Spin et particules identiques en mecanique quantique - ENS-phys

Chapitre IX
SPIN ET PARTICULES IDENTIQUES
EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
Chapitre IX
SPIN ET PARTICULES IDENTIQUES
EN MÉCANIQUE QUANTIQUE
IX.1 Spin d’une particule
Quel est l’action d’un opérateur
^
rotation R sur un ket |r>?
63%
^
1. R|r>=|R(r)>
^
2. R|r>=|R-1(r)>
^
3. R|r>=|r>
34%
=|
r>
R|
r>
1(
r)
=|
RR|
r>
R|
r>
=|
R(
r )>
>
3%
ACTION DES ROTATIONS SUR UN ATOME
D’HYDROGÈNE
Atome d'hydrogène : H =L2 (R3 , C)  L2 (R3 , C)
Centre de masse
Variable relative
ˆ
Opérateur de translation : Tˆa (|  |   )  (eia.P / |  ) |  
Action de l’opérateur de rotation sur l’atome d’hydrogène :
Rˆθ (|  |   )  ( Rˆθ(CdM) |  )  ( Rˆθ(rel) |   )
ˆ
Rˆθ  eiθ·J /
ˆ
Rˆθ(CdM)  eiθ·L/
ˆ
Rˆθ(rel)  eiθ·S /
ˆ R
ˆ  Pˆ : moment cinétique du centre de masse.
L
Sˆ  rˆ  pˆ : moment cinétique interne
ˆ  Sˆ : moment cinétique total
Jˆ  L
Espace de Hilbert d'un système quantique : H =L2 (R3 , C)  S
ˆ
Opérateur de translation : Tˆa (|  | S  )  (eia.P / |  ) | S 
Action de l’opérateur de rotation
Rˆθ (|  | S  )  ( Rˆθ(CdM) |  )  ( Rˆθ( S) | S  )
ˆ
Rˆθ(CdM)  eiθ·L/
ˆ
Rˆθ( S )  eiθ·S /
ˆ
Rˆθ  eiθ·J /
ˆ R
ˆ  Pˆ
L
ˆ  Sˆ
Jˆ  L
| s, ms , k  : base standard de S
Sˆz | s, ms , k   ms | s, ms , k 
H   L2 (R 3, C)  E ( s, k ) 
s ,k
Sˆ 2 | s, ms , k  
2
s(s  1) | s, ms , k 
E ( s, k )  Vect(| s, ms , k  )
ms
Cette décomposition générale s’applique à une particule composite (comme
l’atome d’hydrogène).
Est-elle pertinente pour une particule fondamentale (comme l’électron) ?
EFFET ZEEMAN POUR L’ATOME D’HYDROGÈNE
Comment peut-on aller bien quand on réfléchit à l'effet Zeeman
anormal?
ˆ ) 2 e2
ˆ q A
(
P
e
Hˆ 

2me
rˆ
Jauge symétrique : A 
Br
2
2 2
ˆ 2 e2
q
q
P
e
e
ˆ ·B  A
Hˆ 
 
L
2me rˆ 2me
2me
A bas champ :
E (n, , m )
qe
Ry
 2 m
B
n
2me
qe
B 
 Magnéton de Bohr.
2me
Les états S (=0) ne bougent pas. Levée de dégénérescence des autres niveaux
(nombre impair de raies)
Expérimentalement : l’état |1S> se divise en deux sous-niveaux en présence d’un
champ magnétique !
LE SPIN DE L’ÉLECTRON
Pauli, Goudsmit, Uhlenbeck : il faut ajouter des degrés de liberté supplémentaires à
l’électron.
Hypothèse la plus simple : s=1/2 (deux états de spin).
Wigner-Ekhart : le moment magnétique est proportionnel au moment cinétique de spin
 g
ˆ   Sˆ
M
qe
2me
ˆ ) 2 e2
ˆ q A
(
P
e
Hˆ 
   Sˆ ·B
2me
rˆ
E (n, , m , ms )

qe
Ry

m
B   Bms
2
n
2me
g2 pour l’électron.
LE SPIN D’UNE PARTICULE FONDAMENTALE
L’état d’une particule fondamental est décrit par un spineur, ie un vecteur de
L2(R3,C) E(s), où s est fixé et peut prendre des valeurs entières ou demientière. s est le spin de la particule.
 L’état de la particule est décrit par 2s+1 fonctions d’ondes
 m (r)  r, ms | 
s
| ms (r) | 2 est la probabilité de trouver la particule en r dans un état de spin ms
s

ms  s
|  ms (r ) | 2 est la probabilité de la trouver en r indépendamment de son état de spin
Chapitre IX
SPIN ET PARTICULES IDENTIQUES
EN MECANIQUE QUANTIQUE
IX.2 Particules identiques en mécanique quantique
INDISCERNABILITÉ QUANTIQUE
OPÉRATEUR D’ÉCHANGE
L’opérateur d’échange P intervertit l’état quantique de deux particules
Pˆ 1: a, 2 : b  1: b, 2 : a
1
2
Propriétés de l’opérateur d’échange
Pˆ †  Pˆ
(Opérateur hermitien)
Pˆ 2  1
(Involution)
Les valeurs propres de l’opérateur d’échange sont ±1
POSTULAT DE SYMÉTRISATION
L’état physique d’un système de particules indiscernables est inchangé par l’action
de l’opérateur d’échange.
Pˆ   ei 
Propriété d’involution de l’opérateur d’échange eic = ±1
•Valeur propre +1 : particules symétriques par
échange des états; statistique de Bose-Einstein
(1924)
•Valeur propre -1 : particules antisymétriques par
échange des états; statistique de Fermi Dirac
(1926)
THÉORÈME SPIN-STATISTIQUE
Lorsque l’on considère la physique quantique relativiste (théorie quantique des
champs), on peut relier la statistique d’une classe de particules à leur spin
(Pauli 1940).
•Boson : spin entier
•Fermion : spin ½ entier
+ boson de Higgs
PARTICULES COMPOSITES
Question : l’atome d’hydrogène est-il un boson ou un fermion ?
Réponse 1: proton (spin ½)+électron (spin ½) = spin entier
Réponse 2: échange de deux atomes d’hydrogène
x-1
Echange complet : -1x-1=1
x-1
Le Lithium 6 (Z=3) est-il un boson ou
un fermion ?
77%
1. Un boson
2. Un fermion
n
fe
rm
io
Un
Un
bo
so
n
23%
Lithium 7
Lithium 6
PRINCIPE DE PAULI
Soient deux particules pouvant occuper deux états a et b. En l’absence de
symétrisation, espace de Hilbert de dimension 4.
Base:
1: a;2 : a ; 1: b;2 : b ; 1: a;2 : b ; 1: b;2 : a
Postulat de symétrisation
1: a;2 : a
Base d’états bosoniques
1: b;2 : b
1: a;2 : b  1: b;2 : a
2
« Base » d’état fermionique
1: a;2 : b  1: b;2 : a
2
Principe de Pauli (1926) : deux fermions identiques ne peuvent occuper le
même état quantique.
EXPÉRIENCE DE HONG, OU ET MANDEL
(1987)
c
a
d
b
Question: lorsqu’une particule arrive sur chaque canal d’entrée, quelle est la
probabilité d’avoir une particule sur chaque canal de sortie après traversée de la
lame semi-réfléchissante?
Réponse classique :
(cd )  1/ 2
Que se passe-t-il pour des photons ?
Cas d’un seul photon
Unitarité de l’opérateur d’évolution et choix de phase des états de base :
a 
b 
N.B. : réflexion vitreuse
c  d
2
c  d
(x-1)
2
Cas de deux photons
Postulat de symétrisation
 (0) 
1: a;2 : b  1: b;2 : a
2
Photons sans interactions
 (t  ) 
1: c;2 : c  1: d ;2 : d
2
 (cd )  0
COALESCENCE DE PHOTONS
Interprétation physique : Interférence destructive entre chemins
Réalisation expérimentale :
Que vaut P(cd) pour une paire
d’électrons ?
0
¼
½
¾
1
73%
7%
7%
10%
1
¾
½
¼
2%
0
1.
2.
3.
4.
5.
DÉGROUPEMENT D’ÉLECTRONS
Laboratoire Pierre Aigrain, ENS (2013)
CE QU’IL FAUT RETENIR
• L’espace des états le plus général d’une particule quantique est de la forme
H   L2 (R 3, C)  E ( s, k ) 
s ,k
où s désigne le moment cinétique interne de la particule.
• Dans le cas d’une particule fondamentale, la somme se réduit à un seul
terme. s est appelé le spin de la particule. s peut être entier ou demientier.
• Les particules de spin demi-entier sont des fermions. L’état quantique
d’un système de plusieurs fermions identiques est antisymétrique par
échange de leur états. Elles obéissent alors au Principe de Pauli.
• Les particules de spin entier sont des bosons. L’état quantique d’un
système de plusieurs bosons identiques est symétrique par échange de
leur états. Contrairement aux fermions plusieurs bosons peuvent occuper
le même état quantique.
A VENIR
• Méthodes d’approximation: théorie des
perturbations stationnaires.
• Effet de taille finie du proton sur le spectre
de l’atome d’hydrogène.
• Atome en champ électrique, effet Stark.