Les Nombres Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Les ensembles de nombres 2 1.1 Différents types de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Droite des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Inclusion des ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Quelques rappels sur les règles de calcul 4 2.1 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Valeur exacte, valeurs approchées 6 3.1 Différentes écritures d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Un peu d’arithmétique 7 4.1 Quelques rappels sur les critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2 Nombres premiers, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Table des figures 1 2 Droite des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construction de 4 3 √ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Construction de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Liste des tableaux 1 Règles de calcul sur les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Valeur exacte, valeurs approchées, troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 1 1 1.1 LES ENSEMBLES DE NOMBRES Les ensembles de nombres Différents types de nombres Activité 1 (fp) : Ensemble de nombres (à faire en simultané avec le cours, après avoir donné l’ensemble des entiers naturels) – On appelle entiers naturels les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . Leur ensemble est noté N. On a donc : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 . . .} – On appelle entiers relatifs les nombres : . . . − 3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . Leur ensemble est noté Z. On a donc : Z = {. . . − 3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . .} – On appelle nombres rationnels les nombres de la forme ab , où a et b sont des entiers relatifs, avec b 6= 0. Leur ensemble est noté Q. Remarques : 1. On appelle nombres décimaux les nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule (par exemple 0, 154). Leur ensemble est noté D. Ce sont des rationnels particuliers. Par exemple : 0, 154 = 154 154 = 3 1000 10 On peut montrer que tous les nombres décimaux peuvent se mettre sous la forme : où b ∈ N. a 10n , où a ∈ Z et 2. On peut montrer qu’un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale périodique. Par exemple : 1 3 se répète = 0, 33333 . . . 3 52 = 4, 72727272 . . . 11 72 se répète – L’ensemble de tous les nombres connus en Seconde est appelé ensemble des nombres réels. Cet ensemble est noté R. √ Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels ( 2 et π par exemple). On dit que ce sont des nombres irrationnels. 1.2 Droite des nombres réels On peut représenter l’ensemble des réels sur une droite graduée (voir figure 1). Figure 1 – Droite des nombres réels Problème : Comment représenter précisément des nombres rationnels ou irrationnels sur la droite des réels ? Exemples : 1. Construction de 2. Construction de 4 3 √ à l’aide du théorème de Thalès (voir figure 2) 2 à l’aide du théorème de Pythagore (voir figure 3). 2 1 LES ENSEMBLES DE NOMBRES 1.3 Figure 2 – Construction de Figure 3 – Construction de 1.3 Inclusion des ensembles de nombres 4 3 √ 2 Inclusion des ensembles de nombres Définition : On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tout élément de A est aussi un élément de B. On note alors : A ⊂ B. On a : N ⊂ Z. On a aussi : Z ⊂ D et D ⊂ Q ( voir remarque 1 du 1.1). De plus, par définition, on a : Q ⊂ R. On a donc : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Cette situation est résumée sur la figure 4. Définition : On appelle nature d’un nombre le plus petit ensemble auquel il appartient. Si cet ensemble est R, on dit que le nombre est irrationnel. Exercices : 1, 2, 3, 5 page 30 1 – 7, 8, 10 page 30 2 – 127, 129 page 39 3 et 145 page 41 4 . [Modulo] 1. 2. 3. 4. Nature d’un nombre. Nature d’un nombre - plus difficile. Quelques entiers « bizarres ». Construction de nombres. 3 2 QUELQUES RAPPELS SUR LES RÈGLES DE CALCUL Figure 4 – Ensembles de nombres 2 Quelques rappels sur les règles de calcul 2.1 Fractions On se limitera à des exercices. Exercices : 27, 28, 29, 30, 31 page 31 5 – 32 page 32 6 – 140 page 40 7 [Modulo] Module : TD 2 page 24 8 [Modulo] Exercices : 131, 132 page 39 9 [Modulo] 2.2 Radicaux La fin de cette section est proposée en module. √ Définition : Si a est un nombre positif, a est le seul nombre positif dont le carré est a. Exemples : √ 4=2 √ 0=0 √ 9=3 √ −3 n’a pas de sens. Exercice : Quelle est la réponse exacte ? q 2 (−3) = −3 q 2 (−3) = 3 q √ 2 (−3) = − 32 q 2 (−3) n’existe pas Propriété : √ √ √ – Si a ≥ 0 et b ≥ 0 alors ab = √ a × b p – Si, de plus, b > 0 alors ab = √ab Remarques : 1. La condition a ≥ 0 et b ≥ 0 est essentielle. En effet : aucun sens. 5. 6. 7. 8. 9. Calcul sur les fractions. Calcul d’inverses. Calculs plus complexes. Simplification de quotients. Simplifications – Calcul littéral. 4 p (−3) × (−2) = √ 6 mais la notation √ −3 n’a 2 QUELQUES RAPPELS SUR LES RÈGLES DE CALCUL 2.3 2. Il n’existe aucun De manière générale, √ les additions. √ √ résultat√similaire pour Par exemple, 16 + 9 = 25 = 5 et 16 + 9 = 4 + 3 = 7. √ a + b 6= √ Puissances a+ √ b. Exercices : 58, 61, 62 page 33 10 – 66 page 33 11 – 69, 70 page 33 12 – 136 page 40 13 [Modulo] 2.3 Puissances Définition : Soit a un nombre réel et n un entier strictement positif. On pose : a1 = a a2 = a × a an = a × a × a × . . . × a {z } | n facteurs Par convention, on pose aussi : a0 = 1 ; a−1 = a1 ; a−2 = a12 et plus généralement a−n = 1 an . Les règles de calcul sur les puissances sont résumées dans le tableau 1. Opérations Conditions Résultat Produit de deux puissances a nombre réel non nul n, p entiers Quotient de deux puissances a nombre réel non nul n, p entiers Puissance d’une puissance a nombre réel non nul n, p entiers Puissance d’un produit a, b nombres réels non nuls n entier Puissance d’un quotient a, b nombres réels non nuls n entier an × ap = an+p an ap = an−p p (an ) = an×p n (ab) = an × bn a n b = an bn Table 1 – Règles de calcul sur les puissances Remarques : n 1. Si n est un entier pair, (−1) = 1. n Si n est un entier impair, (−1) = −1. n n n 2. En conséquence, comme (−a) = ((−1) × a) = (−1) × an : n – Si n est un entier pair, (−a) = an ; n – Si n est un entier impair, (−a) = −an . 3. Attention ! Il n’existe pas de règle équivalente pour la puissance d’une somme. De manière générale, n (a + b) 6= an + bn . 2 Par exemple : (2 + 3) = 52 = 25 et 22 + 32 = 4 + 9 = 13. Exercice : Utiliser les règles de calcul du tableau 1 pour réduire les expressions suivantes : 54 × 5−2 10. 11. 12. 13. ; 32 3 ; 3 2 2 3 ; (22 ) ×2−1 2−4 ×43 . Manipulation des racines carrées. Suppression de racine carrée au dénominateur. Radicaux de radicaux. Calculs plus complexes. 5 3 VALEUR EXACTE, VALEURS APPROCHÉES Exercices : 36, 37, 38, 41, 42 page 32 14 – 46, 48 page 32 15 – 68 page 33 16 [Modulo] 3 3.1 Valeur exacte, valeurs approchées Différentes écritures d’un nombre décimal Prenons le nombre décimal 18354, 23. On peut l’écrire de différentes façons : Écriture décimale : 18354, 23 Écriture scientifique : 1, 835423 × 104 Entier et puissance de 10 : 1835423 × 10−2 Vocabulaire : – La notation scientifique d’un décimal est de la forme a × 10p , où a est un décimal tel que 1 ≤ a < 10 et où b ∈ Z. – Le nombre décimal 18354, 23 a deux chiffres après la virgule. On dit que c’est u décimal d’ordre 2. Remarques : 1. « Déplacement » de la virgule : 1835,423×101 ···×10+longueur du déplacement ··· 18354, 23 ···×10−longueur du déplacement ··· 183542,3×10−1 ←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 2. L’écriture scientifique d’un nombre permet d’obtenir un ordre de grandeur : 18354, 23 = 1, 835423 × 104 ≈ 2 × 104 soit proche de 20 000. Exercices : 43, 44 page 33 17 – 53, 54, 57 page 33 et 133 page 40 18 – 63, 64 page 33 19 [Modulo] 3.2 Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie √ Pour des réels non décimaux (comme 13 , 2 ou π), il est FAUX d’écrire : utiliser que des valeurs approchées. (voir tableau 2) Valeur exacte Troncature à 3 décimales Valeurs approchées à 10−3 près Valeur arrondie à 10−3 près √ 1 3 =0, 3333 √ 3 7−9 2 1 3 π 0, 333 3, 141 1, 414 −0, 531 0, 333 ou 0, 334 3, 141 ou 3, 142 1, 414 ou 1, 415 −0, 532 ou −0, 531 0, 333 3, 142 1, 414 −0, 531 2 Table 2 – Valeur exacte, valeurs approchées, troncature Remarques : 1. « 10−3 près » signifie 3 décimales. 2. La valeur arrondie est la valeur approchée la plus proche du nombre. 14. 15. 16. 17. 18. 19. ou π=3, 14. On ne peut Utilisation des règles de calcul sur les puissances. Plus difficiles. Avec des racines carrées. Écriture scientifique. Ordre de grandeur. Avec des racines carrées. 6 4 UN PEU D’ARITHMÉTIQUE Exercices : 12, 13 page 30 et 20, 21, 25 page 31 20 – 17, 18, 19 page 31 21 [Modulo] Module : Utilisation de la calculatrice (fp) Exercice : – 153 page 42 22 [Modulo] 4 Un peu d’arithmétique Activité : Arithmétique (fp) On ne considérera dans cette section que des nombres entiers naturels. 4.1 Quelques rappels sur les critères de divisibilité Un nombre a est divisible par : – – – – – 2 si le dernier chiffre de a est pair ; 3 si la somme des chiffres de a est divisible par 3 ; 5 si le dernier chiffre de a est 0 ou 5 ; 9 si la somme des chiffres de a est divisible par 9 ; 10 si le dernier chiffre de a est 0. Exemples : – 60 est divisible par 2, 3, 5 et 10. – 126 est divisible par 2, 3 et 9. 4.2 Nombres premiers, applications Définition : Un nombre premier est un nombre entier naturel n’ayant que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Exemples : – 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers. – 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... sont des nombres premiers. Propriété (admise) : Tout entier naturel, sauf 0 et 1, peut s’écrire sous la forme d’un produit dont chaque facteur est un nombre premier. Exemples : 1. Décomposition de 450 en facteurs premiers : 450 2 225 3 75 3 donc : 25 5 450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 × 32 × 52 5 5 1 2. Décomposition de 342 en facteurs premiers : 342 2 171 3 57 3 donc : 19 19 342 = 2 × 3 × 3 × 19 = 2 × 32 × 19 1 20. Arrondis, troncatures. 21. Utilisation de la calculatrice. 22. Produit de grands nombres. 7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Exercices : 80, 82 page 34 23 – 84, 85, 86, 87 page 34 24 – 92 page 34 et 96 page 35 25 [Modulo] Application : On peut utiliser la décomposition en facteurs premiers pour simplifier des expression contenant des fractions ou des radicaux. Exemples : 1. Réduction de fractions 15 105 3×5×7 3×5 = = = 112 24 × 7 24 16 3 × 31 31 93 = = 123 3 × 41 41 2. Réduction de radicaux √ 80 = q p √ √ √ √ √ 2 24 × 5 = 24 × 5 = (22 ) × 5 = 22 × 5 = 4 5 p √ √ √ √ √ 75 = 3 × 52 = 3 × 52 = 3 × 5 = 5 3 Exercices : 88, 89, 91 page 34 et 94 page 35 26 – 124 page 39 et 142, 144 page 40 27 [Modulo] Module : Module 1 page 18, Module 2 page 19 28 et TD 6 page 29 29 [Modulo] Références [Modulo] Modulo, Seconde édition 2004 (Didier) 3, 4, 5, 6, 7, 8 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Nombres premiers. Décomposition en facteurs premiers. Utilisation de la décomposition en facteurs premiers. Réduction de fractions et de radicaux. Plus difficile. Addition de nombres rationnels Carrelage et remplissage. 8