Quand le français est plus important que les calculs en mathématiques Nombres premiers Énoncé du problème Ce n’est pas si élémentaire que ça en à l’air! • Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels premiers, c’est-à-dire que l’ensemble des entiers naturels premiers n’est pas borné. Définition des nombres premiers • Un nombre premier est un nombre qui ne peut donner un nombre entier comme résultat, quand on le divise, que s’il est divisé par 1 ou par lui-même. 1 n’est pas un nombre premier (il n’est divisible que par un seul nombre). Oui, c’est correct! Un petit rappel… Résolution • On suppose que la famille des nombres premiers positifs est finie : soit P = {p1=2, p2=3,p3=5…..pn-1, pn} la famille de ces nombres. Cette famille est classée dans l’ordre. Mais qu’estce qu’il raconte? Résolution (suite) On pose maintenant q = p1.p2.p3…..pn-1.pn+1 C’est-à-dire que q est égal au produit de tous les nombres premiers contenus dans P augmenté de 1 Où veut-il en venir? Raisonnement • soit q est premier, mais c’est impossible car il est plus grand que pn, et il n’est donc pas dans la famille P qu’on a supposé finie; • soit q n’est pas premier, mais alors il admet forcément un diviseur premier, or aucun des éléments de P ne divise q, sinon il diviserait 1! Mais c’est qu’il a raison Développement (non obligatoire) • Soit pk nombre entier premier inférieur à pn. Si q n’est pas premier et qu’il est multiple de pk le résultat de la division q/pk est un nombre entier. Or q/pk = (p1.p2.p3…..pn-1.pn)/pk +1/pk Le premier terme (p1.p2.p3…..pn-1.pn+)/pk donnera bien un nombre entier puisque pk fait partie de P . Par contre la seule valeur de pk pour laquelle 1/pk donnera un nombre entier est 1. Or 1 n’est pas un nombre premier! Conclusion On a donc une contradiction, ce qui prouve que la famille des nombres premiers est infinie. Tadaaaa…! Commentaire • Ce type de raisonnement est appelé raisonnement par l’absurde. • Il est fréquemment employé en mathématiques. Pour prouver quelque chose on part de l’affirmation contraire. Autant dire que la maîtrise de la langue est primordiale! • Moralité : lycéens, lycéennes, quand vous êtes en cours de Mathématiques, n’oubliez pas votre français! Qui a dit que les mathématiques ne servait à rien? Des milliers de dollars pour des millions de chiffres • L’Electronic Frontier Foundation (EFF, association de défense et de promotion de l’utilisation de l’internet) a annoncé en mars 1999, que le don d’un mécène anonyme, 50 000$, serait attribué au premier individu ou groupe qui découvrirait un nombre premier de plus d’un million de chiffres. Devinez qui est le mécène anonyme. Qui a dit que les mathématiques ne servait à rien? • Ce prix a été remporté quelques mois plus tard par les découvreurs de : 26972593 –1 Depuis on en a certainement Il est découverts d’autres! astronomique ce nombre premier! Et ce n’est pas tout! Il existe d’autres prix : • 100 000$ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 10 millions de chiffres, • 150 000$ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 100 millions de chiffres, • 250 000$ pour la découverte du premier nombre premier de plus de 1 milliard de chiffres. Des amateurs???.