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Version 1 corrigée
PROCESSUS DE WIENER
(MVT BROWNIEN, MARCHE ALEATOIRE)
W(t)
1 réplique
(W0=0
t 2t 3t
nt
t
déter
ministe)
dW(t) = (2D)1/2 f(t) dt
Wn+1= Wn + (2Dt)1/2 Gn
f(t) : bruit blanc gaussien
unitaire
Gn : n-ième réplique d’une VAR
N(0,1)
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Version 1 corrigée
INTENSITE DU BRUIT BLANC ET COEFFICIENT DE DIFFUSION
 dW(t) = (2D)1/2 f(t) dt
D : coefficient de diffusion [m]2[s]-1
f(t) : bruit blanc gaussien d’intensité 1
 dW(t) = b(t) dt
b(t) = (2D)1/2 f(t)
b(t) : bruit blanc gaussien d’intensité c [m]2[s]-1 avec :
c = 2D
preuve :
Cbb () = c () = 2D Cff () = 2D ()
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Version 1 corrigée
MOMENTS DU PROCESSUS DE WIENER
 ESPERANCE
E(W(t)) = E(W(0)) = W0
=0
E(Wn+1) = E(Wn)+ (2Dt)1/2 E(Gn)
= … = E(W0) = W0 = 0
 VARIANCE DES INCREMENTS
E((W(t+)-W(t))2) = 2D ||
E((Wn+1-Wn)2) = 2Dt E(Gn2)
= 2Dt
E((Wn+p-Wn)2) = 2D(pt) E(Gn2)
= 2D(tn+p - tn)
(INCREMENTS STATIONNAIRES)
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SIMULATION D ’UN PROCESSUS DE WIENER
(estimateur de la variance des incréments :
V(=jt) = (N-j)-1 0N-j (Wn+j - Wn )2
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Version 1 corrigée
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PROCESSUS DE LANGEVIN
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 dL(t)/dt + 0 L(t) = 0 f(t)
avec L(0)=0
(déterministe)
f(t) : bruit blanc gaussien unitaire
Cff()=() [f]=[s]-1/2
02 : intensité du b. blanc non unitaire b(t)= 0 f(t), [02]=[L]2[s]-1
0 : constante déterministe (résistance visqueuse), [0]=[s]-1
 L(t) est un processus non-stationnaire aux temps courts, mais il
tend asymptotiquement (pour t >> 1/0 = 0) vers un processus
stationnaire de moyenne nulle et d’autocovariance exponentielle :
CLL(t,t+)=L2 exp(- 0 ||)
0 = 1/0 est le temps d ’autocorrélation du processus L(t)
L2 = 02 /(2 0) est la variance de L(t).
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Version 1 corrigée
SIMULATION D ’UN PROCESSUS DE LANGEVIN
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Version 1 corrigée
EQUATION DIFFÉRENTIELLE STOCHASTIQUE ET
DISPERSION :
"LÂCHER DE BALLONS GONFLABLES AU
STADE TOULOUSAIN"
dW/dt + o W = - g + o f(t) ,
W(0) = W0
 W=mV(t)
m : déterministe (éventuellement aléatoire)
V
- g
 -g : poussée d ’Archimède
volume : déterministe (éventuellement aléatoire)
 o : coefficient de traînée (Stokes), déterministe
-o W
 f(t) : bruit blanc gaussien unitaire (turbulence)
o : amplitude des fluctuations de la force turbulente
g
z
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RESULTATS : MOMENTS DE LA VITESSE
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Hypothèses : V(0)=0, Z(0)=0, m,  et o déterministes
Notation :
Vs = g/(mo) , vitesse de Stokes
0 =0/m
Equation de la vitesse :
dV/dt + oV = - oVS + 0 f(t)
 E(V(t))= Vs (1-exp(-ot))
 E(v(t)2)= 0 2 (1-exp(ot))/(2o)
 CVV(t’,t’’) = E(v(t’)v(t’’))
t
Vs
t
c2 /2o
= 0 2 exp[-o (t’+t’’)] (exp[2omin(t’,t’’)]-1)/(2o)
t
0 2 exp[-o |t’-t’’|] /(2o)
LA VITESSE TEND VERS UN PROCESSUS STATIONNAIRE
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RESULTATS : MOMENTS DE LA POSITION
Hypothèses : V(0)=0, Z(0)=0, m,  et o déterministes
Notation :
Vs = g/(mo) , vitesse de Stokes
0 =0/m
 E(Z(t))= Vs (t-(1-exp(-ot))/o)
 E(z(t)2)
t
t
Vs (t -1/o)
(0 /o)2 t = 2 D t
C’EST DONC LA VARIANCE D’UN PHENOMENE DE
DIFFUSION DU TYPE PROCESSUS DE WIENER (MVT
BROWNIEN, MARCHE ALEATOIRE) AVEC UN
COEFFICIENT DE DIFFUSION : D = 0.5 (0 /o)2
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