PresentationThese - TEL (Thèses-en

Shermila MOSTARSHEDI
Directeur de thèse : Odile PICON
Rapporteurs :
Hervé AUBERT
Walid TABBARA
Examinateurs : Marc HEDDEBAUT
Jean-Marc LAHEURTE
Élodie RICHALOT
Joe WIART
Man-Faï WONG
Contexte (1)
Environnement urbain
• Complexe et variable
• Objets diffractants statiques et dynamiques
• Diffractions à petite et à grande échelles
Caractérisation précise de la
propagation d’onde
Modèle
01/12/2008
Méthode
Shermila Mostarshedi
2/47
Contexte (2)
Qu’est-ce qu’un bon simulateur
de propagation d’onde ?
Complexité – Variabilité
Temps de calcul
Diffraction
Réflexion
spéculaire
Réflexion
non-spéculaire
Hétérogénéités
locales
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
3/47
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
4/47
Introduction
Méthodes
Méthodes rigoureuses
FDTD, FIT, MoM
Méthodes asymptotiques
Méthodes basées sur le champ
GO, GTD, UTD
Méthodes basées sur le courant
PO, PTD, UTD
Modèles
Modèles empiriques  basés sur des mesures extensives
Modèles spécifiques au site  basés sur les paramètres du site
méthode : tracé de rayon
Modèles théoriques  basés sur des conditions idéalisées
méthode: optique physique
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
5/47
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
6/47
Équivalence inductive (Théorème d’induction)
Problème original
Ji
Problème équivalent exact
Ji
n
Mi
Ei , Hi
1 , m 1
1 , m1
Mi
Ei , Hi
Et , Ht
2 , m 2
1 , m1
E = E i + Es
H = Hi + Hs
Problème équivalent approché
n
Js = − n  Hi
Ms = n  Ei
Et , Ht
2 , m 2
1 , m 1
Es , Hs
Courants équivalents  connus
Objet diffractant  présent
n
1 , m 1
Ms = 2 n  E i
Objet diffractant  absent
01/12/2008
1 , m 1
Objet métallique
Es , Hs
Shermila Mostarshedi
7/47
Équivalence physique
Problème original
Ji
Ji
n
Mi
Ei , Hi
1 , m 1
1 , m1
Mi
Ei , Hi
Et , Ht
2 , m 2
1 , m1
E = E i + Es
H = Hi + Hs
Problème équivalent approché
en réflexion
n
Js = 2 n  Hi
1 , m 1
Courant équivalent  connu
1 , m 1
01/12/2008
Problème équivalent exact
en réflexion
n
Js = n  H
Ms = −n  E
−Ei , −Hi
1 , m 1
1 , m 1
Es , Hs
Courants équivalents  inconnus
Objet diffractant  absent
Objet métallique
Es , Hs
Shermila Mostarshedi
8/47
Source : onde plane en polarisation TE
Équivalence physique :
(exacte)
(approchée)
Ms
 aˆz  (Ei  Er )
 aˆz  (Ei  R Ei )
Js
 aˆz  (Hi  Hr )
 aˆz  (Hi  R Hi )
 (1  R )Ei e  jk0y sini aˆy
cos i  jk0y sini
 (1  R )Ei
e
aˆ x
0
z
Équivalence inductive :
(exacte)
Ms
 aˆz  Ei
 Ei e
Js
 aˆz  Hi
  Ei
 jk0y sini
cos i
0
i
aˆy
i
Hi
e  jk0y sini aˆ x
Er
Ei
Ht
0 , m 0
Hr
y
Et
1 , m 1
+

courants équivalents+ le rayonnement à l’interface ?
Méthode de l’optique physique = courants équivalents
(équivalence physique)
approchés
Méthode proposée ici =
(équivalence inductive)
01/12/2008
exacts
Shermila Mostarshedi
le rayonnement
dans l’air
entre l’air et le diélectrique
9/47
Plan de la présentation
1. Introduction et contexte
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
10/47
Fonctions de Green – Potentiels auxiliaires
Fonction de Green → Réponse impulsionnelle du système
L [Φ(r)] = S(r)
Opérateur
linéaire
et
L [GΦ(r, r′)] = δ(r−r′)
Inconnu Connu

Φ(r) = ∫ GΦ(r, r′) S(r′) dr′
Delta de Dirac
Équation de Helmholtz → Équation aux dérivées partielles elliptique
(2 + k2 ) Φ(r) = S(r)
et

Φ(r) = ∫ GΦ(r, r′) S(r′) dr′
Intégration
Champs
électromagnétiques
E, H
(2 + k2 ) GΦ(r, r′) = δ(r−r′)
Constante
de propagation
Champs ou potentiels vecteurs
électromagnétiques
Sources
J s , Ms
Intégration
Courants et charges
électromagnétiques
01/12/2008
Potentiels vecteurs et scalaires
A, F, V, U
Shermila Mostarshedi
Dérivation
11/47
Calcul du champ rayonné par une distribution surfacique de courants
Dipôles élémentaires
Distribution arbitraire
de courants surfaciques

Js
Jy
+
Jx
y
Js
Ms
x
Ms

+
Mx
Onde plane incidente Onde plane incidente
en polarisation TE
en polarisation TM
s intégration surfacique
avec la vraie source
Champ électromagnétique rayonné
01/12/2008
My
Jx ou y

GA , GV 
GEJ , GHJ
My ou x

GF , GU 
GEM , GHM
Shermila Mostarshedi
12/47
Calcul d’une composante de la fonction de Green
 GAxx

G A   GAyx
 zx
 GA
GAxy
GAyy
GAzy
GAxz 

yz
GA 

GAzz 
Électrique (J)
Magnétique (M)
G A , GV
G F , GU
GAij  composante du potentiel électrique suivant i
créée par un élément de courant électrique suivant j
Hypothèse simplificatrice : deux diélectriques semi-infinis
La solution générale de l’équation scalaire de Helmholtz
+
Les conditions aux limites à l’interface entre les deux diélectriques
2
GAzx
01/12/2008
k
 jk z
m0

cos  ( 0   ) 
H1(2) (k   )e z0 dk 
4
C ( jk z0  jk z )(jk z0   0 jk z )
Shermila Mostarshedi
13/47
Expressions asymptotiques
Fonctions de Green des potentiels  Fonctions de Green des champs
La forme des composantes de la fonction de Green du champ électrique :
Sn [f ]   f (k   )Hn(2) (k   )k n 1e
 jk z0 z
dk 
C
Intégrale de contour dans le plan complexe
(Intégrale de Sommerfeld)
k    1
+
en absence de pôles
e  jk 0r
Sn [f ]  2 jk0 cos ( jk0 sin ) f (k   )
r
n
Développement trigonométrique
Les expressions du champ dépendent de la distance et de l’angle d’observation.
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
14/47
Validation : diagrammes de rayonnement des dipôles élémentaires
Fonctions de Green
r=3
0
-30
My
y (φ=90°)
-60
Jx
εr = 1
x (φ=0°)
Surface infinie
Épaisseur infinie
-90
1
0.8 30
0.6
0.4
0.2
Plan φ=90°
60
90
εr = 3
-120
120
-150
Littérature
0
-30
-60
90
-120
150
0
-60
120
-150
150
180
1
0.8 30
0.6
0.4
0.2
-90
Plan φ=0°
60
90
-120
120
-150
150
180
01/12/2008
60
-90
180
-30
1
0.8 30
0.6
0.4
0.2
Shermila Mostarshedi
0
-30
-60
1
0.8 30
0.6
0.4
0.2
60
-90
90
-120
120
-150
150
180
15/47
Comparaison avec l’optique physique (1)
 M (x, y, z)
0
Jx
Jx
Jx
Ex
M
y
M Jx
Jx
Jx
My
• r =10 et r =2
• f = 900 MHz
M
Jx
M
y
y
Jx
M
M
y
y
My
y
y
Jx
M
y
∞
r
x
Équivalence physique – Optique physique
Courants équivalents Jx et My
Équivalence inductive – Fonctions de Green
Courants équivalents Jx et My
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
16/47
Comparaison avec l’optique physique (2)
i = 0°
i = [0°, 90°]
i = 30°
r = [0°, 90°]
r
r
r
Normale Oblique
−10
+10
r = 10
2%
14%
r = 2
7%
40%
0
-30
30
-60
-30
60
-90
90
0
0.01
0.015
120
0.02
0.025
-120
-150
150
180
Champ réfléchi (V/m)
Fonctions de Green
Optique physique
20
0
40
-30
30
-60
60
-90
90
0.005
0.01
0.015
120
0.02
0.025
0.005
01/12/2008
r = [0°, 90°]
r = [0°, 90°]
-120
-150
150
180
Shermila Mostarshedi
30
-60
60
-90
90
0.005
-120
0.01
120
0.015
-150
150
180
17/47
Plan de la présentation
1. Introduction et contexte
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
18/47
Caractéristiques des bâtiments urbains
Application finale de la méthode  Bâtiments urbains
La façade d’un bâtiment :
• est un milieu rugueux de
surface finie
• comporte des inhomogénéités
de tailles et de matériaux
divers
• comporte des éléments
d’épaisseur finie ou
multicouches
• et tous ces détails
architecturaux forment un
milieu complexe
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
19/47
Modèle de bâtiment urbain
Application pratique de la méthode  Modélisation de bâtiments urbains
Notre modèle du bâtiment :
• est un milieu plan de surface finie
• est composé de béton de différents types
• comporte comme unique inhomogénéités
à grande échelle des fenêtres en verre
• possède des fenêtres de taille et de type
(simple ou double vitrage) différents
• est un modèle simplifié
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
20/47
Milieu homogène de surface finie – champ lointain
Variation angulaire du champ
H
E
x (φ=0°)
L’écart vers les angles
rasants est lié à l’effet de
bord.
Pour une surface infinie :
Gxy
=
Gyx
=0
Pour une surface finie :
Gxy
≠0 et
01/12/2008
Gyx
≠0
Diagramme de rayonnement
• i = 0°, r = [0°, 90°]
y (φ=90°) • Sur un demi-cercle de rayon 100λ
1
Plan φ=90°
0.8
Variation du champ dans la
direction spéculaire
• i = 0°, r = 0°
• Sur une ligne entre 100λ−105λ
 CST  heures
Green  secondes
Erreur = 8% du lobe principal
0.6
0.065
0.4
0.064
Erreur maximum = 1,7%
0.2
0
0
15
30
1
45 60
 (°)
75
90
|E r| (V/m)
r = 5 − j4
Diagramme de rayonnement
3,7λ
3,7λ
Plan φ=0°
0.063
0.062
0.061
0.8
Erreur = 5% du lobe principal
0.6
0.06
100 101 102 103 104 105
r ()
0.4
Fonctions de Green
CST
0.2
0
0
15
30
45 60
 (°)
75
Shermila Mostarshedi
90
21/47
Milieu homogène de surface finie – champ proche (1)
2
3
r ()
2
3
module
r ()
< 15%
< 2%
180
90
90
r
Phase
E (°)
Phase
De De
E (°)
r
r
Phase
de(°)
E (°)
Phase
de E
r
Erreur du
Erreur de la phase
180
4
4
0
0
-90
-90
-180
-180
1
1
01/12/2008
2
r ()
2
r ()
3
3
4
4
0
0
-90
-90
-180
-90 -60 -30 0 30 60 90
-180
-90 -60 -30  (°)
0 30 60 90
 (°)
Shermila Mostarshedi
Module
Module
(V/m)
de E
de
Er (V/m)
r
r > 0,5λ
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
1
2
r2
()
3
4
3
4
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-9
0
-9
r ()
180
180
180
90
180
90
r
1
1
1
0.8
1
90
0
r
Fonctions de Green
CST
Module
Module
(V/m)
de E
de
Er (V/m)
r
3,7λ
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-90 -60 -30 0 30 60 90
0
-90 -60 -30  (°)
0 30 60 90
 (°)
180
180
90
90
r
1,5λ
r
0
• i = 0°, r = 0°
• Sur
1 une ligne entre 0λ−4λ
Phase
Phase
de E
de(°)
E (°)
0.2
0.2
Variation du champ dans la
direction spéculaire
• i = 0°, r = [0°, 90°]
• Sur un demi-cercle de rayon 1,5λ
− 40°< θ < 40°
1
1
1
−1,5λ
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
Variation angulaire du champ
Phase
Phase
De De
E (°)
E (°)
4λ
Module
de(V/m)
Er (V/m)
Module
de E
r
Module
de(V/m)
Er (V/m)
Module
de E
r
i = 0°
0
-90
-90
-180
-180
1
1
2
r2
()
r ()
3
4
3
4
22/47
90
0
0
-90
-90
-180
-9
-180
-9
Milieu homogène de surface finie – champ proche (2)
0.6
0.6
Fonctions de Green
CST
1
1
2
3
r ()
2
3
module
r ()
< 15%
< 2%
90
90
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
180
180
90
90
90
90
90
90
0
0
-90
-90
-180
-180
1
1
2
r ()
2
01/12/2008 r ()
3
3
4
4
r
r
Phase
de de
E (°)
Phase
E (°)
180
180
180
Phase
Er (°)
Phase
de de
Er (°)
r
Phase
E (°)
Phase
de de
E (°)
r
Erreur du
Erreur de la phase
180
4
4
0
0
-90
-90
-180
-90 -60 -30 0 30 60 90
-180
-90 -60 -30  (°)
0 30 60 90
 (°) Mostarshedi
Shermila
r > 2λ
0.8
0.8
r
1,5λ
3,7λ
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
Module
de de
Er (°)
Module
E (°)
−1,5λ
r
0.8
0.8
− 45°< θ < 45°
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-90 -60 -30 0 30 60
0
-90 -60 -30  (°)
0 30 60
 (°)
• i = 30°, r = 30°
• Sur1 une ligne entre 0λ−4λ
Module
de de
Er (V/m)
Module
E (V/m)
1
1
Module
Er (°)
Module
de de
Er (°)
Module
Er (V/m)
Module
de de
Er (V/m)
• i = 30°, r = [0°, 90°]
• Sur un demi-cercle de rayon 1,5λ
Variation du champ dans la
direction spéculaire
1
1
2
r2
()
r ()
3
3
4
4
0
-
1
1
0
0
-90
-90
-180
-180
1
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
r
Variation angulaire du champ
4λ
Phase
de de
Er (°)
Phase
E (°)
i = 30°
1
1
2
r2
()
r ()
3
3
4
4
23/47
-
-1
-1
Milieu homogène de surface finie – champ proche (3)
Fonctions de Green
Erreur (θi = 0°)
z (λ)
z (λ)
CST
Err. (%)
Etotal (V/m)
Près de la plaque, en dehors de ± 45° de l’axe z
Erreur (θi = 30°)
z (λ)
z (λ)
Dans la direction spéculaire
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
24/47
Comparaison avec l’optique physique
E
x (φ=0°)
L’optique physique
fonctionne moins bien
pour :
Diagramme de rayonnement
Les deux méthodes ne
tiennent pas compte de
l’effet de bord.
• une faible permittivité
• en incidence oblique
εr = 8 , θi = 0°
0.8
0.4
0.2
0
0
30
1
 (°)
60
εr = 2 , θi = 0°
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
01/12/2008
Fonctions de Green
Optique physique
HFSS
0.6
30
 (°)
60
Shermila Mostarshedi
Diagramme de rayonnement
y (φ=90°)
1
90
εr = 8 , θi = 30°
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
30
 (°)
60
90
1
Diagramme de rayonnement
1m
H
Diagramme de rayonnement
1
1m
90
εr = 2 , θi = 30°
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
30
 (°)
60
90
25/47
Milieu d’épaisseur finie
∑E
∑E
r r
Er
θi
θi

Béton
∑Er (θi , εr-verre , dverre , f ) =
Air
Matériau
équivalent εreq
cos θi − (εreq)½ cos θt
cos θi + (εreq)½ cos θt
Équation non linéaire

εr-verre , dverre , f donnés 
∑Er

01/12/2008
Verre
Béton
où
sin θt =
sin θi
(εreq)½
εreq complexe
εreq fonction de θi
εreq valable en réflexion
Shermila Mostarshedi
26/47
Permittivité équivalente
Coefficient de réflexion
2.5
-0.2
2
-0.4
1.5
req
0

10 mm
-0.6
f = 900 MHz
εr-verre = 5,5
Permittivité équivalente
+ j2,05
1
0.5
-0.8
-1
0
20
60
40
 (°)
0
0
80
20
60
40
 (°)
80
i
i
Convention en régime harmonique de forme ejωt
Re (ε)>0 Im (ε)<0  Milieu atténuateur
Re (ε)>0 Im (ε)>0  Milieu amplificateur
Partie réelle
Partie imaginaire
5
0
50 mm
-5
req
10 mm

ou
0
-0.5
f = 900 MHz
-15
− j8,21
-20
f = 4,5 GHz
-1
0
20
40
60
 (°)
i
01/12/2008
-10
Shermila Mostarshedi
80
-25
0
20
40
60
 (°)
i
27/47
80
Validation du modèle – Milieu de surface infinie
Double vitrage (verre-air-verre)
4 mm
16 mm
8 mm
H
E
εr-verre
εr-verre
εreq = −0,5213 + j1,375
y
x
Onde plane en polarisation TE
θi = 0° , θr = 0°
f = 900 MHz
εr-verre = 5,5
|ΓFresnel| de la structure multicouche = 0,532
2 × |ΓFresnel|
z
1.064
M (r=100 m)
R
r
∞
|E r| (V/m)
z
•
•
•
•
•
0.532
r′
0
Matériau équivalent
εreq
01/12/2008
5.77
15
r (m)
Rayon de la zone de Fresnel
Shermila Mostarshedi
28/47
Validation du modèle – Milieu de surface finie
z
Simple vitrage
y
•
•
•
•
1,2 m
x
10 mm
H
E
εr-verre
Onde plane en polarisation TE
f = 900 MHz
εr-verre = 5,5
d = 10 mm
Fonctions de Green
CST
• θi = 0°
• θr = [0° , 90°]
• θi = [0° , 15°, … , 90°]
• θr = [0° , 15°, … , 90°]
εreq = [εreq-0° , εreq-15° , … , εreq-90° ]
εreq = εreq-0°
0.035
|E r| (V/m)
0.01
L’écart est lié à l’effet de bord.
|E r| (V/m)
Lame fine de verre (d ≈ 0,3λ) 0.03
La diffraction
par les bords devient prépondérante.
0.025
0.015
0.02
0.015
0.01
0.005
0.005
0
0
01/12/2008
30
 (°)
60
0
0
90
Shermila Mostarshedi
30
i (°)
60
90
29/47
Validation du modèle – Milieu composé de surface finie
z
y
•
•
•
•
•
x
Double vitrage intégré dans un mur
2m
H
0,5 m
E
Onde plane en polarisation TE
f = 900 MHz
θi = 0° , θr = [0° , 90°]
εr-verre = 5,5  εreq = 17 + j18,39
εr-béton = 6 − j4,8
4 mm
16 mm
8 mm
Fonctions de Green
CST
0.07
0.06
Épaisseur importante
Pertes importantes
|E r| (V/m)
0.05
0.04
L’effet de bord est secondaire en
raison de la présence du béton.
0.03
0.02
0.01
0
0
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
30
 (°)
60
90
30/47
Influence du type de vitrage sur le champ réfléchi
12 m
1,5 m
vitrage infini (εr-verre = 5,5)
simple vitrage (εreq = 0,622 + j2,053)
2m
12 m
double vitrage (εreq = −0,5213 + j1,375)
fenêtres ouvertes (εr = 1)
0.8
0.7
Onde plane en polarisation TE
f = 900 MHz
θi = 0° , θr = [0° , 90°]
εr-verre = 5,5
εr-béton = 3,44 − j0,08
r = 100 m
0.6
0.5
0.3
0.2
Le type de vitrage est un paramètre
influent dans le calcul du champ.
01/12/2008
0.4
r
Er(V/m)
•
•
•
•
•
•
0.1
0
-30
Shermila Mostarshedi
-20
-10
0
 (°)
10
20
30
31/47
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
32/47
Sources d’incertitudes du champ au voisinage d’un bâtiment
• Matériau
Permittivité du béton
• Forme des détails architecturaux
Largeur, hauteur et épaisseur des fenêtres
• Pourcentage des inhomogénéités
Nombre des fenêtres
• Distribution des inhomogénéités
Nombreuses petites fenêtres ou grande baie vitrée
E = ∫∫ GE • Js ds
s
Dimensions de la surface
réfléchissante
01/12/2008
Type du matériau et
angle d’observation
Shermila Mostarshedi
Source du problème
33/47
Variation de la permittivité du matériau principal
Pour attribuer une distribution statistique à la variation d’un paramètre,
il faut avoir une bonne connaissance de la nature de la variation.
Type de béton
ε′r
ε′′r
Fréquence
A
B
C
6,13
3,44
10
0,13
0,08
2,5
1 GHz
1 GHz
750 MHz
une classe de bâtiments  un type de béton
distribution gaussienne
N(ε′r ; σ)  N(6,13 ; 0,25)
tous les bâtiments dans une ville  différents types de béton
distribution uniforme
U(ε′r-min ; ε′r-max )  U(2 ; 10)
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
34/47
Variation aléatoire de la permittivité du béton (1)
1,5 m
Densité de probablilité
12 m
2m
60
40
20
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Densité de probabilité
12 m
Onde plane en polarisation TE
f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)
θi = 0°
θr = 0° (lobe principal) , 2,4° (premier lobe secondaire)
r = 300 m
εr-verre = 5,5
 εreq-0° = 0,622 + j2,053
simple vitrage d = 10 mm
εr-béton = N(6,13 ; 0,25) avec tgδ = 0,02 CV = 4%
nombre d’échantillons = 10000
800
600
400
CV =
200
0
0
0.46 0.48 0.5 0.52
Coefficient de réflexion ou |Er| (V/m)
01/12/2008
Coefficient de Variation
σ
μ
0.08 0.085 0.09
|Er| (V/m)
Shermila Mostarshedi
35/47
Variation aléatoire de la permittivité du béton (2)
40
20
800
Densité de probabilité
60
Densité de probabilité
θi = 30°
θr = 30° (lobe principal) , 32,8° (premier lobe secondaire)
εr-verre = 5,5
 εreq-30° = 0,5167 + j1,7907
simple vitrage d = 10 mm
Densité de probabilité
•
•
•
•
600
400
200
0
0
0.46 0.48 0.5 0.52
Coefficient de réflexion ou |Er| (V/m)
800
600
400
200
0.08 0.085 0.09
|Er| (V/m)
0
0.08 0.085 0
|Er| (V/m)
Variation du matériau principal de la façade :
• affecte plus le lobe principal du champ réfléchi
• en incidence normale
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
36/47
Variation aléatoire de la permittivité du béton (3)
•
•
•
•
θi = [0° , 60°]
θr = [0° , 60°]
εr-verre = 5,5
simple vitrage d = 10 mm
 εreq = [εreq-0° , … , εreq-60°]
moyenne
minimum – maximum
0.9
0.85
Coefficient de réflexion
0.8
r = 100 m
0.75
0.7
Différence relative minimale
0.65
Différence relative maximale
0.6
r = 300 m
0.55
0.5
0.45
0.4
0
10
20
30
 (°)
40
50
60
i
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
37/47
Estimation des paramètres et test d’hypothèse statistique
Weibull
Beta
50
40
30
20
10
0
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
Coefficient de réflexion
0.52
0.53
Estimation non paramétrique
Noyau Epanechnikov
60
Densité de probabilité
Densité de probabilité
60
Normal
Gamma
50
40
30
20
10
0
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
Coefficient de réflexion
0.52
0.53
• Estimation :
Normal : μ = 0,5
σ = 0,007
Beta : α = 2610
β = 2608
Gamma : α = 5215
β =9e-5
• Test Kolmogorov-Smirnov :
H0 : La fonction de répartition du champ est égale à la fonction de répartition estimée.
K-S test  Avec un niveau de confiance de 95%, H0 peut être rejetée pour
des distributions Normale, Gamma, Beta et Weibull.
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
38/47
Variation aléatoire de la distribution des fenêtres (1)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2m×2m
Onde plane en polarisation TE
f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)
θi = 0°
θr = [0° , 7°]
r = 300 m
εr-verre = 5,5
simple vitrage d = 10 mm
pourcentage du verre = 33%
εr-béton = 6,13 − j0,13
01/12/2008
1m×1m
P2 :
0.5
|E r| (V/m)
P1:
0,4 m × 0,4 m
P3 :
Réflexion spéculaire
P1
P2
P3
0.4
0.3
Réflexion non-spéculaire
0.2
0.1
0
0
1
Shermila Mostarshedi
2
3
r (°)
4
5
6
7
39/47
Réflexion non-spéculaire
[2° , 32,5°]
Homogénéisation autorisée
Variation aléatoire de la distribution des fenêtres (2)
Réflexion spéculaire
[0°, 30°]
Variation de la distribution des fenêtres :
• affecte plus le champ réfléchi dans la direction non-spéculaire
• en incidence normale
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
40/47
Variation aléatoire des dimensions des fenêtres
12 m
12 m
Hauteur
Largeur
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Onde plane en polarisation TE , TM
f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)
θi = 0° , 30°
θr = [0°, 2°] , [30° , 32,5°]
r = 300 m , 100 m , 10 m
εr-béton = 6,13 −j0,0.13
εr-verre = 5,5
simple vitrage d = 10 mm
Largeur = 1,5 m , Hauteur = N(2m ; 0,4m)
Largeur = N(2m ; 0,4m) , Hauteur=1,5 m
CV=20%
Catégorie de bâtiment  Taille de fenêtre standard
Distribution gaussienne  Perturbation autour des valeurs nominales
Pour toute polarisation, toute incidence et toute direction d’observation :
CV dans la zone de Fresnel et plus loin < 4%
CV dans la zone du champ proche > 40%
Nécessité de tenir compte des hétérogénéités locales en champ proche
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
41/47
Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (1)
12 m
•
•
•
•
•
•
1,5 m
12 m
2m
Onde plane en polarisation TE
f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m)
θi = 0°
εr-béton = 6,13 −j0,13
εr-verre = 5,5
simple vitrage d = U(1 mm ; 20 mm)
Permittivité équivalente
Variation de l’épaisseur
8
Variation de la permittivité équivalente
req
Transformation non-linéaire
Partie réelle
Partie imaginaire
6
4
2
Variation du champ réfléchi
0
0
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
2
4
6
8
10 12 14
Epaisseur (mm)
16
18
42/47
20
Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (2)
• θi = 0°
• θr = 0°
• 2000 échantillons
Distribution uniforme
0.7
4
Densité de probabilité
Coefficient de réflexion
0.65
0.6
0.55
Linéaire
0.5
13 mm
0.45
0.4
3
2
1
4 mm
0.35
0
5
10
15
Épaisseur du verre (mm)
20
0
0.35
0.4
0.45 0.5 0.55 0.6
Coefficient de réflexion
0.65
L’influence de la variation de l’épaisseur du
verre sur le champ réfléchi est très importante.
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
43/47
0.7
Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (3)
Champ réfléchi
0.7
|E r| (V/m)
0.5
θr = 2,5°
θr = 3,5°
|E r| (V/m)
0.15
0.4
θr = 2,5°
θr = 3,5°
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
13 mm
0.1
0.05
4 mm
0
0
01/12/2008
r (°)
3
4
5
6
Densité de probabilité
• θi = 0°
• θr = 2,5° et 3,5°
• 2000 échantillons
εreq = 0,96 + j0,52
εreq = 0,22 + j5,00
Épaisseur = 3 mm
Épaisseur = 17 mm
0.6
5
10
15
Épaisseur du verre (mm)
20
4
2
0
-0.05
0
0.05
0.1
|E | (V/m)
0.15
0.2
r
80
60
40
20
0
0.065
0.07
0.075
0.08 0.085
|E | (V/m)
0.09
0.095
r
Shermila Mostarshedi
44/47
0.1
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Principes d’équivalence
3. Fonctions de Green
4. Application des fonctions de Green
5. Études statistiques
6. Conclusions et perspectives
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
45/47
Conclusions
Méthode
• Basée sur
− le principe d’équivalence inductive
− les fonctions de Green associées à l’interface entre
deux diélectriques semi-infinis  sans singularité
• Rapide
• Précise
− pour toute permittivité
− dans toutes directions : spéculaire et non-spéculaire
précision plus faible en directions rasantes
Modèle
• Méthode rapide 
−S’intégrer facilement dans un modèle théorique
• Méthode précise 
− Fournir les coefficients de réflexion d’une méthode
basée sur les rayons pour un modèle spécifique au site
• Études statistiques 
− Réduire le temps de calcul en simplifiant les modèles
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
46/47
Perspectives
Méthode
• Tenir compte de la diffraction
• Analyser le champ transmis pour les études hybrides «outdoor/indoor »
• Étudier l’existence/l’influence des ondes de surface sur les fenêtres
• Améliorer les techniques d’intégration surfacique
Modèle
• Tenir compte de la forme de la source et l’incertitude associée
• Mieux modéliser la variation aléatoire des paramètres
• Accompagner les résultats avec une campagne de mesure
• Intégrer la méthode dans un simulateur de propagation d’onde
01/12/2008
Shermila Mostarshedi
47/47