Transparents du cours

Microéconomie
Sébastien Rouillon
2011
(1-ière version 2008)
1. Th. du choix rationnel
On note :
A = {a, b, …} = l’ens. des choix possibles ;
R = une relation de préférence, déf. sur A.
La proposition :
aRb
se lit :
"Le choix a est au moins aussi bon que
le choix b".
1. Th. du choix rationnel
On dit que la relation de préférence R
est rationnelle si :
• elle est complète : pour tout x et y
de A, on a x R y ou y R x ;
• elle est transitive : pour tout x, y et
z de A, si x R y et y R z, alors x R z.
1. Th. du choix rationnel
On déduit de R une relation :
• de préférence stricte, notée P :
a P b équivaut à : a R b et non b R a.
• d’indifférence, notée I :
a I b équivaut à : a R b et b R a.
1. Th. du choix rationnel
La fonction U(x), définie sur A,
représente R si, pour tout x et y dans
A, x R y équivaut à U(x) ≥ U(y).
On dit alors que U est une fonction
d’utilité représentant la relation de
préférence R.
2. Le consommateur
Le problème du consommateur est de
choisir quelles quantités acheter des
biens disponibles dans l’économie.
Notons :
K = le nombre de biens disponibles ;
x = (x1, …, xK)  IRK = un plan de
consommation du consommateur.
2.1 L’ensemble de
consommation
Les choix du consommateur sont limités par
des contraintes physiques et/ou légales.
Par ex. :
• le temps de loisir est au plus égal à 24h/j ;
• en Europe, le temps de travail ne peut pas
dépasser 48h par semaine.
2.1 L’ensemble de
consommation
On définit l’ensemble de consommation, noté
X, comme tous les plans de consommation
compatibles avec ces contraintes.
Sauf mention contraire, on supposera que :
X = {x  IRK ; xk ≥ 0, pour k = 1, …, K}
2.2 L’ensemble de budget
Les choix du consommateur sont aussi limités
par les prix des biens et son revenu.
On note :
p = (p1, …, pK) = le vecteur de prix (p >> 0) ;
R = le revenu du consommateur (R > 0).
2.2 L’ensemble de budget
On définit l’ensemble de budget, noté
B, comme tous les plans de
consommation coûtant au plus le
revenu du consommateur :
B = {x  IRK ; p•x = Σk pk xk  R}
2.3 Représentation
graphique
x2
X
B
XB
x1
Droite de budget
Le consommateur
doit choisir un plan
de consommation
dans X (contraintes
physiques et/ou légales)
et dans B (contraintes
économiques).
2.4 Les préférences du
consommateur
On note R la relation de préférence du
consommateur, définie sur son
ensemble de consommation X.
Pour la suite, on suppose (sauf mention
contraire) que R est rationnelle,
monotone, strictement convexe et
continue.
2.4 Les préférences du
consommateur
Pour tout panier de consommation x dans X,
on peut définir trois sous-ensembles de X :
• l’ens. des paniers au moins aussi bon que x :
(+) = {x’  X ; x’ R x} ;
• l’ens. des paniers équivalents à x :
(~) = {x’  X ; x’ I x} ;
• l’ens. des paniers au plus aussi bon que x :
(-) = {x’  X ; x R x’}.
2.4.1 Préférences
monotones
x2
On dit que R est
monotone si, pour
tout x et x’ dans X,
x’ >> x implique x’ P x.
x’
x•
•
x1
Donc, l’ens. (+) des
points au moins aussi
bien que x contient
tous les points au NE
de x.
2.4.2 Préférences
strictement convexes
x2
On dit que R est strict.
convexe si, pour tout x,
x’ R x et x’’ R x
impliquent que
(t x’ + (1–t) x’’) P x,
pour tout 0 < t < 1.
x’
•
x•
x’’
•
x1
Cela implique que l’ens.
(+) des points au moins
aussi bien que x est
convexe.
2.4.3 Préférences
continues
x2
(+)
(~)
(-)
x•
x1
Courbe d’indifférence
On dit que R est
continue si, pour tout x,
l’ens. (+) des points au
moins aussi bien que x
et l’ens. (-) des points
au plus aussi bien que x
sont tous les deux
fermés (ils contiennent
leur frontière).
2.5 Fonction d’utilité
La proposition suivante justifie l’intérêt de
supposer la continuité de R :
Si la relation de préférences R du
consommateur est rationnelle et continue,
il existe une fonction d’utilité U(x)
continue représentant R.
2.5 Fonction d’utilité
Il convient de comprendre qu’ainsi
construite, une fonction d’utilité n’est
qu’une autre manière (plus commode
mathématiquement) de représenter les
préférences du consommateur.
C’est un indice, construit pour représenter
un classement des paniers de biens.
2.5 Fonction d’utilité
La propriété suivante peut aider à y voir plus
clair :
Si U(x) est une fonction d’utilité
représentant R, toute fonction f(U(x)), où
f : IR  IR est strictement croissante,
est aussi une fonction d’utilité
représentant R.
On dit que la fonction d’utilité U(x) est
ordinale.
2.5 Fonction d’utilité
Ainsi, le terme "utilité" ne renvoie à aucune
idée de mesure du bien-être, puisque le
nombre U(x), associé au panier de
consommation x, n’a aucune signification.
2.5 Fonction d’utilité
Pour tout plan de consommation x dans
X, on peut redéfinir les ensembles
(~), (+) et (-), en utilisant U(x) :
(+) = {x’  X ; U(x’) ≥ U(x)} ;
(~) = {x’  X ; U(x’) = U(x)} ;
(-) = {x’  X ; U(x) ≥ U(x’)}.
2.5.1 Propriétés
Les propriétés suivantes de U(x) découlent
des hypothèses posées sur R :
• Elle est croissante : si x’ >> x, alors U(x’) >
U(x). (Car R est monotone.)
• Elle est strictement quasi-concave : pour
tout x’ et x’’, U(t x’ + (1 – t) x’’) > min{U(x’),
U(x’’)}, pour tout 0 < t < 1. (Car R est
strictement convexe.)
2.5.2 Représentation
graphique
x2
x1
Les courbes d’indif. ne
se croisent pas.
Elles tournent leur
concavité vers l’origine.
L’indice d’utilité associée croît à mesure
qu’on s’éloigne de l’origine.
2.5 Exercices
On considère le cas K = 2 et la fonction
d’utilité U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1.
(Famille des fonctions d’utilité dites CobbDouglas.)
On prendra le cas où a = 1/2.
Tracer les courbes d’indifférence U(x) = u,
pour u = 0, 1, 2.
Représenter les ensembles (+) et (-) associés
au panier de bien x = (1, 1).
2.6 Hypothèses
Ci-dessous, on admet l’hypothèse de
concurrence pure et parfaite. On
suppose donc que le consommateur
considère les prix comme des
données et pense pouvoir acheter ou
vendre aux prix du marché toute
quantité qu’il désire.
2.6 Hypothèses
Les hypothèses suivantes sont implicites
dans toute la théorie à suivre :
• Information parfaite : Le consommateur
connaît ses préférences, les prix et son
revenu ;
• Rationalité parfaite : Le consommateur
peut résoudre, sans coût et sans erreur,
n’importe quel problème d’optimisation sous
contrainte.
2.7 L’équilibre du
consommateur
Le problème du consommateur est de
choisir, dans son ensemble de
consommation X et dans son
ensemble de budget B, un panier de
consommation x, pour obtenir une
utilité U(x) la plus grande possible.
2.7 L’équilibre du
consommateur
On définit un équilibre du consommateur
comme toute solution x* du problème de
maximisation de l’utilité suivant :
Max U(x),
sous les contraintes :
x  X,
Σk pk xk  R.
2.7.1 Questions
techniques
Sous les hypothèses retenues, il existe un
unique équilibre du consommateur.
L’existence découle du fait qu’on maximise
une fonction continue sur un ensemble non
vide, fermé et borné.
L’unicité découle de la quasi-concavité
stricte de la fonction d’utilité (ou, de
façon équivalente, de la convexité stricte
de R).
2.7.2 Détermination
graphique
x2
R/p2
x*
XB
•
R/p1
x1
Le pb revient à trouver
x dans X et B, qui soit
sur une courbe d’indif.
la plus éloignée possible
de l’origine. L’équilibre
x* se situe au point de
tangence entre cette
courbe d’indif. et la
droite de budget (pour
une sol° intérieure).
2.7.3 Conditions
marginales
On suppose ici que la fonction d’utilité
U(x) est continûment différentiable.
On définit le taux marginal de
substitution en x du bien 1 par le bien
k, noté TMS1k, par :
TMS1k = U1’(x)/Uk’(x).
2.7.3 Conditions
marginales
Le TMS1k en x mesure le nombre d’unités du
bien k qui, compte tenu des préférences du
consommateur, sont nécessaires pour
compenser la perte d’une unité (infiniment
petite) du bien 1, à partir du panier de
consommation x.
Graphiquement, c’est la pente, au point x, de
la courbe d’indifférence passant par x (en
valeur absolue), dans le plan (O, x1, xk).
2.7.3 Conditions
marginales
x2
R/p2
x*
XB
•
TMS12
p1/p2
R/p1 x1
Si l’éq. x* du conso. est
intérieur à X, la courbe
d’indif. passant par x*
et la droite de budget
sont tangentes en x*.
Donc, elles ont même
pente : TMS12 = p1/p2,
et x* appartient à la
droite de budget.
NB : Les pentes sont données en v.a.
2.7.3 Conditions
marginales
En généralisant, on obtient l’importante
propriété :
S’il est intérieur à X, un équilibre du
consommateur x* vérifie les conditions :
TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,
Σk pk xk* = R,
où les TMS1k sont calculés en x*.
2.7.3 Conditions
marginales
On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien.
Si x* est une solution intérieure du problème de
maximisation de l’utilité, il existe un nombre a
(appelé multiplicateur de Lagrange) et une
fonction (appelée fonction Lagrangienne) :
L(x) = U(x) – a (Σk pk xk – R),
tels que x* vérifie les conditions :
Lk’(x*) = Uk’(x*) – a pk = 0, pour k = 1, …, K,
Σk pk xk* = R.
2.7 Exercices
1) Construire une figure où l’équilibre du
consommateur est sur la frontière de
l’ensemble de consommation.
2) Calculer l’équilibre du consommateur dans
le cas d’une fonction Cobb-Douglas, avec
a = p1 = p2 = 1/2 et R = 1.
2.8 Problème dual
Pour la suite, on doit aussi étudier le
problème de minimisation de la
dépense suivant :
Min p•x = Σk pk xk,
sous les contraintes :
x  X,
U(x) ≥ u.
2.8.1 Questions
techniques
Sous les hypothèses retenues, il a une
solution unique.
L’existence découle du fait qu’on maximise
une fonction continue sur un ensemble non
vide, fermé et borné inférieurement.
L’unicité découle de la quasi-concavité
stricte de la fonction d’utilité (ou, de
façon équivalente, la convexité stricte de
R).
2.8.2 Détermination
graphique
x2
U(x) ≥ u
•x*
x1
Droites de budget :
p•x = Cste
Le pb revient à trouver
x  X tel que U(x) ≥ u,
qui soit sur une droite
de budget p•x = Cste
la plus proche possible
de l’origine.
L’équilibre x* se situe
au point de tangence
de cette droite avec
la courbe d’indif.
U(x) = u (pour une sol°
intérieure).
2.8.3 Conditions
marginales
Supposons à nouveau que U(x) soit continûment différentiable.
La propriété suivante caractérise une solution intérieure du
problème de minimisation de la dépense.
Si elle est intérieure à X, une solution x* du problème de
minimisation de la dépense vérifie les conditions :
TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,
U(x*) = u,
où les TMS1k sont calculés en x*.
2.8.3 Conditions
marginales
x2
U(x) = u
x*
•
TMS12
p1/p2
x1
Ce graphique illustre
et justifie la propriété
précédente.
La solution x* du pb
est au point de tangence
entre la courbe d’indif.
et la droite de budget.
Donc, TMS12 = p1/p2 et
U(x*) = u.
2.9 Définitions des
fonctions de demande
On peut déduire des problèmes précédents les
définitions de deux fonctions de demande.
Le problème de maximisation de l’utilité détermine
une fonction de demande dite marshallienne (ou
non compensée).
Le problème de minimisation de la dépense
détermine une fonction de demande dite
hicksienne (ou compensée).
Elles sont bien définies, du fait de l’existence et de
l’unicité des solutions.
2.9.1 Fonctions de
demande marshalliennes
On définit la f° de demande
marshallienne (ou non compensée),
comme la fonction d(p, R), qui associe
à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK)
et à tout revenu R, la solution
correspondante x* = (x1*, …, xK*) du
problème de maximisation de l’utilité.
2.9.2 Fonctions de
demande hicksiennes
On définit la f° de demande hicksienne
(ou compensée), comme la fonction
h(p, u), qui associe à tout vecteur de
prix p = (p1, …, pK) et à tout niveau
d’utilité u ≥ U(0), la solution
correspondante x* = (x1*, …, xK*) du
problème de minimisation de la
dépense.
2.9 Exercices
En considérant la famille des fonctions d’utilité
Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1,
montrer que :
• les f° de demande marshalliennes s’écrivent :
d1(p1, p2, R) = a R/p1 ;
d2(p1, p2, R) = (1–a) R/p2.
• les f° de demande hicksiennes s’écrivent :
h1(p1, p2, u) = [ap2/(1–a)p1]1–a u ;
h2(p1, p2, u) = [(1–a)p1/ap2]a u.
2.10 Propriétés des f° de
demande
La fonction de demande marshallienne
vérifie les propriétés suivantes :
• Elle est homogène de degré 0 : d(t p,
t R) = d(p, R), pour tout t > 0 ;
• Elle vérifie la loi de Walras : Σk pk
dk(p, R) = R ;
• Elle est continue.
2.10 Propriétés
x2
R/p2
x*
XB
•
R/p1
x1
Si on multiplie tous les
prix et le revenu par un
même nombre positif,
le problème du conso.
est inchangé (l’ens. XB
et la famille des courbes
d’indif. ne changent pas)
et a donc même solution.
Preuve de la première propriété.
2.10 Propriétés
x2
R/p2
x’
•
x*•
XB
R/p1
x1
Si x* est intérieur à B,
il existe x’ dans XB
tel que x’ >> x*.
Or, comme les préf.
sont monotones, on a
alors U(x’) > U(x*).
Ceci contredit le fait
que x* soit équilibre
du conso.
Preuve (par l’absurde)
de la seconde propriété.
2.10 Propriétés
On a des propriétés similaires pour la
fonction de demande hicksiennes :
• Elle est homogène de degré 0 en p :
h(t p, u) = h(p, u), pour tout t > 0 ;
• Elle vérifie : U(h(p, u)) = u ;
• Elle est continue.
2.10 Propriétés
x2
U(x) = u
•x*
x1
Si on multiplie tous les
prix par un même
nombre positif, le pb
de min° de la dép. est
inchangée (mêmes
contraintes, même
objectif). Il a donc
même solution.
Preuve de la première propriété.
2.10 Propriétés
x2
U(x) = u
x*
•
•
x’
x1
Si U(x*) > u, posons
x’ = t x*, 0 < t < 1. Pour
t assez proche de 1, on
a : U(x’) ≥ u (car U est
continue) et x’ << x*.
Donc, x* n’est pas sol°
du pb de minimisation
de la dépense (car on a
p•x’ < p•x* et U(x’) ≥ u).
Preuve (par l’absurde)
de la seconde propriété.
2.10 Exercices
En considérant la famille des fonctions
d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a,
avec 0 < a < 1, vérifier ces propriétés
des fonctions de demande
marshallienne et hicksienne.
2.11 Variations du revenu
x2
Sentier
d’expansion
du revenu
x-
•
x*
•
x+
•
R- < R < R+
x1
Une var° du rev. se
traduit par un déplacement parallèle de la
droite de budget.
Les éq. du conso.
consécutifs décrivent
une courbe, appelée
sentier d’expansion du
revenu.
2.11 Variations du revenu
Sur la figure précédente, la demande des
deux biens augmente avec le revenu.
On parle de biens supérieurs.
Il est possible de construire des exemples où
la demande d’un des biens diminue avec le
revenu.
On parle de biens inférieurs.
2.11 Exercices
1) Donner un exemple de graphique où
le bien 1 est un bien inférieur.
2) Déterminer l’expression du sentier
d’expansion du revenu pour la
famille des fonctions d’utilité CobbDouglas.
2.12 Variations des prix
x2
Courbe
prixconso.
R/p2
x’
•
x*
•
p1’ > p1 > p1’’
x’’
•
R/p1
x1
On représente ici
l’effet d’une variation
du prix du bien 1
(de p1 à p1’ ou à p1’’).
En parcourant tous les
prix p1 possibles, puis
en reliant les équilibres
associés, on trace une
courbe, dite courbe
prix-consommation.
2.12 Variations des prix
x1
Dans le plan (O, p1, x1),
il découle de la figure
précédente la représentation suivante
d’une courbe de
demande (p2 et R étant
donnés).
d1(p1, p2, R)
x1’’
x1 *
x1 ’
•
p1’’
•
p1
•
p1 ’
p1
2.12 Variations du prix
En se reportant à la première figure,
on constate que :
• la demande du bien 1 diminie avec p1 ;
• celle du bien 2 augmente avec p1.
Ceci paraît intuitif.
L’exemple suivant montre que d’autres
cas sont possibles.
2.12 Variations des prix
x2
R/p2
x*
•
x’
•
R/p1’
R/p1 x1
Dans cet exemple, le
prix du bien 1 passe de
p1 à p1’, avec p1’ > p1.
L’éq. du conso. passe de
de x* à x’.
Comme x1’ > x1*, la dem.
du bien 1 augmente
avec son prix !
2.12 Variations du prix
Pour y voir clair, il faut comprendre qu’une
hausse de p1 (p2 et R restant inchangés par
ailleurs) produit à la fois :
• Un effet de prix relatifs : le bien 1 devient
plus cher, par rapport au bien 2 ;
• Un effet de revenu : le pouvoir d’achat du
consommateur diminue.
2.12 Variations des prix
x2
R/p2
•
x’
•
x’’
x*
•
R/p1’
R’/p1’
R/p1
x1
Dans la 1-ière fig.,
ajoutons, pour l’analyse,
la droite de budget en
pointillés, associée au
prix p1’ et à un rev. R’,
ce dernier étant calculé
pour que l’éq. du conso.
associé x’’, soit sur la
courbe d’indif. initiale.
On appelle R’ le revenu
compensé.
2.12 Variations du prix
Cette construction a l’avantage de permettre
de décomposer le passage de x* à x’ en :
• Un effet de substitution, de x* à x’’,
prenant en compte uniquement la
modification des prix relatifs ;
• Un effet de revenu, de x’’ à x’, prenant en
compte uniquement la variation du pouvoir
d’achat.
2.12 Variations des prix
La propriété suivante permet d’affirmer que l’effet
de substitution joue bien dans le sens attendu.
Pour tous vecteurs de prix p’ et p’’ strictement
positifs, la fonction de demande Hicksienne h(p, u)
vérifie :
(p’’ – p’)•(h(p’’, u) – h(p’, u))  0.
Autrement dit, elle satisfait la "loi de la demande"
(les prix et les quantité variant en sens inverses).
2.12 Variations du prix
Pour montrer cette propriété, notons x’ = h(p’, u) et
x’’ = h(p’’, u).
Comme (par déf°), pour tout p et u, h(p, u) minimise
la dépense p•x pour atteindre l’utilité U(x) = u, on
a en particulier :
p’’•x’’  p’’•x’ et p’•x’’ ≥ p’•x’.
En soustrayant membres à membres, on obtient :
(p’’ – p’)•x’’  (p’’ – p’)•x’,
d’où découle directement le résultat.
2.12 Exercices
Soit un consommateur, caractérisé par une fonction
d’utilité U(x) = x11/2 x21/2.
Dans l’état initial, où p1 = p2 = 1/2 et R = 1, calculer
l’équilibre du consommateur x*.
Même question dans l’état final, où p1 = 1, p2 et R
restant inchangé, en notant x’ la solution.
Décomposer le passage de x* à x’ pour mettre en
évidence les effet de sub° et de rev. (Trouver la
solution x’’ du problème de minimisation de la
dépense pour atteindre l’utilité de l’état initial
U(x*) avec les prix de l’état final.)
2.13 Exercices
récapitulatifs
1) Refaire tous les exercices, pour le cas où
la fonction d’utilité est du type Leontief :
U(x) = Min{a x1 ; (1–a) x2}, 0 < a < 1.
Pour l’exercice 2.12, on posera a = 1/2,
pour pouvoir comparer.
2.13 Exercices
récapitulatifs
2) Refaire tous les exercices, pour le
cas où la fonction d’utilité est du
type CES :
U(x) = (a x1r + (1–a) x2r) 1/r, r  0 < 1,
où CES est l’abbréviation de
Constant Elasticity of Substitution.
Laisser de côté l’exercice 2.12
2.14 Compléments
On définit la fonction d’utilité
indirecte, notée v(p, R), comme la
fonction associant à tout vecteur de
prix p et à tout revenu R, le niveau
d’utilité obtenu à l’équilibre du
consommateur :
v(p, R) = U(d(p, R)).
2.13 Compléments
On a la propriété suivante, appelée identité
de Roy :
v(p, R)/pk
dk(p, R) = –
, k = 1, …, K.
v(p, R)/R
Elle permet de calculer les fonctions de dem.
marshalliennes dk(p, R), à partir de la
fonction d’utilité indirecte v(p, R).
2.13 Compléments
On définit la fonction de dépense,
notée e(p, u), comme la fonction
associant à tout vecteur de prix p et
à toute utilité u, la dépense minimum
pour atteindre l’utilité u :
e(p, u) = Σk pk hk(p, u).
2.13 Compléments
On a la propriété suivante :
hk(p, u) = – e(p, u)/pk, k = 1, …, K.
Elle permet de calculer les fonctions de
dem. marshalliennes dk(p, w) à partir
de la fonction de dépenses e(p, u).
2.13 Compléments
Enfin, on a la propriété suivante, appelée équation de
Slutsky :
xi(p, R) hi(p, R) xi(p, R)
=
+
xj(p, R),
pj
pj
R
pour tout i, j = 1, …, K.
Cette équation exprime la décomposition des effets
de revenu et de substitution sous forme
analytique.
2.13 Exercice
En considérant la famille des fonctions
d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a,
avec 0 < a < 1, vérifier l’ensemble des
ces résultats.
3. Le Producteur
Le problème du producteur est de choisir
quelles quantités produire des biens k = 1,
…, K.
Notons :
y = (y1, …, yK)  IRK = un plan de p°,
où, par convention, une composante yk
positive représente un output et une
composante yk négative représente un
input.
3.1 La technologie du
producteur
Du fait de contraintes techniques et/ou
institutionnelles, certains plans de
production y sont réalisables, d’autres non.
Par ex. :
• La production d’une automobile nécessite
au moins une tonne d’acier ;
• La durée du travail hebdomadaire est
limitée légalement à 48h.
3.1 La technologie du
producteur
En toute généralité, on représente la
technologie du producteur comme un sousensemble Y de IRK, appelé ensemble de
production, tel qu’un plan de production y
est réalisable si, et seulement si, il
appartient à Y.
La technologie est alors implicitement
déterminée par les propriétés de
l’ensemble de production Y.
3.1.1 Hypothèses
Par la suite, on admet toujours que
l’ensemble de production Y est non vide,
fermé (il contient sa frontière) et
convexe.
La convexité de l’ensemble de production Y
signifie que si y et y’ sont deux plans de
production réalisables (i.e., éléments de Y),
le plan de production t y + (1-t) y’ est aussi
réalisable, pour tout 0 < t < 1.
3.1.2 Exemple
y2
•
y’
•y’’
Y
y1
Cette fig. donne un ex.
d’ens. de p° Y non vide,
fermé et convexe.
Comme Y est fermé,
il contient sa frontière.
Comme Y est convexe,
il contient tout segment
joignant deux quelconque de ses points.
3.1.3 Autres propriétés
On énumère ci-dessous d’autres propriétés souvent
utilisées des ensembles de production :
• Non gratuité :
Y  IR++K =  ;
• Destruction sans coût des excédents :
Si y  Y et y’  y, alors y’  Y ;
• Irréversibilité :
Si y  Y et y  0, alors - y  Y ;
• Rendements d’échelle constants :
Si y  Y, alors t y  Y, pour tout t > 0.
3.1.3 Autres propriétés
y2
•
y
y1
Y
Cette fig. représente
un ens. de p° vérifiant
la condition de rdts
d’échelle constants.
Elle traduit l’idée
naturelle selon laquelle
un plan de p° peut être
répliqué à différentes
échelles.
3.1.3 Frontière de
transformation
y2
•
y
Y
y1
Frontière de
transformation
On dit que le plan de
production y  Y est
efficace s’il n’existe
aucun autre plan de
production y’  Y tel
que y’ ≥ y.
On appelle frontière
de transformation
l’ens. des plans de p°
efficaces.
Graphiquement, c’est
la frontière NE de Y.
3.2 Fonction de
transformation
Une fonction F(y), définie sur IRK,
représente l’ensemble de production Y si :
F(y)  0  y  Y ;
F(y) = 0  y est efficace.
On dit que F(y) est une fonction de
transformation représentant la
technologie Y.
3.2 Exercices
Représenter les ensembles de
production Y, associés aux fonctions
de transformation suivantes :
F(y) = y1 + y2 ;
F(y) = y1 + (y2)2, si y1  0,
> 0, sinon.
3.3 L’équilibre du
producteur
Dans ce chapitre, on admet l’hypothèse
de concurrence pure et parfaite.
On suppose donc que le producteur
considère les prix comme des
données et pense pouvoir acheter ou
vendre aux prix du marché toute
quantité qu’il désire.
3.3 L’équilibre du
producteur
Le problème du producteur est de
choisir, dans son ensemble de
production Y, un plan de production y,
afin de réaliser un profit p = p•y = Σk
pk yk le plus grand possible.
3.3 L’équilibre du
producteur
On définit un équilibre du producteur
comme toute solution y* du problème
de maximisation du profit :
max Σk pk yk,
sous la contrainte :
yY.
3.3.1 Détermination
graphique
y*
•
y2
YY
y1
Droites d’iso-profit,
d’équation p•y = p.
Le pb revient à choisir
y dans Y, qui soit sur
une droite d’iso-profit
p•y = p la plus éloignée
possible de l’origine.
L’équilibre y* se situe
au point de tangence
de cette droite d’isoprofit avec la frontière
de transformation.
3.3.2 Questions
techniques
p’’•y = p
y2
p’•y = p
Y
y1
L’existence et l’unicité
ne sont pas assurées,
sous les hyp. retenues.
Dans cet exemple :
- il n’y a pas d’équilibre
pour les prix p’ ;
- il y a une infinité
d’équilibres pour les
prix p’’.
3.3.3 Conditions
marginales
On suppose ici que la fonction de
transformation F(y) est continûment
différentiable.
Pour tout plan de production efficace y
(c’est-à-dire, vérifiant F(y) = 0), on définit
le taux marginal de transformation en y du
bien 1 en bien k, noté TMT1k, par :
TMT1k = F1’(y)/Fk’(y).
3.3.3 Conditions
marginales
Le TMT1k en y mesure le nombre d’unités
supplémentaires du bien k que le
producteur peut produire, s’il diminue d’une
unité (infiniment petite) sa production du
bien 1, à partir du plan de production
efficace y.
Graphiquement, c’est la pente, au point y, de
la frontière de transformation (en valeur
absolue), dans le plan (O, y1, yk).
3.3.3 Conditions
marginales
p1/p2
•
y*
y2
TMT12
y1
Si y* est un éq. du prod.,
la droite d’isoprofit
passant par y* et la
frontière de transformation sont tangentes
en y*.
Donc, elles ont même
pente : TMT12 = p1/p2,
et y* vérifie F(y*) = 0.
3.3.3 Conditions
marginales
En généralisant, on obtient l’importante
propriété :
Un équilibre du producteur y* vérifie les
conditions :
TMT1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,
F(y*) = 0,
où les TMT1k sont calculés en y*.
3.3.3 Conditions
marginales
On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien.
Si y* est une solution du problème de maximisation
du profit, il existe un multiplicateur de Lagrange
a et une fonction Lagrangienne :
L(y) = Σk pk yk – a F(y),
tels que y* vérifie les conditions :
Lk’(y*) = pk– a Fk’(y*) = 0, pour k = 1, …, K,
F(y*) = 0.
3.3 Exercices
On suppose que la fonction de
transformation du producteur est
définie par :
F(y) = y1 + (y2)2, si y1  0,
> 0, sinon.
Calculer l’équilibre du producteur dans
le cas où p1 = p2 = 1/2.
3.4 Définition des
fonctions d’offre
Supposons que le problème de maximisation
du profit admette une solution unique pour
tout vecteur de prix p.
On définit la f° d’offre (nette) du
producteur comme la fonction s(p), qui
associe à tout vecteur de prix p = (p1, …,
pK), la solution correspondante y* = (y1*, …,
yK*) du problème de maximisation du
profit.
3.4 Définition des
fonctions d’offre
La fonction d’offre est dite nette car
on aura :
• sk(p) > 0, pour certains k, signifiant
que le producteur offre le bien k ;
• sk(p) < 0, pour d’autres k, signifiant
que le producteur demande le bien k
(facteur de production).
3.5 Propriétés des f°
d’offre (nette)
On a les propriétés suivantes de la fonction
d’offre :
• Elle est homogène de degré 0 : s(t p) =
s(p), pour tout t > 0 ;
• Elle est efficace : F(s(p)) = 0 ;
• Elle vérifie la "loi de l’offre" : pour tous p’
et p’’, on a : (p’ – p’’)•(s(p’) – s(p’’)) ≥ 0.
3.5 Propriétés des f°
d’offre (nette)
y*
•
y2
YY
y1
Si tous les prix sont
multipliés par une même
constante positive, le
pb. du prod. ne change
pas (ni l’ens. de p°, ni la
famille des droites d’isoprofit ne changent).
Donc, l’équilibre y* ne
change pas.
Preuve de la première propriété.
3.5 Propriétés des f°
d’offre (nette)
y2
Supposons que l’éq. du
y
producteur y* ne soit
y*
pas efficace : F(y*) < 0.
Donc, il existe y >> y*
tel que F(y)  0.
YY
Tous les prix étant
y1 positifs, on a alors :
p•y > p•y*, ce qui
contredit le fait que y*
soit éq.
Preuve (par l’absurde)
de la seconde propriété.
••
3.5 Propriétés des f°
d’offre (nette)
Notons y’ = s(p’) et y’’ = s(p’’).
Comme (par déf°), pour tout p, s(p) maximise
le profit p•y dans l’ensemble Y, on a en
particulier :
p’’•y’’ ≥ p’’•y’ et p’•y’’  p’•y’.
En soustrayant membres à membres, on
obtient :
(p’’ – p’)•y’’ ≥ (p’’ – p’)•y’,
d’où découle directement le résultat.
Preuve de la dernière propriété.
3.6 Un seul output
Dans les exercices, il est souvent plus
commode de supposer que le producteur
produit un unique bien, en utilisant les K-1
autres biens comme inputs.
Ci-dessous, on admet que :
• les biens k = 1, …, K-1, sont les inputs ;
• le bien K est l’output.
3.6 Un seul output
Dans ce cas, on représente la
technologie au moyen d’une fonction
de production, notée f(z), définie de
IR+K-1 dans IR+, donnant l’output
maximum en bien K qui peut être
obtenu en utilisant le vecteur d’inputs
z = (z1, …, zK-1).
3.6.1 Propriétés
Les propriétés suivantes d’une fonction de
production f(z) découlent des conditions posées
sur les ensembles de production Y :
• Elle est continue ; (Car Y est fermé.)
• Elle est croissante : si z’ > z, f(z’) > f(z) ; (Car, par
définition, le plan de p° (-z, f(z)) est efficace.)
• Elle est concave : f(tz + (1-t) z’) ≥ t f(z) + (1-t)
f(z’), pour tout 0  t  1. (Car Y est convexe.)
3.6.1 Propriétés
On traduit ici les conséquences sur les fonctions de
production d’autres propriétés des ensembles de
production énoncées précédemment :
• Non gratuité : f(0) = 0 ;
• Rendements d’échelle constants :
f(tz) = t f(z), pour tout t > 0.
En généralisant, on parle de rendements d’échelle
croissants (resp., décroissants) si f(tz) > t f(z)
(resp., si f(tz) < t f(z)).
3.6.2 Représentation
graphique
Sur la figure ci-dessous, on appelle
courbe d’isoquante (associée à une
quantité q donnée), l’ensemble des
vecteurs d’inputs z qui permettent de
produire q unités de l’output K, c’està-dire tels que f(z) = q.
3.6.2 Représentation
graphique
z2
Les courbes d’isoquante ne se croisent pas.
Elles tournent leur
concavité vers l’origine.
La production associée
croît à mesure qu’on
s’éloigne de l’origine.
z1
3.6.3 Maximisation du
profit
On peut récrire le problème du producteur
(Cf 3.3) sous la forme :
Max p f(z) - Σk wk zk (k de 1 à K-1)
où l’on adopte la notation conventionnelle :
w = (p1, …, pK–1) = les prix des inputs ;
p = pK = le prix de l’output.
3.6.3 Maximisation du
profit
S’il est intérieur (zk* > 0, pour tout k =
2, …, K–1), un équilibre du producteur
vérifie les conditions :
p fk’(z*) = wk, pour k = 1, …, K-1,
yK* = f(z1*, …, zK-1*).
3.6.4 Problème dual
Par la suite, on aura aussi besoin
d’étudier le problème de minimisation
du coût de production de l’output K
en quantité q :
min Σk wk zk,
sous f(z) ≥ q.
3.6.4 Problème dual
z2
f(z) ≥ q
•z*
z1
Droites de coût :
w•z = C
Le pb revient à trouver
z tel que f(z) ≥ q, qui
soit sur une droite de
coût w•z = C la plus
proche possible de
l’origine.
L’équilibre z* se situe
au point de tangence
de cette droite avec
la courbe d’isoquante
f(z) = q (pour une sol°
intérieure).
3.6.4 Problème dual
On suppose maintenant que la fonction
de production f(z) est continûment
différentiable.
On définit le taux marginal de
substitution technique en z de l’input
1 par l’input k, noté TMST1k, par :
TMST1k = f1’(z)/fk’(z).
3.6.3 Problème dual
Le TMST1k en z mesure le nombre d’unités
supplémentaires de l’input k, qui sont
nécessaires pour maintenir l’output
constant, si le producteur diminue d’une
unité (infiniment petite) la quantité qu’il
utilise de l’input 1.
Graphiquement, c’est la pente, au point z, de
la courbe d’isoquante passant par z (en
valeur absolue), dans le plan (O, z1, zk).
3.6.3 Problème dual
La propriété suivante sera utile pour calculer
une solution intérieure du problème de
minimisation du coût :
Une solution intérieure du problème de
minimisation du coût (zk* > 0, pour tout k)
vérifie les conditions :
TMST1k = w1/wk, pour k = 1, …, K-1,
f(z1*, …, zK-1*) = q.
3.6.4 Problème dual
z2
f(z) = q
z*
•
TMST12
w1/w2
z1
Ce graphique illustre et
justifie la propriété
précédente.
La solution z* du pb
est au point de tangence entre la courbe
d’isoquante et la droite
de coût.
Donc, TMST12 = w1/w2
et f(z*) = q.
3.6.5 Fonction de coût
On définit la fonction de coût, notée C(q, w),
comme la fonction associant à tout vecteur
de prix w des inputs, le coût minimum de
production de l’output K en quantité q.
On a donc :
C(q, w) = w•z*,
où z* résout le problème de minimisation
du coût pour les prix w et la quantité q.
3.6 Exercices
Dans les exercices suivants, on considère un
producteur utilisant les biens 1 à K-1 pour
produire le bien K, selon la fonction de production
f(z).
1) On suppose que K = 3 et f(z) = z11/3 z21/3.
Représenter les courbes d’isoquante f(z) = q,
pour q = 0, 1, 2.
Déterminer les équilibres du producteur
associés aux prix w1 = w2 = ½ et p = 1.
3.6 Exercices
2) On considère le cas K = 3 et la famille des fonctions de
production de type Cobb-Douglas f(z) = z1a z2b, avec a, b >
0. On note w1 et w2 les prix des inputs, p le prix de l’output.
Montrer que la solution du problème de minimisation du
coût de production de l’output K en quantité q est :
z1* = (aw2/bw1)b/(a+b) q1/(a+b) ; z2* = (bw1/aw2)a/(a+b) q1/(a+b).
En déduire que la fonction de coût s’écrit :
C(q, w) = c q1/(a+b),
avec : c = w1 (aw2/bw1)b/(a+b) + w2 (aw2/bw1)b/(a+b).
Discuter l’existence et l’unicité de l’équilibre du producteur
en fonction des valeurs de a, b, c et p.
4. L’économie
On considère une économie composée
de :
• I consommateurs, indicés i = 1, …, I ;
• J entreprises, indicées j = 1, …, J ;
• K biens, indicés k = 1, …, K.
4. L’économie
Chaque consommateur i est caractérisé
par son ensemble de consommation Xi
et sa fonction d’utilité Ui(xi).
Chaque producteur j est caractérisé
par son ensemble de production Yj,
représenté par une fonction de
transformation Fj(yj).
4.1 Etat initial
Avant toute activité économique, l’économie
détient une dotation primaire en biens, qui
servira soit directement à la consommation, soit à la production d’autres biens.
On note :
w = (w1, …, wK)  IR+K = la dotation
initiale.
4.2 Etat économique
Un état économique est noté :
E = (x1, …, xI, y1, …, yJ)
et se définit comme la donnée :
• d’un plan de consommation xi  IRK, pour
chaque consommateur i = 1, …, I ;
• d’un plan de production yj  IRK, pour
chaque producteur j = 1, …, J.
4.2 Etat économique
Dans la définition précédente, on note :
xi = (xi1, …, xiK) ;
yj = (yj1, …, xjK) ;
où :
xik = la conso. par i du bien k ;
yjk = la production par j du bien k.
4.2 Etat économique
Un état économique E = (x, y) est possible s’il
est possible pour les consommateurs et les
producteurs :
x i  Xi,
i = 1, …, I ;
yj  Yj,
j = 1, …, J ;
et s’il vérifie en outre la condition d’égalité
des emplois et des ressources pour tous
les biens :
Σi xik = Σj yjk + wk,
k = 1, …, K.
4.3 Equilibre général
L’état économique E* = (x*, y*) forme, avec les prix
p = (p1, …, pK) et les revenus R = (R1, …, RI), un
équilibre général de l’économie si :
• pour tout i, xi* maximise Ui(xi) sous les
contraintes xi  Xi et p•xi  Ri ;
• pour tout j, yj* maximise p•yj sous la contrainte
Fj(yj)  0 ;
• pour tout k, on a l’égalité des emplois et des
ressources : Σi xik = Σj yjk + wk.
4.3 Equilibre général
Ainsi, un équilibre général de l’économie
remplit trois conditions :
1. Pour chaque consommateur i, xi* est un
panier de biens d’équilibre, sachant les
prix et son revenu ;
2. Pour chaque producteur j, yj* est un plan
de production d’équilibre, sachant les
prix ;
3. Tous les marchés sont équilibrés.
4.3 Equilibre général
Supposons que l’état E* = (x*, y*) soit intérieur et
que les fonctions d’utilité Ui (i = 1, …, I) et de
transformation Fj (j = 1, …, J) soient continûment
différentiables.
Comme xi* est un éq. du conso. i (intérieur), on a :
TMS1ki = p1/pk, pour tout k,
Σk pk xik* = Ri.
Comme yj* est un éq. du prod. j, on a :
TMT1kj = p1/pk, pour tout k,
Fj(yj*) = 0.
4.3 Equilibre général
On en déduit qu’un équilibre général E*, s’il
est intérieur, remplit, entre autres, les
conditions :
TMS1ki = TMT1kj = p1/pk,
pour tout i, j, k,
Fj(yj*) = 0,
pour tout j,
Σi xik* = Σj yjk* + wk, pour tout k.
4.3 Exercices
On considère une économie d’échange (J = 0)
composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.
La dotation initiale en biens est w = (1, 1).
Les fonctions d’utilité sont :
U1(x1) = x111/3x122/3 et U2(x2) = x212/3x221/3.
Montrer que l’état économique E* = (x1*, x2*), où x1*
= (1/3, 2/3) et x2* = (2/3, 1/3), associé au prix p1
= p2 = 1 et aux revenus R1 = R2 = 1, forme un
équilibre général.
4.4 Etat optimal
Un état économique E° = (x°, y°) est dit
optimal au sens de Pareto, s’il est possible
et s’il n’existe aucun autre état économique
possible E = (x, y) tel que :
Ui(xi) ≥ Ui(xi°), pour tout i,
avec l’inégalité stricte (>) pour au moins un
consommateur.
4.4 Etat optimal
U2
•
E
U
Cette fig. représente
Frontière de
l’ens. des possibilités
Pareto
E°
d’utilité U d’une économie comportant deux
conso., se répartissant
la dotation initiale w.
L’ens. des états opt. au
sens de Pareto est la
U1 frontière NE de l’ens.
•
U = {(U1(x1), U2(x2)) ; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x1 + x2  w}
4.4 Etat optimal
Par l’absurde, il est évident que si l’état
économique E° est optimal, en
particulier, il maximise l’utilité du
consommateur 1, dans l’ensemble des
états économiques possibles qui
laissent aux autres consommateurs
une utilité au moins égale à celle qu’ils
obtiennent dans l’état E°.
4.4 Etat optimal
Ainsi, l’état optimal E° = (x°, y°) doit
être solution du problème suivant :
max U1(x1),
sous les contraintes :
Ui(xi) ≥ Ui(xi°),
i = 2, …, I,
Fj(yj)  0,
j = 1, …, J,
Σi xik = Σj yjk + wk, k = 1, …, K.
4.4 Etat optimal
En notant ai, bj et ck les multiplicateurs de
Lagrange (et en posant a1 = 1, pour abréger
l’écriture), la fonction Lagrangienne
associée à ce problème s’écrit :
L(x, y) = Σi ai (Ui(xi) – Ui(xi°))
– Σj bj Fj(yj)
– Σk ck (Σi xik - Σj yjk - wk)
4.4 Etat optimal
Supposons que l’état optimal E° = (x°, y°) soit
intérieur.
Par le théorème du Lagrangien, toutes les
dérivées de L(x, y) s’annulent en E° :
ai Uki’(xi°) – ck = 0, pour tout i et k,
bj Fkj’(yi°) – ck = 0, pour tout j et k.
4.4 Etat optimal
En arrangeant ces conditions, on en déduit
qu’un état optimal E°, s’il est intérieur,
remplit, entre autres, les conditions :
TMS1ki = TMT1kj = c1/ck,
pour tout i, j, k,
Fj(yj°) = 0,
pour toutj,
Σi xik° = Σj yjk° + wk, pour tout k.
4.4 Exercices
On considère une économie d’échange (soit J = 0),
composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.
La dotation initiale en biens est w = (1, 1).
Les fonctions d’utilité sont :
U1(x1) = x111/3x122/3 et U2(x2) = x212/3x221/3.
Montrer que l’état économique E° = (x1°, x2°), où x1° =
(1/3, 2/3) et x2° = (2/3, 1/3) est optimal au sens
de Pareto.
4.5 Les théorèmes de
l’économie du bien-être
En comparant les résultats des sections 4.3 et 4.4,
on remarque que les états économiques associés à
un équilibre général et les états économiques qui
sont optimaux au sens de Pareto vérifient le même
système d’équations.
On en vient à se demander si ces états ne sont pas
en fait les mêmes.
Les deux théorèmes de l’économie du bien-être
donnent des conditions sous lesquelles ces deux
ensembles d’états économiques sont confondues.
4.5.1 Premier théorème
Le 1-ier th. de l’éco. du bien-être s’énonce :
Si l’état possible E*, associé aux prix p et
aux revenus R, forme un équilibre général
de l’économie et si les fonctions d’utilité
Ui, i = 1, …, I, sont continues et
croissantes,
alors E* est un état optimal au sens de
Pareto.
4.5.1 Premier théorème
Ce théorème démontre, dans le langage de la
théorie économique moderne, le principe de
la main invisible d’Adam Smith.
Si les marchés sont concurrentiels, la
poursuite de l’intérêt individuel ne crée pas
le chaos, contrairement à l’intuition
première, mais, au contraire, génére une
certaine harmonie sociale.
4.5.2 Second théorème
Le 2-ième th. de l’éco. du bien-être s’énonce :
Si l’état possible E° est optimal au sens de Pareto, si
les fonctions d’utilité Ui, i = 1, …, I, sont continues,
croissantes et quasi-concaves, et si les ensembles
de production Yj, j = 1, …, J, sont convexes,
alors il existe des prix p et des revenus R, tels que
l’état E°, associé à ces prix et ces revenus, forme
un équilibre général de l’économie.
4.5.2 Second théorème
Ce théorème démontre qu’à condition
de pouvoir redistribuer les revenus,
un système de marchés, s’il est
concurrentiel, est un outil approprié
pour atteindre n’importe quel état
économique optimal au sens de
Pareto.
4.5 Exercices
Soit l’économie comportant I = 1 consommateur, J = 1
producteur et K = 2 biens. Les préférences du
consommateur sont représentées par la fonction d’utilité
U(x) = x1 x2. La technologie du producteur est représentée
par sa fonction de transformation F(y) = y1 + y2. La dotation
est w = (1, 0).
Déterminer l’ensemble W des états économiques qui, associés à
des prix et des revenus donnés, constituent un équilibre
général de l’économie.
Déterminer l’ensemble P des états économiques optimaux au
sens de Pareto.
Vérifier que W = P.
4.6 Economie d’échange
On peut illustrer graphiquement les
deux théorèmes de l’économie du
bien-être, dans le cas d’une économie
d’échange, comportant deux
consommateurs et deux biens (soit I
= 2, J = 0, K = 2).
4.6 Economie d’échange
Dans cette économie, l’état économique E =
(x1, x2) est possible s’il vérifie :
xik ≥ 0, pour i = 1, 2 et k = 1, 2,
x11 + x21 = w1,
x12 + x22 = w2.
Autrement dit, un état économique possible
est simplement une répartition, entre les
consommateurs 1 et 2, de la dotation
primaire w = (w1, w2).
4.6.1 La boîte
d’Edgeworth
x12
x21
O2
x22
w2
O1
•
x11
E
x12
w1
x21
x11
x22
La boîte d’Edgeworth
représente l’ens. des
états possibles.
Sa taille dépend de
la dotation (w1, w2).
Le repère (O1, x11, x12)
sert pour le conso. 1.
Le repère (O2, x21, x22),
orienté en sens inverse,
sert pour le conso. 2.
4.6.1 La boîte
d’Edgeworth
x12
x21
E’’
•
O2
•
x1’
E’
O1
•x ’
2
x11
x22
On représente ici deux
états économiques qui
ne sont pas possibles.
L’état E’ = (x1’, x2’) est
impossible car, les
points x1’ et x2’ ne coïncidant pas, impliquant
que : x1’ + x2’  w.
L’état E’’ = (x1’’, x2’’) est
impossible car x22’’ < 0
(donc x2’’  X2).
4.6.1 La boîte
d’Edgeworth
x12
x21
Conso. 1
O2
x11
O1
Conso. 2
x22
Dans la boîte, on représente les préférences
des conso., au moyen de
deux familles de courbes d’indifférence.
L’util. du conso. 1 croît
en s’éloignant de O1
vers le NE.
L’util. du conso. 2 croît
en s’éloignant de O2
vers le SO.
4.6.2 Premier théorème
Ci-dessous, nous considérons l’état
économique E* = (x1*, x2*), et nous
supposons qu’il forme, avec les prix p
= (p1, p2) et les revenus R = (R1, R2),
un équilibre général de l’économie.
Nous voulons montrer que E* est un
état optimal au sens de Pareto.
4.6.2 Premier théorème
Notons, pour i = 1, 2 :
Di = {xi ; p•xi = Ri} = la droite de
budget de i ;
(+)i = l’ens. des paniers de biens au
moins aussi bien que xi*, du point de
vue de i.
4.6.2 Premier théorème
x12
x21
O2
•
O1
x1*
(+)1
D1
x11
x22
Par déf° d’un éq. gén.,
le panier x1* est un éq.
du conso. 1, sous sa
contrainte de budget.
Donc, l’ens. (+)1 est
contenu dans le demiplan au-dessus de D1
et x1* appartient à D1.
On a des conclusions
semblables pour le
conso. 2.
4.6.2 Premier théorème
x12
x21
D (= D1 = D2)
O2
E*
x1*
x2*
•
O1
x11
x22
Par déf° d’un éq. gén.,
l’état E* est possible.
Donc, dans la boîte
d’Edgeworth, les points
x1* et x2* coïncident,
pour former le point E*.
Comme D1 et D2 ont
même pente et passent
par E*, elles sont
confondus.
4.6.2 Premier théorème
x12
x21
D
O2
E*
(+)2
O1
•
(+)1
x11
x22
Cette fig. reprend les
conclus° précédentes.
On en conclut facilement que E* est un état
optimal.
En effet, pour améliorer l’util. de 1, il faut
prendre un point intérieur à (+)1, donc audessus de D. Or, un tel
point n’appartient pas à
(+)2.
4.6.3 Second théorème
Ci-dessous, nous considérons l’état E° = (x1°,
x2°), et nous supposons qu’il est optimal au
sens de Pareto.
Nous voulons montrer qu’il existe des prix p
= (p1, p2) et des revenus R = (R1, R2), tels
que l’état E°, associé à ces derniers, forme
un équilibre général de l’économie.
4.6.3 Second théorème
x12
x21
O2
E°
(+)2
O1
•
(+)1
x11
x22
Par déf° d’un état opt.,
si un état possible est
intérieur à l’ens. (+)1, il
n’appartient pas à l’ens.
(+)2.
En effet, sinon, on
pourrait améliorer l’util.
de 1, sans diminuer
celle de 2, ce qui serait
contradictoire.
4.6.3 Second théorème
x12
x21
D
O2
E°
(+)2
O1
•
(+)1
x11
x22
Supposons les ens. (+)1
et (+)2 convexes.
Par un théorème de
séparation des convexes, il existe une
droite D, passant par
E° et laissant ces deux
ensembles de part et
d’autres de D.
4.6.3 Second théorème
x12
x21
D
O2
E°
(+)2
O1
•
(+)1
x11
x22
On peut trouver des
prix p = (p1, p2) et des
rev. R = (R1, R2), tels
que la droite D ait pour
éq° : p•x1 = R1 dans le
repères (O1, x11, x12) ;
et p•x2 = R2 dans le
repères (O2, x21, x22).
Il est clair que E°
forme, avec ces prix et
ces rev., un éq. gén.
4.6.4 Conclusion
On note que le premier théorème de
l’économie du bien-être est plus
général.
En effet, seul le second théorème
nécessite que les préférences des
consommateurs soient convexes.
4.7 Economie de
propriété privée
On définit une économie de propriété privée
comme une économie dans laquelle les
consommateurs possèdent les entreprises
et la dotation initiale de l’économie.
Leurs revenus découlent alors de la
redistribution des profits des entreprises
et/ou de la vente de l’excédent de leur
dotation initiale sur leur consommation.
4.7.1 Notations
On suppose que les consommateurs i = 1, …, I
possèdent des droits de propriété sur les
entreprises j = 1, …, J.
On note :
qij = la part du conso. i dans l’ent. j ;
où les nombres qij vérifient :
0  qij  1, pour tout i et j ;
Σi qij = 1, pour tout j.
4.7.1 Notations
On suppose que les consommateurs i = 1, …, I
possèdent la dotation primaire de l’économie en
biens k = 1, …, K.
On note :
wik = la dotation initiale du conso. i en bien k ;
où les nombres vérifient :
wik ≥ 0, pour tout i et k ;
wi = (wi1, …, wiK)  0 ;
Σi wik = wk, pour tout k.
4.7.2 Formation des
revenus
Dans une économie de propriété privée,
les revenus Ri (i = 1, …, I) des
consommateurs dépendent des
profits pj (j = 1, …, J) et des prix pk
(k = 1, …, K), et sont donnés par la
relation :
Ri = Σj qij pj + Σk pk wik.
4.7.3 Eq. gén. d’une éco.
de propriété privée
Dans une économie de propriété privée,
la définition d’un équilibre général
donnée au début du chapitre (Cf 4.3)
s’applique, en ajoutant simplement la
relation précédente, exprimant le
revenu des consommateurs en
fonction des profits et des prix.
4.7.3 Equilibre général
L’état E* = (x*, y*) et les prix p forment un équilibre général
de l’économie de propriété privée si :
xi* maximise Ui(xi)
(i = 1, …, I)
sous xi  Xi et p•xi  Ri ;
yj* maximise p•yj
(j = 1, …, J)
sous Fj(yj)  0 ;
Σi xik* = Σj yjk* + wk ;
(k = 1, …, K)
les revenus vérifiant par ailleurs :
Ri = Σj qij pj + Σk pk wik ;
(i = 1, …, I)
pj = p•yj*.
(j = 1, …, J)
4.7.4 Une théorie
positive ?
L’équilibre général, appliqué à une économie de
propriété privée, est une lecture (parmi d’autres)
des institutions d’une économie de marché et de
leur fonctionnement.
De ce point de vue :
• la définition précédente constitue l’aboutissement
de la théorie microéconomique, en tant que
théorie positive,
• sous réserve d’établir l’existence, l’unicité et la
stabilité d’un tel état économique.
4.7.4 Une théorie
positive ?
Précisément, il s’agit de trouver des conditions sous lesquelles, pour une économie
donnée, définie par des ensembles de
consommation Xi, des préférences Ui et
des "patrimoines" qi et wi des
consommateurs, et par des ensembles de
production Yj des producteurs, on est
assurés qu’un équilibre général existe et
qu’il sera rejoint.
4.7.4 Une théorie
positive ?
Limitons-nous au cas d’une économie
d’échange (J = 0).
Sous les hyp. du chap. 2, on sait qu’on peut
déduire des données précédentes, des
fonctions de demande di(p, Ri), homogènes
de degré 0, vérifiant la loi de Walras et
continues (Cf 2.10).
4.7.4 Une théorie
positive ?
Dans ce cas, un équilibre général de
l’économie de propriété privée existe si on
peut trouver des prix p = (p1, …, pK), tels
qu’il y ait égalité des emplois et des
ressources sur tous les marchés :
Σi dik(p, Ri) = wk, pour tout k,
les revenus des consommateurs étant
égaux à la valeur de leur dotation initiale :
Ri = p•wi, pour tout i.
4.7.4 Une théorie
positive ?
On définit la fonction de demande nette de
l’économie f(p) = (f1(p), …, fK(p)), comme la f° qui
associe à tout vecteur de prix p, le vecteur
(Σi di1(p, p•wi) – w1, …, Σi diK(p, p•wi) – wK)
des excédents de la demande sur l’offre, sur
chacun des K marchés.
Avec cette définition, un vecteur de prix p induit un
équilibre général de l’économie de propriété
privée, simplement si f(p) = 0.
4.7.4 Une théorie
positive ?
La fonction de demande nette f(p)
vérifie les propriétés suivantes :
• elle est homogène de degré 0 : f(t p)
= f(p), pour tout t > 0 ;
• elle vérifie la loi de Walras : Σk pk
fk(p) = 0 ;
• Elle est continue.
4.7.4 Une théorie
positive ?
La 1-ière propriété découle de l’homogénéité
de degré 0 des fonctions de demande des
consommateurs di(pi, R).
Elle implique que si un vecteur de prix p
induit un équilibre général de l’économie
(c’est-à-dire, vérifie f(p) = 0), il en va de
même pour tout vecteur t p, avec t > 0.
On peut donc fixer un prix arbitrairement.
4.7.4 Une théorie
positive ?
La 2-ième propriété découle du fait que les
fonctions de demande di(pi, R) vérifient :
Σk pk (dik(p, p•wi) – wik) = 0, pour tout i.
On a donc, en sommant sur i :
Σi Σk pk (dik(p, p•wi) – wik) = 0,
puis en inversant l’ordre de sommation :
Σk pk Σi (dik(p, p•wi) – wik) = Σk pk fk(p) = 0.
4.7.4 Une théorie
positive ?
Cette propriété implique que, pour un vecteur
de prix p >> 0, si on sait que tous les
marchés, sauf un, sont équilibrés, le
dernier marché est aussi équilibré.
Une conséquence pratique est que, parmi les
K équations que doit satisfaire le vecteur
de prix p, on peut, pour le calculer, en
éliminer une.
4.7.4 Une théorie
positive ?
Le théorème suivant montre que l’existence
d’un équilibre général est (presque)
assurée sous les hypothèses posées.
Si la fonction de demande nette f(p) est
continue, homogène de degré 0 et satisfait
la loi de Walras, alors il existe un système
de prix p* tel que f(p*)  0.
4.7.4 Une théorie
positive ?
La démonstration de ce théorème repose sur
le théorème de point fixe suivant, dû à
Brouwer :
Si une fonction f, définie d’un ensemble
convexe, fermé et borné dans lui-même,
est continue, elle admet un point fixe,
c’est-à-dire : il existe x tel que f(x) = x.
4.7 Exercices
On considère une économie composée de I = 2
consommateurs et K = 2 biens.
Les fonctions d’utilité sont :
U1(x1) = x111/3x122/3 et U2(x2) = x212/3x221/3.
Montrer qu’il existe un équilibre général de
l’économie de propriété privée pour n’importe
quelle distribution initiale de la dotation w = (1, 1)
entre les deux consommateurs.
5. Analyse en équilibre
partiel
L’analyse en équilibre partiel consiste à isoler le
marché d’un bien, par exemple le blé, pour étudier
les conséquences de chocs, des situations de
concurrence imparfaite ou des politiques
économiques, en négligeant les effets d’équilibre
général sur les autres marchés.
On construit ainsi un modèle plus simple, avec lequel
on peut résoudre des problèmes qui seraient ardus
dans une analyse en équilibre général.
5. Analyse en équilibre
partiel
Une analyse en équilibre partiel est admissible si :
•
La part du blé dans les dépenses totales est
faible ;
•
Les effets de substitution sur les autres
marchés sont diffus.
Alors, on peut supposer les prix des autres biens
comme fixes.
Ceci permet de traiter les autres biens comme un
bien composite, appelé le numéraire.
5.1 Notations et
hypothèses
Le modèle d’équilibre partiel comporte :
• 2 biens : le numéraire et le blé ;
• I consommateurs, caractérisés par leur
ens. de conso. Xi, leur dotation wi en
numéraire et leur fonction d’utilité Ui ;
• J producteurs, caractérisés par leur
fonction de transformation Fj.
5.1 Notations et
hypothèses
Le numéraire est un bien composite, figurant
tous les autres biens achetés ou vendus
par les agents économiques. Il est évalué
en valeur, aux prix courants sur les autres
marchés (fixes, par hyp.).
Dans l’analyse, on normalise le prix du
numéraire à 1. On définit ensuite p le prix
(relatif) du blé.
5.1 Notations et
hypothèses
On suppose dans ce chapitre des conditions
de concurrence pure et parfaite.
Autrement dit, les agents économiques
considèrent les prix comme des données et
pensent pouvoir acheter ou vendre aux
prix du marché toutes quantités qu’il
désirent.
5.1 Notations et
hypothèses
On note :
(ai, xi) = un plan de consommation de i ;
(bj, yj) = un plan de production de j.
Dans les deux cas, la première composante donne la
quantité de bien numéraire, la seconde
composante donne la quantité de blé.
Un état économique se note :
E = ((a1, x1), …, (aI, xI), (b1, y1), …, (bJ, yJ)).
5.1 Notations et
hypothèses
Un état économique E est dit possible
s’il vérifie :
(ai, xi)  Xi, pour tout i,
Fj(bj, yj) = 0, pour tout j,
Σi ai = Σj bj + Σi wi,
Σi xi = Σj yj.
5.2 La demande
Pour chaque consommateur i, on admet
que :
(wi, 0) = sa dotation (wi > 0),
Xi = {(ai, xi)  IR2 ; xi ≥ 0},
Ui(ai, xi) = ai + vi(xi),
avec : vi(0) = 0, vi’(xi) > 0 et vi’’(xi) < 0.
5.2 La demande
xi
Xi
•
ai
Dotation initiale
(wi, 0)
On illustre ici ces hyp.
L’ens. Xi permet ai < 0.
Les courbes d’indif.
sont décroissantes et
tournent leur concavité
vers la gauche.
Elles sont parallèles le
long de l’abscisse : on
parle de préférences
quasi-linéaires par
rapport au numéraire.
5.2 La demande
xi
•
Sentier
Sur cette fig., on trace
d’expansion l’éq. du conso., pour
du revenu
trois niveaux de revenus
Ri-, Ri et Ri+.
On note qu’avec des
préf. quasi-linéaires, le
sentier d’expansion du
revenu est horizontal.
ai
Autrement dit, la
+
Ri < Ri < Ri
demande de blé ne
dépend que de p.
•
•
•
5.2 La demande
Depuis le chap. 2, on sait qu’un équilibre du
conso. (ai*, xi*) (supposé intérieur) vérifie :
TMSi = vi’(xi*) = p,
ai* + p xi* = Ri,
en notant :
TMSi = U2i’(ai*, xi*)/U1i’(ai*, xi*) = le
taux marginal de substitution du blé par le
numéraire.
5.2 La demande
Avec la première équation, on vérifie que la
demande de blé ne dépend que de p :
vi’(xi*) = p  xi* = (vi’)-1(p),
La demande de bien numéraire apparaît
ensuite comme résiduelle :
ai* + p xi* = Ri  ai* = Ri – p (vi’)-1(p).
5.2 La demande
p
p = vi’(xi*)
Courbe de
demande
(inverse)
•
xi*
xi
En éq. partiel, par
convention, on représente la dem. en portant
la quantité en abscisses
et le prix en ordonnées.
Alors, comme l’équilibre
du consommateur
vérifie : p = vi’(xi*), la
courbe de demande
coïncide avec la représentation de vi’(xi).
5.2 La demande
On appelle surplus du consommateur i, noté
Si, l’avantage que le consommateur i retire
en participant au marché du blé, mesuré en
unités de numéraire.
S’il achète xi unités au prix p, on a :
Si = Ui(Ri – p xi, xi) – Ui(Ri, 0),
= vi(xi) – p xi.
5.2 La demande
Comme on a normalisé la fonction
d’utilité de façon que vi(0) = 0, on
peut aussi écrire le surplus du
consommateur sous la forme :
xi
Si =  (vi’(t) – p) dt.
0
5.2 La demande
p
p
Si
•
xi*
p = vi’(xi)
xi
On en déduit qu’à l’éq.,
le surplus du consommateur i correspond, graphiquement, à l’aire de
la surface comprise
entre la courbe de
demande et la droite
horizontale d’ordonnée
p, entre les abscisses 0
et xi*.
5.2 La demande
Pour tout prix p, la demande globale sur
le marché du blé est égale à la somme
des demandes individuelles :
X(p) = Σi xi* = Σi (vi’)-1(p).
On la représente graphiquement par la
courbe de sa fonction inverse, notée
P(x).
5.2 La demande
p
Conso. 1
Conso. 2
p
• • •
x1* x2*
x1*+ x2*
P(x)
x
Connaissant la courbe
de dem. des I conso.
intervenant sur le
marché, on construit la
courbe de dem. globale
(inverse), en additionnant vers la droite les
courbes de demande
individuelles : pour
chaque prix p, la dem.
globale est Σi xi*.
5.2 La demande
p
Surplus des
consommateurs
p
•
x
P(x)
x
Par construction, l’aire
S de la surf. comprise
entre la courbe de dem.
globale (inverse) et la
droite horizontale
d’ordonnée p, entre les
abscisses 0 et x, mesure le surplus, à l’éq., de
l’ensemble des conso.
intervenant sur le
marché, soit S = Σi Si.
5.2 La demande
On peut calculer le surplus de
l’ensemble des consommateurs,
lorsqu’ils achètent x unités de blé au
prix p, en utilisant la formule :
x
S =  (P(t) – p) dt.
0
5.2 Exercices
1)
On considère un consommateur, ayant un revenu
R et une fonction d’utilité U(a, x) = a + v(x).
Comparer son utilité dans le cas où il ne
participe pas au marché du blé, et celui où,
entrant sur ce marché, il paye une somme t en
numéraire, contre x unités de blé.
A quelle condition (sur t) décide-t-il d’entrer sur
le marché du blé ?
Qu’en déduisez-vous pour l’interprétation de la
fonction v(x) ?
5.2 Exercices
2)
On considère un consommateur, caractérisé par
son revenu R et sa fonction d’utilité U(a, x) = a +
v(x), définie sur IRx[0, 1], avec v(x) = (1 – x/2)x.
Déterminer sa fonction de demande de blé.
En donner une représentation graphique, en
portant la quantité en abscisses et le prix en
ordonnées.
Donner l’expression de son surplus, s’il achète x
unités au prix p. Retrouver-la en calculant les
aires correspondantes sur la figure.
5.2 Exercices
3)
On suppose que I consommateurs identiques à celui de
l’exercice précédent participent au marché du blé.
Déterminer l’expression de la fonction de demande
globale X(p) sur le marché.
Construire sa représentation graphique selon le procédé
vu ci-dessus, en portant la quantité en abscisses et le prix
en ordonnées.
Trouver l’expression de la fonction de demande globale
(inverse) P(x) en utilisant la figure.
Calculer le surplus des consommateurs, s’ils achètent x
unités au prix p. Le retrouver à l’aide de la figure.
5.3 L’offre
Chaque producteur j est caractérisé par son
ensemble de production Yj et on suppose
qu’il est représentable par une fonction de
transformation Fj de la forme :
Fj(bj, yj) = bj + Cj(yj), si bj  0,
> 0, sinon,
avec : Cj(yj) ≥ 0, Cj’(yj) ≥ 0 et Cj’’(yj) ≥ 0.
5.3 L’offre
Par définition, un plan de production (bj, yj)
de j est possible s’il vérifie :
Fj(bj, yj) = bj + Cj(yj)  0,
soit :
– bj ≥ Cj(yj).
(où Cj(yj) ≥ 0, par hyp.)
Donc, j doit acheter (au minimum) Cj(yj)
unités du bien numéraire, comme inputs, s’il
veut produire yj unités de blé.
5.3 L’offre
On peut ainsi interpréter Cj(yj) comme la fonction de
coût de production du producteur j pour le blé.
Pour toute quantité yj, on en déduit les coûts moyen
CMj et marginal Cmj du producteur j :
• Le coût moyen donne le coût par unité produite :
CMj = Cj(yj)/yj ;
• Le coût marginal donne le coût de la dernière unité
(infiniment petite) produite :
Cmj = Cj’(yj).
5.3 L’offre
- bj
Yj
Cj(yj)
yj
Cette fig. représente
l’ens. de p° Yj dans le
repère (0, yj, - bj).
Sa frontière est la
courbe représentative
du coût de production
Cj(yj).
Les points au-dessus
de cette courbe, vérifiant – bj ≥ Cj(yj), sont
réalisables.
5.3 L’offre
En utilisant les résultats du chap. 3, on sait
qu’un équilibre du prod. (bj*, yj*) (supposé
intérieur) satisfait les conditions :
TMTj = Cj’(yj*) = p,
Fj(bi*, yj*) = bi* + Cj(yj*) = 0,
en notant :
TMTj = F2j’(bj*, yj*)/F1i’(bj*, yj*) = le
taux marginal de transformation du blé en
numéraire.
5.3 L’offre
Il existe un moyen naturel de retrouver ce
résultat.
En admettant que le prod. choisisse toujours
un plan de p° efficace, c’est-à-dire tel que
Fj(bi, yj) = bj + Cj(yj) = 0, son profit s’écrit :
pj = p yj – Cj(yj).
Il est maximum pour la production yj* si :
dpj/dyj = p – Cj’(yj*) = 0.
5.3 L’offre
On en déduit que la fonction d’offre de
blé du producteur j est la fonction
inverse de son coût marginal de
production Cmj = Cj’(yj) :
Cj’(yj*) = p  yj* = (Cj’)-1(p).
5.3 L’offre
p
Courbe
d’offre
(inverse)
Cmj
p = Cj’(yj*)
yi*
yj
Si l’on porte la quantité
en abscisses et le prix
en ordonnées , sachant
que l’éq. du producteur
j vérifie p = Cj’(yj), la
courbe représentative
de l’offre de j coïncide
avec celle de son coût
marginal Cmj (= Cj’(yj)).
5.3 L’offre
Si l’on suppose qu’il n’existe pas de coût fixe
de production, c’est-à-dire que Cj(0) = 0,
alors le profit que le producteur j réalise
en vendant yj unités de blé au prix p, peut
aussi s’écrire :
yj
pj =  (p – Cj’(t)) dt.
0
5.3 L’offre
p
p
Cmj
pj
yi*
yj
Graphiquement, le
profit réalisé par j, à
l’éq., correspond à l’aire
de la surface comprise
entre la droite
horizontale d’ordonnée
p et la courbe de coût
marginal Cmj, entre les
abscisses 0 et yj*.
5.3 L’offre
Pour tout prix p, l’offre globale sur le
marché du blé est égale à la somme
des offres individuelles :
O(p) = Σj yj* = Σi (Cj’)-1(p).
On la représente graphiquement par la
courbe de sa fonction inverse, notée
r(y).
5.3 L’offre
p
Prod. 1
p
Prod. 2
• • •
y1* y2*
y1*+ y2*
r(y)
y
Connaissant la courbe
de dem. des J prod.
intervenant sur le
marché, on construit la
courbe d’offre globale
(inverse), en additionnant vers la droite les
courbes d’offre
individuelles : pour
chaque prix p, la dem.
globale est Σj yj*.
5.3 L’offre
p
p
Profits des
producteurs
•
y
r(y)
y
Par construction, l’aire
P de la surf. comprise
entre la droite horizontale d’ordonnée p et la
courbe d’offre globale
(inverse), entre les
abscisses 0 et y, donne
le profit, à l’éq., de
l’ensemble des prod.
intervenant sur le
marché, soit P = Σj pj.
5.3 L’offre
On peut calculer le profit de l’ensemble
des producteurs intervenant sur le
marché du blé, lorsqu’ils offrent y
unités au prix p, en utilisant la
formule :
y
P =  (p – r(t)) dt.
0
5.3 Exercices
1) On considère un producteur dont le coût est c(y) =
y2/2.
Faire la représentation graphique de son ensemble
de production.
Déterminer sa fonction d’offre de blé.
En donner une représentation graphique, en
portant la quantité en abscisses et le prix en
ordonnées.
Donner l’expression du profit du producteur, s’il
vend y unités au prix p. Retrouver-la en calculant
les aires correspondantes sur la figure.
5.3 Exercices
2) On suppose que J producteurs identiques à celui de
l’exercice précédent participent au marché du blé.
Déterminer l’expression de la fonction d’offre globale O(p)
sur le marché.
Construire sa représentation graphique selon le procédé vu
ci-dessus , en portant la quantité en abscisses et le prix en
ordonnées.
Trouver l’expression de la fonction d’offre globale (inverse)
r(y) en utilisant la figure.
Calculer le profit des producteurs, s’ils vendent y unités au
prix p. Le retrouver à l’aide de la figure.
5.4 Le surplus social
On définit le surplus social comme la
fonction W, qui associe à tout état
économique possible E, la somme
correspondante des avantages
retirés par les consommateurs de
leur participation au marché du blé,
soit Σi (Ui(ai, xi) - Ui(wi, 0)).
5.4 Le surplus social
En utilisant les définitions d’un état économique possible (Cf. 5.1), des fonctions
d’utilité (Cf. 5.2) et des technologies (Cf.
5.3), on obtient l’expression suivante :
W = Σi vi(xi) – Σj Cj(yj),
avec :
xi ≥ 0, pour tout i,
yi ≥ 0, pour tout j,
Σi xi = Σj yj.
5.4 Le surplus social
La propriété suivante démontre l’intérêt
pratique de la notion de surplus social :
Un état économique E° est optimal au sens de
Pareto si, et seulement si, il maximise le
surplus social W dans l’ensemble des états
économiques possibles.
5.4 Le surplus social
Pour la démonstration, montrons d’abord
qu’un état optimal maximise le surplus
social.
Soit E°, un état optimal (défini par ai°, xi°,
bj° et yj°, pour tout i et j).
En raisonnant par l’absurde, supposons qu’il
existe un état possible E (défini par ai, xi,
bj et yj, pour tout i et j), tel que W > W°.
5.4 Le surplus social
Construisons alors l’état E’, en prenant les
quantités ai’, xi, bj et yj, pour tout i et j,
c’est-à-dire les mêmes quantités que dans
l’état E, sauf pour les ai’, qui sont choisis
tels que :
Ui(ai’, xi) = Ui(ai°, xi°) + (W – W°)/I.
Comme W > W° (par hyp.), l’état E’ est
strictement préféré à l’état E°, par tous
les consommateurs.
5.4 Le surplus social
Il reste à montrer que l’état E’ est possible.
En sommant sur i, on otient :
Σi Ui(ai’, xi) = Σi Ui(ai°, xi°) + W – W°.
Sachant que W° = Σi Ui(ai°, xi°) et W = Σi Ui(ai, xi), cette
expression se simplifie en :
Σi Ui(ai’, xi) = Σi Ui(ai, xi).
En utilisant la définition de l’utilité, on montre finalement que :
Σi ai’ = Σi ai.
Autrement dit, l’état E’ est obtenu à partir de l’état E par
simple redistribution du bien numéraire. Il est donc
possible.
5.4 Le surplus social
On conclut donc que si l’état optimal E°
ne maximise pas le surplus social, il
existe un état E’, qui est à la fois
possible et préféré à E° par tous les
consommateurs.
Ceci contredit l’optimalité de E°.
5.4 Le surplus social
Montrons maintenant qu’un état maximisant le
surplus social est optimal.
Soit E° un état possible maximisant le surplus social
dans l’ensemble des états possibles.
Supposons que E° ne soit pas optimal.
Alors, il existe un état possible E, attribuant à tous
les consommateurs une utilité au moins aussi
grande, et à l’un d’entre eux une utilité
strictement plus grande.
Ceci est contradictoire, puisque cela implique que W
> W°.
5.4 Le surplus social
D’un point de vue pratique, on retient que si l’état E°
(défini par ai°, xi°, bj° et yj°, pour tout i et j) est
optimal, en particulier, il résout le problème de
maximisation suivant :
max W = Σi vi(xi) – Σj Cj(yj),
sous les contraintes :
xi ≥ 0, pour tout i,
yi ≥ 0, pour tout j,
Σi xi = Σj yj.
5.4 Le surplus social
Pour mieux comprendre les conséquence de
ce résultat sur les propriétés d’un état
optimal E°, récrivons la dernière
contrainte comme suit :
Σi xi = Σj yj = q,
en définissant q comme la quantité agrégée
de blé dans l’économie.
5.4 Le surplus social
On voit que la détermination d’un état
optimal nécessite en fait de répondre
à trois questions distinctes :
(q) = Quelle quantité agrégée de blé ?
(xi) = Qui doit la consommer ?
(yj) = Qui doit la produire ?
5.4 Le surplus social
Ci-dessous, nous admettrons, sans le démontrer, que
le marché répartit toujours le blé disponible
efficacement entre les consommateurs (c’est-àdire pour maximiser Σi vi(xi)) et les producteurs
(c’est-à-dire pour minimiser Σj Cj(yj)), et que la
valeur correspondante du surplus social est
donnée par :
q
W=

(P(t) – r(t)) dt
0
5.4 Le surplus social
p
P(q)
r(q)
W
q
q
Si la quantité q est
répartie efficacement
entre les conso. et les
prod., le surplus social
W correspond à l’aire de
la surface comprise
entre les courbes de
demande globale
(inverse) et d’offre
globale (inverse), entre
les abscisses 0 et q.
5.4 Le surplus social
p
P(q) dW
r(q)
W
q
q°
q+dq
q
On en déduit que la
quantité optimale de blé
est q°, à l’intersection
entre les courbes de
demande (inverse) et
d’offre (inverse).
En effet, pour toute
quantité q plus petite,
en augmentant q de dq
unités, le surplus social
augmente de dW > 0,
soit de l’aire hachurée.
5.4 Exercices
On reprend ici les données des exercices
précédents (Cf. 5.2 et 5.3), en supposant que I = J
= 100.
Calculer le surplus social W, associé à une quantité
agrégée q quelconque, en supposant qu’elle est
répartie efficacement entre les producteurs et
les consommateurs.
Calculer la quantité de blé optimale q° pour cette
économie.
5.5 L’équilibre
Un équilibre partiel sur le marché du blé se
définit comme la réalisation d’un prix,
permettant l’égalité de l’offre et de la
demande exprimées.
Du fait de la loi de Walras, appliquée à cette
économie comportant 2 biens, l’équilibre
partiel sur le marché du blé coïncide avec
l’équilibre général de l’économie.
5.5 L’équilibre
p
P(q)
p*
r(q)
•
q*
q
L’équilibre du marché
correspond au point
d’intersection des
courbes de demande
(inverse) et d’offre
(inverse).
Ses coordonnées, p* et
q*, donnent la quantité
et le prix d’équilibre.
5.5 L’équilibre
Il s’ensuit que la quantité d’équilibre q*
est optimal, puisqu’on a q* = q°.
Sans surprise, on retrouve ici le
premier théorème de l’économie du
bien-être : Tout équilibre de marché
décentralise un état économique
optimal au sens de Pareto.
5.6 Complément sur les
fonctions de coût
Ci-dessus, nous avons admis des propriétés restrictives sur les
fonctions de coûts, afin de dégager des résultats simples.
Les hypothèses suivantes sont générales pour une fonction de
coût C(y) :
• Existence de coût fixe : C(0) = f > 0 ;
• Croissance : C’(y) > 0 ;
• Loi des rendements non proportionnels :
Il existe une production y° telle que :
C’’(y) < 0, si 0 < y < y° ,
= 0, si y = y° ,
> 0, sinon.
5.6 Compléments sur les
fonctions de coûts
C
I
•
M
•
f
y°
y
y
Cette fig. représente
une fonction de coût
vérifiant ces propriétés.
Elle est croissante.
Elle est d’abord concave
(jusqu’au point d’inflexion I, d’abscisse y°),
puis convexe.
La pente du rayon joignant l’origine à la courbe est minimum au point
M, d’abscisse y.
5.6 Compléments sur les
fonctions de coûts
Coûts
Cj
I
•
f
M
•
CM
Cm
y°
y
y
Cette fig. montre la
correspondance existant entre les courbes
C, CM et Cm.
Le coût marg. est positif, décroissant jusqu’à
y°, puis croissant.
Le coût moyen est
minimum au point où il
intersecte le coût
marg., d’abscisse y.
5.6 Compléments sur les
fonctions de coûts
On peut alors montrer que l’offre y* est un
équilibre du producteur au prix p si :
Cm = p,
Cm est croissant,
Cm ≥ CM,
toutes ces grandeurs étant calculées au
point y*.
5.6 Compléments sur les
fonctions de coûts
p
Courbe
d’offre
(inverse)
r(y)
p
CM
Cm
y*
y
En portant la quantité
en abscisses et le prix
en ordonnées, la courbe
d’offre du producteur
est représentée par sa
courbe de coût marg.
Cm, dans sa partie
croissante et au-dessus
de son coût moyen CM.
5.6 Exercices
Soit la fonction de coût :
C(y) = (1/3) y3 – (1/2) y2 + y + f.
Calculer et étudier les coûts moyen CM et
marginal Cm.
En déduire leur représentation graphique.
Déterminer la fonction d’offre du
producteur.
6. La concurrence
imparfaite
Jusqu’ici, nous avons toujours admis que les
conditions d’une concurrence pure et
parfaite étaient réunies sur tous les
marchés.
Sans définir cette notion, on l’a traduit en
postulant directement que les agents
économiques prenaient les prix pour des
données, quelles que soient leurs décisions
individuelles.
6. La concurrence
imparfaite
Habituellement, on caractérise une situation de
concurrence pure et parfaite par la conjonction,
sur un marché, des conditions suivantes :
• un grand nombre d’offreurs et de demandeurs
participent au marché ;
• l’entrée sur le marché est libre et sans coût ;
• les caractéristiques du bien sont homogènes ;
• il y a information parfaite ;
• etc.
6. La concurrence
imparfaite
Les économistes, en recourant le plus
souvent à la théorie des jeux, explorent
inlassablement les conséquences du
relâchement de ces hypothèses (monopole,
monopsone, oligopole, barrière à l’entrée,
différenciation des biens, modèle de
search, sélection adverse, risque moral,
etc.).
6. La concurrence
imparfaite
Dans ce chapitre, nous étudions un marché auquel
participent un grand nombre (I) de
consommateurs et un petit nombre (J) de
producteurs, tous caractérisés par ailleurs comme
au chapitre précédent.
On note donc :
X(p) = la fonction de demande globale (X’(p) < 0) ;
C(y) = le coût de production d’un producteur.
6.1 Le monopole
Une entreprise est dite en situation de
monopole si elle est l’unique offreur
sur son marché (J = 1), si le nombre
de demandeurs est grand et s’il
n’existe pas de substituts proches
pour ce bien.
6.1 Le monopole
Si l’on suppose qu’il connaît la fonction de
demande globale X(p), le problème du
monopole est de choisir un prix de vente p,
tel que, en servant la demande X(p)
exprimée à ce prix, son profit p = p X(p) –
C(X(p)) soit maximum.
On appelle équilibre du monopole une solution
de ce problème.
6.1 Le monopole
Notons :
P(x) = X-1(p) = la fonction de demande
globale (inverse).
Il est équivalent (mathématiquement) de dire
que le problème du monopole est d’offrir
une quantité q telle que, celle-ci étant
vendue au prix d’équilibre associé P(q), son
profit p = P(q) q – C(q) soit maximum.
6.1 Le monopole
On définit la recette totale du monopole,
notée RT, comme la fonction qui associe à
toute offre q du monopole, la recette
totale qu’il réalise, sachant le prix
d’équilibre du marché P(q) associé.
On a donc :
RT = P(q) q = la recette totale du
monopole
6.1 Le monopole
p
p’
p’’
A
•
B
q’
•
q’’
P(q)
q
On illustre ici l’effet
d’une hausse de l’offre
du monopole de q’ à q’’.
Le prix baissant de p’ à
p’’, RT diminue de A = (p’
- p’’) q’.
L’offre augmentant de
q’ à q’’, RT croît de B =
p’’ (q’ – q’’).
Quand q’’  q’, on
appelle B – A la recette
marginale.
6.1 Le monopole
On définit la recette marginale du monopole,
notée Rm, comme la fonction qui associe à
toute offre q du monopole, l’accroissement
de sa recette totale s’il offre une unité
supplémentaire (infiniment petite) du bien
sur le marché.
On a donc :
Rm = P’(q) q + P(q) = la recette
marginale du monopole
6.1 Le monopole
La propriété suivante caractérise un
équilibre du monopole :
Si la quantité q* est un équilibre du
monopole, on a :
Rm = Cm,
où Rm et Cm sont évalués au point q*.
6.1 Le monopole
p
Cm
P(q*) = p*
•
•
P(q)
q*
q
Rm
Cette fig. illustre la
détermination d’un éq.
du monopole.
L’éq. q* égalise Rm et
Cm. Le prix associé est
P(q*). Le profit associé
est donné par l’aire
hachurée.
Noter, au passage, que,
sur cette fig., Rm
décroît et Cm croît au
voisinage de q*.
6.1 Le monopole
p
dW
p*
W
Cm
•
•
q*
Rm
q*+dq
P(q)
q
Par un raisonnement
marginaliste, on montre
que l’éq. de monopole
n’induit pas un état
optimal.
En effet, puisque P(q*) >
Rm = Cm, en offrant dq
unités supplementaire,
W croît de l’aire dW
hachurée sur la fig.
6.1 Le monopole
p
p*
Charge
morte du
monopole Cm
•
•
q*
P(q)
q°
Rm
q
En fait, on sait que W
est max. pour l’offre q°,
à l’intersection entre
P(q) et Cm.
Le monopole rationne le
marché par rapport à
l’état optimal.
On appelle charge
morte du monopole la
perte de surplus liée à
ce comportement.
6.1 Le monopole
Supposons que le monopole identifie
plusieurs types de clients, qu’il connaît la
demande de chaque type et qu’il peut
segmenter le marché (c’est-à-dire, il peut
empêcher les reventes entre types).
En pratiquant une stratégie de prix
différenciés, il va pouvoir augmenter son
profit. On parle de monopole discriminant.
6.1 Le monopole
Supposons une segmentation du marché
en deux types (i = 1, 2).
On note, pour chaque type i = 1, 2 :
Pi(qi) = sa fonction de demande
(inverse) ;
Rmi = Pi’(qi) qi + Pi(qi) = la recette
marginale correspondante.
6.1 Le monopole
La propriété suivante caractérise un
équilibre du monopole discriminant :
Si les quantités qi* (i = 1, 2) forment un
équilibre du monopole discriminant, on a :
Rm1 = Rm2 = Cm,
où :
Rmi est évalué au point qi* (i = 1, 2) ;
Cm est évalué au point q* = q1* + q2*.
6.1 Le monopole
p*
p
P1(q1)
Cm(q*)
•
Cm
• •
q1*
P2(q1)
q2*
Rm1
q
Rm2 Rm
q*
(= q1*+ q2*)
Cette fig. illustre l’éq.
du monop. discriminant.
On additionne vers la
droite Rm1 et Rm2, pour
tracer Rm. L’intersection de Rm et Cm donne
q* = q1*+ q2*. Les offres
sur les marchés se
déduisent de l’intersection de Rm1 et Rm2 avec
la droite horizontale
d’ordonnée Cm(q*).
6.1 Exercice
On considère un monopole, caractérisé par sa
fonction de coût C(q) = q, servant le
marché d’un bien sur lequel la demande
est donnée par X(p) = 2 – p.
1. Déterminer l’équilibre du monopole.
2. Calculer la charge morte du monopole.
6.2 Le duopole
On définit un marché oligopolistique
comme un marché sur lequel un petit
nombre J de firmes sont en
concurrence.
On note :
X(p), P(q) = la f° de demande ;
Cj(qj) = la f° de coût de la firme j.
6.2 Le duopole
On parle de duopole quand J = 2.
On définit un duopole de Counot, comme la
situation où les firmes décident
(simultanément) leur production, puis la
vendent au prix du marché ;
On définit un duopole de Bertrand, comme la
situation où les firmes affichent
(simultanément) leur prix, puis servent la
demande qui se présente à elles à ce prix.
6.2.1 Equilibre de
Cournot
On définit un équilibre de Cournot
comme la donnée de quantités qj*, j =
1, 2, telles que, considèrant la
quantité de l’autre comme donnée,
chaque firme j maximise son profit
en offrant qj*, pour vendre au prix
P(q1* + q2*).
6.2.1 Equilibre de
Cournot
Formellement, un équilibre de Cournot q1* et
q2* vérifie la condition de profit maximum
pour les deux firmes :
q1 = q1* maximise p1 = P(q1 + q2*) q1 –
C1(q1) ;
q2 = q2* maximise p2 = P(q1* + q2) q2 –
C2(q2).
6.2.1 Equilibre de
Cournot
On définit la fonction de réaction de la firme
1, notée R1(q2), comme la fonction qui, à
toute quantité q2 offerte par la firme 2,
associe l’offre q1 de la firme 1, qui
maximise son profit. Formellement :
q1 = R1(q2) maximise
p1 = P(q1 + q2) q1 – C1(q1), pour tout q2.
On a la même définition pour la firme 2.
6.2.1 Equilibre de
Cournot
En supposant une solution intérieure, la
fonction de réaction q1 = R1(q2) de la firme
1 vérifie, pour tout q2 :
P’(q1 + q2) q1 + P(q1 + q2) – C1’(q1) = 0.
On a la même caractérisation pour la
fonction de réaction q2 = R2(q1) de l’autre
firme.
6.2.1 Equilibre de
Cournot
Connaissant les fonctions de réaction des
deux firmes, un équilibre de Cournot
vérifie :
q1 = R1(q2),
q2 = R2(q1).
On déterminera donc un équilibre de Cournot
en cherchant d’abord les fonctions de
réaction des firmes, puis en résolvant ce
système.
6.2.1 Exercice
On considère deux entreprises en situation
de duopole sur un marché. On suppose
qu’elles partagent la même technologie,
caractérisée par la fonction de coût C1(q)
= C2(q) = q. La demande sur le marché est
donnée par X(p) = 2 – p.
1. Calculer l’équilibre du duopole.
2. Comparer avec l’équilibre du monopole.
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
Notons p1 et p2, les prix affichés
(simultanément) par les firmes 1 et 2
respectivement.
On note :
Xj(p1, p2) = la demande adressée à la
firme j.
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
Si les biens offerts par les deux firmes sont parfaitement
homogènes, les consommateurs s’adressent tous à la firme
qui affiche le prix le plus bas.
On aura dans ce cas :
X(p1), si p1 < p2,
X1(p1, p2) =
X(p)/2, si p1 = p2 = p,
0, si p1 > p2.
X2(p1, p2) =
0, si p1 < p2,
X(p)/2, si p1 = p2 = p,
X(p2), si p1 > p2.
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
Si les biens offerts par les deux firmes, quoique
proches, ont des propriétés différentes (couleur,
emballage, poids, etc.) et si les consommateurs ont
des préférences sur ces propriétés, la demande
adressée aux firmes pourra s’écrire, par exemple :
X1(p1, p2) = a1 – b1 p1 + c1 p2,
X2(p1, p2) = a2 – b2 p2 + c2 p1,
où toutes les constantes sont positives.
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
On définit un équilibre de Bertrand
comme la donnée de prix pj*, j = 1, 2,
telles que, considèrant le prix de
l’autre comme donné, chaque firme j
maximise son profit en affichant le
prix pj*, pour servir la demande
Xj(p1*, p2*).
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
On définit la fonction de réaction de la firme 1,
notée R1(p2), comme la fonction qui, à tout prix p2
affiché par la firme 2, associe le prix p1 de la
firme 1, qui maximise son profit. Formellement :
p1 = R1(p2) maximise
p1 = p1 X1(p1, p2) – C1(X1(p1, p2)), pour tout p2.
On a la même définition pour la firme 2.
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
Si les biens ne sont pas parfaitement homogènes et
en supposant une solution intérieure, la fonction
de réaction p1 = R1(p2) de la firme 1 vérifie, pour
tout p2 :
X1(p1, p2)
X1(p1, p2)
X1(p1, p2) + p1
= C1’(X1(p1, p2))
p1
p1
On a la même caractérisation pour la fonction de
réaction q2 = R2(q1) de l’autre firme.
6.2.2 Equilibre de
Bertrand
Connaissant les fonctions de réaction des
deux firmes, un équilibre de Bertrand
vérifie :
p1 = R1(p2),
p2 = R2(p1).
On déterminera donc un équilibre de
Bertrand en cherchant d’abord les
fonctions de réaction des firmes, puis en
résolvant ce système.
6.2.2 Exercice
On considère le duopole en prix
caractérisé par :
C1(q) = C2(q) = q,
X1(p1, p2) = 2 – p1 + p2,
X2(p1, p2) = 2 + p2 – p1.
Calculer l’équilibre de Bertrand.
2.7 Exercices
x2
R/p2
XB
x*
•
R/p1 x1
Corrigé ex. 1.
Le pb revient à trouver
x dans X et B, qui soit
sur une courbe d’indif.
la plus éloignée possible
de l’origine. L’équilibre
x* se situe sur l’axe
des abscisses (solution
en coin).