplicial de
identification: à chaque b ~ Bn on associo l’ application simpliciale 0394 n X X~ B q
B
0, n X X~0394n, et de l’application simpliciale
composée do la projection
qui est
une
n
définie par
b ~
Bn .
,
Revenons alors à la situation du théorème 1 : soit
plicial
Hom(X,E), image réciproque
de
Y
le sous-ensemble sim-
B ~ Hom(X,B)
du sous-ensemble
par
1’ap--
plication fibrée
on
a
ainsi
un.élément
un
une
application fibrée : Y~ B . on interprète Y comme suit :
telle qu’il existe
est une application simpliciale 0394n n
X
Y
n
diagramme commutatif:
,
où la
première
flèche verticale
désigne
la
projection
deuxième fléché horizontale définit un élément
par l’application fibrée ~: Y2014~B .
Examinons le
cas
particulier important où
située au-dessus d’un sommet
pliciales
(éventuellement
la même
fibre).
F
se
dans
Le fait que
qui
est
une
l’image
F
compose des
du
fibre
applications
autre fibre du fibre
l’application
de
~o:
Y2014~B
E
sim-
E 2014~ B
est fi-
implique aussitôt ceci : étant donnés un élément b. 6- B. (un
=
"chemin" de B) tel que
b y et l’élément y qui correspond à l’injection canonique de F sur la fibre au-dessus de b , il existe une application.
brée
.
sur
la fibre
Bn ’
alors la
X~0394 ;
est la fibre
X
Y
B . Alors
qui envoient
F -~ E
b ~
0394n
au sens
simpliciale
de Kan
y :
A
x
F~E
telle que
d y
=
yo
et
=
alors
doy1
application simpliciale de F dans la fibre au-dessus du sommet db
cette application dépend du choix de y ~ mais deux choix quelconques définissent
est
une
3-12
des
applications homotopes,
d’homotopie de l’application de F dans
sommet bl et de la classe
que du
dépend
-~
~
~
et la classe
la fibre au-dessus de d b. = b’ ne
o
1
o
d’homotopie du "chemin" b d’extrémités
lier que deux fibres de
une même composante
E
connexe
Ces résultats sont
et
b
b’ . Il
en
résulte
situées au-dessus de deux sommets de
de
ont même
B,
analogues
aux
en
particu-
situés dans
B
type d’homotopie simplicial.
résultats classiques relatifs
des
au cas
’
fibrés topologiques
~u sens
Enfin, toujours
.
avec
de Serre.
les mêmes
notations,
on a un
diagramme commutatif
où la première flèche verticale est l’application définie par la fibration Y-4B
(c’est donc une application fibrée), la seconde flèche horizontale est la projection naturelle, et le première application horizontale est celle induite par l’application
naturelle
cette dernière
en prenant
sion
peut
pour
U
(alors
laisse
On
au
lecteur le
se
déduire de
l’application %
du
paragraphe 2 :
simplicial ayant un seul. élément dans chaque dimens’identifie à F ~ et Hom (U,E) s’identifie à E). On
soin de vérifier la commutativité du diagramme (D).
un
ensemble
pourrait aussi déduire (6)
de la
bijection (1)
du
paragraphe 2,
en
y pre-
nant
alors à l’élément
canonique
identique
d’où l’application (6).
(Hom(F,E),
de
correspond
un
(à
élément de
Hom
"
’
savoir
l’application
x
o
F,E) ,