(première partie) ( 1.2 Mo) - Université catholique de Louvain

ELEC 2753 Electrotechnique
Machine asynchrone (première partie)
ELEC2753 - 2012 - Université catholique de Louvain
Cage d ’écureuil
• Bobinages rotoriques d ’une machine
asynchrone mis en court-circuit =
• Cage d ’écureuil (Cu ou Al)
barres court-circuitées par des anneaux
aux extrémités
coût réduit
adaptation automatique au
nombre de pôles du stator
construction robuste
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Notion de glissement (déjà introduite au
cours précédent)
On définit aussi le glissement, g , comme le
rapport entre la fréquence électrique au
rotor et la fréquence électrique au stator.
f r r
g 
f s s
Il existe une relation entre le glissement et la vitesse mécanique du
rotor. En effet, on sait que l ’on a la relation s = r + p m , où m
est la vitesse de rotation en radians par seconde.
Dans l ’expression du glissement, on
peut donc éliminer r au profit de m .
En multipliant numérateur et
dénominateur par p, on obtient aussi
s  p m
g
s
g
s / p  m
s / p
Le glissement est donc l ’écart relatif entre la vitesse de rotation mécanique et
une vitesse s / p que l ’on appelle la vitesse de synchronisme.
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Circuit équivalent de référence
La machine asynchrone étant un cas particulier de machine à champ
tournant et pôles lisses, on peut repartir du circuit présenté dans les
transparents du cours précédent.
Il suffit d ’y court-circuiter le rotor (Ur = 0) . On notera aussi que
r / s = g
référence de
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n ’est autre que le glissement et qu ’il faut changer le sens de
I 'r
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Circuit équivalent de référence (suite)
Nous verrons plus loin que, en fonctionnement normal, les pertes magnétiques
rotoriques sont normalement négligeables. Le circuit équivalent d ’une machine
asynchrone devient donc
On notera que la résistance de pertes magnétiques Rpm ne modélise que les
pertes magnétiques statoriques.
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Circuit équivalent de référence (suite)
On peut ramener les deux éléments restant à droite au stator.
L’inductance série se transforme comme si elle traversait un transfo idéal. La
résistance est divisée par le rapport des fréquences ! On obtient ainsi
L ’élément de droite a un accès en court-circuit. Ses tensions sont nulles et on
peut donc le remplacer par un court-circuit.
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Circuit équivalent de référence
Finalement, on obtient donc
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Circuit équivalent simplifié
Comme dans le cas du transformateur, ce
circuit équivalent en « T » peut être remplacé
par un circuit équivalent simplifié. Dans le cas
linéaire, cela peut se faire sans introduire
d’approximations, mais il faut alors introduire
un transformateur à rapport de transformation
complexe (que l’on peut prendre de module
égal à 1 puisque l’on peut éliminer facilement
un transformateur de rapport réel).
Figure à faire au cours
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Diagramme phasoriel
Partant d’un vecteur censé représenter
I 'r
,
on construit le diagramme de proche en proche.
A noter que le courant magnétisant
n ’est perpendiculaire à E
que si on néglige Rpm
En utilisant ce diagramme, on peut montrer géométriquement une relation
utile pour la suite, à savoir
Is sin( 'r  s )  I cos 
Cette relation est en fait valable pour toutes les machines à champ tournant !
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Expressions du couple
On a vu au cours précédent
3p
C em  I'r E cos 
s
Cette formule, valable pour toutes les machines à champ tournant, peut
s ’interpréter physiquement en notant que 3 I ’r E cos  est la puissance
transmise du stator vers le rotor (à travers l ’entrefer). On peut comprendre cette
puissance comme le produit du couple transmis par le champ magnétique, soit
Cem et de la vitesse angulaire de ce champ, soit s /p !
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Expressions du couple
Dans le cas d ’une machine asynchrone, on a la relation
La formule vue à la dia précédente peut donc s ’écrire
C em 
E cos  
R 'r
I' r
g
3p R 'r
( I' r ) 2
s g
Cette formule est facile à retrouver en utilisant la conservation de l’énergie : la
seule puissance entrante qui n’est pas transformée en chaleur dans Rs ou Rr est
celle qui est fournie à R’r (1-g)/g, soit 3 R’r [(1-g)/g]I’r2 . Il suffit de diviser cette
puissance par la vitesse de rotation mécanique, soit s (1-g)/p , pour obtenir
l’expression du couple.
L ’expression du couple peut encore s ’écrire en fonction de E . En utilisant
I' r 
E
on obtient
(R 'r / g ) 2  (s 'or ) 2
3p
E 2 R 'r / g
Cem 
s (R 'r / g ) 2  (s 'or ) 2
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Circuit équivalent (un peu) simplifié
Comme dans le cas du transformateur, on cherche à regrouper les éléments série.
Cela pose un problème de précision plus grand que dans le cas du transformateur
parce que l ’inductance de magnétisation est plus faible, compte tenu de la
présence de l ’entrefer. Il faut donc redéfinir les paramètres.
Cela ne pose pas de difficulté en ce
qui concerne le regroupement des
inductances série, car la
manipulation ne fait intervenir que
des inductances (on considère que
Rpm ne perturbe pas trop la
transformation) de sorte que la
nature des éléments n ’est pas
modifiée. On obtient ainsi un
circuit équivalent intéressant pour
interpréter les essais de laboratoire.
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Circuit équivalent (un peu) simplifié (suite)
On peut scinder la résistance R ’r / g en deux parties, l ’une décrivant les
pertes ohmiques au rotor et l ’autre la conversion d ’énergie.
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Circuit équivalent (très) simplifié
On peut simplifier l ’avantage le circuit équivalent en déplaçant la
résistance R Cette transformation nécessiterait pour être rigoureuse
l ’introduction d ’un déphaseur dans le circuit équivalent. Si on
accepte que les résultats ne soient plus que qualitatif, on n ’introduit
pas ce déphaseur et on obtient les circuits ci-dessous.
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Expression approchée du couple
En utilisant le circuit équivalent (très) simplifié, on peut obtenir
pour le couple une expression approchée plus facile à traiter car
faisant intervenir la tension statorique au lieu de la tension E .
U s R 'r / g
3p
Cem 
s (R s  R 'r / g ) 2  [s ( os  'or )]2
2
Soit, en multipliant le numérateur et le dénominateur par g2 ,
2
Us
3p
Cem  g R 'r
s
( g R s  R 'r ) 2  [ g s ( os  'or )]2
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Maximum de couple
2
US
3p
Cem  g R 'r
s
( g R s  R 'r ) 2  [ g s ( os  'or )]2
En dérivant cette expression par rapport à g et cherchant la valeur de g qui
annule la dérivée obtenue, on obtient
g C max 
R 'r
2
R   ( os  'or )
2
s
2
s
2
C em max
US
3p

2 s R s  R s2  s2 ( os  'or ) 2
La position du couple maximum dépend de R’r , mais pas sa valeur !
Ces formules peuvent s ’interpréter physiquement en considérant que le
maximum de couple est obtenu lorsque la puissance transférée du stator au
rotor, donc la puissance correspondant à R ’r / g , est maximum. Ce résultat
s ’obtient à l ’adaptation des impédances, donc lorsque
R 'r
 R s2  [s ( os  'or )]2
g C max
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Caractéristique couple-glissement
2
US
3p
Cem  g R 'r
s
( g R s  R 'r ) 2  [ g s ( os  'or )]2
2
C em max 
Us
3p
2
2 s R s  R s  s2 ( os   or ) 2
g C max 
a:
R 'r
R s2  s2 ( os   or ) 2
R'r / R s2  s2 ( os  'or ) 2 1
2
Pour
b:
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R'r / R s2  s2 ( os  'or ) 2 1
3p U
g 1 , on a Cem  g S
s R 'r
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Couple-vitesse
s
m  (1  g )
p
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a:
R'r / R s2  s2 ( os   or ) 2 1
b:
R'r / R s2  s2 ( os   or ) 2 1
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Diagramme circulaire des courants
US  (R s  R 'r / g ) I'r  j s ( os  'or ) I'r
Donc, le lieu de la tension
Le lieu du courant
I 'r
Le lieu du courant I s
j s ( os  'or ) I'r
est un cercle.
est aussi un cercle.
est aussi un cercle.
US
I 'r 
R s  R 'r / g  j s ( os  'or )
I 'r 
US
[R s  R 'r / g]2  [s ( os  'or )]2
e j
s ( os  'or )
  arctg
R 's  R 'r / g
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Diagramme circulaire (suite)
L ’obtention de diagrammes circulaires est en fait caractéristique des circuits
électriques linéaires. Donc, à condition de ne pas considérer la non linéarité
des éléments parallèle, le circuit de référence doit aussi donner lieu à un
diagramme circulaire : il n ’était pas nécessaire de faire appel au circuit
équivalent simplifié. Le cercle obtenu est un peu surélevé (à cause de la
résistance de pertes magnétiques) et incliné (à cause du déphasage introduit
par Rs et L , c’est-à-dire l’argument du transformateur idéal à rapport
complexe !).
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Diagramme circulaire (suite)
On sait que la puissance complexe vaut
Ss  P  j Q  3 U s Is
Donc, puisque l’on étudie le fonctionnement à tension d’alimentation Us
constante, si le lieu du courant I sest un cercle, il en est de même du lieu de la
puissance complexe. Le diagramme circulaire peut donc prendre la forme d’un
diagramme P-Q .
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Equations déduites d’un modèle circuit (pas
vu de
en« phases
2010)
Le rotor comporte un grand nombre
». Pour conserver les formules
vues au cours précédent, on considère un système triphasé équivalent.
V  R s Is  j s  os Is  j s
3 ns
n
M sr ( Is  r I r )
2 nr
ns
3
n
0  j (s  p m ) M sr ( Is  r I r )  R r I r  j (s  p m )  or I r
2
ns
9
C r  p M sr Is I r sin( s  r )
2
La deuxième équation (équation électrique du rotor) peut s ’écrire
n
n
3 ns
n
n
n
j (s  p m )
M sr ( Is  r I r )   ( s ) 2 R r r I r  j (s  p m ) ( s ) 2  or r I r
2 nr
ns
nr
ns
nr
ns
ns 2
3 ns

'

(
)  or
Pour la simplifier,
or
L 
M sr
nr
2 nr
on définit
n
ns 2
R 'r  ( ) R r
nr
I 'r  
r
ns
Attention ! On a changé le signe (donc le sens de référence) du courant
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par rapport à la semaine passée.
Ir
I 'r
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Equations déduites d’un modèle circuit
(suite)
En utilisant les définitions des dias
précédentes, on obtient
La seconde peut encore s ’écrire
ou
Ces équations correspondent au
circuit équivalent ci-dessous.
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V  R s Is  j s  s Is  j s L (Is  I'r )
j g s L (Is  I'r )  R'r I'r  j g s 'or I'r
R 'r
j s L ( Is  I'r ) 
I'r  j s 'or I'r
g
j s L ( Is  I'r )  R 'r I'r  j s 'or I'r 
R 'r
(1  g ) I'r
g
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Expressions du couple déduites d’un modèle
circuit
vu en
2010)
On a vu au cours
précédent(pas
(en négligeant
les pertes
magnétiques)
Cem  p 3 L  Is I'r sin( 'r s )
On peut transformer cette expression en utilisant la relation tirée de la
dia précédente. On obtient
Cem  p 3 L I'r I cos 
Or I 
E
s L
donc
3p
C em  I'r E cos 
s
Soit la formule que nous avions déjà obtenue par bilan d’énergie sur le circuit
équivalent de référence !
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