Quand le français est plus important que les calculs en mathématique

Quand le français est plus
important que les calculs en
mathématiques
Nombres premiers
Énoncé du problème
Ce n’est pas si
élémentaire que
ça en à l’air!
• Montrer qu’il existe une infinité d’entiers
naturels premiers, c’est-à-dire que
l’ensemble des entiers naturels premiers
n’est pas borné.
Définition des nombres premiers
• Un nombre premier est un nombre qui ne
peut donner un nombre entier comme
résultat, quand on le divise, que s’il est
divisé par 1 ou par lui-même. 1 n’est pas un
nombre premier (il n’est divisible que par
un seul nombre).
Oui, c’est
correct!
Un petit
rappel…
Résolution
• On suppose que la famille des nombres
premiers positifs est finie : soit
P = {p1=2, p2=3,p3=5…..pn-1, pn}
la famille de ces nombres.
Cette famille est classée dans l’ordre.
Mais qu’estce qu’il
raconte?
Résolution (suite)
On pose maintenant
q = p1.p2.p3…..pn-1.pn+1
C’est-à-dire que q est égal au produit de tous
les nombres premiers contenus dans P
augmenté de 1
Où veut-il
en venir?
Raisonnement
• soit q est premier, mais c’est impossible car
il est plus grand que pn, et il n’est donc pas
dans la famille P qu’on a supposé finie;
• soit q n’est pas premier, mais alors il admet
forcément un diviseur premier, or aucun des
éléments de P ne divise q, sinon il diviserait
1!
Mais c’est
qu’il a
raison
Développement (non obligatoire)
• Soit pk nombre entier premier inférieur à pn. Si q
n’est pas premier et qu’il est multiple de pk le
résultat de la division q/pk est un nombre entier. Or
q/pk = (p1.p2.p3…..pn-1.pn)/pk +1/pk
Le premier terme (p1.p2.p3…..pn-1.pn+)/pk donnera
bien un nombre entier puisque pk fait partie de P .
Par contre la seule valeur de pk pour laquelle 1/pk
donnera un nombre entier est 1. Or 1 n’est pas un
nombre premier!
Conclusion
On a donc une contradiction,
ce qui prouve que la famille des
nombres premiers est infinie.
Tadaaaa…!
Commentaire
• Ce type de raisonnement est appelé raisonnement
par l’absurde.
• Il est fréquemment employé en mathématiques.
Pour prouver quelque chose on part de
l’affirmation contraire. Autant dire que la maîtrise
de la langue est primordiale!
• Moralité : lycéens, lycéennes, quand vous êtes en
cours de Mathématiques, n’oubliez pas votre
français!
Qui a dit que les mathématiques
ne servait à rien?
Des milliers de dollars pour des millions de chiffres
• L’Electronic Frontier Foundation (EFF,
association de défense et de promotion de
l’utilisation de l’internet) a annoncé en mars 1999,
que le don d’un mécène anonyme, 50 000$, serait
attribué au premier individu ou groupe qui
découvrirait un nombre premier de plus d’un
million de chiffres.
Devinez qui est le
mécène anonyme.
Qui a dit que les mathématiques
ne servait à rien?
• Ce prix a été remporté quelques mois plus
tard par les découvreurs de :
26972593 –1
Depuis on en a certainement
Il est
découverts
d’autres!
astronomique
ce nombre
premier!
Et ce n’est pas tout!
Il existe d’autres prix :
• 100 000$ pour la découverte du premier nombre
premier de plus de 10 millions de chiffres,
• 150 000$ pour la découverte du premier nombre
premier de plus de 100 millions de chiffres,
• 250 000$ pour la découverte du premier nombre
premier de plus de 1 milliard de chiffres.
Des amateurs???.