Ĥ | ΨN ) = EN | ΨN )

Présentation de l’équation de
Schrödinger
Voici l’Equation de Schrödinger
Ĥ | ΨN ) = EN | ΨN )
• Mais pour comprendre les différents
composants et l’intérêt de l’équation de
Schrödinger nous devons d’abord étudier
le comportement de l’atome
• Un atome est composé
d’un noyau contenant des
neutrons et protons
(charges positives) mais
aussi d’électrons (charges
négatives) qui se
déplacent sur des orbites
autour du noyau. L’atome
est électriquement neutre
car il possède autant de
protons que d’électrons.
Dualité onde/corpuscule
• Jusqu’au XVIIIème siècle, on croyait que les
électrons étaient juste des particules qui
tournaient autour du noyau de l’atome sur
des orbites respectives.
• Mais cela n’est pas tout à fait vrai.
•Avant le XVIIIème siècle, on savait que la lumière
se comportait comme une onde électromagnétique.
Mais l’expérience de Arthur Holly Compton permit
d’en déduire que dans certaines conditions, une
onde lumineuse peut se comporter comme une
particule (photon).
• On en déduisit que la lumière est constituée d'un
jet de photon où les caractéristiques de l'onde
électromagnétique et celles des photons sont
liés par:
E=h‫ע‬
où h est la constante de Planck et ‫ ע‬fréquence de l'onde
électromagnétique émise ou reçue par l'électron.
• Alors que le photon conférait à la lumière l'onde lumineuse - un caractère
corpusculaire, Louis de Broglie appliqua
l'idée inverse aux électrons.
• Les ondes associées aux électrons furent mises
en évidence par Germer et Davisson en 1924 par
une expérience d'interférence (dite expérience
des trous d'Young). Les électrons sont émis par
une source, sont accélérés puis sont envoyés sur
un cristal dont l'alignement atomique joue le rôle
des fentes dans l'expérience de Young. Selon une
interprétation purement corpusculaire de la nature
des électrons, la répartition des électrons après le
passage de la plaque devrait être
celle-ci :
• Or, l'expérience a montré que les électrons
se répartissaient en franges similaires à des
franges d'interférence. L'observation de
franges d'interférence implique
nécessairement que les objets observés sont
des ondes et non des corpuscules !
Incertitude de Heisenberg
• Qu'est-ce qui détermine le comportement
ondulatoire ou corpusculaire d'une particule ?
la longueur d'onde de l'onde associée à une particule est
inversement proportionnelle à l'énergie de la particule.
Or, la longueur d'onde est courte pour des particules très
énergétiques. On en conclut que les phénomènes se
produisant à hautes énergies mettront plutôt en évidence
un comportement corpusculaire des particules alors que,
inversement, les phénomènes à basses énergies seront
plutôt de nature ondulatoire.
De façon imagée, on peut dire qu'une particule ayant une onde avec
une grande longueur d'onde n'est pas bien localisée et donc son
comportement est plutôt celui d'une onde (une onde est un
phénomène non localisé).
Lorsque la longueur d'onde se raccourcit, la particule apparaît de
plus en plus localisée et se comporte de plus en plus comme un
corpuscule (un corpuscule est une entité ayant une dimension et
une position bien déterminées).
Werner Heisenberg a étudié de près cette
question et en a déduit ces relations
Δx . Δv > h
ΔE . Δt > h
Δx = incertitude sur la mesure de la position
Δv = incertitude sur la mesure de la vitesse
ΔE = incertitude sur la mesure de l’énergie
Δt = durée de la mesure de l’énergie
H = constante de Planck
Comportement des particules
• Elaborer un modèle des liaisons
chimiques dans une molécule revient à
considérer l’énergie et le mouvement de
toutes les particules la constituant.
Modèle Rutherford
• Dans le modèle de Rutherford,
l’électron tournant autour du
noyau atomique peut être
considéré comme un
oscillateur. La fréquence
d’oscillation de l’électron  et
donc le rayonnement qu’il
émet  est directement liée au
rayon de son orbite. Mais le
modèle de Rutherford ne
permettait pas d’expliquer
pourquoi les électrons
empruntaient certaines orbites
et pas d’autres.
• Ce modèle présente un plus grave défaut
encore : en tournant autour du noyau, l’électron
émet un rayonnement continu et perd ainsi de
l’énergie. Il s’ensuit que sa vitesse décroît et
que, par conséquent, il se rapproche du noyau
jusqu’à venir le percuter. Au cours de sa
« chute » inéluctable vers le noyau, la vitesse
angulaire de l’électron augmente et la fréquence
de son rayonnement également.
• Ainsi, selon le modèle atomique de Rutherford,
tous les atomes devraient être instables et
émettre un spectre continu se perdant dans les
confins de l’ultraviolet. Or, un tel rayonnement
n’a jamais été observé et d’autre part nous
sommes tous présents pour témoigner de la
stabilité des atomes !
Modèle de Bohr
• Niels Bohr crée en 1913 un nouveau modèle d'atome:
Les orbites des électrons ne sont pas quelconques mais
« quantifiées ».
En 1900, Planck a supposé (théorie des quanta) que les systèmes qui
émettent un rayonnement le font par saut d’énergie h ‫ ( ע‬h constante
de Planck). A partir de cette théorie, Bohr a postulé que :
• Seules certaines orbites électroniques sont possibles autour du
noyau.
• Sur une orbite donnée, l’électron n’émet (ni d’absorbe) aucune
radiation.
• Il y a émission ou absorption d’une radiation quand l’électron passe
d’une orbite à l’autre.
• Pour calculer les niveaux d’énergie, Bohr admet que
l’orbite de l’électron est circulaire et que le moment
cinétique angulaire de l’électron sur cette orbite est un
multiple entier de h/2π :
Me ‫ע‬r = nh / 2π
• Comme n est un nombre entier positif, l’électron ne peut
se trouver que sur une suite discontinue d’orbites définies
par n qui correspond au nombre quantique principal.
Nombres quantiques
• n
nombre quantique principal
n définit la couche : K, L, M, N…
n = 1, 2, 3 …
• l
nombre quantique azimutal
0≤l<n
l définit le type d’orbite : ellyptique ou circulaire
• m nombre quantique magnétique -l ≤ m ≤ + l
m définit l’angle d’inclinaison de l’orbite
• s
nombre quantique de spin
s=±½
Récapitulatif des notions de l’atome
• Avec la notion de l’incertitude de Heisenberg nous
savons que nous ne pouvons pas situé précisément les
électrons sur l’orbite.
• Le modèle de Bohr nous a appris que l’électron saute
d’orbite en absorbant de l’énergie et reviens à son orbite
initial en dissipant cette l’énergie.
• Avec tout cela nous avons à présent les connaissances
pour comprendre l’intérêt de l’équation de Schrödinger.
• L’équation de Schrödinger permet de connaître la
probabilité de présence de l’électron autour du noyau
ainsi que ses énergies.
Décomposition de l’équation de
Schrödinger
Ĥ | ΨN ) = EN | ΨN )
L’équation a 2 inconnus :
• En => E1, E2, …, En
énergies de liaison de l’électron
• ΨN fonction et vecteur d’onde
Énergies de liaison En
me : masse de l’électron, e : charge de l’électron, ε0 : constante
diélectrique du vide, ħ : constante de Planck, n : nombre quantique
principal.
Fonction et vecteur d’onde : ΨN
•
ΨN
2=
probabilité de mesure En
n
• Σ i=1 |Ψi |² = 1
• | Ψi) est la notation de Dirac pour un vecteur
| un) : ensemble de vecteurs linéairement indépendant.
Cn : composantes de | Ψ) et appartiennent aux nombres complexes.
On les représente en vecteur colonne :
Opérateur hamiltonien
• Ĥ est l’opérateur Hamiltonien
• H = Ec +Ep (H est une grandeur)
Εc = ½ mv²
p²= mv²
P quantité de mouvement
On en déduit : Ec = p²/2m
Et Ep = V
V énergie potentielle électromagnétique
Donc H = p²/2m + V
grandeur
Opérateur
Ĥ
H
px
Donc Ĥ =
^
+V
• Nous pouvons donc écrire l’équation de
Schrödinger comme ceci :
^
ΨN + V ΨN = E N Ψ N