r - Laboratoire de Physique Statistique

Fritz London
et la superfluidité de l’hélium
S. Balibar
Laboratoire de Physique Statistique
de l ’ENS (Paris, France)
Quantique … mais macroscopique, IHP 11 mai 2005
1928-38 : découverte de la superfluidité à
Leyde, Toronto, Cambridge, Moscou…
1938 à Paris : London et Tisza proposent de
relier superfluidité et condensation de Bose
Einstein
1941-47: l’approche de Landau et le conflit
avec London
3 tests:
les ondes de chaleur
l’hélium 3
les rotons
deux états
liquides
différents
Keesom (Leiden, 1928-32):
la chaleur spécifique présente une singularité en forme de « l » à
Tl = 2.17 K (le « point lambda »)
L’helium est pur et simple et présente pourtant deux états liquides différents:
l’helium I à T > Tl et l’helium II à T < Tl
L’hélium superfluide ne bout pas
(J.C. McLennan, Toronto 1932)
la conductivité thermique de l’hélium II est grande (Keesom
1936, Allen 1937) en dessous de Tl = 2.17 K
(NB. vers 2K)
pas de points chauds sur les surfaces pour la nucléation de
bulles
l’hélium II ne bout pas
est ce une conséquence d’une faible viscosité qui favoriserait la
convection ?
mesurer la viscosité
le film de J.F. Allen et J. Armitage
(St Andrews, 1971 - 82)
Une hydrodynamique non-classique
écoulement classique dans un capillaire de rayon R,
longueur l, viscosité h, pression DP
débit Q (loi de Poiseuille) : Q = p R4 DP / (8 h l)
J.F. Allen et A.D. Misener (Cambridge, jan. 1938) :
en dessous Tl , le débit Q est pratiquement
indépendant de la pression DP et du rayon R ( de 10
à 500 microns)
« the observed type of flow cannot be treated as
laminar nor turbulent »
l’hydrodynamique de l’helium II est non-classique
P. Kapitza invente le mot « superfluide »,
par analogie avec « supraconducteur »
P. Kapitza (Moscow, dec. 1937) :
en dessous de Tl , la viscosité de
l’hélium est très faible... (déjà observé
par Keesom et van den Ende, Proc.
Roy. Acad. Amsterdam 33, 243, 1930)
« it is perhaps sufficient to suggest, by
analogy with superconductors, that the
helium below the l-point enters a
special state which might be called a
‘superfluid’ »
l’effet fontaine (Allen et Jones,
Cambridge, février 1938)
5 mars 1938, Institut Henri Poincaré :
Fritz London:
la condensation de Bose-Einstein
explique-t-elle la superfluidité?
1926:
Keesom découvre l’hélium solide
Pas de point triple
pression (bar)
Quel ordre dans le liquide ?
solide
25
l’hélium reste liquide
jusqu’à T =0
liquide normal
gaz
superfluide
0
L’entropie du liquide doit tendre vers zéro
Quel ordre ?
1
2
temperature (K)
l’hélium cristallise à 25 bar
Effets quantiques
l’hélium reste liquide jusqu’à T = 0
Le volume molaire est 3 fois plus grand que ce qu’on attendrait
au vu du potentiel d’interactions entre atomes
Importance des fluctuations quantiques:
Localiser les atomes coûte beaucoup d’énergie cinétique quantique
à cause des relations d’incertitude de Heisenberg:
E = (Dp)2/(2 m ) et Dp > h/(2p Dx)
L’entropie du liquide tend vers zéro quand T tend vers zéro
=> un ordre dans l’espace des moments ?
Une condensation de Bose-Einstein
dans l’hélium ?
Einstein 1925: en dessous d’une certaine température critique TBEC
un nombre macroscopique de « bosons » se regroupent dans leur
état fondamental formant une onde de matière macroscopique
BEC dans un gaz d’atomes d’hélium 4 idéal (sans interactions):
2 p h2
TBEC =
n2/3 = 3.1 K
1.897 m kB
pour n = 2.18 1022 atomes/cm3
proche de Tl = 2.2 K
singularités semblables pour la chaleur spécifique
Laszlo Tisza 1938 :
le « modèle à deux fluides »
deux fluides: le condensat et les atomes non-condensés
le condensat est à T=0 , ne transporte pas d’entropie et ne peut participer à la dissipation
(viscosité nulle)
les atomes non-condensés constituent un « fluide normal » qui transporte de l’entropie et
peut échanger de l’énergie (viscosité non-nulle)
il existe deux champs de vitesse indépendants: vs et vn
la température détermine le rapport entre les les densités des deux fluides
la dissipation dépend de la géométrie de l’expérience
si le superfluide seul s’écoule (à travers un poreux), T diminue
un gradient de T produit un effet thermomécanique inverse, un écoulement du
superfluide vers la région chaude (effet fontaine)
ENS, Paris
14 juin 2001
Laszlo
Tisza
Sébastien
Balibar
Eric
Varoquaux
Jean Dalibard
Bertrand
Duplantier
l’écoulement d’un superfluide
Lev D. Landau Moscou 1941 - 47
En 1941, au vu des résultats de Kapitza sur les
ondes de chaleur, Landau reprend le modèle à
deux fluides de Tisza sur des bases plus
rigoureuses, mais nie le lien avec la condensation
de Bose-Einstein :
« the explanation advanced by Tisza (!) not only
has no foundations in his suggestions but is in
direct contradiction with them »
le fluide normal est constitué des « excitations
élémentaires » du fluide dont le spectre (modifié
en 1947) présente deux branches : phonons et
rotons (« vortex élémentaires »)
calcul de la thermodynamique de l’hélium
superfluide
prédiction d’une vitesse critique au delà de
laquelle la superfluidité est détruite
ondes de chaleur (« deuxième son ») : vs et vn en
opposition de phase en accord avec les résultats
de Kapitza
échange d’énergie et de
moment avec un
superfluide en
mouvement.
14
20 bar
12
Energy (K)
La vitesse
critique de
Landau
svp
10
8
6
rotons
4
phonons
2
0
0
une hypothèse implicite:
pas d’excitations
individuelles
les modes collectifs ont
une vitesse minimale
dans un liquide
quantique
vitesse critique vc
5
10
15
20
Wavenumber (nm-1)
Conservation de E et p impossible si v < vc = E/p
phonons: vc = c = 240 m/s
rotons: vc = 60 m/s à pression de vapeur saturante
autres mécanismes possibles à plus basse vitesse ?
25
pourquoi Landau ne croyait-il pas à la
condensation de Bose - Einstein dans
l’hélium liquide ?
pas de continuité entre les propriétés d’un gaz de bosons et celles d’un liquide de
bosons ?
Lev Pitaevskii ( communication privée, Trento 15 mars 2003):
Landau et Kapitza croyaient à l’analogie entre superfluidité et supraconductivité
Or, les électrons sont des fermions ! (c’était 10 ans avant la théorie BCS)
d’où l’importance historique de l’étude de l’hélium 3 liquide,
qui n’est pas superfluide à des températures comparables
et la satisfaction de London et Tisza devant le résultat expérimental négatif de
D.W. Osborne, B. Weinstock et B.M. Abraham Argonne 1949.
l’hélium 3 liquide est superfluide vers 0.002 K, lorsque des paires se forment
(comme dans les supraconducteurs)
LT0 à Cambridge , 1946:
Fritz London attaque Landau
Exposé d’ouverture par Fritz London:
« The quantization of hydrodynamics [by Landau]
is a very interesting attempt…
however quite unconvincing as far as it is based on a
representation of the states of the liquid by phonons and what he
calls « rotons ». There is unfortunately no indication that there
exists anything like a « roton »; at least one searches in vain for a
definition of this word…
nor any reason given why one of these two fluids should have a
zero entropy (inevitably taken by Landau from Tisza) …
Landau’s theory based on the shaky grounds of imaginary rotons.»
La vitesse des ondes de chaleur (le
« deuxième son »)
Tisza 1938 puis Landau 1941:
c22 = (rs/rn)TS2/C
La vitesse du 2ième son dépend de l’entropie S du fluide normal.
Les premières expériences de Peshkov (1946) ne permettent pas
de départager le modèle de Tisza de celui de Landau
celles de 1960 montrent que
c2 tend vers c/√3 quand T tend vers 0 comme prévu par Landau
(S est dominé par les phonons),
pas vers zéro comme prévu par Tisza
Les rotons existent
14
20 bar
Energy (K)
12
svp
10
R+
R-
8
6
rotons
4
phonons
2
0
0
5
10
15
20
25
Wavenumber (nm-1)
évidence expérimentale par diffusion de neutrons
Les rotons et l’évaporation quantique
P.W. Anderson 1966: un phénomène
analogue de l’effet photoélectrique
atomes évaporés
E > 8.65-7.15=1.5K
gaz
un photon hv éjecte un électron d’énergie
liquide
cinétique hv - E0 (l’énergie de liaison)
RR+
de même, un « roton » d’énergie minimale
D = 8.65 K évapore un atome d’énergie
cinétique E > D - 7.15 = 1.5 K
rotons (E > 8.65K)
S. Balibar et al. (thèse de doctorat, ENS-Paris 1976) : impulsions de
chaleur à suffisamment basse température, les rotons évaporent les
atomes avec une énergie cinétique > D - 7.15 = 1.5 K , donc une
vitesse minimale de 79 m/s : la chaleur est quantifiée
Rotons + et - : M.A.H. Tucker, G.M. Wyborn et A.F.G. Wyatt , Exeter
(1990-99)
Rotons et
vitesse critique
3 types de situations expérimentales :
- écoulements microscopiques
- écoulements macroscopiques non contrôlés
- écoulements macroscopiques contrôlés
écoulements microscopiques :
P. McClintock et al. (Lancaster 1974-86) :
un électron dans l’hélium liquide.
On observe la vitesse de Landau : vc de 51
m/s (à 13 bar) à 46 m/s (à 24 bar)
émission de rotons par paires (R.M.Bowley
et F. Sheard).
cf déplacement d’un atome étranger dans
un condensat gazeux.
écoulements macroscopiques non contrôlés :
capillaires ou milieux poreux
instabilités de tourbillons piégés
vc ~ 0.1 à 10 cm/s
champ électrique
e2 nm
O. Avenel
E. Varoquaux
et al.
Orsay-Saclay
1994 - 2003
écoulement à
travers un orifice
submicronique
vitesse
écoulements
macroscopiques
contrôlés
la vitesse
dans l’orifice
varie
par
sauts
quantifiés :
nucléation de
tourbillons quantiques
individuels
près des parois
temps
R.P. Feynman , 1955
quantification des tourbillons...
Une conséquence de l’existence d’une ffonction d’onde
macroscopique, la prédiction de London:
Si Y = Y0 exp (iF) est la fonction d’onde de l’état fondamental,
la vitesse du superfluide est
h
vs =
grad (F)
m
vs
donc la circulation est
 = v dl = n h
(n = 1 presque toujours)
m
superfluides
en rotation:
réseaux de
tourbillons
l’hélium liquide
et le rubidium
gazeux
en 1979 :
en 2000 :
E.J. Yarmchuk,
M.J.V. Gordon et
R.E. Packard
KW Madison,
F. Chevy, W.
Wohlleben et
J. Dalibard
rotons: le signe d’un ordre local
F. London 1946 : there has to be some short range order in liquid
helium. But this short range order does not chnage when helium
goes through the l- point
R. Feynman 1954 : le minimum des rotons est lié au maximum du
facteur de structure pour une longueur d’onde égale à la distance
entre proches voisins.
Relation de dispersion des excitations élémentaires:
hwq = h2q2/ 2mS(q)
où S(q) est le facteur de structure, transformée de Fourier de la
probabilité de trouver un atome à la distance R
Nozières 2004: « rotons are ghosts of a Bragg peak »
Expériences en cours (R. Ishiguro et S. Balibar, ENS - Paris:
recherche d’une instabilité vers 200 bars où Drotons = 0
Conclusion
London et Landau détenaient
chacun un part de la vérité
le condensat est très difficile
d’accès dans l’hélium
mais il a été calculé et mesuré:
à 0 bar: entre 7 et 9%
à 25 bar: entre 2 et 4 %
L’existence d’une fonction
d’onde macroscopique est
Moroni et Boninsegni
démontrée par la quantification
(J. Low Temp. Phys. 136, 129, 2004)
des tourbillons
Les rotons existent
Ce ne sont pas des vortex quantiques élémentaires mais la trace
d’un ordre local dans le liquide
... et glissements de phase
la vitesse superfluide à travers le trou
est vs ~ (FA - FB ).
cette différence de phase saute de 2p
lorsqu’un tourbillon quantifié
traverse l’écoulement.
la vitesse change par sauts quantifiés
Avenel et Varoquaux ont étudié la
statistique de la nucléation des
tourbillons
énergie d’activation E ~ 2 à 5 K pour
des vitesses ~ 20 m/s
A
B
Une BEC généralisée dans l’hélium liquide ?
F. London (1938) : le calcul d’Einstein s’applique au gaz idéal (i.e. sans interactions)
N.N. Bogoliubov (1947) justifie l’hypothèse de Landau dans le cas d’un gaz de Bose en
interaction répulsive faible: à faible vecteur d’onde, les excitations individuelles
disparaissent au profit de modes collectifs de vitesse finie (la vitesse du son).
L. Onsager et O. Penrose (1956) considèrent la matrice densité à une particule
r1(r) = <Y + (0, r2, ...,rN)Y (r, r2, ...,rN)>
C’est le recouvrement de la fonction d’onde de l’état fondamental du système lorsqu’on
déplace une particule d’une distance r.
La limite de r1(r) quand r tend vers l’infini vaut n0 , c’est la population de l’état
fondamental (le condensat généralisé).
Au dessus de Tc, la fraction condensée n0 / N est négligeable
il y a condensation de Bose (généralisée) en dessous de Tc , où n0 / N est d’ordre 1.
Onsager et Penrose trouvent n0 ~ 8 % pour l’hélium liquide à T = 0 et à basse pression
(un calcul faux mais un résultat juste ? voir P. Nozières cet après midi )
n0 dans l’helium liquide
P. Sokol (in Bose Einstein Condensation, ed. by A. Griffin, D.W. Snoke and S.
Stringari, Cambridge University Press, 1995)
différents calculs numériques (Path Integral Monte carlo, Green’s Fonction
Monte Carlo...) prédisent 10 ± 2 %
l’analyse des expériences de DIPS (deep inelastic neutron scattering) est très
délicate.
Il n’y a pas de preuve expérimentale irréfutable qu’un condensat existe dans
l’hélium liquide, ni de démonstration qu’un fluide de bosons présente
nécessairement une condensation de Bose-Einstein.
Si on suppose que le condensat existe, et qu’on tient compte de la forme
théorique de la fonction de distribution des états excités de moment non-nul,
on trouve un n0 expérimental en accord avec les calculs théoriques
l’accord entre théorie et expériences
n0 décroît violemment avec la
densité :
~ 9% à 0.145 g/cm3 (0 bar)
~ 4 % à 0.177 c/cm3 (25 bar)
la région « inaccessible »
d’après P. Sokol est , en fait,
accessible dans nos
expériences acoustiques
L’effet des interactions sur la température critique
la température
critique de
transition Tc
présente un
maximum !
P. Gruter, F. Laloë et D. Ceperley (1997)
gaz dilué
T0: gaz idéal
n: densité
a : longueur de
collision (gaz
dilué)
ou coeur dur
helium
liquide
(helium liquide)
cette courbe aurait surpris
Landau !
intensité des interactions
Pression (bar)
l’helium liquide s’étend à pression négative
S.M. Apenko Phys. Rev. B, 1999
TBEC
Tl
solide
25
liquide normal
gaz
0
- 9.5
P>0
ligne l
superfluide
1
P<0
2
liquide
metastable
limite spinodale
Température (K)
une prédiction théorique:
S.M. Apenko (1999) et G.
Bauer, D. Ceperley et N.
Godenfeld (2000):
la ligne lambda présente un
maximum (2.2 K) à pression
négative (c’est-à-dire sous
tension) et se rapproche de la
température TBEC
P = Pstat + dP cos (2p
.t)
f ~1 MHz
 grandes dépressions puis
compressions loin de toute paroi
(ici : ± 35 bar d’amplitude)
 pendant ~ T/10 ~ 100 ns
 dans un volume ~ (l/10)3 ~
(15 mm)3
cavitation at P = 25.3 bar
m
50
0
-50
Signal (arb. units)
au point focal:
Excitation (Volt)
ondes
acoustiques de
grande amplitude
flight time (22 ms)
0
5
10
15
20
25
30
35
Time (microseconds)
G.Beaume, S. Nascimbene, A. Hobeika, F. Werner,
F. Caupin et S. Balibar (2002 - 2003)
expériences de cavitation acoustique
(S. Balibar, F. Caupin et al.)
3
0
Cavitation Pressure (bar)
le seuil de
nucléation des
bulles présente
un cusp à 2.2K
(transition
superfluide)
en accord avec
les prédictions
théoriques
critical
point
liquid-gas equilibrium
-3
nucleation line
(Barcelona)
-6
Caupin 2001
spinodal limit
(Barcelona)
Caupin 2001
-9
Hall 1995
Pettersen 1994
Nissen 1989
-12
standard theory
(V  = 2.10
-16
Nissen 1989
3
cm s)
Sinha 1982
-15
0
1
2
3
T emperature (K)
4
5
6
cristallisation acoustique
sur paroi de verre
0.185
11.0 V excitation
densité statique
10.4 V excitation
X. Chavanne, S. Balibar and F. Caupin
Phys. Rev. Lett. 86, 5506 (2001)
densité (g/cm
3
)
0.180
0.175
0.170
20
25
30
35
40
30
30.5
Temps (microsecondes)
0.184
densité statique
10.4 Volt
11.0 Volt
0.180
amplitude de l'onde acoustique
au seuil de cristallisation:
± 4.3 bar
densité (g/cm
3
)
0.182
0.178
0.176
0.174
0.172
0.170
28.5
29
29.5
temps (microsecondes)
l’hélium en surpression forte:
rotons mous ? verre de Bose ?
Expériences de cristallisation acoustique:
en l’absence de paroi, pas de cristallisation
jusque vers +120 bar.
L’hélium liquide est metastable jusqu’à 120 bar
où la densité vaut environ 0.215 g/cm3;
est il encore superfluide à une telle pression ?
d’après Sokol, n0 semble tendre vers zéro aux environs de 0.19 g/cm3 (50 bar)
un verre de Bose à 120 bar ?
l’énergie des rotons tend vers 0 vers +200 bar (d’après la fonctionnelle de densité
« Orsay - Trento - ENS » ) :
rotons mous = instabilité du liquide par rapport à la formation du cristal ?