Probabilité géométrique à une dimension

Probabilités géométriques
Probabilité géométrique
La probabilité géométrique est liée à la réalisation d’un résultat d’une
expérience aléatoire dans un contexte géométrique.
On retrouve 3 probabilités géométriques :
- probabilité géométrique à une dimension;
- probabilité géométrique à deux dimensions;
- probabilité géométrique à trois dimensions.
Variables aléatoires discrètes et continues
Une variable est dite discrète si on peut en dénombrer les résultats.
Exemple: On lance un dé, on s’intéresse aux résultats pairs.
X : (obtenir un résultat pair) est une variable discrète car on peut en
dénombrer les résultats.
X : (obtenir un résultat pair) : { 2, 4, 6 }
On peut en calculer la probabilité :
P(X) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
3
6
=
1
2
Variables aléatoires discrètes et continues
Une variable est dite continue si on ne peut pas en dénombrer les
résultats.
Exemple: On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous.
Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ?
A
B
C
D
E
F
Ici, on ne peut pas dénombrer le nombre de cas favorables car il y a
une infinité de positions possibles pour un point sur le segment BC.
X : (un point sur BC) : est une variable continue car elle prend une infinité
non dénombrable de valeurs.
Comment calculer cette probabilité ?
Les probabilités géométriques le permettent.
Probabilité géométrique à une dimension
Ce calcul de probabilités utilise les mesures de longueurs.
Exemple :
On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous.
Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ?
Il s’agit simplement de donner des mesures aux différents segments.
4 cm
A
5 cm
2 cm
B
C
3 cm
D
3 cm
E
F
17 cm
On reporte alors les mesures.
P(point sur BC) =
m BC
m AF
=
5 cm
5
=
≈ 0,294 ≈ 29,4 %
17 cm
17
Exemple :
On choisit au hasard un point sur les côtés du rectangle ABCD ci-dessous.
A
B
5 cm
D
8 cm
C
Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le côté AD ?
1) Calculer la mesure du périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 8 + 5 ) = 26 cm.
2) Calculer la probabilité que le point se situe sur le côté AD :
P(point sur AD) =
m AD
périmètre ABCD
=
5 cm
5
=
≈ 0,192 ≈ 19,2 %
26 cm
26
Probabilité géométrique à deux dimensions
Ce calcul de probabilités utilise les mesures de superficies.
Exemple 1: Dans la figure suivante, quelle est la
probabilité d’atteindre le cercle ?
La formule : P =
2 cm
8 cm
Aire du cercle
Aire de la surface totale
8 cm
1) Calculer l’aire du cercle:
A = π r2 = π X 22 ≈ 12,5664 cm2
2) Calculer l’aire du carré:
A = C2 = 82 = 64 cm2
3) Poser le rapport:
P=
Aire du cercle
Aire de la surface totale
=
12,5664 cm2
64 cm2
≈ 0,196 ≈ 19,6 %
La probabilité d’atteindre le cercle est donc d’environ 19,6 %.
Exemple 2:
Quelle est la probabilité d’atteindre un
des carrés rouges ?
6 cm
1) Calculer l’aire d’un carré:
A = C2 = 32 = 9 cm2
12 cm
2) Calculer l’aire du rectangle:
A = L X l = 12 X 6 = 72 cm2
3) Poser le rapport:
P=
Aire des cibles
Aire de la surface totale
=
9 cm2 + 9 cm2
72 cm2
=
18 cm2
72
cm2
=
1
4
La probabilité d’atteindre un des carrés rouges est de 25 %.
Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ?
= 0,25 = 25 %
Exemple 2:
6 cm
12 cm
Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ?
1) Calculer l’aire d’un carré:
A = C2 = 32 = 9 cm2
2) Calculer l’aire du rectangle:
A = L X l = 12 X 6 = 72 cm2
3) Poser le rapport:
P=
Aire des cibles
Aire de la surface totale
=
6 X 9 cm2
72 cm2
=
54 cm2
72
cm2
=
3
4
= 0,75 = 75 %
La probabilité d’atteindre un des carrés jaunes est de 75 %.
Remarque :
La probabilité d’atteindre un carré rouge
est de 0,25.
6 cm
La probabilité d’atteindre un carré jaune
( soit le reste ) est de 0,75.
12 cm
Les probabilités des deux évènements donnent une somme de 1.
Ce sont donc des évènements complémentaires.
Évènements complémentaires
Lorsque la somme des probabilités de deux évènements est égale à 1,
ces deux évènements sont appelés complémentaires.
Dans l’exemple des carrés rouges et jaunes, sachant que la probabilité
d’atteindre un carré rouge est de 0,25, on pourrait calculer la probabilité
d’atteindre un carré jaune en effectuant le calcul suivant :
P( jaune ) = 1 – P( rouge ) = 1 – 0,25 = 0,75 ou 75 % .
Probabilité géométrique à trois dimensions
Ce calcul de probabilités utilise les mesures d’espaces.
Exemple :
On choisit au hasard un point dans le prisme
droit ci-contre.
6 cm
2 cm
Quelle est la probabilité que ce point se
situe dans le prisme rouge ?
La formule : P =
Volume du prisme rouge
8 cm
Volume du gros prisme
5 cm
1) Calculer le volume du prisme rouge : L x l X h = 8 X 5 X 2 = 80 cm3
2) Calculer le volume du gros prisme : L x l X h = 8 X 5 X 6 = 240 cm3
3) Poser le rapport :
P=
Volume du prisme rouge
Volume du gros prisme
=
60 cm3
240
cm3
=
1
3
= 0,3 ≈ 33,3 %
La probabilité que le point se situe dans le prisme rouge est d’environ 33,3 %.