Exercice On souhaite montrer que √ 2 est un nombre

Exercice
Exercice
Nous allons faire un raisonnement par l’absurde.
Nous allons faire un raisonnement par l’absurde.
On suppose
de deux entiers a et b vérifiant
√ l’existence
a
l’égalité 2= et tels que cette fraction soit irréductible.
b
Et nous allons développer notre raisonnement jusqu’à
aboutir une contradiction mettant ainsi en échec notre hypothèse de départ.
On suppose
de deux entiers a et b vérifiant
√ l’existence
a
l’égalité 2= et tels que cette fraction soit irréductible.
b
Et nous allons développer notre raisonnement jusqu’à
aboutir une contradiction mettant ainsi en échec notre hypothèse de départ.
√
On souhaite montrer que √2 est un nombre irrationnel.
C’est à dire que le nombre 2 ne peut s’écrire sous la forme
a
d’un quotient irréductible où a et b seraient deux entiers.
b √
On notera alors 2 ∈
/ Q.
1. Montrer que a et b vérifie l’égalité :
a2 = 2b2
2. En déduire que a est un nombre pair.
Ainsi, il existe un entier c tel que :
a = 2×c.
√
On souhaite montrer que √2 est un nombre irrationnel.
C’est à dire que le nombre 2 ne peut s’écrire sous la forme
a
d’un quotient irréductible où a et b seraient deux entiers.
b √
On notera alors 2 ∈
/ Q.
1. Montrer que a et b vérifie l’égalité :
a2 = 2b2
2. En déduire que a est un nombre pair.
Ainsi, il existe un entier c tel que :
a = 2×c.
3. En utilisant la question 1. , en déduire la parité de b.
a
4. Est ce que la fraction est irréductible ?
b
Nous venons d’aboutir à une contradiction. Notre raisonnement étant correct, nous devons√remettre en cause notre
hypothèse de départ : le nombre 2 ne peut s’écrire sous
la forme d’une fraction irréductible.
3. En utilisant la question 1. , en déduire la parité de b.
a
4. Est ce que la fraction est irréductible ?
b
Nous venons d’aboutir à une contradiction. Notre raisonnement étant correct, nous devons√remettre en cause notre
hypothèse de départ : le nombre 2 ne peut s’écrire sous
la forme d’une fraction irréductible.
Correction
Correction
√
a
1. De l’égalité 2 = , on a la relation :
b
√
2×b = a
Deux nombres égaux ont leurs carrés égaux
)2
(√
2×b = a2
(√ )2 2
2 ×b = a2
2×b2 = a2
√
a
1. De l’égalité 2 = , on a la relation :
b
√
2×b = a
Deux nombres égaux ont leurs carrés égaux
)2
(√
2×b = a2
(√ )2 2
2 ×b = a2
2×b2 = a2
2. Le nombre 2×b2 étant pair. De l’égalité de la question
1. , on en déduit que le nombre a2 est pair.
D’après l’indication, on en déduit que le nombre a est
pair.
2. Le nombre 2×b2 étant pair. De l’égalité de la question
1. , on en déduit que le nombre a2 est pair.
D’après l’indication, on en déduit que le nombre a est
pair.
3. a étant un nombre pair, il admet l’écriture :
a = 2×c où c entier.
De l’égalité de la question 1. , on a :
a2 = 2×b2
(2×c)2 = 2×b2
3. a étant un nombre pair, il admet l’écriture :
a = 2×c où c entier.
De l’égalité de la question 1. , on a :
a2 = 2×b2
(2×c)2 = 2×b2
22 ×c2 = 2×b2
4×c2 = 2×b2
2×c2 = b2
De la dernière égalité, on en déduit que le nombre b2
est pair ; de l’indication de la question 2. , on en déduit
que le nombre b est pair.
22 ×c2 = 2×b2
4×c2 = 2×b2
2×c2 = b2
De la dernière égalité, on en déduit que le nombre b2
est pair ; de l’indication de la question 2. , on en déduit
que le nombre b est pair.
4. D’après la question 2. et 3. , les nombres a et b
a
sont pair. On en déduit que la fraction
n’est pas
b
irréductible.
4. D’après la question 2. et 3. , les nombres a et b
a
sont pair. On en déduit que la fraction
n’est pas
b
irréductible.
Notre hypothèse de départ est donc fausse.
Notre hypothèse de départ est donc fausse.
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Définition :
Un entier a est dit pair s’il est divisible par 2.
Définition :
Un entier a est dit pair s’il est divisible par 2.
Proposition :
Tout nombre paire s’écrit sous la forme :
2×k où k est un entier.
Proposition :
Tout nombre paire s’écrit sous la forme :
2×k où k est un entier.
Preuve :
a est divisible par 2. Notons k le quotient de a par 2. La
division euclidienne de a par 2 s’écrit :
a = 2×k + 0
a = 2×k
Preuve :
a est divisible par 2. Notons k le quotient de a par 2. La
division euclidienne de a par 2 s’écrit :
a = 2×k + 0
a = 2×k
Définition :
Un entier a est dit impair s’il n’est pas pair
.
Définition :
Un entier a est dit impair s’il n’est pas pair
Proposition :
Tout nombre impair s’écrit sous la forme :
2×k+1 où k est un entier.
Proposition :
Tout nombre impair s’écrit sous la forme :
2×k+1 où k est un entier.
Preuve :
Par la division euclidienne par 2, le reste ne peut prendre
que les valeurs 0 ou 1. L’entier a n’étant pas divisible par
2, on en déduit l’écriture de la division euclidienne :
a = 2×q + 1 où q est le quotient.
Preuve :
Par la division euclidienne par 2, le reste ne peut prendre
que les valeurs 0 ou 1. L’entier a n’étant pas divisible par
2, on en déduit l’écriture de la division euclidienne :
a = 2×q + 1 où q est le quotient.
Proposition :
Proposition :
La somme de deux entiers pair est un entier pair.
La somme de deux entiers pair est un entier pair.
La somme de deux entiers impair est un entier pair.
La somme de deux entiers impair est un entier pair.
La somme d’un entier impair est un entier pair.
La somme d’un entier impair est un entier pair.
Preuve :
Preuve :
a = 2×k et b = 2×k ′
A faire!
a = 2×k et b = 2×k ′
A faire!
a = 2×k et( b = )2×k(′ + 1
)
a + b = 2×k + 2×k ′ + 1
(
)
= 2× k + k ′ + 1
a = 2×k et( b = )2×k(′ + 1
)
a + b = 2×k + 2×k ′ + 1
(
)
= 2× k + k ′ + 1
= 2×K + 1
A+b est un entier impair.
= 2×K + 1
A+b est un entier impair.
a = 2×k et b = 2×k ′ + 1
A faire!
a = 2×k et b = 2×k ′ + 1
A faire!
Proposition :
Proposition :
Le produit de deux entiers pairs est un entier pair.
Le produit de deux entiers pairs est un entier pair.
Le produit de deux entiers impairs est un entier impair.
Le produit de deux entiers impairs est un entier impair.
Le produit d’un entier pair et d’un entier impair est
un entier impair.
Le produit d’un entier pair et d’un entier impair est
un entier impair.
Preuve :
Preuve :
a = 2×k et b = 2×k ′
A faire!
a = 2×k et b = 2×k ′
A faire!
′
a = 2×k +
( 1 et b =) 2×k
( +′ 1 )
a×b = 2×k + 1 × 2×k + 1
(
)
= 2× 2×k×k ′ + k + k ′ + 1
′
a = 2×k +
( 1 et b =) 2×k
( +′ 1 )
a×b = 2×k + 1 × 2×k + 1
(
)
= 2× 2×k×k ′ + k + k ′ + 1
= 2×K + 1
a×b est un entier impair.
= 2×K + 1
a×b est un entier impair.
a = 2×k et b = 2×k ′ + 1
A faire!
a = 2×k et b = 2×k ′ + 1
A faire!
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