Quelques propriétés des figures géométriques

Quelques propriétés des
figures géométriques
Triangle
• Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés de
même mesure.
– Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux.
– Si ABC est isocèle en A alors, la hauteur issue de A, la
bissectrice de Â, la médiane issue de A, la médiatrice de [BC]
sont confondues.
• Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même
mesure.
– Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux à 60°.
– Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, médianes,
médiatrices, bissectrices sont confondues.
Triangles
• Inégalité triangulaire : un triangle n'existe que si la
somme des longueurs des 2 plus petits côtés est
supérieure ou égale à la mesure du plus grand côté. En
cas d'égalité, le triangle est plat: les 3 points sont
alignés.
• Angles : dans un triangle, la somme de la mesure des 3
angles est égale à 180°.
Triangle
• Hauteur : Une hauteur d'un triangle est la
droite (ou segment) perpendiculaire à un
côté qui passe par un sommet.
Dans un triangle les hauteurs sont
concourantes en l'orthocentre du
triangle.
• Médiane : Dans un triangle la médiane
est le segment joignant un sommet au
milieu du côté opposé.
Dans un triangle, les médianes sont
concourantes en un point nommé le
centre de gravité du triangle.
Triangle
Dans un triangle, les bissectrices
sont concourantes au centre du
cercle inscrit au triangle.
Le cercle inscrit est le cercle
tangent aux 3 côtés du triangle.
Dans un triangle, les
médiatrices des 3 côtés sont
concourantes au centre du
cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit est le
cercle qui passe par tous les
sommets.
Triangle rectangle
Si un triangle est rectangle alors le centre de
son cercle circonscrit est le milieu de
l'hypoténuse.
losange
• Définition : Un quadrilatère qui a ses 4
côtés de même mesure est un
losange.
• Propriétés:
– Les diagonales du losange sont
perpendiculaires et se coupent en leur
milieu.
– Les côtés opposés du losange sont 2 à 2
parallèles.
• Le losange est un parallélogramme.
• Le losange est un trapèze.
Pour montrer que l'on a un losange
• Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires
qui se coupent en leur milieu est un losange.
• Un rectangle qui a ses diagonales perpendiculaires est
un losange.
• Un parallélogramme qui a ses diagonales
perpendiculaires et de même longueur est un losange.
• Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs (qui se
suivent) de même mesure est un losange.
Carré
• Définition : Un quadrilatère qui a
ses 4 côtés de même mesure et
3 angles droits (4 en fait) est un
carré.
• Propriétés
– Le carré a ses diagonales de même
longueur, qui se coupent en leur
milieu et qui sont perpendiculaires.
– Le carré a ses côtés opposés 2 à 2
parallèles.
• Le carré est un rectangle.
• Le carré est un losange.
• Le carré est un parallélogramme.
Pour montrer que l'on a un carré
• Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires,
de même longueur qui se coupent en leur milieu est un
carré.
• Un rectangle qui a ses diagonales perpendiculaires est
un carré.
• Un losange qui a ses diagonales de même longueur est
un carré.
• Un parallélogramme qui a ses diagonales
perpendiculaires qui sont de même longueur est un
carré.
Théorèmes usuels
Thalès
Soient d et d' deux droites sécantes
en A. Soient B et M deux points de
d distincts de A. Soient C et N deux
points de d' distincts de A. Si les
droites (BC) et (MN) sont parallèles
alors:
Réciproque de Thalès
Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M
deux points de d distincts de A. Soient C et N deux
points de d' distincts de A.
Si
et si les points A,B,M et les points A,C,N sont dans le
même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont
parallèles.
Pythagore
• Dans un triangle rectangle, le carré de la
longueur de l'hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des côtés de l'angle
droit.
• Dans le triangle ABC rectangle en A : BC²= AB²
+ AC²
• Réciproque: Si dans un triangle le carré d'un
côté est égal à la somme des carrés des autres
côtés alors ce triangle est rectangle.