Une petite introduction à l`arithmétique…
publicité
Lycée Baudelaire (S. Viguier, F. Vazeilles) Une petite introduction à l’arithmétique… L’arithmétique est l’étude des nombres entiers et de leurs propriétés. Cette étude remonte aux sources de l’humanité, avec le besoin de dénombrer et donc de créer et manipuler un système de numération. Un tel système, muni d’opérations entre ses nombres, a donné naissance à des « curiosités numériques » qui ont exercé une fascination permanente au cours des siècles. L’arithmétique est une partie des mathématiques qui soulève des problèmes aussi simples d’énoncés que redoutablement compliqués à résoudre. Elle laisse encore d’immenses champs d’exploration à qui veut s’y aventurer… I. Quelques « curiosités numériques » 1. Le théorème de Fermat a) Avec l’étude du théorème de Pythagore en classe de 4ème, on avait remarqué qu’il existait des triplets d’entiers x ; y ; z tels que x 2 y 2 z 2 . On les appelle des triplets pythagoriciens et ils correspondent aux longueurs entières des trois côtés d’un triangle rectangle. Donner des exemples de triplets pythagoriciens. b) On peut se demander si, pour des entiers n 2 , il existe également des triplets d’entiers x ; y ; z tels que x n y n z n . Dans une traduction des Arithmétiques de Diophante (mathématicien grec, IIIe siècle après J.-C.), Pierre de Fermat (mathématicien français, 1601-1665), laissa ce commentaire dans la marge d’un passage traitant des triplets pythagoriciens : « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir.» Que signifie cette affirmation de Pierre de Fermat ? Ce résultat, connu sous le nom de « grand théorème de Fermat », a résisté pendant plus de trois siècles à d’innombrables tentatives de démonstration et, il a fallu attendre 1995, pour que le mathématicien britannique, Andrew Wiles publie sa démonstration, après huit années de recherche intense, dont sept dans le secret le plus total. 2. Diviseurs et nombres premiers a) Rappeler ce qu’est un nombre premier. b) Donner tous les nombres premiers inférieurs à 50. c) On admet que tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose (de manière unique) en produit de facteurs premiers. Donner la décomposition de 140 en produit de facteurs premiers. En déduire que 140 admet 12 diviseurs positifs et en dresser la liste. d) On peut se demander s’il existe une infinité de nombres premiers. Pour répondre à cette question, on va supposer que non, qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers et on note p le plus grand d’entre eux. 1 On considère alors le nombre N défini par : N 2 3 5 7 11... p 1 . N peut-il être un nombre premier ? Existe-il un nombre premier qui divise N ? N peut-il admettre d’autres diviseurs positifs que 1 et lui-même ? Conclure. Avez-vous déjà rencontré ce type de raisonnement ? Savez-vous comment cela se nomme ? Découvert le 25 janvier 2013, le plus grand nombre premier actuellement connu est 257 885 161 – 1, qui comporte 17 425 170 chiffres en écriture décimale. Les très grands nombres premiers sont utilisés dans les systèmes de cryptage de données. 3. La conjecture de Goldbach En 1742, dans une lettre à Leonhard Euler (mathématicien suisse, 1707-1783), Christian Goldbach (mathématicien allemand, 1690-1764), observe que : « Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.» Effectuer cette décomposition pour tous les nombres pairs compris entre 4 et 20. On ne connaît aujourd’hui aucun contre-exemple à cette conjecture, mais on ignore si elle est vraie pour tout entier pair supérieur à 3. Cela constitue l’un des plus vieux problèmes mathématiques encore non résolu à ce jour… 4. Les nombres premiers jumeaux On appelle ainsi un couple de nombres premiers qui diffèrent de deux unités, comme 3 et 5 par exemple. Donner tous les couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à 50. Actuellement, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 3 756 801 695 685 × 2666 669 ± 1, ils possèdent 200 700 chiffres en écriture décimale. Selon la conjecture des nombres premiers jumeaux, il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, mais aucune démonstration n'en a encore été faite… 5. Les nombres parfaits On dit qu’un entier naturel est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que luimême. Par exemple : 6 est parfait, car ses diviseurs positifs sont 1, 2, 3 et 6 et 1+2+3=6. a) Vérifier que 28 et 496 sont des nombres parfaits. b) Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide (mathématicien grec, IIIe siècle avant J.-C ) a prouvé que si M M 1 2 p 1 2 p 1 est parfait. M 2 p 1 est premier, alors 2 M M 1 Vérifier que 6, 28 et 496 sont de la forme 2 p 1 2 p 1 avec M 2 p 1 qui est 2 premier. Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. On ne connaît aujourd’hui aucun nombre parfait impair, mais on ignore si « perfection » et imparité sont incompatibles. On ignore également si l’ensemble des nombres parfaits est infini. On ne connaît actuellement que 48 nombres parfaits, le plus grand étant égal à 257 885 160 257 885 161 1 , qui comporte 34850340 chiffres en écriture décimale ! 2 6. Répartition des nombres premiers Pour tout entier naturel non nul n, n! 1 2 3 ... n 1 n (il s’agit du produit des entiers de 1 à n). n ! se lit « factorielle n ». Soit N 101! 1. a) Soit k un entier compris entre 1 et 100. Montrer que N k n’est pas un nombre premier. b) Peut-on trouver 100 entiers consécutifs parmi lesquels aucun n’est un nombre premier ? c) Peut-on trouver 100000 entiers consécutifs parmi lesquels aucun n’est un nombre premier ? II. Premiers petits problèmes d’arithmétique 1. Le 1er janvier 2014 était un mercredi. a) Quel jour de la semaine sera le 1er novembre 2014 ? b) Soit n le nombre de jours écoulés entre le 01/01/14 et un jour J. A quelle condition sur n , le jour J est-il un mercredi ? Si le reste de la division euclidienne de n par 7 est 2, c’est-à-dire si n 7q 2 (avec q quel jour de la semaine sera le jour J ? A quelle condition sur n , le jour J est-il un dimanche ? ), 2. Clé de contrôle d'un numéro INSEE Le numéro INSEE d'un individu est constitué de 13 chiffres auxquels s'ajoutent les deux chiffres d'une clé de contrôle. - Le premier des 13 chiffres est 1 ou 2 selon qu'il s'agit d'un homme ou d'une femme. - Les deux chiffres suivants sont les derniers de l'année de naissance. - Les deux suivants le mois de naissance. - Les deux suivants le département de naissance. - Les trois suivants la commune de naissance. - Les trois derniers le numéro d'inscription sur le registre d'état civil. - Les deux chiffres de droite sont ceux de la clé de contrôle : elle permet de discerner certaines erreurs de transcription des treize premiers chiffres . 1) Définition de la clé de contrôle Si A est le nombre entier constitué par les treize premiers chiffres du numéro INSEE et r le reste de la division euclidienne de A par 97, la clé de contrôle est K 97 r . Démontrer que la clé de contrôle est un nombre entier naturel non nul d'au plus deux chiffres. 2) Calcul de la clé de contrôle a) On écrit A sous la forme A=106 B C avec B et C des entiers naturels. Que représentent B et C ? b) Effectuer la division euclidienne de 106 par 97, puis compléter : 106 .................. 97 ......... c) Montrer que le reste de la division euclidienne de 27B C par 97 est r . d) Vérifier que 80 est bien la clé du numéro INSEE inscrit sur la carte vitale ci-dessus. e) Déterminer la clé de contrôle du numéro INSEE suivant : 1 88 02 63 113 095. 3 3. Un sol rectangulaire a pour longueur 4,50 mètres et pour largeur 2,52 mètres. On souhaite le carreler complètement avec des carreaux carrés tous identiques sans effectuer de découpe. Quelle est la dimension (en centimètres) entière maximale d’un carreau ? Combien de carreaux seront-ils nécessaires ? 4. Un corps céleste C1 est visible tous les 315 jours et un corps céleste C2 est visible tous les 294 jours. Combien de jours s’écoulent entre deux apparitions simultanées de ces deux corps célestes ? 5. a) Montrer que le carré d’un nombre pair est un multiple de 4. b) Montrer que le carré d’un nombre impair est un nombre impair. c) On souhaite démontrer que 2 est un nombre irrationnel. Pour cela, on va pratiquer un raisonnement par l’absurde : on suppose que 2 est un nombre rationnel, il existe donc deux p p entiers p et q tels que 2 , avec une fraction irréductible, c’est-à-dire avec p et q qui sont q q premiers entre eux (leur seul diviseur commun positif est 1). Montrer que p 2 est pair, puis terminer le raisonnement. Pour finir, quelques suggestions de romans (disponibles en format poche) : Le Théorème du Perroquet, Denis GUEDJ Oncle Petros et la conjecture de Goldbach, Apostolos DOXIADIS La déesse des petites victoires, Yannick GRANNEC 4
