Didacticiel_Elec1_SVI.pps

SERIE I : ELECTROSTATIQUE
Distributions de charges, Forces électrostatiques
Exercice1
Quelle est la force coulombienne de répulsion s’exerçant entre
deux protons dans un noyau de fer si on suppose que la
distance qui les sépare est de 4.10-15m.
1
FSR
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Exercice1:
Donnés: r = 4.10-5m
, q1 =q2 = 1,6.10-19 C
La force de répulsion entre
les deux protons est
0

F
1
4 0
q1 q2
2
r
1
 8.85 10 12 F / m
19
4 10
AN:
F  14 N
2
FSR
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SERIE I : ELECTROSTATIQUE
Distributions de charges, Forces électrostatiques
Exercice 2
On considère trois charges Q1, Q2 et Q3 placées comme l’indique la figure 1.
Quelle est la force qui agit sur Q1 ?
On donne ,
Q1 = -1.10-6 C, Q2 = +3.10-6 C, Q3 = -2.10-6 C, r12 = 15 cm, r23 = 10cm
et θ = 30°
3
FSR
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Exercice 2
1 Q1 Q3
4 0 r 21.3
1 Q1 Q 2

4 0 r 21.2
F31 
y
F21
j
Q3<0
i
Avec:
F2-1
x
Q1<0
F1 = F2-1 + F3-1
Q2>0
q
F3-1
F1
Projetons sur les deux axes ox et oy
F2-1 = F2-1
i
F3-1 = - F3-1 Cos q
j
+ F3-1 sin q
i
F1= (F2-1 + F3-1 sinq ) i
- F3-1 cos (q )
4
FSR
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j
SERIE I : ELECTROSTATIQUE
Distributions de charges, Forces électrostatiques
Exercice 3
On considère deux charges ponctuelles identiques +q = 2C disposées en A et B
suivant l’axe Oy à une distance a = 30 cm du centre O.
Une charge +Q=4C est placée en M sur l’axe Ox à l’abscisse x=OM.
Déterminer en fonction de x l’intensité et la direction de la résultante des forces
électrostatiques agissant sur Q.
Même question avec qA = -q et qB =+q.
5
FSR
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Exercice 3
a)
x
Y
+q
A
uA
j
r
i
2a
q
FB
q
q
M
o
+Q
F
r
+q
B
FA
uB
La charge q (A) exerce sur la charge Q(M) une force:

FA
La charge q (B) exerce sur la charge Q(M) une force:

FB
  
F  FA  FB
X


qQ 

UA  UB
2
4 0 r
1
qQ 

UA
2
4 0 r
1
qQ 

UB
2
4 0 r
1

6
FSR
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


UA  UB
Calculons :

U A  cosq i  sinq j
j
U
U B  cosq i  sinq j
uB
A

 U B  2cos q i
q i
q
F  FA  FB
uA
1
qQ

cos q i
2
2 0 r
A
2a o
x
r
B
r
q
q
cos q 
M

F
x
x

r
(a 2  x 2 )

qQ x
i
2
2 3/ 2
2 0 (a  x )
1
7
FSR
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b) On remplace la
charge q(A) par
-q(A)
x
Y
-q
A
uA
j
F
r
i
2a
FA
q
M
q
FB
X
o
+Q
r
+q
B
uB
La charge -q (A) exerce sur la charge Q(M) une force:

FA
La charge q (B) exerce sur la charge Q(M) une force:

FB
  
F  FA  FB



qQ

U A  U B
2
4 0 r
1
(q) Q 

UA
4 0 r 2
1
qQ 

UB
2
4 0 r
1

8
FSR
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

( U A  U B )
Calculons :
U A  cosq i  sinq j



( U A  U B )  2 sin q j
U B  cosq i  sinq j
  
F  FA  FB

F



qQ

U A  U B
2
4 0 r
1


qQ
sin( q ) j
2
2 0 r
1

F
1
qQ a
2
2 3/ 2
2 0 (a  x )

j
9
FSR
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SERIE I : ELECTROSTATIQUE
Distributions de charges, Forces électrostatiques
Exercice 4
Calculer le champ créé par un dipôle électrique le long de son axe.
Les deux charges –q et +q sont séparées par la distance a .
Tracer la courbe E= E(x)
10
FSR
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EXERCICE 4: Calcul du champ électrique crée par un dipôle le long de son axe
a/2
-q
A
a/2
O
EA
+q
i
B
EB
X
M

1er cas: le point M est à droite du point B
OM  x ; x a / 2



Le champ électrique crée par
E ( M )  E A ( M )  EB ( M )
les 2charges au point M est:


 q AM
q
BM
k
 k

 2
 2
AM
BM
A
M
B
M

Avec:
AM  x  a / 2





1
1

 i
E ( M )  kq

2
2 
BM  x  a / 2
et
 ( x  a / 2) ( x  a / 2) 

E ( M )  kq

2ax
i
2
a 2
2
(x  )
4
11
FSR
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
OM  x ; x   a / 2
2ème cas: le point M est à gauche du point A
EB
M
A
-q
O
Le champ électrique crée par
les 2charges au point M est:
Avec:

AM  x  a / 2

BM  x  a / 2
et 

AM
BM
 

AM
BM

 i
X
a/2
a/2
EA
i
+q
B



E ( M )  E A ( M )  EB ( M )


 q AM
q
BM
k
 k

 2
 2
AM
AM
BM BM


 
1
1
 i
E ( M )  kq

2
2 
( x  a / 2) 
 ( x  a / 2)


2a x
E ( M )  kq
i
2
a
( x 2  )2
4
12
FSR
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
OM  x ; 0  x  a / 2
3ème cas: le point M est entre O et B
-q
O
A
Le champ électrique crée par
les 2charges au point M est:
Avec:

AM  x  a / 2

BM  a / 2  x
et 

AM
BM
 

AM
BM
X
a/2
a/2

 i
i
EB
EA
+q
M
B



E ( M )  E A ( M )  EB ( M )


 q AM
q
BM
k
 k

 2
 2
AM
AM
BM BM
a2
x 


4
E ( M )   2 kq
i
2
a
( x2  )2
4
2
13
FSR
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
OM  x ;  a / 2  x  0
4ème cas: le point M est entre O et A
-q
A
EA E
B
M
O
Le champ électrique crée par
les 2charges au point M est:
Avec:

AM  a / 2  x

BM  a / 2  x
et 

AM  BM
 i ;

AM
BM
X
a/2
a/2
+q
i
B



E ( M )  E A ( M )  EB ( M )


 q AM
q
BM
k
 k

 2
 2
AM
AM
BM BM


 
1
1
 i
E ( M )  kq

2
2 
( a / 2  x) 
 ( x  a / 2)
a2
x 


4
E ( M )   2 kq
i
2
a
( x2  )2
4
2

i
14
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5ème cas:
le point M et O sont confondus

kq 
E (M )   8
i
a2
a2
x 

 Pour X=0
4
E ( M )   2 kq
i
2
a
( x2  )2
4
2a x
kq
a2 2
2
(x  )
4
2
a2
x 
4
 2 kq
a2 2
2
(x  )
4
2ax
kq
2
a
( x2  )2
4
2
a2
x 
4
 2 kq
a2 2
2
(x 
)
4
2
8
kq
a2
15
FSR
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SERIE I : ELECTROSTATIQUE
Distributions de charges, Forces électrostatiques
Exercice 5
Soient 3 boules identiques A,B,C. A et B sont fixes, distantes de d et portent des
charges respectivement q et q’= 2q.
La boule C, pouvant se déplacer librement sur la droite AB, est initialement
neutre. On amène la boule C au contact de A et on l’abandonne .
1/ Déterminer la position d’équilibre de la boule C.
2/ Trouver la relation entre q et q’ pour que la boule C retrouve sont équilibre au
milieu du AB
16
FSR
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Exercice 5
1)
àt=0
d
q
q’=2q
x
A C
B
AO origine des abscisses
Quand on met C en contacte avec A
(La boule C est initialement neutre)
Transfert de charge de A vers C
Les boules A et C vont se partager
La charge q puisqu ils sont identiques
à l’équilibre
qA = q/2 et qc = q/2
q/2
q/2
A
FB-C
Les boules A et C vont se repousser
car qA et qC de même signe
FA-C
C
2q
B
17
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FAC 
FB C 
1
q A .qC
AC
2
AC
qB .qC
BC
2
BC
4 0 AC
1
4 0 BC
FAC
à l’équilibre
avec
AC  x
et
qA  q / 2
avec
BC  d  x
et
qC  q / 2
1 q / 2.q / 2
1 q2 / 4


2
4 0
x
4 0 x 2
1 q / 2.2q
1
q2
FB C 

2
4 0 (d  x )
4 0 (d  x )2
FAC  FB C
1 q2 / 4
1
q2

2
4 0 x
4 0 (d  x )2
( d  x )2  4 x 2
18
FSR
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(d  x )2  x 2  2dx  d 2  4 x 2
  4d  12d  16d
2
2)
2
2
3 x 2  2dx  d 2  0
x  (2d  4d ) / 6  d / 3
x d/2
Relation entre q et q’ pour que C retrouve
son équilibre au milieu de AB
FAC 
1
q A .qC
4 0 AC
2
AC
AC
FAC  FB C
FB C 
q A .qC
AC
2
1
qB .qC
BC
2
BC
4 0 BC
qB .qC

2
BC
comme q A  q / 2 et AC  BC  d / 2
On déduit que la charge au point C (q’):
q' q / 2
19
FSR
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SERIE I : ELECTROSTATIQUE
Distributions de charges, Forces électrostatiques
Exercice 6
Un cercle de centre O de rayon R, porte une charge q répartie uniformément.
1/ Calculer la densité de charge λ.
2/ Déterminer le potentiel et le champ électrique sur l’axe normal au plan du cercle en O.
3/ Tracer les courbes V(x) et E(x).
20
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Exercice 6
x
dV
dq   dl

M
OM = x
R
2 R
 dl
1 dq
1
dV 

4 0 r 4 0
r
O
q
dl
dq
V

(C)


(c )
dV 

4 0
1

4 0
( x 2  R2
1
 2 R
4 0
(x  R )
2
(x  R )
2

)
(c )

2
 dl
1
(c )
2
(x  R )
2
2
dl
1
q
4 0
(x  R )
2
2
21
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SERIE II : ELECTROSTATIQUE
potentiel électrique, énergie potentielle et théorème de Gauss
Exercice I
Soit un disque uniformément chargé avec une
densité surfacique . Déterminer le potentiel en
un point P de son axe.
22
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Exercice1
dr
r '  x 2  r '2
r
R
P
x
dq   ( 2 r )dr ou ( 2 r )dr
X
dV
est la s urface de l ' anneau
Tout les points de l’anneau sont à la même distance r’ du point P
1 dq  1  2 rdr
dV 
4 0 ( x 2  r 2 )
4 0 r '
23
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dV 
1
 2 rdr
4 0

V ( x) 
2 0
V (r )  
(x  r )
2
2
disque


2
2
( x  r ) 2 0
rdr

disque
 2 rdr
1

R
0
4 0
( x2  r 2 )
( x 2  r 2 )1/ 2 rdr

R
2
2 1/ 2

2
2 1/ 2


(
x

R
)

x
( x  r )  
V ( x) 


0
2

2 0
0
2
Pour x>> R
On obtient:
R
R2
( x  R )  x (1 
) ( x  2x )
2
2x
2
2
1 q
 R
 R
V ( x) 


4 0 x
4 0 x
4 0 x
2
2 1/ 2
24
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SERIE II : ELECTROSTATIQUE
potentiel électrique, énergie potentielle et théorème de Gauss
Exercice II
Trois charges ponctuelles Q1, Q2 et Q3 fixes
forment entre elles in triangle équipotentiel de coté
a. Quelle est l’énergie potentielle du système ?
On donne : Q1 =-4Q, Q2 = +2Q, Q3 = +Q. Q=107C et a =10cm
25
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Exercice2
Energie potentielle du système
-4Q
a
+Q
Wtotale
Wtotale = W1-2 + W1-3 + W2-3
a
a
+2Q
1 ( Q )( 2Q )
1 ( Q )( 4Q )
1 ( 2Q )( 4Q )



4 0
a
4 0
a
4 0
a
10 Q 2
Wtotale 
4 0 a
26
FSR
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SERIE II : ELECTROSTATIQUE
potentiel électrique, énergie potentielle et théorème de Gauss
Exercice III
Dans un champ électrique E uniforme , on place un cylindre fermé de
rayon R de telle sorte que son axe est parallèle . Déterminer le flux
à travers cette surface fermée. Si on place à l’intérieur de ce même
cylindre une charge Q, donner la valeur du flux à travers cette même
surface.

E
27
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Exercice3
Slatérale
1)
E
Sdroite
E
S gauche
E
E
  ( S g . E  Sd . E  Sl . E )
  ( S g . E cos   Sd . E cos 0  Sl . E cos  / 2)
   S g . E  Sd . E  0
Le flux à travers une surface fermée ne
contenant pas de charge à l’intérieur est nul
28
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SERIE II : ELECTROSTATIQUE
potentiel électrique, énergie potentielle et théorème de Gauss
Exercice IV
Soit un fil infini uniformément chargé avec une densité
linéaire λ .
1- En utilisant la méthode directe la méthode de Gauss ,
calculer le champ E à une distance a de ce fil.
2- On dispose maintenant d’un deuxième fil infini ,
portant une densité linéaire - λ, et disposé par
rapport au premier fil comme l’indique
ci-dessous . En supposant que le point M se
trouvant dans le plan formé par les deux fils ,
donner la valeur du champ au point M .
29
FSR
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Exercice 4
Théorème de Gauss
Y
  Qint
E.dS 
  
OM  a
0
S ,G , fermée

dS B ,sup
h
.
M
o
a

dSlatérale
X
E

dS B ,inf


E et dSlatérale sont colinéaire s
 
E. dSlat  E.dS
30
FSR
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  
  Qint
E.dS 
0
  S ,lat  S , B inf  S , B sup
S ,G , fermée

 

S , B inf  S ,B inf E.dS B inf  0 car E  dS B inf

 

S , B sup  S ,B sup E.dS B sup  0 car E  dS B sup

 

S lat   E.dS S lat   E.dS S lat car E // dS S lat
S lat
S lat
Comme le champ E est constant en tout point M sur la surface latérale
  S ,lat  E  dSlat  E.Slat  E.2ah 
Qint
et comme Qint  h
E
2ah 0
Qint
0

E 
i
2 a 0
31
FSR
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2)
λ
-λ
i
M
a
Eλ E- λ
b
E  E  E


E 
i et E  
i
2 a 0
2 b 0


E
i 
i
2 a 0
2 b 0
 1 1 
E
 i

2 0  a b 
 a  b 
E
i


2 0  ab 
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SERIE III : ELECTROCINETIQUE
Association de condensateurs, de résistances & réseaux electriques
Exercice 1
Trois condensateurs de capacité C1=1mF, C2=3,3mF, C3=4,7mF sont
associés en parallèle. La charge totale du groupement est q=0,216 mC.
Calculer :
1 - la capacité équivalente
2 - la tension aux bornes
3 - l'énergie stockée par l'ensemble
4 -Que devient cette énergie si la tension diminue d'un tiers.
33
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Exercice 1
Les condensateurs étant montés en dérivation, la capacité du
condensateur équivalent à l'ensemble est
C= C1 + C2 + C3 = 4,7 + 1 + 3,3 = 9mF.
La tension aux bornes du condensateur équivalent
V = Q/C = 2,16 10-4 /9 10-6 = 24V.
L’énergie stockée dans les condensateurs est:
W = 1/2 CV² = 0,5 . 9 10-6 . 24²= 2,59 mJ.
la nouvelle tension vaut 16 V ainsi l’énergie devient
W = 1,15 mJ
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SERIE III : ELECTROCINETIQUE
Association de condensateurs, de résistances & réseaux electriques
Exercice 2
Calculer la capacité d'un condensateur dont l'armature interne est une
sphère de centre O et de rayon R1. La surface interne de l'armature
externe est une sphère de centre O et de rayon R2.
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Exercice 2
V1 : potentiel de l'armature interne ( R1)
V2 : potentiel de l'armature externe ( R2)
Q : charge de l'armature A
Les lignes de champ sont radiales, les surfaces
équipotentielles sont des sphères de centre O.
Th. de gauss: calcul du champ puis du potentiel
flux du champ à travers
la sphère Σ de rayon x :
Q
2
E.4 x 

0
Q
E
4  0 x 2
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dV
E
dx
dV

puisque E ne dépend que de x
Q dx
4 0 x
2
intégrer entre R1 et R2.

1

V2 V1 
4 0  R2

Q
capacité = Q/(V2-V1)
1

R1




C  40
R1R2
R2  R1
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SERIE III : ELECTROCINETIQUE
Association de condensateurs, de résistances & réseaux electriques
Exercice 3
Déterminer la résistance RAB équivalente de l’ensemble
Des résistances représentées ci contre , entre les points A et B
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Exercice 3
Résistance équivalente entre A et B
Cas a
2Ω
6Ω
RAB= 9Ω
2Ω
4Ω
6Ω
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Cas b
Le point C et B sont au même potentiel
C B
C
RAB= 7Ω
On constate que:
Cas C
A  D et
C B
C
D
1
Réqui

1
R
1 1 3
R
R
R
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SERIE III : ELECTROCINETIQUE
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Exercice 4
Un fil cylindrique d’argent de 0.5 mm de rayon est traversé par des charges électriques
A raison de 72C/h. L’argent contient 5.8 électrons par cm3. calculer :
Le module de la densité de courent J.
La vitesse moyenne des électrons de conduction.
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Exercice 4
I
J
S
a
d 2
avec S   ( )   (0,6) 2 10 6 m 2
2
I  5A
J V
b
ou
 est
J  4,4.10 6 A / m 2
la densité de ch arg e par unité de volume (Coulomb / m 3 )
et
  n. q

V
la
vitesse des électrons
dans le cuivre
n est la densité des électrons par unité
q est la ch arg e d ' électrons  1,6 10 19 C
J 
donc : J  n e V  V 
ne
volume
6
4,4.10
 1, 2 .104 m / S
2,3.1029 . 1,6 . 10 19
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Exercice 5
La puissance perdue par effet joule dans le circuit suivant est de 50w.
Calculer :
a. la f.e.m du générateur et le courent qu’il débite
b. les courent traversant les différentes résistances.
c. les d.d.p aux borne R1 et R3
on donne : R1= 6 , R2= 3 , R3 = 4
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Exercice 5
La puissance perdue par effet joule dans
le circuit suivant est :
P= 50 w.
I
I
Re 
I
Re 
R2 .R3
R2  R3
R2 .R3
R2  R3
R

R
Re'  e 1
2
R
R

R
R
R R
Re'  2 3 1 2 1 3
2 (R2  R3 )
Re  R1
I
Re  R1
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I
R2 R3  R1 R2  R1R3
'
Re 
2(R  R )
2
E  Re' I
3
P  (Re' ) . I 2
On donne la puissance :
P
I
 3.6 A
,
Re
'
E  P.Re
AN
E 13.88 (V)
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b- les courants traversant les différentes résistances.
gauche
I1
I1
I3
I
Remarque: le circuit est symétrique, on
traite alors juste la portion (gauche)
I2
Dans la résistance R1 circule le courant
I3
I
I1 
2
I2
Dans cette maille on a :
R3 I3  R2 I 2
I
et I3  I 2  I1 
2
La résolution du système d’équations donne :
I2 
R3
2(R3  R2 )
I et I3 
R2
2(R3  R2 )
I
I 2  1.03A et I 3  0.77 A
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